2023-2024學年湖南省衡陽市城區九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.要使二次根式有意義，則實數x的取值范圍是（）

A.%>3B.x>3C.%<3D.x<3

2.已知實數a在數軸上的對應點位置如圖，則化簡|。一1|一7國二型的結果?>

0I2

是（）

A.2a-3B.-1C,1D,3-2a

3.關于工的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化為一般形式后不含一次項，則m的值為（）

A.0B.±3C.3D.-3

4.如圖，在平面直角坐標系中，△4BC的頂點都在格點上，如果將△4BC沿y軸翻折，得到△4'B'C',那

么點B的對應點夕的坐標為（）

A.（0,2）B.（3,1）C.（1,4）D.（-3,-1）

5.已知X1,4是方程%2—3%—2=0的兩根，則考+專的值為（）

A.5B.10C.11D.13

6.如圖，若則下列各式錯誤的是（）

人.江=%

ACDF

B也=如

,ACDF

第1頁，共19頁

cAB_AC

'DE~DF

DAB_=BC_

ADBE

7.如圖，公路AC,BC互相垂直，公路48的中點M與點C被湖隔開.若測

得AM的長為1.2km,則M,C兩點間的距離為（）

A.0.5km

B.0.6km

C.0.9km

D.1.2km

8.小亮是一名職業足球隊員，根據以往比賽數據統計，小亮進球率為10%,他明天將參加一場比賽，下面

幾種說法正確的是（）

A.小亮明天的進球率為10%B.小亮明天每射球10次必進球1次

C.小亮明天有可能進球D.小亮明天肯定進球

9.如圖，一艘潛水艇在海面下300米的點4處發現其正前方的海底C處

有黑匣子，同時測得黑匣子C的俯角為30。，潛水艇繼續在同一深度直

線航行960米到點B處，測得黑匣子C的俯角為60。，則黑匣子所在的C

處距離海面的深度是（）

A.（480平+300）米

B.（960\后+300）米

C.780米

D.1260米

10.如圖，能使△ABCs△4E。成立的條件是（）

A.Z.A=Z.A

B./.ADE=/.AED

cAC_AB

'AD~AE

DB^=AD

,EDAC

第2頁，共19頁

11.如圖，四邊形48C。和A8'C'。'是以點。為位似中心的位似圖形，若。A：

04=3：5,四邊形48'C'D'的面積為9sn2,則四邊形/BCD的面積為()

A.15cm2

B.25cm2

C.18cm2

D.27cm2

12.我們已經學習了利用配方法解一元二次方程，其實配方法還有其它重要應用.

例：已知x可取任何實數，試求二次三項式2X2—12X+14的值的范圍.

解：2x2-12%+14=2(x2-6x)+14=2(x2-6%+32-32)+14

=2[(x-3)2-9]+14=2(x-3)2-18+14=2(x-3)2-4.

???無論x取何實數，總有("-3)220,2(x-3)2-4>-4.

即無論％取何實數，2x2-12x+14的值總是不小于一4的實數.

問題：已知x可取任何實數，則二次三項式—3x2+124—11的最值情況是()

A.有最大值一1B.有最小值一1C.有最大值1D.有最小值1

二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。

13.若最簡二次根式7不々和\二字與是同類二次根式，則x的值為

14.一元二次方程3(X-2)2=x(x-2)的解為

15.已知關于x的方程ax2+2x—3=0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是

16.如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,E,F分別是4C,BD的中點，已知

=CD=6,則EF=.

17.如圖是一位同學設計的用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖.點P處放

一水平的平面鏡，光線從點4出發經平面鏡反射后剛好到古城墻C。的頂端C

處，已知AB1BD,CDLBD,測得4B=2米，BP=3米，PD=12米，那么

該古城墻的高度CD是米.

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18.“健康荊州，你我同行”，市民小張積極響應“全民健身動起來”號

召，堅持在某環形步道上跑步.已知此步道外形近似于如圖所示的

Rt^ABC,其中4c=90。，AB與8c間另有步道。E相連，D地在力B正中

位置，E地與C地相距1km.若tan4ABe=3,/.DEB=45°,小張某天沿

4

路線跑一圈，則他跑了______km.

