2023-2024學年遼寧省遼陽二中協作校八年級（下）期中數學試卷一、選擇題：共10小題，每小題3分，共30分。1.下列圖形是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形的是(

)A. B.

C. D.2.若m>n，則下列不等式中正確的是(

)A.m?2<n?2 B.1?2m<1?2n C.?12m>?3.下列式子從左到右的變形是因式分解的是(

)A.(a?3)(a+2)=a2?a?6 B.x2?1+y4.如圖，將直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于點H，CH=2cm，EF=5cm，則陰影部分的面積為(

)A.6cm2

B.8cm2

C.

5.如圖，△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉40°后得到的圖形，若點D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，則∠C的度數是(

)A.55°

B.45°

C.42°

D.40°6.若關于x的不等式組x>?ax≥?b的解為x≥?b，則下列各式正確的是(

)A.a>b B.a<b C.a≤b D.b≤a7.如圖，已知△ABC中，AB的垂直平分線交BC于點D，AC的垂直平分線交BC于點E，點M，N為垂足，若BD=32，DE=2，EC=52，則ACA.322 B.3328.若一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象如圖所示，則關于x的不等式0<kx+b<4的解集是(

)A.x<3

B.?2<x<3

C.1<x<3

D.0<x<3

9.如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.△ABC的面積為12，AB=7，DE=2，則BC的長為(

)A.7

B.6

C.5

D.410.已知如圖，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP=OC，下面的結論：①∠APO+∠DCO=30°；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AB=AO+AP.其中正確的是(

)

A.①③④ B.①②③ C.①③ D.①②③④二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.用反證法證明：“在△ABC中，若AB=AC，則∠C<90°”，則應先假設______．12.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則等腰三角形的底角度數為

．13.在實數范圍內規定新運算“△”，其規則是：a△b=2a?b，已知不等式x△k≥2的解集在數軸上如圖表示，則k的值是______．14.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(?3,0)，B(0,4)，對△OAB連續作旋轉變換，依次得到△1、△2、△3、△4…15.若關于x的不等式組x?14(4a?2)≤123x?12<x+2的解集為x≤a，且關于三、解答題：本題共8小題，共71分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題10分)

(1)因式分解：9(m+n)2?3(m?n)(m+n)．

(2)利用因式分解計算：17.(本小題8分)

解不等式組x?3(x?1)>11+3x218.(本小題9分)

如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點都在格點上，坐標分別為A(2,4)，B(1,2)，C(5,3)．

(1)畫出△ABC關于原點O對稱的△A1B1C1；

(2)將△ABC繞原點O順時針旋轉90°，得到△A2B2C2，寫出B219.(本小題8分)

“文房四寶”是中國獨有的書法繪畫工具，即筆、墨、紙、硯，文房四寶之名，起源于南北朝時期.基本中學為了落實雙減政策，豐富學生的課后服務活動，開設了書法社團，計劃為學生購買甲、乙兩種型號“文房四寶”，經過調查得知：每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴40元，買5套甲型號和10套乙型號共用1100元．

(1)求每套甲、乙型號“文房四寶”的價格分別是多少？

(2)若學校需購進甲、乙兩種型號“文房四寶”共120套，總費用不超過8600元，并且根據學生需求，要求購進乙型號“文房四寶”的數量必須低于甲型號“文房四寶”數量的3倍，問有幾種購買方案？最低費用是多少？20.(本小題8分)

如圖，∠ABC和∠ACD的平分線交于點E，過E作EG⊥BA交BA的延長線于點G，EF⊥AC交AC于點F．

(1)求證：EG=EF；

(2)聯結AE，求證：∠AEG=∠AEF．21.(本小題8分)

如圖1，在△ABC中，BA=BC，D、E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=12∠ABC.以點B為旋轉中心，將△CBE按逆時針方向旋轉得到△ABF，連接DF．

(1)求證：DF=DE；

(2)如圖2，若AB⊥BC，其他條件不變．求證：D22.(本小題8分)

如圖，點O是等邊△ABC內一點，D是△ABC外的一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，連接OD．

(1)求證：△OCD是等邊三角形；

(2)當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；

(3)探究：當α為多少度時，△AOD是等腰三角形．23.(本小題12分)

【數學閱讀】

如圖1，在△ABC中，AB=AC，點P為邊BC上的任意一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E，過點C作CF⊥AB，垂足為F，求證：PD+PE=CF．

小堯的證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．

【推廣延伸】

如圖3，當點P在BC延長線上時，其余條件不變，請運用上述解答中所積累的經驗和方法，猜想PD，PE與CF的數量關系，并證明．

【解決問題】

如圖4，在平面直角坐標系中有兩條直線l1：y=?34x+3，l2：y=3x+3，l1，l2與x軸的交點分別為A，B．

(1)兩條直線的交點C的坐標為______；

(2)說明△ABC是等腰三角形；

(3)若l2上的一點M到l答案和解析1.【答案】A

解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

B、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．

故選：A．

根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度與自身重合．2.【答案】B

解：A.由m>n，得m?2>n?2，那么A錯誤，故A不符合題意．

B.由m>n，得?2m<?2n，推斷出1?2m<1?2n，那么B正確，故B符合題意．

C.由m>n，得?12m<?12n，那么C錯誤，故C不符合題意．

D.由m>n，得n?m<0，那么D錯誤，故D不符合題意．

故選：3.【答案】D

解：A.

