2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末測試卷03（測試范圍：第1-5章）

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題

1.設(shè)S“是等差數(shù)列｛%｝的前〃項和，已知生=3,q=11，則$7等于（）.

A.13B.35C.49D.63

【答案】C

=a,+d=3,

【解析】試題分析：依題意有｛c解得ai=l,d=2,所以S7=7q+2：W=49.

a6=?]+5a=11

考點：等差數(shù)列的基本概念.

【易錯點晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為生和d等基

本量，通過建立方程（組）獲得解.即等差數(shù)列的通項公式4,=4+（"T）d及前〃項和公式

5'=幽誓=叫+%14,共涉及五個量％,d，〃，4，S“，知其中三個就能求另外兩個，即知三求二，多

利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運用方程的思想解等差數(shù)列是常

見題型，解決此類問題需要抓住基本量為、d,掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過"設(shè)

而不求，整體代入”來簡化運算.

22

2.雙曲線土-二=1的焦點到漸近線的距離為（）

42

A.應(yīng)B.2C.76口.g

【答案】A

【分析】根據(jù)點到直線距離公式進(jìn)行求解即可.

【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：a=2,b=^2=>c=a1+b2=J4+2=,

該雙曲線的焦點坐標(biāo)為：（±6,0）,

雙曲線的漸近線方程為：y=土等尤=土岳-2y=0,

|(±V6)x(±V2)|_叵

所以焦點到漸近線的距離為:

7(±V2)2+(-2)2，

故選：A

3.已知空間向量。=（1,",2）,*=（-2,1,2）,若與b垂直，則口等于（

)

45/R375r>/37n721

2222

【答案】B

【分析】首先求出的坐標(biāo)，依題意可得（2。-可力=0,即可求出〃，從而求出°,再計算其模.

【解析】因為。=。,〃,2),6=(-2,1,2),

所以2>，=2(1,”,2)-(-2,1,2)=(4,2〃-1,2),

因為與萬垂直，所以(2a-〃>6=0,

所以—2x4+271+2x2=0,

解得所以a=)1,2],

所以|I=J12+⑶<22=芷.

故選：B

4.下列求導(dǎo)正確的是（）

A.［（2x-l）［’=2（2龍-1）B.(2*+/)'=2'+2尤

.兀、1.71D.(log,無)'=理￡

smx-cos—=cosx+—sin—

3)33

【答案】D

【分析】根據(jù)基本函數(shù)的求導(dǎo)公式以及四則運算即可求解.

【解析】［（2x-l）2］f=2（2x-l）-2=4（2x-l）.故A錯誤；

（2工+/）'=21n2+2無，故B錯誤；

卜inx-cosg］=cosx,故C錯誤；

（log.）'=-^=g^,故D正確.

xin2x

故選:D.

5.已知兩點A（L-2）,8（2,1）,直線/過點尸（0,-1）且與線段AB有交點，則直線/的傾斜角的取值范圍為

()

713兀

B.

2'T

兀兀713兀

D.

45225T

【答案】C

【分析】作出圖形，求出尸4PB的斜率，數(shù)形結(jié)合可求得直線/的斜率的取值范圍，再由斜率與傾斜角的

關(guān)系可求出傾斜角的取值范圍.

【解析】如圖所示，直線總的斜率=直線尸8的斜率%=蕓=1.

1—02—0

由圖可知，當(dāng)直線/與線段有交點時，直線/的斜率左e[-U],

因此直線/的傾斜角的取值范圍是[-o兀q]]u「[3]兀，兀1）

故選：C

6.已知曲線>=。/+彳111戈在點（l,ae）處的切線方程為y=2x+6,貝!!

A.a=e,b--1B.a-e,b-lC.a=el,b=1D.a=e',b=-1

【答案】D

【解析】通過求導(dǎo)數(shù)，確定得到切線斜率的表達(dá)式，求得。，將點的坐標(biāo)代入直線方程，求得人

【解析】詳解：y'=aex+lnx+l,

l

k=y'lx=1=cte+l=2,—g

將（1,1）代入y=2尤+方得2+6=12=-l,故選D.

【點睛】本題關(guān)鍵得到含有a,6的等式，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和點在曲線上得到方程關(guān)系.

