2024年3月河南省高三數學高考適應性測試卷

試卷滿分150分，考試時間120分鐘2024.03

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需要改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

1.已知集合”={乂77：：1＜4},"={4-2＜》43廣€2},則McN=（）

A.{x|l<x<3}B.{x|l<x<3}C.{2,3}D.{1,2,3}

2.在復平面內，復數Z1對應的點與復數Z2=：L對應的點關于實軸對稱，則4=（）

1+1

、11-C11?11.C11?

A.------1B.—I—1C.---------1D.——+—1

22222222

3.已知lg2。0.3010,lg3”0.4771,則log/2的值大約為（）

A.1.79B.1.81C.1.87D.1.89

4.已知一個圓柱和一個圓錐的底面半徑和高分別相等，圓柱的軸截面是一個正方形，則這個圓柱的側面積

和圓錐的側面積的比值是（）

卜&R4加「石n2—

A?D?---------V/?U?

4525

5.函數了=/（x）的圖象由函數y=2sin[gx+；]的圖象向左平移夕（夕＞0）個單位長度得到，若函數了=/（%）

的圖象關于原點對稱，則。的最小值為（）

兀3兀

A.B.-D.

4~2

6.已知拋物線爐=2x的焦點為尸，過點尸的直線/與拋物線交于48兩點，若A/OF的面積是ABO尸的面

積的兩倍，則|/邳=（）

5911

A.2B.—C.一D.

24T

7.已知tan|；+a)—)=4,則tan4a的值為()

48

AB.-c.D.2

-435

8.對于數列｛叫，定義4=%+3%+…+3"［為數列｛叫的“加權和”.設數列｛叫的“加權和"4="-3",

記數歹IJ｛與+。〃+1｝的前〃項和為（，若444對任意的〃eN*恒成立，則實數P的取值范圍為（）

16_712_75_12169

A.，B.，C.，D.

T-3T-32-TT4

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.約翰遜多面體是指除了正多面體、半正多面體（包括13種阿基米德多面體、無窮多種側棱與底棱相等的

正棱柱、無窮多種正反棱柱）以外，所有由正多邊形面組成的凸多面體.其中，由正多邊形構成的臺塔是一

種特殊的約翰遜多面體，臺塔，又叫帳塔、平頂塔，是指在兩個平行的多邊形（其中一個的邊數是另一個的

兩倍）之間加入三角形和四邊形所組成的多面體.各個面為正多邊形的臺塔，包括正三、四、五角臺塔.如

圖是所有棱長均為1的正三角臺塔，則該臺塔（）

A.共有15條棱B.表面積為3+2省

C.高為逅D.外接球的體積為。兀

33

10.已知定義在R上的函數〃x）,滿足2〃x+y）〃x-y）=〃2x）+/（2y）,且/⑴=-1,則下列說法正

確的是（）

A."0）=1B./（x）為偶函數

C.〃2x）=〃x）D.2是函數的一個周期

11.泰戈爾說過一句話：世界上最遠的距離，不是樹枝無法相依，而是相互了望的星星，卻沒有交匯的軌

跡；世界上最遠的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交匯，卻在轉瞬間無處尋覓.已知點尸（2,0）,

直線/：X=5,動點尸到點尸的距離是點尸到直線/的距離的:?若某直線上存在這樣的點尸，則稱該直線

為“最遠距離直線”.則下列結論中正確的是（）

2

A.點尸的軌跡方程是三+且=1

95

B.直線4?+]=1是“最遠距離直線”

C.點尸的軌跡與圓。:/+/-2尤=0沒有交點

D.平面上有一點/(T1),則21PH+31產口的最小值為￡

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.已知圓C]:+y2+4x-4y—1=0,C2x+y~~2x—6y+9=0,直線/分別與圓G和圓C?切于M,N

兩點，則線段MN的長度為.

13.1+的展開式中號？的系數為.

14.已知正實數。，b滿足：a+b=l,則垓7+'”的最大值是________.

a+ba+b

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知448C中,角4己C的對邊分別是見“c,c=26,且痣in2C-2cos2c=1.

(1)求角C的大小；

(2)若向量而=(l,siM)與向量方=(sinS,-2)垂直，求a的值.

16.在如圖所示的四棱錐中，四邊形/BCD為矩形，P/工平面NBC。,E為線段尸。上的動點.

⑴若尸5〃平面4EC,求而的值；

⑵在(1)的條件下，^PA=AD=1,AB=2,求平面NBC與平面4EC夾角的余弦值.

17.已知函數[(x)=e"'"+x2-加尤，加eR.