三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.(本小題6分)

計算：

(1)3J12—2\/48+(8；

(2)(』+茁)x弧

2。(本小題6分)

解方程：x2-6x-18=0.2.

21.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，。為AC邊上一點，^DBC=^A.

(1)求證：4BDCSAABC；

(2)若BC=4,AC=8,求CD的長.

22.(本小題8分)

我市某中學舉行“法制進校園”知識競賽，賽后將學生的成績分為4、B、C、。四個等級，并將結果繪制

成如圖所示的條形統計圖和扇形統計圖.請你根據統計圖解答下列問題.

(1)成績為“B等級”的學生人數有名；

第4頁，共19頁

(2)在扇形統計圖中，表示“D等級”的扇形的圓心角度數為______,圖中m的值為______；

(3)學校決定從本次比賽獲得“4等級”的學生中選出2名去參加市中學生知識競賽.已知“A等級”中有1

名女生，請用列表或畫樹狀圖的方法求出女生被選中的概率.

23.(本小題8分)

某淘寶網店銷售臺燈，每個臺燈售價為60元，每星期可賣出300個，為了促銷，該網店決定降價銷售.市

場調查反映：每降價1元，每星期可多賣30個.已知該款臺燈每個成本為40元.

(1)若每個臺燈降x元。>0),則每星期能賣出個臺燈，每個臺燈的利潤是元.

(2)在顧客得實惠的前提下，該淘寶網店還想獲得6480元的利潤，應將每件的售價定為多少元？

24.(本小題8分)

閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務.

構建幾何圖形解決代數問題是“數形結合”思想的重要應用，例如：在計算tanl5。時，可構造如圖1所示

的圖形.在RtaACB中，ZC=9O°,/.ABC=30°,設4C=x(x>0),延長C8至點D,使得=4B,連結

(1)請根據上面的步驟，完成tanl5。的計算；

(2)請類比這種方法，計算圖2中ttm22.5。的值.

25.(本小題10分)

問題背景：如圖(1),已知△ABCS2\AOE,求證：△ABDS^ACE；

嘗試應用：如圖(2),在△ABC和△4DE中，4B4C=NOAE=90。，^ABC=^ADE=30°,AC與DE相交于

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點F.點。在8c邊上，監=邪,求色的值.

26.(本小題12分)

如圖，在矩形4BCC中，AB=4,AD=5,P是射線BC上的一個動點，過點P作PE14P,交射線DC于點

E,射線4E交射線BC于點F,設BP=a.

(1)當點P在線段BC上時(點P與點B,C都不重合)，試用含a的代數式表示CE；

(2)當a=3時，連接DF,試判斷四邊形4PFD的形狀，并說明理由;

(3)當tan4PAE=￡時，求a的值.

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答案和解析

1?【答案】B

【解析】解：由題意可知：3x-9>0,

?'?%>3,

故選:B.

根據二次根式有意義的條件列出不等式即可求出答案.

本題考查二次根式有意義的條件，解題的關鍵是熟練運用二次根式有意義的條件，本題屬于基礎題型.

2.【答案】A

【解析】解：由圖知：1<a<2,

CL-1>0,Q—2<0,

原式=a-1—[―(a—2)]=a—1+(a—2)=2a-3.

故選：A.

根據數軸上a點的位置，判斷出(Q—l)和(a—2)的符號，再根據非負數的性質進行化簡.

此題主要考查了二次根式的性質與化簡，正確得出。一2<0是解題關鍵.

3.【答案】D

【解析】解：(m-3)%2+m2x=9x+5,

(m-3)x2+(m2—9)x—5—0,

由題意得：m-3K0,m2-9=0,

解得：m=-3,

故選：D.

把原方程化為一般形式，根據一元二次方程的定義、一次項的概念列式計算即可.

本題考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次項系數不為0以及一次項的概念是解題的

關鍵.

4.【答案】B

【解析】解：,??將△ABC沿y軸翻折，得到△A8'C',

???點8(—3,1)與點次關于y軸對稱，

???夕(3,1),

故選：B.

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由折疊的性質可求解.

本題考查了翻折變換，軸對稱中的坐標變化，關鍵是掌握點的坐標的變化規律.

