2024年高考數學終極押題密卷2（新高考Ⅰ）一．選擇題（共8小題）1．已知U＝R，A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x||x﹣3|＞1}，則A∪?UB＝（）A．{x|1≤x≤4} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2＜x≤3}2．設向量均為單位向量，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．某人將斐波那契數列的前6項“1，1，2，3，5，8”進行排列設置數字密碼，其中兩個“1”必須相鄰，則可以設置的不同數字密碼有（）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種4．陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成．如圖，已知一木制陀螺內接于一表面積為64π的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個截面，圓錐的頂點在該球的球面上，若圓柱的底面直徑為，則該陀螺的體積為（）A．48π B．56π C．64π D．72π5．若的展開式中常數項是15，則a＝（）A．2 B．1 C．±1 D．±26．已知等差數列{an}的公差為d，數列{bn}滿足，則“d＞0”是“{bn}為遞減數列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．某學校為參加辯論比賽，選出8名學生，其中3名男生和5名女生，為了更好備賽和作進一步選拔，現將這8名學生隨機地平均分成兩隊進行試賽，那么兩隊中均有男生的概率是（）A． B． C． D．8．已知點F為雙曲線C：的右焦點，點N在x軸上（非雙曲線頂點），若對于在雙曲線C上（除頂點外）任一點P，∠FPN恒是銳角，則點N的橫坐標的取值范圍為（）A． B． C． D．二．多選題（共3小題）（多選）9．數列的前n項和為Sn，若a1＝1，，則下列結論正確的是（）A．a3＝2 B．S10＝12 C．{Sn}為遞增數列 D．{a2n﹣1}為周期數列（多選）10．下列結論中，正確的有（）A．數據4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數為5 B．若隨機變量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21則P（ξ≤4）＝0.79 C．已知經驗回歸方程為，且，則 D．根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到χ2＝9.632，依據小概率值α＝0.001的χ2獨立性檢驗（x0.001＝10.828），可判斷X與Y有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001（多選）11．已知b＞0，且b≠1，函數f（x）＝ex+bx，其中e為自然對數的底數，則（）A．若該函數為偶函數，則其最小值為 B．函數y＝f（x）的圖像經過唯一的定點（0，2） C．若關于x的方程f（x）＝2有且只有一個解，則b＞1或 D．令g（x）＝f（x）﹣2為R上的連續函數，則當0＜b＜1時g（x）至多存在一個零點三．填空題（共3小題）12．某中學1500名同學參加一分鐘跳繩測試，經統計，成績X近似服從正態分布N（150，σ2），已知成績大于170次的有300人，則可估計該校一分鐘跳繩成績X在130～150次之間的人數約為．13．已知數列{an}的通項公式an＝（﹣1）n（n∈N*），則ak＝a1?a2…an的最小值為．14．在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，定義P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點之間的“直角距離”為d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知兩定點A（﹣1，0），B（1，0），則滿足d（M，A）+d（M，B）＝4的點M的軌跡所圍成的圖形面積為．四．解答題（共5小題）15．已知等差數列{an}的公差為2，記數列{bn}的前n項和為Sn，b1＝0，b2＝2且滿足bn+1＝2Sn+an．（1）證明：數列{bn+1}是等比數列；（2）求數列{anbn}的前n項和Tn．16．2023年12月19日至20日，中央農村工作會議在北京召開，習近平主席對“三農”工作作出指示．某地區為響應習近平主席的號召，積極發展特色農業，建設蔬菜大棚．如圖所示的七面體ABG﹣CDEHF是一個放置在地面上的蔬菜大棚鋼架，四邊形ABCD是矩形，AB＝8m，AD＝4m，ED＝CF＝1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA＝GB＝5m，HE＝HF，平面ABG⊥平面ABCD．（Ⅰ）求點H到平面ABCD的距離；（Ⅱ）求平面BFHG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值．17．某工廠生產某種元件，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為合格品，小于82為次品，現抽取這種元件100件進行檢測，檢測結果統計如下表：測試指標[20，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件數（件）121836304（1）現從這100件樣品中隨機抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；（2）關于隨機變量，俄國數學家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機變量X具有數學期望E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，則對任意正數ε，均有P（|x﹣μ|≥ε）≤成立．（i）若X，證明：P（0≤X≤25）≤；（ii）利用該結論表示即使分布未知，隨機變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內的概率是有界的．若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據所給樣本數據，請結合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當隨機事件A發生的概率小于0.05時，可稱事件A為小概率事件）18．雙曲線C：（a＞0，b＞0）上一點到左、右焦點的距離之差為6．（1）求C的方程；（2）已知A（﹣3，0），B（3，0），過點（5，0）的直線l與C交于M，N（異于A，B）兩點，直線MA與NB交于點P，試問點P到直線x＝﹣2的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．19．已知函數f（x）＝ex+xlnx．（1）求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，證明：f（a）+f（b）＜e+1．