7.已知S,,是等差數(shù)列｛aj的前及項和，%>0,%<0,則S"的最小值為（）

A.凡B.S5C.S6D.S1

【答案】C

【分析】根據(jù)Su<0,可得/<。，再根據(jù)%>。，得d>0,從而可得出答案.

【解析】解：因為S“=曲詈A所以&<。，

又%=。6+（1>0,所以1>0,

所以S”的最小值為

故選：c.

22

8.已知雙曲線C:5-與=l(a>0/>0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn),。為坐標(biāo)原點，尸為雙曲線在第一象

ab2

限上的點，直線尸。，PF?分別交雙曲線C的左，右支于另一點N,若1尸印=3|尸耳|,且刃V=60。，

則雙曲線的離心率為()

A.—B.3C.2D.—

22

【答案】D

【分析】由雙曲線的定義可設(shè)1刊"=。，1尸印=3。，由平面幾何知識可得四邊形尸片g為平行四邊形，三

角形片M鳥，用余弦定理，可得。，c的方程，再由離心率公式可得所求值.

【解析】由雙曲線的定義可得|尸耳|-歸閭=2。，

由歸耳|=3|帆|,可得|尸閭=%|尸凰=3°,

結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到歸。卜\MO\,

而國O|=|耳

結(jié)合四邊形對角線平分，

可得四邊形PF,MF2為平行四邊形，

結(jié)合ZMF2N=60°,故ZFtMF2=60°,

對三角形軍明，用余弦定理，得至!!|阿「+|叫「_山閭2=2眼琳"^8$/不明，

結(jié)合|尸耳|=3|尸昭,可得|岬卜a,

\MF2\=3a,|^|=2c,代入上式子中，

得到1+9/_4/=3"，即71=402,

結(jié)合離心率滿足e=￡,即可得出6=近，

a2

y

故選：D.

【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于常考題型.

二、多選題

9.給出下列命題，其中正確命題有（）

A.空間任意三個不共面的向量都可以作為一個基底

B.已知貝心力與任何向量都不構(gòu)成空間的一個基底

C.已知向量則。/與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底

D.是空間四點，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則共面

【答案】ACD

【分析】根據(jù)空間向量的概念，逐項分析即可.

【解析】選項A中，根據(jù)空間基底的概念，可得任意三個不共面的向量都可以作為一個空間基底，所以A

正確；

選項B中，根據(jù)空間基底的概念，可得B不正確；

選項C中，因為a/他所以°涉與任何向量都共面，故不能構(gòu)成一個空間基底，所以C正確；

選項D中，由不能構(gòu)成空間的一個基底，可得共面，又由過相同點8,

可得四點共面，所以D正確.

故選：ACD.

10.以下四個命題為真命題的是（）

A.過點（T0,10）且在x軸上的截距是在y軸上截距的4倍的直線的方程為＞=

B.直線尤cos6+百y+2=0的傾斜角的范圍是0,［上［言,萬］

C.曲線C|：/+y2+2x=0與曲線C?：尤2+/-4x-8y+m=0恰有一條公切線，則機(jī)=4

D.設(shè)尸是直線x-y-2=0上的動點，過P點作圓O：/+丁=i的切線%,pB,切點為A,B,則

經(jīng)過A,P,。三點的圓必過兩個定點

【答案】BD

【分析】根據(jù)直線方程的求解、直線斜率與傾斜角的關(guān)系，圓與圓的位置關(guān)系，以及圓方程的求解，對每

個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.

【解析】A：當(dāng)直線方程為y=-x時，也滿足題意，故A錯誤；

B：由題可知直線的斜率為^^8$0e—fJ；'設(shè)其傾斜角為打，則tanae

故傾斜角的范圍是［o，g］ug,乃］,故B正確；

L66)

C：曲線G：(x+l)~+y2=l,曲線C2：(x-2)2+(y-4)2=20-/n>0,解得加<20；

若它們有一條公切線，且它們內(nèi)切，圓心距d=J(2++42=5=,20-

解得〃z=T6,故C錯誤；

D：設(shè)點P(m,〃-2),根據(jù)切線的性質(zhì)可得：AO±PA,

經(jīng)過三點的圓即為以PO為直徑的圓，則圓的方程為x(x-M+y(y-〃?+2)=0,

整理得：(x2+y2+2y)-m(x+j=0),

令尤2+,2+2y=0,x+y=0,解得x=y=0或無=l,y=-1,

故經(jīng)過AP,0三點、的圓必過定點(0,0)和(1,-1),故D正確.