(a?3)(a+2)=a2?a?6，是多項式的乘法運算，不是因式分解，故該選項不正確，不符合題意；

B.x2?1+y2=(x+1)(x?1)+y2，等式的右邊不是整式的乘積的形式，故該選項不正確，不符合題意；

C.2x2y=2x?xy，等式的左邊不是多項式，故該選項不正確，不符合題意；4.【答案】B

解：由平移的性質可知BC=EF=5cm，BE=AD=2cm，∠DEC=∠B=90°，S陰影=S直角梯形BEFH，

∴BH=BC?CH=3cm，

∴S陰影=S直角梯形BEFH

=(3+5)×2×12

=8(cm2).

故選：B．5.【答案】B

解：∵△ODC是由△OAB繞點O順時針旋轉40°后得到的圖形，

∴∠AOD=∠BOC=40°，OA=OD，∠B=∠C，

∴∠A=70°，

∵∠AOC=105°，

∴∠AOB=65°，

∴∠B=180°?∠A?∠AOB=180°70°?65°=45°，

∴∠C=45°，

故選：B．

由旋轉的性質可得∠AOD=∠BOC=40°，OA=OD，∠B=∠C，由等腰三角形的性質可求∠A=70°，由三角形內角和定理可求解．

本題考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，掌握旋轉的性質是解題的關鍵．6.【答案】A

解：∵關于x的不等式組x>?ax≥?b的解為x≥?b，

∴?a<?b，

∴a>b，

故選：A．

根據判斷不等式組的解集口訣：同大取大，求出?a與?b的大小關系，再根據不等式的性質求出a，b的大小即可．

7.【答案】D

【解析】【分析】

根據線段垂直平分線的性質得出AD，AE當長，利用勾股定理逆定理得出△ADE是直角三角形，進而利用勾股定理解答即可．

本題考查了線段垂直平分線的性質和勾股定理的逆定理的應用，解題關鍵是是添加輔助線構造直角三角形．

【解答】

解：連接AD，AE，

∵AB的垂直平分線交BC于點D，AC的垂直平分線交BC于點E，

∴AD=BD=32，AE=EC=52，

∵DE=2，

∴AD2+DE2=94+4=2548.【答案】C

解：根據圖象可得：關于x的不等式0<kx+b<4的解集是1<x<3，

故選：C．

根據函數圖象，找出滿足題意x的范圍即可．

此題考查了一次函數與一元一次不等式，以及一次函數的性質，利用了數形結合的思想，熟練掌握一次函數性質是解本題的關鍵．9.【答案】C

解：作DF⊥BC于F，

∵BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DF=DE=2，

∴12×AB×DE+12×BC×DF=12，

∴12×7×2+12×BC×2=12，

∴BC=5，

故選：C10.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查了等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，①利用等邊對等角，即可證得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，則∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，據此即可求解；②因為點O是線段AD上一點，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；③證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形；④首先證明△OPA≌△CPE，則AO=CE，AB=AC=AE+CE=AO+AP．

【解答】

解：①如圖1，連接OB，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=12∠BAC=12×120°=60°，

∴OB=OC，∠ABC=90°?∠BAD=30°

∵OP=OC，

∴OB=OC=OP，

∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，

∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；故①正確；

②由①知：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，

∵點O是線段AD上一點，

∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，故②不正確；

③∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，

∴∠APC+∠DCP=150°，

∵∠APO+∠DCO=30°，

∴∠OPC+∠OCP=120°，

∴∠POC=180°?(∠OPC+∠OCP)=60°，

∵OP=OC，

∴△OPC是等邊三角形；故③正確；

④如圖2，在AC上截取AE=PA，連接PE，

∵∠PAE=180°?∠BAC=60°，

∴△APE是等邊三角形，

∴∠PEA=∠APE=60°，PE=PA，

∴∠APO+∠OPE=60°，

∵∠OPE+∠CPE=∠CPO=60°，

∴∠APO=∠CPE，

∵OP=CP，

在△OPA和△CPE中，

PA=PE∠APO=∠CPEOP=CP,

∴△OPA≌△CPE(SAS)，

∴AO=CE，

∴AB=AC=AE+CE=AO+AP；故④正確；

11.【答案】∠C≥90°

解：由反證法的定義可知，假設需要否定結論，

所以先假設∠C≥90°

故答案為：∠C≥90°．

根據反證法證明命題的步驟求解即可．

本題考查了反證法的概念，牢記反證法先假設否定結論是解題的關鍵．12.【答案】75°或30°

解：在等腰△ABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高，∠ABD=60°，

當BD在△ABC內部時，如圖1，

∵BD為高，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=90°?60°=30°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=12(180°?30°)=75°；