2024年菁優高考數學終極押題密卷2（新高考Ⅰ）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．已知U＝R，A＝{x|x2﹣4x+3≤0}，B＝{x||x﹣3|＞1}，則A∪?UB＝（）A．{x|1≤x≤4} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2＜x≤3}【考點】交、并、補集的混合運算．【專題】集合思想；綜合法；集合；數學抽象．【答案】A【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的補集和并集運算求解．【解答】解：因為A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＞4或x＜2}，所以?UB＝{x|2≤x≤4}，A∪（?UB）＝{x|1≤x≤4}．故選：A．【點評】本題主要考查了集合的并集及補集運算，屬于基礎題．2．設向量均為單位向量，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【考點】數量積判斷兩個平面向量的垂直關系；充分條件與必要條件．【專題】轉化思想；轉化法；平面向量及應用；數學運算．【答案】B【分析】將兩邊平方轉化為，從而得到與之間的關系．【解答】解：若，則，所以，，所以，滿足充分性，若，兩邊平方得，所以，滿足必要性．故選：B．【點評】本題主要考查數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，屬于基礎題．3．某人將斐波那契數列的前6項“1，1，2，3，5，8”進行排列設置數字密碼，其中兩個“1”必須相鄰，則可以設置的不同數字密碼有（）A．120種 B．240種 C．360種 D．480種【考點】排列、組合及簡單計數問題．【專題】對應思想；定義法；排列組合；數學運算．【答案】A【分析】將兩個1捆綁在一起，可以設置的不同數字密碼有種，計算即可．【解答】解：將兩個1捆綁在一起，則可以設置的不同數字密碼有種．故選：A．【點評】本題考查排列相關知識，屬于基礎題．4．陀螺是中國民間的娛樂工具之一，早期陀螺的形狀由同底的一個圓柱和一個圓錐組合而成．如圖，已知一木制陀螺內接于一表面積為64π的球，其中圓柱的兩個底面為球的兩個截面，圓錐的頂點在該球的球面上，若圓柱的底面直徑為，則該陀螺的體積為（）A．48π B．56π C．64π D．72π【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；球的體積和表面積．【專題】轉化思想；綜合法；立體幾何；數學運算．【答案】B【分析】根據題意易得陀螺的外接球半徑R＝4，球心為圓柱的中心，再利用球的幾何性質，分別求出圓柱與圓錐的高，最后根據體積公式，即可求解．【解答】解：根據題意易得陀螺的外接球半徑R＝4，球心為圓柱的中心，又圓柱的底面半徑r＝，∴球心到圓柱底面距離d＝＝2，∴圓柱的高為2d＝4，圓錐的高為R﹣d＝2，∴該陀螺的體積為＝＝56π．故選：B．【點評】本題考查組合體的外接球問題，圓柱與圓錐的體積的求解，屬基礎題．5．若的展開式中常數項是15，則a＝（）A．2 B．1 C．±1 D．±2【考點】二項式定理．【專題】整體思想；綜合法；二項式定理；數學運算．【答案】C【分析】利用二項展開式的通項化簡整理再賦值即可得到關于a的方程，解出即可．【解答】解：二項展開式通項為，則k＝2時常數項為，所以a＝±1．故選：C．【點評】本題考查了二項式展開式，重點考查了二項式展開式的通項公式，屬中檔題．6．已知等差數列{an}的公差為d，數列{bn}滿足，則“d＞0”是“{bn}為遞減數列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【考點】充分條件與必要條件；數列的函數特性；等差數列的性質．【專題】轉化思想；綜合法；等差數列與等比數列；數學運算．【答案】B【分析】由題意，利用充分條件、必要條件、充要條件的定義，等差數列的單調性，得出結論．【解答】解：∵等差數列{an}的公差為d，數列{bn}滿足，∴bn＝．若“d＞0”，則等差數列{an}是遞增數列，故“{bn}不一定為遞減數列”，例如當an為負值時，故充分性不成立．若“{bn}為遞減數列”，則由bn＝．可得等差數列{an}一定是遞增數列，故必要性成立．綜上，“d＞0”是“{bn}為遞減數列”的必要不充分條件．故選：B．【點評】本題主要考查充分條件、必要條件、充要條件的定義，等差數列的單調性，屬于基礎題．7．某學校為參加辯論比賽，選出8名學生，其中3名男生和5名女生，為了更好備賽和作進一步選拔，現將這8名學生隨機地平均分成兩隊進行試賽，那么兩隊中均有男生的概率是（）A． B． C． D．【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】對應思想；定義法；概率與統計；數學運算．【答案】D【分析】根據題意，由組合數公式計算出從8人中選出4人的情況，進而分兩種情況討論：選出的4人中2男2女，1男3女，再結合古典概型可解．【解答】解：根據題意，從8人中選出4人，有種選法，分2種情況討論：1．選出的4人中有2名男生和2名女生，有?＝30種選法，2．選出的4人中有1名男生和3名女生，有＝30種選法，則兩隊中均有男生的概率是＝．故選：D．【點評】本題考查古典概型相關知識，屬于基礎題．8．已知點F為雙曲線C：的右焦點，點N在x軸上（非雙曲線頂點），若對于在雙曲線C上（除頂點外）任一點P，∠FPN恒是銳角，則點N的橫坐標的取值范圍為（）A． B． C． D．【考點】雙曲線的性質．【專題】轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；數學運算．【答案】A【分析】把∠FPN恒是銳角轉化為＞0解決即可．【解答】解：由題意可得c＝＝2，所以F（2，0），設N（x0，0），P（x，y），則＝（2﹣x，﹣y），＝（x0﹣x，﹣y），由∠FPN恒是銳角，得＝（2﹣x）（x0﹣x）+y2＞0，又，∴y2＝，∴不等式可化為：（2﹣x）（x0﹣x）+﹣1＞0，整理得：﹣（x0+2）x+（2x0﹣1）＞0，∴只需Δ＝（x0+2）2﹣＜0，解得2＜x0＜．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的性質，屬于基礎題．二．多選題（共3小題）（多選）9．數列的前n項和為Sn，若a1＝1，，則下列結論正確的是（）A．a3＝2 B．S10＝12 C．{Sn}為遞增數列 D．{a2n﹣1}為周期數列【考點】數列遞推式；數列的求和．【專題】整體思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；數學運算．【答案】BCD【分析】根據題意，分別求得a1，a2，a3…，得到數列{an}構成以4為周期的周期數列，逐項判定，即可求解．【解答】解：由題意，數列{an}滿足a1＝1，，當n＝1時，a2＝2a1＝2，當n＝2時，，A錯誤；當n＝3時，a4＝2a3＝1；當n＝4時，，當n＝5時，a6＝2a5＝2，當n＝6時，＝，歸納可得數列{an}是以4為周期的數到，故S10＝a1+a2+a3+…+a9+a10＝2（a1+a2+a3+a4）+a9+a10＝2（1+2+）+1+2＝12，B正確：又由an＞0，故{Sn}遞增，C正確；由上述討論可知，{a2n﹣1}的項為1，，1，…，故是周期數列，D正確．故選：BCD．【點評】本題主要考查了數列遞推關系在數列項的求解中的應用，屬于中檔題．（多選）10．下列結論中，正確的有（）A．數據4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數為5 B．若隨機變量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21則P（ξ≤4）＝0.79 C．已知經驗回歸方程為，且，則 D．根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到χ2＝9.632，依據小概率值α＝0.001的χ2獨立性檢驗（x0.001＝10.828），可判斷X與Y有關聯，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001【考點】線性回歸方程；獨立性檢驗；命題的真假判斷與應用；正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；數學運算．【答案】BC【分析】第60百分位數為第五位數據6，所以選項A錯誤：P（ξ≤4）＝1﹣P（ξ≤﹣2）＝0.79，所以選項B正確；，所以選項C正確；此推斷犯錯誤的概率大于0.001，所以選項D錯誤．【解答】解：數據4，1，6，2，9，5，8整理為1，2，4，5，6，8，9，7×60%＝4.2，則數據4，1，6，2，9，5，8的第60百分位數為第五位數據6，所以選項A錯誤：隨機變量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，則P（ξ≤4）＝1﹣P（ξ≤﹣2）＝0.79，所以選項B正確；經驗回歸方程為，且，則，所以選項C正確；根據分類變量X與Y的成對樣本數據，計算得到χ2＝9.632，依據小概率值α＝0.001的χ2獨立性檢驗（x0.001＝10.828），可判斷X與Y有關聯，此推斷犯錯誤的概率大于0.001，所以選項D錯誤．故選：BC．【點評】本題主要考查了百分位數的計算，考查了正態分布曲線的對稱性，以及線性回歸方程的性質，屬于中檔題．（多選）11．