故選：BD.

【點睛】本題綜合考察直線和圓方程的求解，其中D選項中，對圓恒過定點的處理，是解決問題的關(guān)鍵;

同時要注意直線截距定義的把握以及直線傾斜角和斜率之間的關(guān)系，屬綜合中檔題.

11.已知等比數(shù)列｛見｝的公比為4,其前“項的積為1，且滿足4>1,%9%。。-1>0,馬三<。，則()

40G1

A.0<q<lB.%9%OIT<O

C.loo的值是1中最大的D.使(>1成立的最大正整數(shù)數(shù)〃的值為198

【答案】ABD

【分析】根據(jù)題目所給已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)對選項逐一分析，由此確定正確選項.

【神牟1團(tuán)〃99"100—1＞。，回，99"100＞。，團(tuán)4＞。.

d—1

Z7<。,回(%—1)(%(?—1)<。,

“100_1

又4>1,回0<”1.故A正確.

由A選項的分析可知佝9>］，°<"100<］，團(tuán)a99al0］=400<1,團(tuán)。99%01—1<°,(00=^99^100<199,故B正確,

。不正確.

團(tuán)498=44%8=(4%98)(“2%97)(^99^00)=(^99^00)>】'

^199='4的498al99=(d1al99)(生%98)(佝9%01)/00=%00<1,

團(tuán)使北＞1成立的最大正整數(shù)數(shù)"的值為198,故。正確.

故選：ABD

12.（多選）已知函數(shù)〃尤）=土，下列關(guān)于Ax）的四個命題，其中真命題有（）

e

A.函數(shù)f（x）在［0,1］上是增函數(shù)

B.函數(shù)〃x）的最小值為0

C.如果xe［0j］時，/（%）^=4-貝I"的最小值為2

e

D.函數(shù)/（X）有2個零點

【答案】ABC

【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合解決問題.

【解析】對于A,因為〃x）=W，求導(dǎo)得f（x）=M2：x）,當(dāng)尤＜。或彳＞2時，/'（x）＜0,當(dāng)0＜x＜2時,

ee

f'M＞0,故/（%）在（-8,0）和（2,+8）上單調(diào)遞減，在（0,2）上單調(diào)遞增，故A正確；

對于B,當(dāng)尤=0時，/?=0,當(dāng)尤一”時，“尤）-0,故B正確;

對于C,當(dāng)x=2時，/（2）=4.則〃x）的圖像如下所示：

e

如果無馬0刁時，/(x)^=^,由圖可知,的最小值為2,故C正確；

對于D,由圖可知Ax)只有一個零點，故D不正確.

故選：ABC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值以及零點，解題的關(guān)鍵是要利用導(dǎo)數(shù)研

究函數(shù)的單調(diào)性，最值，進(jìn)而作出函數(shù)的圖像，考查學(xué)生的運算能力與數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題.

三、填空題

13.已知等比數(shù)列｛%｝的公比不為1,q=l,且。2，%，生成等差數(shù)列，則氏=_______.

【答案】2/0.0625

16

【分析】根據(jù)條件求出公比必再運用等比數(shù)列通項公式求出生.

【解析】根據(jù)題意得4+%—2〃4=。，?.?//+——24/=0,q2+q-2q3=0且#1,

解得q=一萬，％=],/.%=q/==:；

故答案為：.

16

14.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)廣(x)的定義域均為R,〃x)為奇函數(shù)，且“力-/'(￡>>0.則不等式

/(d-3x+2)>0的解集為_______.

【答案】(1,2)

【分析】設(shè)g(x)=竽，由導(dǎo)數(shù)法可得g(x)單調(diào)遞減，/■(f-3x+2)>。可轉(zhuǎn)化為g(d-3x+2)>g(。)，

根據(jù)單調(diào)性即可求解.

【解析】設(shè)8")=竽，則故g(x)單調(diào)遞減.