當BD在△ABC外部時，如圖2，

∵BD為高，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAD=90°?60°=30°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

而∠BAC=180°?∠BAD=120°，

∴∠ABC=∠ACB=12(180°?120°)=30°；

綜上所述，這個等腰三角形底角的度數為75°或30°．

故答案為：75°或30°．

在等腰△ABC中，AB=AC，BD為腰AC上的高，∠ABD=60°，討論：當BD在△ABC內部時，如圖1，先計算出∠BAD=50°，再根據等腰三角形的性質和三角形內角和可計算出∠ACB；當BD在△ABC外部時，如圖2，先計算出∠BAD=50°13.【答案】?4

解：根據圖示知，已知不等式的解集是x≥?1．

則2x?1≥?3

∵x△k=2x?k≥2，

∴2x?1≥k+1且2x?1≥?3，

∴k=?4．

故答案是：?4．

根據新運算法則得到不等式2x?k≥2，通過解不等式即可求k的取值范圍，結合圖象可以求得k的值．

本題考查了在數軸上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“<”，“>”要用空心圓點表示．14.【答案】(8088,0)

解：∵點A(?3,0)，B(0,4)，

∴AB=32+42=5．

由圖可知，△OAB每旋轉三次為一個循環組依次循環，一個循環組前進的長度為4+5+3=12．

∵2022÷3=674，

∴△2020的直角頂點是第674個循環組的最后一個三角形的直角頂點．

∵674×12=8088，

∴△2022的直角頂點的坐標為(8088,0)．

故答案為(8088,0)15.【答案】?12

解：x?14(4a?2)≤12①3x?12<x+2②，

解不等式①得x≤a，

解不等式②得x<5，

由題意得a<5，

解方程2y=7+a得，y=7+a2，

∵關于y的方程2y=7+a有非負整數解，

∴7+a2≥0且a為奇數，

解得，a≥?7，

∴a的取值范圍為：?7≤a<5，

∵a為奇數，

∴整數a的取值為?7，?5，?3，?1，1，3，

∴符合條件的所有整數a的和為：?7?5?3?1+1+3=?12．

故答案為：?12．16.【答案】解：(1)原式=3(m+n)×[3(m+n)?(m?n)]

=3(m+n)×(3m+3n?m+n)

=3(m+n)×(2m+4n)

=6(m+n)(m+2n)；

(2)原式=(?2)2022×(?2)+22022

=(?2【解析】(1)利用提公因式法進行計算即可；

(2)利用提公因式法進行計算即可．

本題考查的是因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．17.【答案】解：x?3(x?1)>11+3x2>x?1，

解不等式①得，x<1，

解不等式②得，x>?3，

所以不等式組的解集是?3<x<1，

所以不等式組的非負整數解是【解析】分別求出兩個不等式的解集，然后求出兩個解集的公共部分，再寫出范圍內的非負整數解即可．

本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，其簡便求法就是用口訣求解．求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到(無解)．18.【答案】解：(1)如圖，△A1B1C1即為所求；

(2)如圖，△A2B2C2即為所求，B2(2,?1)；

(3)作點B關于x軸的對稱點B3，再連接B3C與x軸的交點即為所求點P，

由題意可得B3(1,?2)，C(5,3)，

設直線B3C解析式為y=kx+b，代入得：

?2=k+b3=5k+b，【解析】(1)根據中心對稱的性質作圖，即可得出答案．

(2)根據旋轉的性質作圖，即可得出答案；

(3)作點B關于x軸的對稱點B3，再連接B3C與x軸的交點即為所求點P.19.【答案】解：(1)設每套甲型號“文房四寶”的價格是x元，則每套乙型號“文房四寶”的價格是(x?40)元，