已知b＞0，且b≠1，函數f（x）＝ex+bx，其中e為自然對數的底數，則（）A．若該函數為偶函數，則其最小值為 B．函數y＝f（x）的圖像經過唯一的定點（0，2） C．若關于x的方程f（x）＝2有且只有一個解，則b＞1或 D．令g（x）＝f（x）﹣2為R上的連續函數，則當0＜b＜1時g（x）至多存在一個零點【考點】函數的零點與方程根的關系；函數奇偶性的性質與判斷；指數函數的單調性與特殊點．【專題】函數思想；綜合法；函數的性質及應用；數學運算．【答案】BC【分析】對于A，由f（﹣1）＝f（1）得，通過舉反例即可判斷錯誤；對于B，若y＝f（x）經過定點（x0，y0），那么對任意的b成立，從而x0＝0，由此即可判斷；對于C，分b＞1或或這三種情況討論，結合導數與函數單調性、最值的關系以及零點存在定理即可判斷；對于D，由C選項分析過程即可判斷．【解答】解：A：若該函數為偶函數，此時由f（﹣1）＝f（1）得，所以得eb＝1，從而，注意到，故A錯誤；B：顯然f（0）＝2，若y＝f（x）經過定點（x0，y0），那么對任意的b成立，從而與b無關，這意味著x0＝0，故，故B正確；C：顯然f（0）＝2，所以f（x）＝2必有一解x＝0，若b＞1，則f（x）單調遞增，從而一定是唯一解，若，則，當且僅當x＝0時等號成立，所以一定是唯一解，如果，則f′（x）＝ex+bxlnb單調遞增，且有唯一零點，由于f′（0）＝1+lnb≠0，所以u≠0，而f（x）在（﹣∞，u）遞減，在（u，+∞）遞增，且u≠0，所以f（u）＜f（0）＝2，若u＜0，則由，可知f（x）＝2在上還有一根t，且t＜u＜0，故t≠0，若u＞0，則由f（ln2+|u|）＞eln2+|u|＞eln2＝2，ln2+|u|＞|u|≥u，可知f（x）＝2在（ln2+|u|，u）上還有一根t，且t＞u＞0，故t≠0．無論怎樣，f（x）＝2都有一個不等于0的根t，從而解不唯一，故C正確；D：根據C選項的過程，如果0＜b＜1且，那么f（x）＝2一定有兩個根x＝0和x＝t，故D錯誤．故選：BC．【點評】本題考查函數的零點與方程根的關系，考查函數奇偶性與單調性的應用，屬難題．三．填空題（共3小題）12．某中學1500名同學參加一分鐘跳繩測試，經統計，成績X近似服從正態分布N（150，σ2），已知成績大于170次的有300人，則可估計該校一分鐘跳繩成績X在130～150次之間的人數約為450人．【考點】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；數學運算．【答案】450人．【分析】先求出P（X＞170）＝＝0.2，再利用正態分布曲線的對稱性求解．【解答】解：由題意可知，P（X＞170）＝＝0.2，又因為X～N（150，σ2），所以P（130≤X≤150）＝P（150≤X≤170）＝0.5﹣P（X＞170）＝0.5﹣0.2＝0.3，所以可估計該校一分鐘跳繩成績X在130～150次之間的人數約為0.3×1500＝450人．故答案為：450人．【點評】本題主要考查了正態分布曲線的對稱性，屬于基礎題．13．已知數列{an}的通項公式an＝（﹣1）n（n∈N*），則ak＝a1?a2…an的最小值為．【考點】數列的函數特性．【專題】計算題；轉化思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；數學運算．【答案】．【分析】根據題意，判斷出當n≥4時，|ak|隨n的增大而減小，然后比較與的大小，可求得ak的最小值．【解答】解：根據題意，可得a1＝＝﹣2，a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，…，＝a1?a2＝，＝a1?a2?a3?a4?a5＝，＜，當n≥4時，|an|＝，所以當n≥4時，ak＝a1?a2…an的絕對值隨n的增大而減小，所以＝是絕對值最大的負數項，故ak的最小值為＝．故答案為：．【點評】本題主要考查數列的概念、用函數的觀點研究數列等知識，考查了計算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．14．在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，定義P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點之間的“直角距離”為d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．已知兩定點A（﹣1，0），B（1，0），則滿足d（M，A）+d（M，B）＝4的點M的軌跡所圍成的圖形面積為6．【考點】軌跡方程．【專題】計算題；數形結合；轉化思想；綜合法；直線與圓；數學運算．【答案】6．【分析】利用已知條件，求解軌跡方程，然后畫出圖形即可求解面積．【解答】解：設M（x，y），由題意d（M，A）+d（M，B）＝4，可知|x+1|+|x﹣1|+2|y|＝4，軌跡方程的圖形如圖，圖形的面積為：4+2×＝6．故答案為：6．【點評】本題考查軌跡方程的求法，圖形的畫法，面積的求法，是中檔題．四．解答題（共5小題）15．已知等差數列{an}的公差為2，記數列{bn}的前n項和為Sn，b1＝0，b2＝2且滿足bn+1＝2Sn+an．（1）證明：數列{bn+1}是等比數列；（2）求數列{anbn}的前n項和Tn．【考點】數列的求和；等比數列的性質．【專題】整體思想；綜合法；點列、遞歸數列與數學歸納法；數學運算．【答案】（1）詳見解答過程；（2）．【分析】（1）把已知和與項的遞推關系轉化為項與項的遞推，然后結合等比數列的通項公式即可證明；（2）利用錯位相減求和，結合等比數列的求和公式及分組求和即可求解．【解答】證明：（1）n≥2時，bn+1﹣bn＝2（Sn﹣Sn﹣1）+an﹣an﹣1＝2bn+2，即bn+1＝3bn+2．又b1＝0，b2＝2，所以n≥1時，bn+1＝3bn+2，即bn+1+1＝3（bn+1）．又b1+1＝1≠0，所以bn+1≠0，所以，所以數列{bn+1}成等比數列．解：（2）由（1）得．由b2＝2b1+a1可得a1＝2，因為公差d＝2，由等差數列的通項公式可得，an＝2n，所以，所以Tn＝2（1?30+2?31+3?32+?+n?3n﹣1）﹣2（1+2+3+…+n），即．令M＝1?30+2?31+3?32+?+n?3n﹣1，則3M＝1?31+2?32+3?33+?+n?3n，兩式相減得，，所以．【點評】本題主要考查了等比數列的定義在等比數列判斷中的應用，還考查了錯位相減求和方法的應用，屬于中檔題．16．2023年12月19日至20日，中央農村工作會議在北京召開，習近平主席對“三農”工作作出指示．某地區為響應習近平主席的號召，積極發展特色農業，建設蔬菜大棚．如圖所示的七面體ABG﹣CDEHF是一個放置在地面上的蔬菜大棚鋼架，四邊形ABCD是矩形，AB＝8m，AD＝4m，ED＝CF＝1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA＝GB＝5m，HE＝HF，平面ABG⊥平面ABCD．（Ⅰ）求點H到平面ABCD的距離；（Ⅱ）求平面BFHG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值．【考點】二面角的平面角及求法；點、線、面間的距離計算．【專題】對應思想；綜合法；空間位置關系與距離；空間向量及應用；邏輯推理；數學運算．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）．【分析】（I）取AB，CD的中點M，N，連接GM，MN，HN，利用已知條件結合平行的性質及判定定理即可證明四邊形AGHE為平行四邊形，則GH＝AE，然后利用題中所給數據計算即可；（Ⅱ）建系，利用空間向量與空間角的關系即可求解．【解答】解：（I）如圖，取AB，CD的中點M，N，連接GM，MN，HN，則由題GM⊥平面ABCD，HN⊥平面ABCD，因為ED⊥平面ABCD，所以ED∥HN，又MN∥AD，AD∩DE＝D，MN∩HN＝N，所以平面ADE∥平面GMNH，又平面AEHG分別交平面ADE和平面GMNH于AE，GH，所以AE∥GH，易知GM∥HN，又AB∥CD，AB∩GM＝M，CD∩HN＝N，所以平面ABG∥平面CDEHF，又平面AEHG分別交平面ABG和平面CDEHF于AG，EH，所以AG∥EH，所以四邊形AGHE為平行四邊形，所以GH＝AE，因為，所以，在Rt△AMG中，，在直角梯形GMNH中，過G作GQ⊥HN于Q，則GQ＝MN＝4，，QN＝GM＝3，所以，因為HN⊥平面ABCD，所以點H到平面ABCD的距離為4；（II）由（I）以N為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則E（0，﹣4，1），F（0，4，1），G（4，0，3），H（0，0，4），設平面BFHG的法向量是，則即令z＝4，可得，設平面AGHE的法向量是，則即令c＝4，可得，所以＝，所以平面BFHG與平面AGHE所成銳二面角的余弦值為．