⑴求函數〃x)在點(0,〃0))處的切線方程；

(2)若對于任意都有/(x)Ve恒成立，求實數加的取值范圍.

3

18.已知4,4分別為雙曲線。：，-，=1(。>0/>0)的左、右頂點，|44|=2,動直線/與雙曲線C交于尸,。

兩點.當尸。〃無軸，且pq=4時，四邊形戶客4的面積為3聲.

(1)求雙曲線C的標準方程.

(2)設尸,0均在雙曲線C的右支上，直線4尸與4。分別交了軸于兩點，若而=2兩，判斷直線/是

否過定點.若過，求出該定點的坐標；若不過，請說明理由.

19.甲、乙、丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時,

若骰子點數大于3,則甲將球傳給乙，若點數不大于3,則甲將球保留；當球在乙手中時，若骰子點數大于

4,則乙將球傳給甲，若點數不大于4,則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數大于3,則丙將球

傳給甲，若骰子點數不大于3,則丙將球傳給乙.初始時，球在甲手中.

(1)設前三次投擲骰子后，球在甲手中的次數為X,求隨機變量X的分布列和數學期望；

⑵投擲"次骰子后記球在乙手中的概率為口，求數列{%}的通項公式；

72_n\d,d.d”n(z*\

(3)設J-2,求證：J-<7(/7€n)-

|30"23444用2''

1.D

【分析】首先求集合“，再求McN.

【詳解】Jx-1<4,即04x-l<16,得14x<17,

即M={鄧4x<17},且N={x卜2cxW3,xeZ},

所以"nN={l,2,3}.

故選：D

2.A

【分析】根據復數的除法運算求得Z2=：L對應的點，即可得馬對應的點的坐標，從而可得答案.

【詳解】由題意得復數Z2=丁、，對應的點為(!，!)，

l+i(l+i)(l-i)222

則復數4對應的點為(；「；)，則Z1=g-gi,

故選：A

3.A

【分析】借助對數運算法則計算即可得.

4

2

【詳解】log412=log22(2x3)=1x21og22+hog23=l+^?l+^^?1.79.

故選：A.

4.B

【分析】設出底面半徑，由題意可得高，即可計算圓柱的側面積和圓錐的側面積，即可得解.

【詳解】設這個圓柱和圓錐的底面半徑為尸，

由圓柱的軸截面是一個正方形，故其高〃=2.

則圓柱的側面積E=2ax2/=4兀/,

圓錐的側面積S2=7ir^(2r)2+r2=V5nr2，

則色二學二拽.

2

S2V5Tir5

故選：B.

5.D

【分析】首先利用平移規律求函數/(%)的解析式，再根據函數是奇函數的性質，即可求解。的值.

1JT

【詳解】由題意可知，f(x)=2sin-[x+cp)+-,

因為函數/(x)關于原點對稱，所以〃0)=2sin]；9+，=0,

IJTJT

則一9+—二左兀，左eZ,得9=——+2H,keZ且夕〉0,

2429

所以9吟.

故選：D

6.C

【分析】有A/O尸的面積是尸的面積的兩倍可得/-2XB=(,設出直線方程聯立曲線，得到相應韋達

定理即可計算出孫、XB，即可得解.

【詳解】令d為點O到直線的距離，

貝應敏=；心|/廠|,S^BOF=^d-\BF\,

由產------=焉=2,故即|=2阿I，

'△BOF^d-\BF\玖|

5

由拋物線定義可知，\AF\=XA+^,\BF\=XB+^,

貝U有X4+（=2]XB+T）,即/-24=3，

y2=2x

設直線45方程為1=小+：,聯立拋物線方程1,

2x=my+—

有y2-2my-1=0,A=4m2+4>0,

故為+縱=2冽，yAyB=-l,

則刈/=也蟲-=」，則有2XB=『-,故/-2/=5-/—=1，

AB442XA2XA2

有2x；-乙-1=0,故x〃=l或無（負值舍去），則/=，一=；,

24X/4

I,D|11,,19

-^\AB\^XA+-+XB+-=1+1+-=--

故選：C.

7.A

【分析】首先利用兩角和差的正切公式化解，并求得tan2a,再根據二倍角的正切公式，即可化解求值.

，、口1+tana1-tana,

【詳解】由條件可知，---------------=4,

1-tana1+tana

即蕓*=2,

貝！Jtan2a=2,

1-tana

2tan2a44

所以tan4a=

1-tan22a1^43

故選：A

8.B

【分析】借助。"與S"的關系可計算出數列｛為｝的解析式，即可得」=（2+。）"：（6+0”,則分。=-2及

。4-2兩種情況分類討論，當。W-2時，1為有特殊定義域的二次函數，結合二次函數的性質可得

2+p<0

26+2J,解出即可得.

