河南省洛陽市強基聯盟2023-2024學年高一下學期3月月考數學試卷

學校：___________姓名：班級：___________考號：

一'選擇題

1.下列說法中不正確的是()

A.零向量與任一向量平行B.方向相反的兩個非零向量不一定共線

C.單位向量是模為1的向量D.方向相反的兩個非零向量必不相等

2.復數(6+i)(l-7i)在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知的內角A,3,C的對邊分別為公瓦0,且6=近,3=型,c=括則。=()

6

A.2B.A/3C.V2D.l

4.已知向量。=(2,-1),。=(1,2)則「+人在人上的投影向量的坐標為()

A.(2,l)B.(l,l)C.(l,2)D.(-2,l)

5.下列區間為函數y=2sin、+；]的增區間的是()

71371

B

“-盟-[-y^]5一兀,0]45T

6.已知復數z滿足z(l-i)=i,則下列結論正確的是()

A.z=；+；iB.z的虛部與實部相等

C.|z|=lD.存在復數4，使zZ]<0

7.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a力,c,且bcosC+csinB==6,則

a+2b,、

-------:——()

sinA+2sinB

A.6后B.6C.4A/2D.4

二、多項選擇題

8.古希臘數學家特埃特圖斯(Theaetetus)利用如圖所示的直角三角形來構造無理數.

已知至=6。=0)=2,回，8。,4。_10),若。3=248+〃4。,則；1+〃=()

6+1D亞7

22

9.下列各組向量中，能作為基底的是（）

A.約=(0,0),e2=(1,1)B.ei=(1,2),e2=(-2,1)

C.ei=(-3,4),e2=］：一D.ei=(2,6),e2=(-1,3)

10.設z是非零復數，則下列說法正確的是()

A.若ZGR,則zeRB.若zz=|z|,則目=1

(1若2=2,則z=HD.若z+z=0,則廣=i

同T

11.在△ABC中，角A,3,C的對邊分別為a,0,c,已知△ABC的周長為3,3=60。,則（）

A.若26=a+c,則△ABC是等邊三角形

B.存在非等邊△ABC滿足/=如

C.△ABC內部可以放入的最大圓的半徑為且

D.可以完全覆蓋△ABC的最小圓的半徑為（

三、填空題

12.已知復數z滿足l+zi=z—i,則目=..

13.若尸為△ABC的外心，且PA+PB=PC,則△ABC的內角C等于.

四、雙空題

14.如圖，用無人機測量一座小山的海拔與該山最高處的古塔的塔高，無人機的航線

與塔在同一鉛直平面內，無人機飛行的海拔高度為500m,在C處測得塔底A（即小

山的最高處）的俯角為45。,塔頂3的俯角為30。,向山頂方向沿水平線CE飛行50m到達

。處時，測得塔底A的俯角為75。,則該座小山的海拔為m;古塔的塔高為

___________m.

五、解答題

15.已知a為第四象限角，且tan[a+：]=-

(1)求tana,sini的值；

(2)求sin[g+a]—2sin]cos[]+a]的值.

16.已知向量Z=(2,3),」=(T,2).

(1)當左為何值時，左a+匕與3a-2b垂直？

(2)當上為何值時，左a+匕與3a-2。平行？

17.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=0\c=2,cosC.

3

(1)求sinB和a的值;

(2)求△ASC的面積.

18.如圖，在中C是4?的中點Q是線段QB上靠近點。的四等分點，設

0A=a,OB=b.

(1)若。4長為2,06長為8,4。8=工,求0。的長;

3

(2)若E是OC上一點，且OC=2OE,試判斷A,D,E三點是否共線？并說明你的理由.

sinB

19.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,且

sinA+sinCb+c

(1)求角C的大??；

(2)若△ABC為銳角三角形，且5=4,求△ABC周長的取值范圍.

參考答案

1.答案：B

解析：根據規定：零向量與任一向量平行，A正確；

方向相反的兩個非零向量一定共線，B錯誤；

單位向量是模為1的向量，C正確；

根據相等向量的定義：長度相等方向相同的兩個向量稱為相等向量，

所以方向相反的兩個非零向量必不相等，D正確；

故選：B.