【點評】本題考查空間中的線面位置關系及空間向量的應用，屬于中檔題．17．某工廠生產某種元件，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為合格品，小于82為次品，現抽取這種元件100件進行檢測，檢測結果統計如下表：測試指標[20，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]元件數（件）121836304（1）現從這100件樣品中隨機抽取2件，若其中一件為合格品，求另一件也為合格品的概率；（2）關于隨機變量，俄國數學家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若隨機變量X具有數學期望E（X）＝μ，方差D（X）＝σ2，則對任意正數ε，均有P（|x﹣μ|≥ε）≤成立．（i）若X，證明：P（0≤X≤25）≤；（ii）利用該結論表示即使分布未知，隨機變量的取值范圍落在期望左右的一定范圍內的概率是有界的．若該工廠聲稱本廠元件合格率為90%，那么根據所給樣本數據，請結合“切比雪夫不等式”說明該工廠所提供的合格率是否可信？（注：當隨機事件A發生的概率小于0.05時，可稱事件A為小概率事件）【考點】離散型隨機變量的期望與方差．【專題】計算題；對應思想；綜合法；概率與統計；數學運算．【答案】（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）不可信．【分析】（1）由條件概率的公式進行求解即可；（2）（i）由X～B，求出E（X）＝50，D（X）＝25，再結合切比雪夫不等式即可證明；（i）設隨機抽取100件產品中合格品的件數為X，X～B（100，0.9），由切比雪夫不等式判斷出，進而可得出結論．【解答】解：（1）記事件A為抽到一件合格品，事件B為抽到兩個合格品，則，∴＝＝，即從這100件樣品中隨機抽取2件，若其中一件為合格品，則另一件也為合格品的概率為．（2）（i）證明：由題：若，則E（X）＝50，D（X）＝25，又，∴或，由切比雪夫不等式可知，，∴；（ii）設隨機抽取100件產品中合格品的件數為X，假設廠家關于產品合格率為90%的說法成立，則X～B（100，0.9），∴E（X）＝90，D（X）＝9，由切比雪夫不等式知，，即在假設下100個元件中合格品為70個的概率不超過0.0225，此概率極小，由小概率原理可知，一般來說在一次試驗中是不會發生的，據此我們有理由推斷工廠的合格率不可信．【點評】本題主要考查條件概率的求法，二項分布的期望和方差，考查運算求解能力，屬于中檔題．18．雙曲線C：（a＞0，b＞0）上一點到左、右焦點的距離之差為6．（1）求C的方程；（2）已知A（﹣3，0），B（3，0），過點（5，0）的直線l與C交于M，N（異于A，B）兩點，直線MA與NB交于點P，試問點P到直線x＝﹣2的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【考點】直線與雙曲線的綜合；雙曲線的性質．【專題】綜合題；對應思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程；邏輯推理；數學運算．【答案】（1）；（2）是定值，定值為．【分析】（1）由題意，根據題目所給信息列出等式求出a和b的值，進而可得C的方程；（2）對直線l是否垂直于x軸進行討論，設出直線l的方程和M，N兩點的坐標，將直線l的方程與雙曲線方程聯立，利用韋達定理得到，，推出直線AM和BN的方程，將兩直線方程聯立，解得點P在定直線上，進而即可求解．【解答】解：（1）因為雙曲線C上一點到左、右焦點的距離之差為6，所以，解得a＝3，b＝1，則C的方程為；（2）當直線l垂直于x軸時，可得直線l的方程為x＝5，因為過點（5，0）的直線l與C交于M，N（異于A，B）兩點，解得y＝±，不妨令M（5，），N（5，﹣），易得直線MA的方程為y＝，直線NB的方程為y＝﹣，聯立，解得xP＝，則點P到直線x＝﹣2的距離d＝﹣（﹣2）＝；當直線l的斜率存在時，不妨設直線l的方程為x＝my+5，M（x1，y1），N（x2，y2），聯立，消去x并整理得（m2﹣9）y2+10my+16＝0，此時滿足m2﹣9≠0，由韋達定理得，，所以直線AM的方程為，直線BN的方程為，聯立，消去y并整理得＝＝，解得，所以點P在定直線上，因為直線與直線x＝﹣2之間的距離為，綜上得，點P到直線x＝﹣2的距離為定值，定值為．【點評】本題考查雙曲線的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理、分類討論和運算能力，屬于中檔題．19．已知函數f（x）＝ex+xlnx．（1）求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）若a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，證明：f（a）+f（b）＜e+1．【考點】利用導數研究函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】轉化思想；分析法；綜合法；轉化法；導數的綜合應用；邏輯推理；數學運算．【答案】（1）（e+1）x﹣y﹣1＝0；（2）證明過程見解答．【分析】（1）對f（x）求導，求出切線的斜率，再求出切線方程即可；（2）要證明f（a）+f（b）＜e+1，只需證ecosx+cosx?ln（cosx）+esinx+sinx?ln（sinx）＜e+1，構造函數g（x）＝x﹣lnx﹣1，進一步證明結論即可．【解答】解：（1）由f（x）＝ex+xlnx，得f'（x）＝ex+lnx+1，f（1）＝e，則f（x）在點（1，f（1））處的切線切線斜率k＝f'（1）＝e+1．∴切線方程為（e+1）x﹣y﹣1＝0．（2）證明：由a＞0，b＞0，且a2+b2＝1，設a＝cosx，b＝sinx，，則證明f（a）+f（b）＜e+1?f（cosx）+f（sinx）＜e+1，，即證ecosx+cosx?ln（cosx）+esinx+sinx?ln（sinx）＜e+1．令g（x）＝x﹣lnx﹣1，則，當x∈（0，1）時，g'（x）＜0，此時g（x）單調遞減，∴g（cosx）＞g（1）＝0，g（sinx）＞g（1）＝0，∴ln（cosx）＜cosx﹣1，ln（sinx）＜sinx﹣1，則ecosx+cosx?ln（cosx）+esinx+sinx?ln（sinx）＜ecosx+exinx﹣cosx﹣sinx+1．要證ecosx+cosx?ln（cosx）+esinx+sinx?ln（sinx）＜e+1，只需證ecosx+esinx﹣cosx﹣sinx＜e．令h（x）＝ecosx+esinx﹣cosx﹣sinx，則．令h'（x）＝0，則．令，x∈（0，1），則令m（x）＝（x﹣1）ex+1，x∈（0，1），則m'（x）＝xex＞0在（0，1）上恒成立，則m（x）＞m（0）＝0，則φ'（x）＞0在（0，1）上恒成立，則φ（x）單調遞增．當時，sinx＞cosx，則φ（sinx）＞φ（cosx），∴h'（x）＞0，此時h（x）單調遞增；當時，sinx＜cosx，則φ（sinx）＜φ（cosx），∴h'（x）＜0，此時h（x）單調遞減．∵，∴h（x）＜e，即ecosx+esinx﹣cosx﹣sinx＜e在上恒成立，∴f（a）+f（b）＜e+1．【點評】本題考查了利用導數研究函數的單調性，利用不等式恒成立求參數的取值范圍，考查了轉化思想，屬難題．