因為為奇函數(shù)，定義域為R,所以"0)=0,故g(0)=犁=0.

e

/—3x+2)>。可轉(zhuǎn)化為小：：：+2)>0，即g(爐一3x+2)>g(0).

因為g(x)單調(diào)遞減，所以/_3尤+2<0,解得l<x<2.

故答案為：(1,2).

15.已知點A（-5,0）,3（5,0）,點尸滿足直線R4,尸3的斜率之積為貝/9的面積的最大值

為________.

【答案】20

【分析】根據(jù)條件，運用斜率公式求出產(chǎn)點的軌跡方程，再根據(jù)軌跡確定面積的最大值.

16

【解析】設(shè)P(m，n),由題意可知，kPA-kPB=———L=1—

''MFBm+5m-5m2-2525

22

整理得---F—=l(m+5)

2516v7

得動點尸的軌跡為以A,3為長軸頂點的橢圓（除去A,3兩點）,

顯然當(dāng)尸點位于上下頂點時..上旬面積取得最大值,

因為。=5,b=4,

所以（Sw）M=；x2axb=20；

故答案為：20.

16.已知實數(shù)4，4，%,%滿足x；+y；=4,*+為=9,占%+%%=0，貝1^玉+乂一4|+|赴+%-9|的

最大值是________.

【答案】13+726/726+13

【分析】由已知得A,3分另I」在圓龍2+9=4和圓/+9=9上，利用數(shù)形結(jié)合法，將所求問題轉(zhuǎn)化為A,B兩

點到直線x+y-4=0和尤+y-9=0的距離和的0倍，再利用三角函數(shù)求出其最大值即可.

【解析】解：由尤;+才=4,其+4=9可知,

點A（M，X）,5（w，%）分另U在圓丁+丁=4和圓尤?+丁=9上,

如圖，作直線/：y=-x,過8作3。，/于D,過A作AEJU于E,

^i+yi-4!.\x+y-9\

而|占+%-41+1%+%-91=22

其中?覺一句表示A到直線x+y-4=0的距離4,

上培一勿表示B至1j直線x+y-9=0的星巨離d2,

因為y=_%與x+y_4=0,尤+y_9=0平行,

且y=-x與x+y_4=0的距離為4=1=2后，

y=_%與無+y—9=0的星巨離為4=華,

VI+12

要使歸+%-4|+但+%-9|的取最大值，則A,B需在直線l-.y=-x的左下角這一側(cè),

所以4=|AE|+2&,42=|B￡)|+手，

由玉%+%力=。得04_1_03,

IT

設(shè)ZDO8=aee(0,],因為所以NAOE=,-。,

從而|BD\=\801-sin6=3sin0,\AE|=|AO|sin2cos3,

故|BD\+\AE|=3sin+2cos0=sin0+-j=cos0J=-J13sin(^+^>),

其中0e(o,5卜an。2

3,

故當(dāng)6=5-0時，IB0+IAEI取最大值而,

從而忖+M—川+|工2+%—吊=V2(4+。2)=8|AE|十忸。+<726+13,

即+y-4|+|々+%-9|的最大值為J區(qū)+13.

故答案為：莊+13.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解答的關(guān)鍵是將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，數(shù)形結(jié)合，再借助三角函數(shù)的性質(zhì)求

出最值.

四、解答題

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(2,4),直線/：y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在直線/上,

圓心也在直線y=x-i上.

⑴求圓C的方程；

(2)過點A作圓C的切線，求切線的方程.

【答案】⑴(x-3)2+(y_2)2=l

(2)x=2或3x+4y-22=0

【分析】(1)直接求出圓心的坐標(biāo)，寫出圓的方程；

(2)分斜率存在和斜率不存在進(jìn)行分類討論，利用幾何法列方程，即可求解.

【解析】(1)由圓心C在直線/：y=2x-4上可設(shè)：點C?2a-4),又C也在直線y=x-l上,

團(tuán)2〃-4=a—l,回a=3

又圓C的半徑為1,

團(tuán)圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=l.

(2)當(dāng)直線垂直于x軸時，與圓C相切，此時直線方程為x=2.

當(dāng)直線與x軸不垂直時，設(shè)過A點的切線方程為y-4=左(*-2),

伙-2-2左+4|3

即日一丁一22+4=0,貝lj=1,解得人-“

J1+左2

止匕時切線方程為3x+422=0,.