2~2（2+p）~2

【詳解】當"W2時,4T=（〃T>3"T，則洋一］T=〃.3"_（〃_1>3”T=（2.+1）-3"T,

即3"Ta“=（2〃+1）-r~',故%=2〃+1,

當〃=1時，4=l-3i=3=%,符合上式，故氏=2〃+1,

6

貝!]a'+°〃+l=（2+p）〃+2,故T“=[4+P+（2；p）〃+2]〃=（2+p）〃；（6+p）〃,

因為7；44對任意的〃eN*恒成立，

當/=-2時,有2〃410,即“45,不符合要求，

2+p＜0

當°*一2時，則有，9V6+。＜11,

2-_2（2+j＞）-T

解得肯12WpW7-j

故選：B.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵點在得到北=0+P）〃；（6+P）力后,可知當。二一2時，（為有特殊定義域的

二次函數，即可結合二次的函數的性質解題.

9.ACD

【分析】由臺塔的結構特征，數棱的條數，計算表面積和高，由外接球半徑計算體積.

【詳解】臺塔下底面6條棱，上底面3條棱，6條側棱，共15條棱，A選項正確；

臺塔表面有1個正六邊形，3個正方形，4個正三角形，由所有棱長均為1,

表面積為S=6x—xlxlx—+3x1x1+4x—xlxlx^"=3+B選項錯誤；

22222

上底面正三角形4BC在下底面正六邊形。MG印內的投影為AHQC',

則。點是正六邊形DEFGHI的中心，也是AA'B'C'的中心，

和AODE都是正三角形，C'是AODE的中心，

由棱長為1,則￡（7=在，

3

所以臺塔的高=口巫,C選項正確;

V93

設上底面正三角形/BC的外接圓圓心為。?,則半徑八=g,

下底面正六邊形。的外接圓圓心為。2，則半徑々=1，

7

(77V(cY//7A2(/TA2

貝!j有。2+『=aH----------+—或/+12=------------------a+—,解得q=0,

3333

\)\)\7\J

44

所以火=々=1,臺塔的外接球體積/=§兀叱=§兀，D選項正確.

故選：ACD

10.ABD

【分析】對A：借助賦值法，令x=y=；,計算即可得；對B：借助賦值法，令歹=一%，結合偶函數定義

即可得；對C：計算出其與/⑴不滿足該關系即可得；對D：借助賦值法，令了=工-；，結合

的值與周期函數的定義計算即可得.

【詳解】對A：令x=y=g,則有2/(l)/(O)=/(l)+/(l),又/'(1)=-!,

故有-2〃0)=-2,故/'(0)=1,故A正確；

對B：令丫『,則有2〃0)/(2x)=/(2x)+〃-2x),又/(0)=1,

故有/(2尤)=/(-2尤),即〃x)=/(r),又其定義域為R,

故f(x)為偶函數，故B正確；

對C：令尤=(，＞=°，則有271￡|(￡|=/(1)+/(0)=-1+1=0,

故=又/⑴=-1,不符合，故C錯誤；

對D：令y=x-g,則有2/(2-￡|/］，=/(2X)+/(2X-1),

由(j=0,故/(2x)+y(2xT)=0,則/■(x)+/'(x7)=0,故/(x+l)+/(x)=0,

兩式作差并整理得了(x+l)=/(xT),故2是函數f(x)的一個周期，故D正確.

8

故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用賦值法解決抽象函數問題，對D選項，需借助=再令

y=x-g,從而消掉所給式子中的一項，再結合周期函數的定義得解.

11.AC

【分析】對A：設出尸(xj),結合題意計算即可得；對B、C：聯立兩方程，借助A判斷有無交點即可得;

對D：借助題目定義，將|尸尸|轉化為點尸到直線/的距離,從而得到2|尸4|+3歸戶|=2|回|+2|尸同,計算出

|上4|+|尸目的最小值即可得.