考點卡片1．交、并、補集的混合運算【知識點的認識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質，借助數軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題，一道選擇題或填空題，屬于基礎題．2．充分條件與必要條件【知識點的認識】1、判斷：當命題“若p則q”為真時，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實上，與“p?q”等價的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說，q對于p是必不可少的，所以說q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點撥】充要條件的解題的思想方法中轉化思想的依據；解題中必須涉及兩個方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學生答題時往往混淆二者的關系．判斷題目可以常用轉化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．【命題方向】充要條件是學生學習知識開始，或者沒有上學就能應用的，只不過沒有明確定義，因而幾乎年年必考內容，多以小題為主，有時也會以大題形式出現，中學階段的知識點都相關，所以命題的范圍特別廣．3．命題的真假判斷與應用【知識點的認識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認真區分．【解題方法點撥】1．判斷復合命題的真假，常分三步：先確定復合命題的構成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關系進行轉化判斷．【命題方向】該部分內容是《課程標準》新增加的內容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現．4．函數奇偶性的性質與判斷【知識點的認識】①如果函數f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數f（x）就叫做奇函數，其圖象特點是關于（0，0）對稱．②如果函數f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數f（x）就叫做偶函數，其圖象特點是關于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數：如果函數定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②奇函數：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數；③偶函數：在定義域內一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數，定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數的單調性相反．例題：函數y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數B．奇函數C．非奇非偶D．與p有關解：由題設知f（x）的定義域為R，關于原點對稱．因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數．故選B．【命題方向】函數奇偶性的應用．本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數的性質，最好是結合其圖象一起分析，確保答題的正確率．5．指數函數的單調性與特殊點【知識點的認識】1、指數函數單調性的討論，一般會以復合函數的形式出現，所以要分開討論，首先討論a的取值范圍即a＞1，0＜a＜1的情況．再討論g（x）的增減，然后遵循同增、同減即為增，一減一增即為減的原則進行判斷．2、同增同減的規律：（1）y＝ax如果a＞1，則函數單調遞增；（2）如果0＜a＜1，則函數單調遞減．3、復合函數的單調性：（1）復合函數為兩個增函數復合：那么隨著自變量X的增大，Y值也在不斷的增大；（2）復合函數為兩個減函數的復合：那么隨著內層函數自變量X的增大，內層函數的Y值就在不斷的減小，而內層函數的Y值就是整個復合函數的自變量X．因此，即當內層函數自變量X的增大時，內層函數的Y值就在不斷的減小，即整個復合函數的自變量X不斷減小，又因為外層函數也為減函數，所以整個復合函數的Y值就在增大．因此可得“同增”若復合函數為一增一減兩個函數復合：內層函數為增函數，則若隨著內層函數自變量X的增大，內層函數的Y值也在不斷的增大，即整個復合函數的自變量X不斷增大，又因為外層函數為減函數，所以整個復合函數的Y值就在減小．反之亦然，因此可得“異減”．6．函數的零點與方程根的關系【知識點的認識】函數的零點表示的是函數與x軸的交點，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一樣的．但是，他們的解法其實質是一樣的．【解題方法點撥】求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數或者方程組，這里不多講了．我們重點來探討一下函數零點的求法（配方法）．例題：求函數f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點．解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70＝（x﹣5）?（x+7）?（x+2）?（x+1）∴函數f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零點是：5、﹣7、﹣2、﹣1．通過這個題，我們發現求函數的零點常用的方法就是配方法，把他配成若干個一次函數的乘積或者是二次函數的乘積，最后把它轉化為求基本函數的零點或者說求基本函數等于0時的解即可．【命題方向】直接考的比較少，了解相關的概念和基本的求法即可．7．數列的函數特性【知識點的認識】1、等差數列的通項公式：an＝a1+（n﹣1）d；前n項和公式Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝2、等比數列的通項公式：an＝a1qn﹣1；前n項和公式Sn＝＝（q≠1）3、用函數的觀點理解等差數列、等比數列（1）對于等差數列，an＝a1+（n﹣1）d＝dn+（a1﹣d），當d≠0時，an是n的一次函數，對應的點（n，an）是位于直線上的若干個點．當d＞0時，函數是增函數，對應的數列是遞增數列；同理，d＝0時，函數是常數函數，對應的數列是常數列；d＜0時，函數是減函數，對應的數列是遞減函數．若等差數列的前n項和為Sn，則Sn＝pn2+qn（p、q∈R）．當p＝0時，{an}為常數列；當p≠0時，可用二次函數的方法解決等差數列問題．（2）對于等比數列：an＝a1qn﹣1．可用指數函數的性質來理解．當a1＞0，q＞1或a1＜0，0＜q＜1時，等比數列是遞增數列；當a1＞0，0＜q＜1或a1＜0，q＞1時，等比數列{an}是遞減數列．當q＝1時，是一個常數列．當q＜0時，無法判斷數列的單調性，它是一個擺動數列．【解題方法點撥】典例1：數列{an}滿足an＝n2+kn+2，若不等式an≥a4恒成立，則實數k的取值范圍是（）A．[﹣9，﹣8]B．[﹣9，﹣7]C．（﹣9，﹣8）D．（﹣9，﹣7）解：an＝n2+kn+2＝，∵不等式an≥a4恒成立，∴，解得﹣9≤k≤﹣7，故選：B．典例2：設等差數列{an}滿足a1＝1，an＞0（n∈N*），其前n項和為Sn，若數列{}也為等差數列，則的最大值是（）A．310B．212C．180D．121解：∵等差數列{an}滿足a1＝1，an＞0（n∈N*），設公差為d，則an＝1+（n﹣1）d，其前n項和為Sn＝，∴＝，＝1，＝，＝，∵數列{}也為等差數列，∴＝+，∴＝1+，解得d＝2．∴Sn+10＝（n+10）2，＝（2n﹣1）2，∴＝＝，由于為單調遞減數列，∴≤＝112＝121，故選：D．8．等差數列的性質【知識點的認識】等差數列如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，這個數列就叫做等差數列．這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示．等差數列的通項公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項和公式為：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap+aq（p，q，m都為自然數）等差數列的性質（1）若公差d＞0，則為遞增等差數列；若公差d＜0，則為遞減等差數列；若公差d＝0，則為常數列；（2）有窮等差數列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數列中的項，特別地，當s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數列{an}，{bn}均是等差數列，則數列{man+kbn}仍為等差數列，其中m，k均為常數．