由題意可得5x+10(x?40)=1100，

解得x=100，

x?40=60．

答：每套甲型號“文房四寶”的價格是100元，則每套乙型號“文房四寶”的價格是60元；

(2)設需購進乙種型號“文房四寶”m套，則需購進甲種型號“文房四寶”(120?m)套，

由題意可得：100(120?m)+60m≤8600m<3×(120?m)，

解得85≤m<90，

又∵m為正整數，

∴m可以取85，86，87，88，89；

∴共有5種購買方案，

方案1：購進35套甲型號“文房四寶”，85套乙型號“文房四寶”；

方案2：購進34套甲型號“文房四寶”，86套乙型號“文房四寶”；

方案3：購進33套甲型號“文房四寶”，87套乙型號“文房四寶”；

方案4：購進32套甲型號“文房四寶”，88套乙型號“文房四寶”；

方案5：購進31套甲型號“文房四寶”，89套乙型號“文房四寶”；

∵每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴40元，

∴甲型號“文房四寶”的套數越少，總費用就越低，

∴最低費用是31×100+60×89=8440(元)．【解析】(1)根據每套甲型號“文房四寶”的價格比每套乙型號的價格貴40元，買5套甲型號和10套乙型號共用1100元，得出方程，解方程即可；

(2)設需購進乙種型號“文房四寶”m套，則需購進甲種型號“文房四寶”(120?m)套，根據題意得到不等式組，解不等式組即可得到結論．

本題考查了一元一次不等式的應用，一元一次方程的應用，正確地列出一元一次方程和一元一次不等式是解題的關鍵．20.【答案】證明：(1)如圖，過點E作EH⊥BD于點H，

∵BE平分∠ABC，EG⊥BA，EH⊥BD，

∴EG=EH，

∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EH⊥CD，

∴EF=EH，

∴EG=EF．

(2)∵EG⊥BA，EF⊥AC，

∴∠AGE=90°=∠AFE，

再Rt△AEG和Rt△AEF中，

EG=EFAE=AE，

∴Rt△AEG≌Rt△AEF(HL)，

∴∠AEG=∠AEF．

【解析】(1)過點E作EH⊥BD于點H，利用角平分線的性質即得證；

(2)通過HL證明Rt△AEG≌Rt△AEF即可．

本題主要考查角平分線的性質、全等三角形的判定與性質，解題關鍵是熟練掌握角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．21.【答案】(1)證明：∵∠DBE=12∠ABC，

∴∠ABD+∠CBE=∠DBE=12∠ABC，

∵△ABF由△CBE旋轉而成，

∴BE=BF，∠ABF=∠CBE，

∴∠DBF=∠DBE，

在△DBE與△DBF中，

BE=BF∠DBE=∠DBFBD=BD，

∴△DBE≌△DBF(SAS)，

∴DF=DE；

(2)證明：∵將△CBE按逆時針方向旋轉得到△ABF，

∴BA=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=∠BCE=45°，

∴圖形旋轉后點C與點A重合，CE與AF重合，

∴AF=EC，

∴∠FAB=∠BCE=45°，

∴∠DAF=90°，

在Rt△ADF中，DF2=AF2+AD2，【解析】(1)先根據∠DBE=12∠ABC可知∠ABD+∠CBE=∠DBE=12∠ABC，再由圖形旋轉的性質可知BE=BF，∠ABF=∠CBE，故可得出∠DBF=∠DBE，由全等三角形的性質即可得出△DBE≌△DBF，故可得出結論；

(2)把△CBE逆時針旋轉90°，由于△ABC是等腰直角三角形，故可知圖形旋轉后點C與點A重合，∠FAB=∠BCE=45°，所以∠DAF=90°，由22.【答案】(1)證明：∵△BOC≌△ADC，

∴OC=DC．

∵∠OCD=60°，

∴△OCD是等邊三角形．

(2)解：△AOD是直角三角形．

理由如下：

∵△OCD是等邊三角形，

∴∠ODC=60°，

∵△BOC≌△ADC，∠α=150°，

∴∠ADC=∠BOC=∠α=150°，

∴∠ADO=∠ADC?∠ODC=150°?60°=90°，

∴△AOD是直角三角形．

(3)解：∵△OCD是等邊三角形，

∴∠COD=∠ODC=60°．

∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，

∴∠AOD=360°?∠AOB?∠BOC?∠COD=360°?110°?α?60°=190°?α，

∠ADO=∠ADC?∠ODC=α?60°，

∴∠OAD=180°?∠AOD?∠ADO=180°?(190°?α)?(α?60°)=50°．

①當∠AOD=∠ADO時，190°?α=α?60°，

∴α=125°．

②當∠AOD=∠OAD時，190°?α=50°，

∴α=140°．

③當∠ADO=∠OAD時，

α?60°=50°，

∴α=110°．

綜上所述：當α=110°或125°或140°時，△AOD是等腰三角形．

【解析】(1)根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形可得證；

(2)根據全等易得∠ADC=∠BOC=∠α=150°，結合(1)中的結論可得∠ADO為90°，