5.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查了完全平方公式以及根與系數的關系：若%,々是一元二次方程ax2+bx+c=0(a二0)的兩根

時，%,+x=-^,x.x.=S利用根與系數的關系得到/+%=3,x.x=-2,再利用完全平方公式得

到4+x；=(/+X2)2-2X1X2,然后利用整體代入的方法計算.

【解答】

解：根據題意得％+,=3,X產2=-2,

所以號+岑=(入+X2)2~^xix2=32—2x(-2)=13.

故選：D.

6.【答案】D

【解析】解：???zi//z2//z3,

.BC__EEAB__DE.施_AC

"AC-DF'AC-DF'DE—DF'

故選：D.

利用平行線分線段成比例定理和比例的性質對各選項進行判斷.

本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.

7.【答案】D

【解析】解：?.?在RtZkABC中，AACB=90°,M為AB的中點，

MC=^AB=AM=1.2km.

2

故選：D.

根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得MC=4M=1.2km.

本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.理解題

意，將實際問題轉化為數學問題是解題的關鍵.

8.【答案】C

【解析】解：根據以往比賽數據統計，小亮進球率為10%,他明天將參加一場比賽小亮明天有可能進球.

故選：C.

直接利用概率的意義分析得出答案.

此題主要考查了概率的意義，正確理解概率的意義是解題關鍵.

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9.【答案】A

【解析】解：由C點向4B作垂線，交48的延長線于E點，并交海面于F?,…?---------------渡凰......

占一?730。-60」中

點-\:

??.\（

已知48=960米，ABAC=30°,NEBC=60。，工：

??.1

?1

???Z.BCA=Z.EBC-Z-BAC=30°,,*?.：

:.乙BAC=Z.BCA.

???亦=8/=960（米）.

在R3BEC中，sinzEBC=

BC

???CE=BC-sin600=960x8=480、后（米）.

2

CF=CE+EF=（4800+300）米，

故選：A.

易證zB4C=NBa4,得B4=BC.然后在直角△BCE中，利用銳角三角函數定義求出CE,即可得出答案.

本題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題、等腰三角形的判定等知識，解決問題的關鍵作出輔助線

構造直角三角形，屬于中考常考題型.

10.【答案】C

【解析】解：由題意得，乙4=乙4,

若添加強=禁，利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，可判斷△力BCSAAED,

ADAE

故C選項符合題意；

A.B、。選項均不能判定△ABCs△4ED,故不符合題意；

故選：C.

根據相似三角形的判定求解即可.

本題考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解題的關鍵.

11?【答案】B

【解析】解：

???四邊形力BCD和力'B'C'D'是以點。為位似中心的位似圖形，。4：071=3：5,

“S四邊形4B，C，。，：S四邊形48CD-9：25,

四邊形a'B'C'D'的面積為9CU12,

四邊形48CD的面積=25cm2,

故選：B.

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根據位似圖形的面積比等于位似比的平方即可求出邊形ABCC的面積.

本題考查的是位似變換的概念和性質，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，

對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，位似比等于相似比，位似圖形的面積比等于位似比

的平方.

12.【答案】c

【解析】解:"3x24-12%—11=-3(x2—4%)—11

=-3(x2—4%+4—4)—11

=-3(x—2)2+12—11

=-3(%-2)2+1,

?.?無論x取何實數，總有(%—2)220,

-3(x—2)2<0,

—3(x—2)2+1<1,

即無論x取何實數，二次三項式-3X2+12X-11有最大值1,

故選：C.

通過配方可得一3招+12x-ll=-3(x-2)z+1,即可知其最值情況

此題考查了配方法的應用，解題時要根據配方法的步驟進行解答，注意在變形的過程中不要改變式子的

值.

13.【答案】1

2

【解析】解：由題意，得x+2=3-x

解得x=￡.

故答案是：K

根據同類二次根式的定義得出方程為+2=3—羽求出方程的解即可.

此題考查了同類二次根式的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握同類二次根式的被開方數相同.

14.【答案】％=2,X2=3

【解析】解：3(X-2)2=X(X-2)

3(%—2)2=-x[x—2),

(x-2)[3(x-2)-x]=0,

(%—2)(2%—6)=0,

???x-2=0或2%—6=0,

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解得％=2,x2=3,

故答案為：％=2,X2=3.