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數列，公差為﹣d．（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數列，公差為kd（首項不一定選a1）．【解題方法點撥】例：已知等差數列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個實根．（1）求此數列{an}的通項公式；（2）268是不是此數列中的項？若是，是第多少項？若不是，說明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數列，設首項為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數列{an}的通項公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數列的第136項．這是一個很典型的等差數列題，第一問告訴你第幾項和第幾項是多少，然后套用等差數列的通項公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項和公差d，這樣等差數列就求出來了．第二問判斷某個數是不是等差數列的某一項，其實就是要你檢驗看符不符合通項公式，帶進去檢驗一下就是的．9．等比數列的性質【知識點的認識】等比數列（又名幾何數列），是一種特殊數列．如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列，因為第二項與第一項的比和第三項與第二項的比相等，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時，an為常數列．等比數列和等差數列一樣，也有一些通項公式：①第n項的通項公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項，q為公比，我們發現這個通項公式其實就是指數函數上孤立的點．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n項的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數，那么有am?an＝ap?aq．等比數列的性質（1）通項公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項數相同）是等比數列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數列．（4）單調性：或?{an}是遞增數列；或?{an}是遞減數列；q＝1?{an}是常數列；q＜0?{an}是擺動數列．【解題方法點撥】例：2，x，y，z，18成等比數列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數列，設其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運用了等比數列第n項的通項公式，這也是一個常用的方法，即知道某兩項的值然后求出公比，繼而可以以已知項為首項，求出其余的項．關鍵是對公式的掌握，方法就是待定系數法．10．數列的求和【知識點的認識】就是求出這個數列所有項的和，一般來說要求的數列為等差數列、等比數列、等差等比數列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數列前n項和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比數列前n項和公式：③幾個常用數列的求和公式：（2）錯位相減法：適用于求數列{an×bn}的前n項和，其中{an}{bn}分別是等差數列和等比數列．（3）裂項相消法：適用于求數列{}的前n項和，其中{an}為各項不為0的等差數列，即＝（）．（4）倒序相加法：推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點撥】典例1：已知等差數列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求數列{bn}的前n項和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）設等差數列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即數列{bn}的前n項和Tn＝．點評：該題的第二問用的關鍵方法就是裂項求和法，這也是數列求和當中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個等差數列相乘并作為分母的一般就可以用裂項求和．【命題方向】數列求和基本上是必考點，大家要學會上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．11．數列遞推式【知識點的認識】1、遞推公式定義：如果已知數列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．2、數列前n項和Sn與通項an的關系式：an＝．在數列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關系，是本講內容一個重點，要認真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統一為一個式子．（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉化為只含an或Sn的關系式，然后再求解．【解題方法點撥】數列的通項的求法：（1）公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉化為只含或的關系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知遞推關系求an，有時也可以用構造法（構造等差、等比數列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為k的等比數列后，再求an．②形如an＝的遞推數列都可以用倒數法求通項．（7）求通項公式，也可以由數列的前幾項進行歸納猜想，再利用數學歸納法進行證明．12．利用導數研究函數的最值【知識點的認識】1、函數的最大值和最小值觀察圖中一個定義在閉區間[a，b]上的函數f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區間[a，b]上連續的函數f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說明：（1）在開區間（a，b）內連續的函數f（x）不一定有最大值與最小值．如函數f（x）＝在（0，+∞）內連續，但沒有最大值與最小值；（2）函數的最值是比較整個定義域內的函數值得出的；函數的極值是比較極值點附近函數值得出的．（3）函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，是f（x）在閉區間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數在其定義區間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數的極值可能不止一個，也可能沒有一個2、用導數求函數的最值步驟：由上面函數f（x）的圖象可以看出，只要把連續函數所有的極值與定義區間端點的函數值進行比較，就可以得出函數的最值了．設函數f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內可導，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數f（x）在[a，b]上的最值．【解題方法點撥】在理解極值概念時要注意以下幾點：（1）按定義，極值點x0是區間[a，b]內部的點，不會是端點a，b（因為在端點不可導）．（2）極值是一個局部性概念，只要在一個小領域內成立即可．要注意極值必須在區間內的連續點取得．