備考2024年中考數學探究性訓練專題27銳角三角形

一、選擇題

1.以下是某數學興趣小組開展的課外探究活動，探究目的：測量小河兩岸的距離，探究過程：在河

兩岸選取相對的兩點P、A,在小河邊取P4的垂線PB上的一點C,測得PC=50米，Z.PCA=42°,則

C.50ttm42°米D.50ttm480米

2.探究；我們知道，已知兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等.例如在AABC中,

ZA=30°,AC=3,NA所對的邊為百，滿足已知條件的三角形有兩個（我們發現其中一個△ABC是

直角三角形，如圖），則滿足已知條件的三角形的第三邊AB的長為（）

A.2A/3B.2V3-3C.273或D.或28一3

3.東莞市某學校數學探究小組利用無人機在操場上開展測量教學樓高度的活動，如圖，此時無人機

在離地面30米的點D處，操控者站在點A處，無人機測得點A的俯角為30。，測得教學樓樓頂點C

處的俯角為45。，操控者和教學樓BC的距離為60米，則教學樓BC的高度是（）米.

A.60—30遍B.30A/3C.3073-30D.30^/3-15

4.在數學活動課上，老師出示兩張等腰三角形紙片，如圖所示.圖1的三角形邊長分別為4,4,2；

圖2的三角形的腰長也為4,底角等于圖1中三角形的頂角；某學習小組將這兩張紙片在同一平面內

拼成如圖3的四邊形OABC,連結AC該學習小組經探究得到以下四個結論，其中錯誤的是（）

AB

A.Z0CB=2ZACBB.ZOAB+ZOAC=90°

C.AC=2V15D.BC=4V3

5.如圖，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸工廠B之間的距離，在學校附近選一點C,利用

測量儀器測得乙4=60。，NC=90。，AC=2km.據此，可求得學校與工廠之間的距離AB等于

h

C

A.2kmB.3kmC.2^3kmD.4km

6.公元3世紀，劉徽發現可以用圓內接正多邊形的周長近似地表示圓的周長.如圖所示，他首先在

圓內畫一個內接正六邊形，再不斷地增加正多邊形的邊數；當邊數越多時，正多邊形的周長就越接近

于圓的周長.劉徽在《九章算術》中寫道：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與

圓周合體而無所失矣.“我們稱這種方法為劉徽割圓術，它開啟了研究圓周率的新紀元.小牧通過圓

內接正n邊形，使用劉徽割圓術，得到兀的近似值為（）

二、填空題

7.在一堂關于“折紙問題”的數學綜合實踐探究課中，小明同學將一張矩形ABCD紙片，按如圖進行

折疊，分別在BC、AD兩邊上取兩點E,F,使CE=AF,分別以DE,BF為對稱軸將4CDE與AABF

翻折得到與AABF,且邊C舊與AB交于點G,邊A，F與CD交于一點H.已知tanNEBG=

J，A'G=6,C'G=l,則矩形紙片ABCD的周長為_________.

C囹____E______5

DFA

8.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6，點D是邊AC上的動點，過點D

作CE1AB于E點.請探究下列問題：

B--------------C

(1)若DE=4,貝ljCD=_________；

(2)若CD=3,設點F是邊BC上的動點，連接FD、FE,以FD、FE為鄰邊作平行

四邊形FDGE,且使得頂點G恰好落在AC邊上，貝I)CF=_

9.數學小組研究如下問題：遵義市某地的緯度約為北緯28。，求北緯28緯線的長度.

小組成員查閱相關資料，得到如下信息：

信息一：如圖1,在地球儀上，與赤道平行的圓圈叫做緯線

信息二：如圖2,赤道半徑。4約為6400千米，弦BC||OA,以BC為直徑的圓的周長就是北緯28。

緯線的長度；(參考數據：兀《3,sin28°?0.47,cos28°?0.88,tan28°20.53)

根據以上信息，北緯28。緯線的長度約為_____一千米.

疊之

圖1圖2

10.數學研究性學習小組制作了如下的三角函數計算圖尺：在半徑為1的半圓形量角器中，畫一個直

徑為1的圓，把刻度尺CA的0刻度固定在半圓的圓心O處，刻度尺可以繞點O旋轉.從圖中所示

的圖尺可讀出sinZAOB的值是.

90

三'理論探究題

11.閱讀下列材料，并完成相應的任務.

我們所學的銳角三角函數反映了直角三角形中的邊角關系:

如圖(1)所示.sincos

/iD/ID

,BC

tana=■斤.

21C?

一般地，當a,p為任意角時，sin(a+B)與sin(a?B)的值可以用下面的公式求得

sin(a+P)=sinacosP+cosasin仇sin(a-P)=sina

cosp-cosasinp.