先移項，然后提公因式即可解答此方程.

本題考查解一元二次方程，解答本題的關鍵是明確解一元二次方程的方法.

15.【答案】。〉一工且a^O

3

【解析】解：由關于x的方程a"+2x-3=0有兩個不相等的實數根

得△=b2-4ac=4+4x3a>0,

解得a>—￡

則a>—；且a*0

故答案為a>-：且a+0

由方程有兩個不相等的實數根，則運用一元二次方程ax2+bx+c=0（a40）的根的判別式是b2—4ac>0即

可進行解答.

本題重點考查了一元二次方程根的判別式，在一元二次方程以2+以+。=0（（1*0）中，（1）當4>0時，方

程有兩個不相等的實數根；（2）當△=（）時，方程有兩個相等的實數根；（3）當4<0時，方程沒有實數根.

16.【答案】3

DC

【解析】解：連接CF并延長交4B于G,

■■■AB//CD,

■-■Z.FDC=AFBG,4GB

車△FOC和△FBG中，

\.FDC=4FBG

FD=FB

4DFC=ZJBFG'

???△FDC^△FBG{ASA）

.-.BG=DC=6,CF=FG,

AG=AB-BG=12-6=6,

■■CE=EA,CF=FG,

EF="G=3,

故答案為：3.

連接CF并延長交AB于G,證明△?￡>（；絲△FBG,根據全等三角形的性質得到BG=DC=6,CF=FG,求

第11頁，共19頁

出4G,根據三角形中位線定理計算，得到答案.

本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于

第三邊的一半是解題的關鍵.

17.【答案】8

【解析】解：由題意可得乙4PB=NCP。,

"AB1BD,CDA.BD,

：.Z.ABP=乙CDP=90°,

在aaBP和△＜；￡）「中，

Y.ABP=Z.CDP

AAPB=/.CPD）

.?.△ABPs△CDP,

.AB_CD

BPDP

???48=2,8P=3,PD=12,

?.?一2—-—CD,

312

即CD=8,

故答案為8.

先證明△ABPs△（；￡）「，可得歿=歿，再代入相應數據可得答案.

BPPD

本題主要考查相似三角形的應用，關鍵是掌握相似三角形對應邊成比例.

18.【答案】24

【解析】

解：過。點作L?F_LBC,

第12頁，共19頁

設EF=xkm,則。尸二無攵血，BF=-xkm,

3

在Rt△BFD中，BD=\：BF2+DF2=i/cm,

、3x

???D地在AB正中位置,

,-，AB=2BD=^-xkm,

3

vtanZ-ABC=

4

???cosZ-ABC=

5

.%+f%+1_4

5，

3

解得久=3,

則BC=8km,AC—6km,AB-10km,

小張某天沿ATCTETBTDFA路線跑一圈，他跑了8+10+6=24(/cm).

故答案為：24.

過。點作1BC,設EF=xkm,則。尸=xkm,BF=±xkm,在RtZiBF。中，根據勾股定理得到BD,進

3

一步求得4B,再根據三角函數可求X,可得BC=8km,AC=6km,AB=10km,從而求解.

此題考查了解直角三角形的應用，利用數學知識解決實際問題是中學數學的重要內容.解決此問題的關鍵

在于正確理解題意的基礎上建立數學模型，把實際問題轉化為數學問題.

19?【答案】解：(1)原式=6、"一845+2、傷

=—2+2\，2；

(2)原式=、［*\&+、歷7*\口

=1+9

=10.

【解析】(1)直接利用二次根式的加減運算法則化簡，進而計算得出答案；

(2)直接利用二次根式的混合運算法則化簡，進而計算得出答案.

此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡各數是解題關鍵.

20.【答案】解：方程整理得：x2-6x=18.2,

配方得：x2-6x+9=27.2,即(x-3)2=華，

第13頁，共19頁

開方得：x-3=±2^170,

5

解得：%.=3+^70,X=3-^^.

1525

【解析】方程移項后，利用完全平方公式變形，開方即可求出解.