一個函數在定義域內可以有許多個極小值和極大值，在某一點的極小值也可能大于另一個點的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小．（3）若f（x）在（a，b）內有極值，那么f（x）在（a，b）內絕不是單調函數，即在區間上單調的函數沒有極值．（4）若函數f（x）在[a，b]上有極值且連續，則它的極值點的分布是有規律的，相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點，同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點，一般地，當函數f（x）在[a，b]上連續且有有限個極值點時，函數f（x）在[a，b]內的極大值點、極小值點是交替出現的，（5）可導函數的極值點必須是導數為0的點，但導數為0的點不一定是極值點，不可導的點也可能是極值點，也可能不是極值點．13．利用導數研究曲線上某點切線方程【知識點的認識】利用導數來求曲線某點的切線方程是高考中的一個常考點，它既可以考查學生求導能力，也考察了學生對導數意義的理解，還考察直線方程的求法，因為包含了幾個比較重要的基本點，所以在高考出題時備受青睞．我們在解答這類題的時候關鍵找好兩點，第一找到切線的斜率；第二告訴的這點其實也就是直線上的一個點，在知道斜率的情況下可以用點斜式把直線方程求出來．【解題方法點撥】例：已知函數y＝xlnx，求這個函數的圖象在點x＝1處的切線方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又當x＝1時，y＝0，所以切點為（1，0）∴切線方程為y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我們通過這個例題發現，第一步確定切點；第二步求斜率，即求曲線上該點的導數；第三步利用點斜式求出直線方程．這種題的原則基本上就這樣，希望大家靈活應用，認真總結．14．數量積判斷兩個平面向量的垂直關系【知識點的認識】向量是有方向的，那么在一個空間內，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當兩條向量的方向互相垂直的時候，我們就說這兩條向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么與垂直，有?＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它們的乘積為0．【解題方法點撥】例：與向量，垂直的向量可能為（）A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對于A：∵，?（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；對于B：∵，?（﹣4，3）＝，∴B不成立；對于C：∵，?（4，3）＝，∴C成立；對于D：∵，?（4，﹣3）＝，∴D不成立；故選：C．點評：分別求出向量，和A，B，C，D四個備選向量的乘積，如果乘積等于0，則這兩個向量垂直，否則不垂直．【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個點，主要性質就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個關系并靈活運用．15．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的認識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．16．球的體積和表面積【知識點的認識】1．球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點距離等于定長的點的集合為球面．2．球體的體積公式設球體的半徑為R，V球體＝3．球體的表面積公式設球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結合其他空間幾何體進行考查，以增加試題難度，根據題目所給條件得出球體半徑是解題關鍵．17．二面角的平面角及求法【知識點的認識】1、二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面．棱為AB、面分別為α、β的二面角記作二面角α﹣AB﹣β．有時為了方便，也可在α、β內（棱以外的半平面部分）分別取點P、Q，將這個二面角記作P﹣AB﹣Q．如果棱記作l，那么這個二面角記作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．2、二面角的平面角﹣﹣在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小與點O的位置無關，也就是說，我們可以根據需要來選擇棱l上的點O．3、二面角的平面角求法：（1）定義；（2）三垂線定理及其逆定理；①定理內容：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直．②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個面上的斜線（或它的射影）與二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜線）也與二面角的棱垂直，從而確定二面角的平面角．（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．；（4）平移或延長（展）線（面）法；（5）射影公式；（6）化歸為分別垂直于二面角的兩個面的兩條直線所成的角；（7）向量法：用空間向量求平面間夾角的方法：設平面α和β的法向量分別為和，若兩個平面的夾角為θ，則（1）當0≤＜，＞≤，θ＝＜，＞，此時cosθ＝cos＜，＞＝．（2）當＜＜，＞＜π時，θ＝π﹣＜，＞，cosθ＝﹣cos＜，＞＝﹣．18．點、線、面間的距離計算【知識點的認識】19．軌跡方程【知識點的認識】1．曲線的方程和方程的曲線在平面內建立直角坐標系以后，坐標平面內的動點都可以用有序實數對（x，y）表示，這就是動點的坐標．當點按某種規律運動形成曲線時，動點坐標（x，y）中的變量x、y存在著某種制約關系，這種制約關系反映到代數中，就是含有變量x、y的方程．一般地，在直角坐標系中，如果某曲線C（看做適合某種條件的點的集合或軌跡）上的點與一個二元方程f（x，y）＝0的實數解建立了如下的關系：（1）曲線上點的坐標都是這個方程的解；（2）以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點．那么這個方程就叫做曲線的方程，這條曲線就叫做方程的曲線．2．求曲線方程的一般步驟（直接法）（1）建系設點：建立適當的直角坐標系，用（x，y）表示曲線上任一點M的坐標；（2）列式：寫出適合條件p的點M的集合{M|p（M）}；（3）代入：用坐標表示出條件p（M），列出方程f（x，y）＝0；（4）化簡：化方程f（x，y）＝0為最簡形式；（5）證明：證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是在曲線上的點【解題方法點撥】（1）直接法：根據題目條件，直譯為關于動點的幾何關系，再利用解析幾何有關公式（如兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、夾角公式等）進行整理、化簡．這種求軌跡方程的過程不需要特殊的技巧．（2）定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．關鍵是條件的轉化，即轉化為某一基本軌跡的定義條件．（3）相關點法：用所求動點P的坐標（x，y）表示已知動點M的坐標（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再將x0，y0代入M滿足的條件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分點問題、對稱問題可用相關點法求解，相關點法的一般步驟是：設點→轉換→代入→化簡．（4）待定系數法（5）參數法（6）交軌法．20．