2.答案：D

解析：因為（6+i）（l—7i）=6—42i+i+7=13—41i,

所以復數（6+雙1-%）在復平面內對應的點為（13,-41）,位于第四象限.

故選：D.

3.答案：D

解析：由余弦定理得（近）=a2+（^）-2-a-V3cos^-=a2+3+3a,

整理得/+3a-4=0,解得a=l（負值舍去）.

故選：D.

4.答案：C

解析：由a=（2,-l）,b=（l,2）得a+〃=（3,l）,

??卜\a+b]-b

所以a+b在匕上的投影向量為a+6cos夕*—?6=。,2）.

故選：C.

5.答案：B

解析：2kn--<%+—<2kit+—,A;eZ,

242

解得:2bi--<x<2kn+三，kGZ,

44

當左=0時，—%Kx〈巴，

44

當』時一3X-

^k=l^，—<X<—,

44

故四個選項中，只有B選項滿足要求，

故選:B

6.答案：D

/、ii（l+i）i+i2111

解析：由^Z=—=———=--+-1,z的實部為一彳，虛部

'/1-1（1一1）（1+1）2222

為:，忖=、［二^^,當Zi=1+3i時，zzj=D.

211V2222442

7.答案：A

解析：由正弦定理得sinBcosC+sinCsinB=sinA,

即sinBcosC+sinCsinB=sin（5+C）=sinBcosC+cosBsinC,

/.sinCsinB=cosBsinC,*sinCw0,sinB=cosB,

.tanS=1,1BG（0,Ji）,.'.B=—，.二---=----=——=6A/2,

'/4sinAsinBJ2

F

a=60sinA,O=60sin3，所以一""一=6?smA+2sm3）=

sinA+2sinBsinA+2sinB

故選：A.

8.答案：B

解析：以C為坐標原點,CD,C4所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標系，

由題意得AC=2企，則A（0,2A/2）,B（A/2,A/2）,C（0,0）,D（-2,0）,AB=（0,—0）,

AC=（0,—2后）,D3=（應+2,0）.因為D8=/IAB+〃AC,

所以+2=產，解得廠?1所以.

應=-仞-2?〃=_1上，2

L2

故選：B.

y

9.答案：BCD

解析：A中向量q與e2共線，不能作為基底,B,C,D中4*2不共線,

所以都可作為一組基底.

故選：BCD.

10.答案：AB

解析：對于A,zeR,故zeR,正確；

對于B,.z.z=|z「,.1z「=忖,故臼=1或忖=0（舍），正確;

對于C,若z=z,則zeR,故z=忖或z=-田不正確;

對于D,z+1=0,即z為純虛數，故￡=占=±i，不正確.

lzl同

故選：AB.

11.答案：ACD

解析：因為△ABC的周長為3,且笈=60。,可得a+3+c=3,

由余弦定理得。2=a2+c2-2accosB=cr+c2-ac.

對于A,因為2Z?=a+c,所以（"：）=片+0?—ac,即（a一=0,則a=Z?=c,所以ZkABC

為等邊三角形，故A正確；

對于B,假設。2=ac,則ac=a?+/—ac,即（a-cf=0,則a=Z?=c,止匕時ZVlBC為等邊三

角形，故B錯誤；

對于C,由/=〃+02—ac=（3—,可得ac=2（a+c）—324A/^-3,當且僅當a=c時

等號成立，解得ac41或敬29（舍去），所以△ABC的面積S='acsinB4且，△ABC的

24

內切圓半徑為二^W走，所以△ABC內部可以放入的最大圓的半徑為立，故C正

a+b+c66

確；

對于D,設△ABC外接圓的半徑為R,因為2（a+c）-3=改〈（審］，當且僅當。=c時等

號成立，所以（〃+c）2—8+c）+1220,解得a+c<2或a+c26（舍去），由

廿=（3-a-c）2?l，可得心1,因為2R=一所以R2電，所以可以完全覆蓋△ABC

sin6003

的最小圓的半徑為，，故D正確.

故選：ACD.

12.答案：1

解析：由1+zi=z—i,得（l-i）z=l+i,所以z=,|z|=^-14==^~=1.

