哈爾濱市第三中學2024屆高一數學第二學期期末檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在正方體中，異面直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．2．袋中有個大小相同的小球，其中個白球，個紅球，個黑球，現在從中任意取一個，則取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為（）A． B． C． D．3．直線y＝﹣x+1的傾斜角是（）A．30° B．45° C．1354．已知向量，，則（）A．-1 B．-2 C．1 D．05．已知a，b為不同的直線，為平面，則下列命題中錯誤的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則6．已知兩個球的表面積之比為，則這兩個球的體積之比為（）A． B． C． D．7．在2018年1月15日那天，某市物價部門對本市的5家商場的某商品的一天銷售量及其價格進行調查，5家商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數據如下表所示：價格x99.5m10.511銷售量y11n865由散點圖可知，銷售量y與價格x之間有較強的線性相關關系，其線性回歸方程是y=-3.2x+40，且m+n=20，則其中的n=A．10 B．11 C．12 D．10.58．圓與圓的位置關系為（）A．內切 B．相交 C．外切 D．相離9．已知函數f：R+→R+滿足：對任意三個正數x，y，z，均有f（）.設a，b，c是互不相等的三個正數，則下列結論正確的是（）A．若a，b，c是等差數列，則f（a），f（b），f（c）一定是等差數列B．若a，b，c是等差數列，則f（），f（），f（）一定是等差數列C．若a，b，c是等比數列，則f（a），f（b），f（c）一定是等比數列D．若a，b，c是等比數列，則f（），f（），f（）一定是等比數列10．在空間直角坐標系中，軸上的點到點的距離是，則點的坐標是()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知是邊長為4的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值為__________．12．已知cosθ，θ∈（π，2π），則sinθ＝_____，tan_____.13．如果，，則的值為________（用分數形式表示）14．已知等差數列中，，則_______15．函數的零點的個數是______.16．設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知,,（1）若，求；（2）求的最大值，并求出對應的x的值．18．甲、乙二人參加某體育項目訓練,近期的五次測試成績得分情況如圖所示.(1)分別求出兩人得分的平均數與方差;(2)根據圖和上面算得的結果,對兩人的訓練成績作出評價.19．若數列滿足：對于，都有（為常數），則稱數列是公差為的“隔項等差”數列．（Ⅰ）若，是公差為8的“隔項等差”數列，求的前項之和；（Ⅱ）設數列滿足：，對于，都有．①求證：數列為“隔項等差”數列，并求其通項公式；②設數列的前項和為，試研究：是否存在實數，使得成等比數列（）?若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．20．設數列是等差數列，其前n項和為；數列是等比數列，公比大于0，其前項和為．已知，，，．（1）求數列和數列的通項公式；（2），求正整數n的值．21．某廠每年生產某種產品萬件，其成本包含固定成本和浮動成本兩部分.已知每年固定成本為20萬元，浮動成本，.若每萬件該產品銷售價格為40萬元，且每年該產品產銷平衡.（1）設年利潤為（萬元），試求與的關系式；（2）年產量為多少萬件時，該廠所獲利潤最大？并求出最大利潤.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

連接、，可證四邊形為平行四邊形，得，得（或補角）就是異面直線與所成角，由正方體的性質即可得到答案．【詳解】連接、，如下圖：在正方體中，且；四邊形為平行四邊形，則；（或補角）就是異面直線與所成角；又在正方體中，，為等邊三角形，，即異面直線與所成角的大小為；故答案選C【點睛】本題考查正方體中異面直線所成角的大小，屬于基礎題．2、D【解析】

利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】從袋中個球中任取一個球，取出的球恰好是一個紅色或黑色小球的基本事件數為，因此，取出的球恰好是紅色或者黑色小球的概率為，故選D.【點睛】本題考查古典概型概率的計算，解題時要確定出全部基本事件數和所求事件所包含的基本事件數，并利用古典概型的概率公式進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.3、C【解析】

由直線方程可得直線的斜率，進而可得傾斜角．【詳解】直線y＝﹣x+1的斜率為﹣1，設傾斜角為α，則tanα＝﹣1，∴α＝135°故選：C．【點睛】本題考查直線的傾斜角和斜率的關系，屬基礎題．4、C【解析】

根據向量數量積的坐標運算，得到答案.【詳解】向量，，所以.故選：C.【點睛】本題考查向量數量積的坐標運算，屬于簡單題.5、D【解析】

根據線面垂直與平行的性質與判定分析或舉出反例即可.【詳解】對A,根據線線平行與線面垂直的性質可知A正確.對B,根據線線平行與線面垂直的性質可知B正確.對C,根據線面垂直的性質知C正確.對D,當,時,也有可能.故D錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查了空間中平行垂直的判定與性質,屬于中檔題.6、D【解析】

根據兩個球的表面積之比求出半徑之比，利用半徑之比求出球的體積比.【詳解】由題知，則.故選：D.【點睛】本題主要考查了球體的表面積公式和體積公式，屬于基礎題.7、A【解析】

由表求得x，y，代入回歸直線方程16m+5n=210，聯立方程組，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，5家商場的售價x元和銷售量y件之間的一組數據，可得x=9+9.5+m+10.5+115又由回歸直線的方程y=-3.2x+40，則30+n5=-3.2×又因為m+n=20，解得m=10,n=10，故選A.【點睛】本題主要考查了回歸直線方程的特征及其應用，其中解答中熟記回歸直線方程的特征，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.8、B【解析】試題分析：兩圓的圓心距為，半徑分別為，，所以兩圓相交．故選C．考點：圓與圓的位置關系．9、B【解析】