【詳解】對于A,設尸(xj),則有加_2)2+/=|卜曰,整理可得卷+1=1,

故點尸的軌跡方程是《+片=1,故A正確；

95

對于B,聯立直線(與點尸的軌跡方程，有<可得7/-45尤+162=0,

x2y21

—+—=1

I95

A=45?-4x7x162=2025-4536<0,故直線4與點尸的軌跡方程沒有交點,

則直線4：巳+]=1不是“最遠距離直線”，故B錯誤；

尤-+了2-2x=0

對于C,聯立圓C與點尸的軌跡方程，有1尤22,可得4f_i8x+45=0,

—+—=1

[95

A=182-4x4x45=324-720<0,

故點P的軌跡與圓C:x2+/—2x=0沒有交點，故C正確；

Q7

對于D,過點P作必，直線/：尤=]于點5,由題意可得|P刊=§忸同，

故2|尸+31尸尸卜2兩|+2|=2(p/卜那I),

9

則當A、P、8三點共線，即直線/：X=二時，

2

有(|尸/|+|尸8%弓+1=%故2|P/|+31P刊的最小值為2x5=1]，故D錯誤.

故選：AC.

9

【點睛】關鍵點點睛：本題中D選項的判斷需要注意結合題目所給定義，將忸尸|轉化為點尸到直線/的距

離，從而得到21PH+31尸巴=2四+2附.

12.46

【分析】利用圓與圓的位置關系，結合圖形和幾何關系，即可求解.

【詳解】圓q：(x+2)2+(y—2)2=9,圓心G(-2,2),半徑4=3,

圓G：+(>-3)2=1,圓心G(1,3),半徑々=1,

圓心距|CC|=J(—2—1)2+(2—31二而,由3-1</萬<3+1,

所以兩圓相交，則pW|=’(府)2_(3_1)2=&.

故答案為：仇

13.-560

【分析】首先將X+］看成一個整體，再結合一/的形式，利用二項式定理的通項公式求解.

【詳解】-2y的通項公式為卻|=C>,(-2了)'，

3

當r=3時，TM=C^.(-2).

10

4中，含x2項的系數為C〉X3.：=2X2

所以展開式中/式的系數為C？.(-2)3.2=-560.

故答案為：-560

142「+3

'-3-'

2ab2a\—aa+\

[詳解]試題分析：――-+--五==一,+---^-=-----；，由題意得，0<a<l,令a+1=fe(l,2),

a+ba+ba+1—QQ+(1—Q)CL—Q+1

a+l_______t________]]_20+3__

22-

?**a-a+\(Z-l)-(Z-l)+lz+3_32A/3-33，當且僅當￡=g=>a=百一1，6=2—百時，

t

等號成立，即所求最大值為巫口，故填：巫史.

33

考點：基本不等式求最值.

71

15.(1)C=-

(2)2

【分析】(1)利用二倍角公式化解，再結合三角形內角的范圍，即可求解角C的大小；

(2)根據向量垂直的坐標表示，再結合正弦定理邊角互化，得到b=2a,再根據條件和(1)的結果，利

用余弦定理，即可求解.

【詳解】⑴因為百sin2c-2cos2c=1,所以6疝2。-(1+320=1,

即2|也sin2C-Lcos2c]=2.所以sin(2C-=1,

[22)I6J

7T

因為C是“8C的內角，所以c=§.

(2)因為向量應=(l,siih4)與向量萬=(sin5,-2)垂直，所以sirtS-2sin4=0.

由正弦定理可得6-2a=0.所以b=2a,

由余弦定理可得=/+62-2a6cosC,c=2VL

即12=a2+(2a)2_2.a.2a-；.

解得3a2=12,a=2.所以。的值為2.

11

PE12

16.(1)—=-(2)-

''PD23

【分析】（1）借助線面平行的性質定理可得線線平行，結合中位線的性質即可得;

（2）建立適當空間直角坐標系，借助空間向量計算即可得.

【詳解】（1）如圖1,連接AD,交/C于點O,連接E0.

?.?尸5//平面4￡1。,尸8<Z平面/>8。,平面平面/EC=EO,

:.EOHPB,又。為8。的中點,

為尸。的中點，即P三F=：1,

PD2

圖1

（2）如圖2,以A為坐標原點，4瓦"）,4尸所在直線分別為x軸，了軸，z軸建立空間直角坐標系.

則/(0,0,0),c(2,1,0),3(2,0,0),q0,-.

.'.I4C=(2,1,0),2E=|。另

???PA1平面ABCD,

，平面48c的一■?個法向量可為比=（0,0,1）.

設平面NEC的法向量為』=（x,%z）,

n-AC=2x+y=0

則一一?11，

n?AE=-y-\■—z=0

22

令廠一2,得克=（1,一2,2）,

12

/___\m-n2

cos(加，〃尸口|引=7，

平面ABC與平面AEC的夾角的余弦值為§.

17.⑴k1⑵[T1]

【分析】(1)求出導數以及切點坐標，根據導數的幾何意義，即可求得答案.