13.答案：120°

解析：因為求角C,故選。為起點整理，得C4-CP+CB-CP=-CP,

于是CP=C4+CB.由向量加法的平行四邊形法則知，

四邊形CBB4為平行四邊形.又因為p為外心，故

從而四邊形CBPA為菱形，且ZACB=120°.

14.答案：475—25百;秒8

解析：由題意知CD=50,NACD=45。，NHCD=30。NADE=75。,

CDAD

在△ACD中,ACAD=75°-45°=30°,由正弦定理得-------

sinZCADsinZACD

.30x___

即AD=Sin/ACD==50拒延長AB與cE交于點H，則AH±CE,

sinZCAD1

2

在RIYADH

中，Af/=ADsin750=50匹sin(45°+30°)=5072(sin45°cos30°+cos45°sin30°)

=50底義"夜=25(6+l)m,

所以該座小山的海拔為500-25(百+1)=(475-256)m.在Rt^AHC中，易知AH=S,

在RtABHC中，=CHtan30°=25(6+1)xg=7"jG,

所以AB=AH—=25(G+1)—,

故古塔的的塔高為乎m.

/.、(兀'1+tana1.4

斛析：(1)tana+—=----------y,W^ftaii6Z=--,

I4)l—tana

”4=-上又sin2a+cos2a=1,且a為第四象限角,

cosa3

,4

：,解得sino=一1.

(2)JM^=sin|—+—+a-2sin—cos—+a

=sm.?！猚os「兀-+a)+cos?！猻.m(兀—+a1-2sm?！猚os(?！?a

5(5J5<5J5(5

兀.，兀、.兀(711.4

=cos—sm-+o-sm—cos—+a-sma=——.

5(5J5(5J5

16.答案：(1)見解析

(2)見解析

解析：（1）因為左〃+人=左（2,3）+（7,2）=（2左一4,3左+2）,

3〃-25=3（2,3）-2（-4,2）=（14,5）,

（左Q+b）-（3〃-2b）=43左一46,

若（左a+b）_L（3a-2b）可得［ka+b）?（3〃-2b）=0,

,46

BP43左一46=0,得k=—,

43

46

即k=3時，左a+Z?與3〃一2Z?垂直.

（2）當（左a+〃）〃（3a—2b）時，有（2左一4）x5—（3k+2）xl4=0,

解得人二二3

2

3--

即k=——時，左4+方與3〃一2/?平行.

2

17.答案：（1）—

3

⑵—

3

解析：（1）在AABC中，由cosC=-孝，可得sinC=J1-cos?C=?

又由上=上及6=夜,c=2,可得sinB=3.

sinCsiaB3

由余弦定理得《2=6+〃一2〃Z?cosC,得3/+2"〃一6=0,

因為。＞0,故解得。=乎.

所以sinB=-,a=.

33

（2）由（1）知,a=乎,sinC=當，

所以4相。的面積S^ABC=—absinC=—x—xV2x—=—.

22333

18.答案：（1）后

(2)見解析

解析：(1)OA=a,OB=0,C是AB的中點，

.?.OC=g(OA+O3)=；(a+b),

22

+"=J}"+ga必+?2=2+^-x2x8xcos-1+^-x8=\/21.

(2)A,D,E三點不共線，

理由如下：

由(1)知,AD=—a+!仇

4

OC=2OE,:.OE=-OC,

2

[[Q1

AE=OE-OA=-x—x(a+b]-a=——a+—b.

22I)44

易知4E與A。不平行，

」.A,D,E三點不共線.

19.答案：(1)C=-

3

(2)(6+2612+4⑹

解析：(1)由正弦定理得上=1--—,

a+cb+c

2.?22-i

整理得a2+b2-c2=ab，所以cosC=°一。=-,

lab2

又Ce（O,兀），所以C=1.

9JT27r

(2)法一：由(1)知4+3=臼，即A=—

33

0<--B<-,

32

因為△ABC為銳角三角形，所以解得巴<8<4.

cn兀62

2

由正弦定理—=—也c/日a+b+cb

——-----；-----；—

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsiaB

+si

則〃+b+c=-----cosB+-sirtB+

sinB2sinB(22

點+巫