此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

21.【答案】解：（1）：4OBC=44,4BCD=4ACB,

BDCABC；

Q）,:4BDCFABC,

.BC__DC_

"AC—BC'

"BC=4,AC=8,

4DC

???8=丁

：.CD=2.

【解析】本題考查相似三角形，解題的關鍵是熟練運用相似三角形的性質與判定，本題屬于基礎題型.

（1）根據相似三角形的判定即可求出答案.

（2）根據相似三角形的性質即可求出CD的長度.

22.【答案】（1）5；

（2）72°；40；

（3）“力等級”2男1女，從中選取2人，所有可能出現的結果如下：

71人

里勇女

男里男女男

弱男男女男

女里女里女

共有6種可能出現的結果，其中女生被選中的有4種，

.p=—=—

“廣（女生被選中）一展_不

【解析】解：⑴3+15%=20（名），20-3-8-4=5（名）,

故答案為：5；

(2)360°=72°,8+20=40%,即m=40,

故答案為：72。，40；

第14頁，共19頁

(3)見答案.

(1)4等的有3人，占調查人數的15%,可求出調查人數，進而求出B等的人數；

(2)D等級占調查人數的玲，因此相應的圓心角為360。的/即可，計算C等級所占的百分比，即可求出m的

值；

(3)用列表法表示所有可能出現的結果，進而求出相應的概率.

本題考查條形統計圖、扇形統計圖的意義和制作方法，列表法求隨機事件發生的概率，列舉出所有可能出

現的結果是求概率的前提.

23.【答案】(300+30x)(20-x)

【解析】解：(1)由題意知，若每個臺燈降x元(x>0),則每星期能賣出(300+30%)個臺燈，每個臺燈的利

潤是(60—40—%)=(20—x)元.

故答案是：(300+30x)(20-x)；

(2)由題意，得(20-x)(300+30x)=6480,

解得久=8,x=2(舍去)

所以，定價為52元.

(1)根據售量(件)與售價(元/件)之間的函數關系即可得到結論.

(2))根據銷售利潤=銷售數量x每個臺燈的利潤列出方程并解答.

考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是弄懂題意，找到等量關系，列出方程.

24.【答案】解：(1)由題知，

設4C=x(x>0),延長CB至點C,使得BD=AB,連結AD,

因為NABC=30。，AB=BD,

所以4D=N￡MB=15。.

在ABC中，

sin30°=隼

AB

則AB=2%,

同理可得，BC=^x,

所以CD=2x+

在RtZsACD中，

tanD=—=~一=2-《3,

AD2x+73%

第15頁，共19頁

即t即15°=2-點

(2)延長CB到點D,使BD=BA,

因為4aBe=45。，AB=DB,

所以4D=4DAB=22.5°.

令4C=久，則BC=x,AB="x,

所以BO=AB=\/2x,

則CD=CB+DB=x+\2x.

在RtaACD中，

tanD=—==\.'2—1

CDx+\'2x'

即tan22.5°=事■-I.

【解析】(1)根據題中所給思路，繼續完成計算即可.

(2)按照(1)中的計算方式，即可解決問題.

本題考查解直角三角形，熟知正切的定義及勾股定理的熟練運用是解題的關鍵.

25.【答案】問題背景

證明：:△ABCs△4DE,

...改=悔^BAC=^DAE,

ADAE

：./.BAD=/.CAE,熊=嗎

ACAE

.-.AABD^AACE;

嘗試應用

解：如圖1,連接EC,

圖1

???NBAC=miE=90。，/.ABC=/.ADE=30°,

ABCs△ADE,

由（1）知△480s

...但=他=\回，NACE=乙ABD=/.ADE,

CEBD'

第16頁，共19頁

在RtZXAOE中，Z.ADE=30°,

嚏3

AD_AD

EC-AE

,:乙ADF=LECF,Z.AFD=zFFC,

:AADFsAECF,

.DF_AD

CFCE

【解析】問題背景

由題意得出組?=絲，/.BAC=Z.DAE,則484。=4a4E,可證得結論;

ADAE

嘗試應用

連接EC,證明△ABCs△ADE,由（1）知△力BDs△力CE,由相似三角形的性質得出絲=歿=\后,

AACE=AABD=Z.ADE,可證明△ADFsZiECF,得出空=m=3,則可求出答案.