(2)將原問題轉化為對于任意尤都有〃x)4e恒成立，即需/(xM/We；從而結合函數的單調性,

fQm+1—777<e

確定函數的最值在哪里取到，由此列出不等式,構造函數Mx)=e'-x-e+l,利用導數即可

[e+l+m<e

求解.

【詳解】(1)由于/(力=y+1一〃區機eR,故/'(0)=1,切點為(O,l)J'(x)=/e*+2x-〃？，

/'(0)=me0+2x0—m=0,

所以切線的斜率為0,“X)在點(OJ(O))處的切線方程為y=l.

(2)令g(x)=/'(x)=加e"x+2x-加，貝(jg'(x)=冽2?加"+2>0,

所以g(x)為R上單調遞增函數，

因為g(O)=/'(O)=O,所以x?T0)時，r(x)<O;xe(O,l]時，/%)>0,

所以〃x)在[T0)單調遞減，在(0/單調遞增.

若對于任意都有/(x)Ve恒成立，即只需/*)111axWe.

因為〃x)在[T0)單調遞減，在(0』單調遞增，

所以/(x)的最大值為/(-1)和/⑴中最大的一個，

所以〔『一2，

/(-l)<e[e+l+m<e

設〃(x)=ex-％-e+1,(x)=ex-1,

當x<0時，當X>0時，

所以〃(x)在(-”,0)單調遞減，在(0,+動單調遞增.

13

/z（l）=0,/z（-l）=-+2-e<0,故當xc[T,l]時，〃（x）40.

e

fe"+1—冽（e

當加時，/?（m）<0,//（-m）<0,則<]_-成立.

[e+l+m<e

當〃>1時，由訪⑴的單調性，得“"）>0,即M-〃z+l>e,不符合題意.

nm

當機<-1時，h（-m^=e'+m-e+l>/?（l）=O,gpe~+m+1>e>也不符合題意.

綜上，加的取值范圍為[-M].

【點睛】關鍵點睛：本題考查了導數幾何意義的應用以及利用導數解決恒成立問題，解答的關鍵是將不等

式恒成立問題轉化為函數的最值問題.

18.⑴/-1=1⑵直線尸。恒過定點（3,0）

【分析】（1）首先求點尸（馬，力）的坐標，根據坐標表示梯形的面積，即可求解雙曲線方程；

（2）首先根據條件設M（0,f）,N（0,2f）?w0）,并利用方程聯立求點尸，。的坐標，并求直線尸。的方程，化

簡后即可求定點坐標.

【詳解】（1）由|4闋=2知，4（一1,0），4（1,。）,。=1.

當尸。//x軸時，根據雙曲線的對稱性，不妨設點尸（馬,孫）在第一象限，

則由第|=4,可得%=2.代入雙曲線。的方程，得匕；=：”3/=揚.

因為四邊形尸34的面積為，所以儼°舊4闋X%=2X?.

一22

解得b=V2.

所以雙曲線。的標準方程為——旦=1.

2

因為兩=2兩，所以可設“（O"）,N（O,2。。，。）.

14

直線4尸的方程為V=4x+1）,直線的方程為＞

又雙曲線C的漸近線方程為y=+42x，

顯然直線AP與雙曲線C的兩支各交于一點，直線A2Q與雙曲線C的右支交于兩點,

則有＜解得＜也.

2|z|>V2

y=￡（x+l）

由12y2消去V,得（r-2）X2+2/2X+（^2+2）=0.

X-----=1

2

設點P（馬，力），則5（-1）=害.解得與=-『.

t—2，—2

匚”（入2-4t

所以為-廠7+1

＜「一/J1—Z

y-—2f（x-1）

由，消去九得（2產-1卜2—4/2尤+（2?+1）=0.

x2'

2

2/+12-+1

設點。包/。），貝1]演/=.解得x

2r-1Q2r-l

+14t

所以為=-2f

當直線P0不垂直于X軸時，kp°=上3=1.

Xp—XQt—1

4ttf*+2、

所以直線P。的方程為y=-.

t—2t—Ht-2）

所以y=，也即y=；y^（x-3）.

I—ZI—11I—ZjI—1

顯然直線尸。恒過定點（3,0）.

當直線尸。垂直于x軸時，由巧,=%,得》=].此時馬=q=3.

直線尸。的方程為x=3,恒過定點（3,0）.

綜上可知，直線尸。恒過定點（3,0）.

15

【點睛】思路點睛：一般求直線過定點問題，需求出直線方程，轉化為含參直線過定點問題.

19.⑴分布列見解析；期望為g⑵(3)證明見解析

【分析】(1)根據傳球游戲的規則，可得X=0,l,2,3,再根據