雙曲線的性質【知識點的認識】雙曲線的標準方程及幾何性質標準方程（a＞0，b＞0）（a＞0，b＞0）圖形性質焦點F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱關于x軸，y軸和原點對稱頂點（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）軸實軸長2a，虛軸長2b離心率e＝（e＞1）準線x＝±y＝±漸近線±＝0±＝021．直線與雙曲線的綜合【知識點的認識】直線與雙曲線的位置判斷：將直線方程與雙曲線方程聯立，消去x（或y）的一元二次方程，則：直線與雙曲線相交?Δ＞0；直線與雙曲線相切?Δ＝0；直線與雙曲線相離?Δ＜0；直線與雙曲線的位置關系只有三種，不可能出現有多個解，因為直線與雙曲線的交點個數最多有2個．值得注意的是，當直線方程和雙曲線方程聯立后，如果得到一元一次方程，說明此時直線與雙曲線的漸近線平行，那么直線與雙曲線相交，且只有一個交點．【解題方法點撥】（1）直線與雙曲線只有一個公共點有兩種情況：①直線平行漸近線；②直線與雙曲線相切．（2）弦長的求法設直線與雙曲線的交點坐標為A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|＝＝（k為直線斜率）注意：利用公式計算直線被雙曲線截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式．【命題方向】雙曲線知識通常與圓、橢圓、拋物線或數列、向量及不等式、三角函數相聯系，綜合考查數學知識及應用是高考的重點，應用中應注意對知識的綜合及分析能力，雙曲線的標準方程和幾何性質中涉及很多基本量，如“a，b，c，e“．樹立基本量思想對于確定雙曲線方程和認識其幾何性質有很大幫助．22．古典概型及其概率計算公式【知識點的認識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現的結果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現的結果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率為P（A）＝＝．【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數n與事件A中所包含的基本事件數．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數n與所求事件A中所包含的基本事件個數m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．23．離散型隨機變量的期望與方差【知識點的認識】1、離散型隨機變量的期望數學期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數學期望，簡稱期望．數學期望的意義：數學期望離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數學期望又稱為平均數、均值．期望的一個性質：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．2、離散型隨機變量的方差；方差：對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的Eξ是隨機變量ξ的期望．標準差：Dξ的算術平方根叫做隨機變量ξ的標準差，記作．方差的性質：．方差的意義：（1）隨機變量的方差的定義與一組數據的方差的定義式是相同的；（2）隨機變量的方差、標準差也是隨機變量的特征數，它們都反映了隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度；（3）標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛．24．正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義【知識點的認識】1．正態曲線及性質（1）正態曲線的定義函數φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞），其中實數μ和σ（σ＞0）為參數，我們稱φμ，σ（x）的圖象（如圖）為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．（2）正態曲線的解析式①指數的自變量是x定義域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有兩個常數：π和e，這是兩個無理數．③解析式中含有兩個參數：μ和σ，其中μ可取任意實數，σ＞0這是正態分布的兩個特征數．④解析式前面有一個系數為，后面是一個以e為底數的指數函數的形式，冪指數為﹣．2．正態分布（1）正態分布的定義及表示如果對于任何實數a，b（a＜b），隨機變量X滿足P（a＜X≤b）＝φμ，σ（x）dx，則稱X的分布為正態分布，記作N（μ，σ2）．（2）正態總體在三個特殊區間內取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正態曲線的性質正態曲線φμ，σ（x）＝，x∈R有以下性質：（1）曲線位于x軸上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱；（3）曲線在x＝μ處達到峰值；（4）曲線與x軸圍成的圖形的面積為1；（5）當σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；（6）當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．4．三個鄰域會用正態總體在三個特殊區間內取值的概率值結合正態曲線求隨機變量的概率．落在三個鄰域之外是小概率事件，這也是對產品進行質量檢測的理論依據．【解題方法點撥】正態分布是高中階段唯一連續型隨機變量的分布，這個考點雖然不是高考的重點，但在近幾年新課標高考中多次出現，其中數值計算是考查的一個熱點，考生往往不注意對這些數值的記憶而導致解題無從下手或計算錯誤．對正態分布N（μ，σ2）中兩個參數對應的數值及其意義應該理解透徹并記住，且注意第二個數值應該為σ2而不是σ，同時，記住正態密度曲線的六條性質．【命題方向】題型一：概率密度曲線基礎考察典例1：設有一正態總體，它的概率密度曲線是函數f（x）的圖象，且f（x）＝，則這個正態總體的平均數與標準差分別是（）A．10與8B．10與2C．8與10D．2與10解析：由＝，可知σ＝2，μ＝10．答案：B．典例2：已知隨機變量ξ服從正態分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，則P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故選C．典例3：已知隨機變量X服從正態分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，則P（X＞4）等于（）A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.1585解析由正態曲線性質知，其圖象關于直線x＝3對稱，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.5﹣×0.6826＝0.1587．故選B．題型二：正態曲線的性質典例1：若一個正態分布的概率密度函數是一個偶函數，且該函數的最大值為．（1）求該正態分布的概率密度函數的解析式；（2）求正態總體在（﹣4，4]的概率．分析：要確定一個正態分布的概率密度函數的解析式，關鍵是求解析式中的兩個參數μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關．解（1）由于該正態分布的概率密度函數是一個偶函數，所以其圖象關于y軸對稱，即μ＝0．由＝，得σ＝4，故該正態分布的概率密度函數的解析式是φμ，σ（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）．（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．點評：解決此類問題的關鍵是正確理解函數解析式與正態曲線的關系，掌握函數解析式中參數的取值變化對曲線的影響．典例2：設兩個正態分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函數圖象如圖所示，則有（）A．μ1＜μ2，σ1＜