令，，，若是等差數列，計算得，進而可得結論.【詳解】由題意，，令，，，若是等差數列，則所以，即，故，，成等差數列.若是等比數列，，，與，，既不能成等差數列又不等成等比數列.故選：B.【點睛】本題考查抽象函數的解析式，等差數列的等差中項的性質，屬于中檔題.10、A【解析】

由空間兩點的距離公式，代入求解即可.【詳解】解：由已知可設，由空間兩點的距離公式可得，解得，即，故選：A.【點睛】本題考查了空間兩點的距離公式，屬基礎題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-1.【解析】分析：可建立坐標系，用平面向量的坐標運算解題．詳解：建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設，∴，易知當時，取得最小值.故答案為－1．點睛：求最值問題，一般要建立一個函數關系式，化幾何最值問題為函數的最值，本題通過建立平面直角坐標系，把向量的數量積用點的坐標表示出來后，再用配方法得出最小值，根據表達式的幾何意義也能求得最大值．12、﹣2.【解析】

由題意利用同角三角函數的基本關系，二倍角公式，求得式子的值.【詳解】由，，知，則，.故答案為：，.【點睛】本題主要考查同角三角函數的基本關系，二倍角公式的應用，屬于基礎題.13、【解析】

先求出，可得，再代值計算即可.【詳解】.故答案為：【點睛】本題考查了等差數列的前項和公式、累乘相消法，考查了學生的計算能力，屬于基礎題.14、【解析】

設等差數列的公差為，用與表示等式，再用與表示代數式可得出答案。【詳解】設等差數列的公差為，則，因此，，故答案為：。【點睛】本題考查等差數列中項的計算，解決等差數列有兩種方法：基本性質法（與下標相關的性質）以及基本量法（用首項和公差來表示相應的量），一般利用基本量法來進行計算，此外，靈活利用與下標有關的基本性質進行求解，能簡化計算，屬于中等題。15、【解析】

在同一直角坐標系內畫出函數與函數的圖象，利用數形結合思想可得出結論.【詳解】在同一直角坐標系內畫出函數與函數的圖象如下圖所示：由圖象可知，函數與函數的圖象的交點個數為，因此，函數的零點個數為.故答案為：.【點睛】本題考查函數零點個數的判斷，在判斷函數的零點個數時，一般轉化為對應方程的根，或轉化為兩個函數圖象的交點個數，考查數形結合思想的應用，屬于中等題.16、5【解析】試題分析：易得.設，則消去得：，所以點P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因為兩直線的斜率互為負倒數，所以，點P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點定位】1、直線與圓；2、重要不等式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（II）1,此時【解析】

（Ⅰ）根據平面向量的坐標運算，利用平行公式求出tanx的值；（Ⅱ）利用平面向量的坐標運算，利用模長公式和三角函數求出最大值．【詳解】解：（Ⅰ）計算-=（3，4），由∥（-）得4cosx-3sinx=0，∴tanx==；（Ⅱ）+=（cosx+1，sinx），∴=（cosx+1）1+sin1x=1+1cosx，|+|=，當cosx=1，即x=1kπ，k∈Z時，|+|取得最大值為1．【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算與數量積運算問題，是基礎題．18、(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解析】試題分析：（1）由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為，甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.根據平均數，方差的公式代入計算得解(2)由可知乙的成績較穩定.從折線圖看,甲的成績基本呈上升狀態,而乙的成績上下波動,可知甲的成績在不斷提高,而乙的成績則無明顯提高.試題解析：(1)由圖象可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.=13,=13,×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.(2)由可知乙的成績較穩定.從折線圖看,甲的成績基本呈上升狀態,而乙的成績上下波動,可知甲的成績在不斷提高,而乙的成績則無明顯提高.19、（Ⅰ）（Ⅱ）①當為偶數時，，當為奇數時，；②【解析】

試題分析：（Ⅰ）由新定義知：前項之和為兩等差數列之和，一個是首項為3，公差為8的等差數列前8項和，另一個是首項為17，公差為8的等差數列前7項和，所以前項之和（Ⅱ）①根據新定義知：證明目標為，，相減得，當為奇數時，依次構成首項為a，公差為2的等差數列,,當為偶數時，依次構成首項為2-a，公差為2的等差數列,②先求和：當為偶數時，；當為奇數時，故當時，，，，由，則，解得．試題解析：（Ⅰ）易得數列前項之和（Ⅱ）①（）（A）（B）（B）（A）得（）．所以，為公差為2的“隔項等差”數列．當為偶數時，，當為奇數時，；②當為偶數時，；當為奇數時，．故當時，，，，由，則，解得．所以存在實數，使得成等比數列（）考點：新定義，等差數列通項及求和20、（1）；；（2）n的值為1．【解析】

(1)根據等比數列與等差數列,分別設公比與公差再用基本量法求解即可.(2)分別利用等差等比數列的求和公式求解得與,再代入整理求解二次方程即可.【詳解】解：（1）設等比數列的公比為q,由,,可得．∵,可得．故；設等差數列的公差為d,由,得,由,得,∴．故；（2）由是等差數列,且,得由是等比數列,且,得．可得．由,