綜上所述，所求切線為x=2或3x+4y-22=。

18.如圖，在三棱錐。—ABC中，_ACD為正三角形，￥ffiACD±￥ffiABC,AD±BC,AC=BC.

(1)求證：BC±AC；

(2)若E是C￡＞的中點，求直線8與平面ABE所成角的正弦值.

【答案】⑴證明見解析

⑵拽

5

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)進(jìn)行證明即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【解析】(1)如圖，設(shè)。為AC的中點，

〃=1

【答案】（1）71;(2)

2

【解析】（1）直接利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得;■⑴=2,尸（1）=：，從而求出函數(shù)的關(guān)系式中的。和6

的值.

3

⑵利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求出函數(shù)的極值和最值，可得M-N=進(jìn)一

步利用導(dǎo)數(shù)求出結(jié)果.

【解析】(1)由題知，f\x^3x2-ax+b,/(1)=2,r(l)=j.

3

3-a+b=-a=1

9

即＜,解得V

b=--

l--+b+2=22

2

(2)當(dāng)0<a<2,6=0時，/(X)=X3-|X2+2,/(x)=3x2-ar

a

令即3——以＜0,解得0<%<一

3

因為0＜a＜2,所以

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

3,2,3

aaaa入入a,即N=2-4

所以〃x)mm=----x-----1-2=2-----

27295454

因為〃0)=2,/(1)=3-1./(0)-/(1)=—<0

2

所以“x)max="l)=3g即"=3埸

33

所以"-N=3-4-2+幺=幺-旦+1

254542

3

21a2-9

則/⑷嘖<0

218

即函數(shù)g（。）在（0,2）上單調(diào)遞減

所以g（2）＜g（a）＜g（0）,即所以M-N的取值范圍是

【點睛】本題是以導(dǎo)數(shù)的運用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜

合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變

化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導(dǎo)

公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等;

即存在〃eN*使％Wj成立，

團(tuán)隨著〃增大，在減小，

團(tuán)當(dāng)〃=1時，+=

(24)4

21.如圖，已知點招,工分別是橢圓C：X+￡=1的左、右焦點，A,8是橢圓C上不同的兩點，且

43

耳4=幾耳3(4>0),連接A%明，且A0他交于點0.

(1)當(dāng)2=2時，求點B的橫坐標(biāo)；

(2)若ABQ的面積為試求2+5的值.

乙X

【答案】⑴j7

4

【分析】(1)設(shè)出點A,8的坐標(biāo)，利用給定條件列出方程組，求解方程組即可作答.

(2)延長相交橢圓C于。，可得5明破=5M強(qiáng)，再結(jié)合圖形將5入照用一回。的面積及彳表示，設(shè)出直

線AD方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出SADFi即可求解作答.

【解析】(1)設(shè)人(占,%),鞏工2，%)，依題意，￡(-1,0),月(1,。)，由KA=2瑪3,得玉+1=2(%-1),必=2%,

HL

Xy—2%=-3F+：*得《43,,兩式相減得片_4專+犬_4只__3,

即由<2

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14343

即有a+2%y_2々）+（%+2>2!%_2>2）=_3,貝|一：（玉+2%）=-3,即玉+20=4,

XJ-2X2=-3=7

由12

X,+2X2=44

7

所以點2的橫坐標(biāo)為“

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（2）因耳A//g3,則S5*=^.F2AFIf即有^AAQB%。叱2，記S^AQB=^/\QF{F2^0，尸］=5,%。%二邑,

SIAOIFA1

則”=%^=印=4，即Si=4So,同理S2=：S0,而SI+S2+2S0=^AF{F2B，

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連80并延長交橢圓C于。，連接。耳舄，如圖，則四邊形8為平行四邊形，BF2//DFlt有點。

在直線A耳上,

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因此忸閶=|百口，|A司=4閨。|，^AFiF2B^/\ADF2'

因此SA吸=2S。+；s。+2S。=(X+J+2)S。=S。，即S。=SAADF2，

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即九+1=_（乂+當(dāng)=_￥±*=_。+%）2-2%%,則2—一L（X+%『,

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