例如：sin15°=sin(45o-30o)=sin45°cos30°-cos45°

sin30。=匹出

4

任務：

(1)計算：sin75。=；

(2)如圖(2)所示，在ZkABC中,ZB=15°,NC=45。，AC=2存2,求AB和BC的長.

12.構建幾何圖形解決代數問題是“數形結合”思想的體現，在計算位幾15。時，如圖1,在出中,

AC1

ZC=90°,^ABC=30°,延長使連接ZD,得乙。二15。，所以tanl5。=m=

(2)如圖2,銳角乙=a，已知tcma=TH,求證：tan-=^m2+^~-?

2m

13.閱讀下列材料：

在AABC中,/A,ZB）/C所對的邊分別為a,b,c,求證：瀛b

-sinB'

證明：如圖1,過點C作CDLAB于點D,則：

上JZA

句。\

BaCBaCBC

圖1圖2圖3

在RtZXBCD中，CD=asinB,

在RtZ\ACD中，CD=bsinA,

asinB=bsinA,

a_b

"sinA-sinB

根據上面的材料解決下列問題：

（1）如圖2,在AABC中，NA,ZB,NC所對的邊分別為a,b,c、求證：島=薪，

（2）如圖3,現有一片三角形區域需美化，已知NA=67。，ZB=53°,AC=80m,求這片區域的面

積（結果保留根號，參考數據：sin53%0.8,sin67%0.9）.

14.如圖1,△4BC為等邊三角形，其邊長為3.點。，E分別在邊ZB,AC1.,RAD=AE=2,連接0E,

顯然有BD=CE.

JAb

一/

（圖1）（圖2）（S3）

（1）問題發現

如圖2,若將△ADE繞點A逆時針旋轉一個角度a（0。<a<60°）結論"BD=CE"仍成立嗎?請作

出判斷，并證明你的結論；

（2）問題解決

如圖3,在（1）的情形下，當點5,D,E三點正好在一條直線上時，求CE的長.

15.綜合與實踐

圖①圖②圖③

（1）【問題情境】在數學活動課上，同學們以“折疊矩形”為主題開展數學活動.已知，在矩形4BCD

中，AB=6,4。=10，點P是4B邊上一點，將△APC沿直線PD折疊，點/的對應點為點E.

【操作發現】

操作一：如圖①，當點P與點B重合時，過點E作EF||AB,交BD于點F,連結4K試判定四邊形4BEF

的形狀，并說明理由；

操作二：如圖②，當點E落在BC邊上時，AP=；

（2）操作三：如圖③，當點P為4B中點時，延長DE交BC于點G,連結PG,則tan/PGB=.

16.在AZBC中，AACB=90°,遂=小，。是邊BC上一點，將△ABD沿4。折疊得到△4ED,連接BE.

如圖1,當zn=1,4E落在直線4c上時.

①求證：^DAC=Z.EBC-,

②填空：器的值為;

（2）類比探究

如圖2,當血片1,4E與邊BC相交時，在4。上取一點G,使乙4CG=NBCE,CG交ZE于點”.探究空

的值（用含小的式子表示），并寫出探究過程；

（3）拓展運用

在(2)的條件下，當巾=孝，。是BC的中點時，若EB-EH=6,求CG的長.

17.綜合與實踐：在學習《解直角三角形》一章時，小邕同學對一個角的倍角的三角函數值與這個角

的三角函數值是否有關系產生了濃厚的興趣，并進行研究.

RB

.二N

/)ACAC

Ifil圖2

(1)【初步嘗試】我們知道：tan60°=,tan30°=.

發現：tanX2tan。)(填“=”或“H").

(2)【實踐探究】在解決“如圖1,在RtAZBC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,求tan(±4)的值"

這一問題時，小邕想構造包含號4的直角三角形，延長CA到點D,使D4=AB,連接BD,所以可得AD=

上BAC,問題即轉化為求AD的正切值，請按小邕的思路求tan(累)的值.

⑶【拓展延伸】如圖2,在RM2BC中，ZC=90°,AC=3,tanA=去請模仿小邕的思路或者

用你的新思路，試著求一求tan2A的值.

(1)【問題探究】在學習三角形中線時，我們遇到過這樣的問題：如圖①，在△力BC中，點。為BC

邊上的中點，AB=4,AC=6,求線段40長的取值范圍.我們采用的方法是延長線段4。到點E,使

得AD=DE,連結CE,可證AABD會AECD,可得CE==4,根據三角形三邊關系可求4。的范圍，

我們將這樣的方法稱為“三角形倍長中線”.則4。的范圍是：.

(2)【拓展應用】

①如圖②，在△4BC中，BC=2BD,AD=3,AC=2^,^BAD=90°,求AB的長.

②如圖③，在AABC中，。為BC邊的中點，分別以4B、AC為直角邊向外作直角三角形，且滿足乙4BE=

AACF=30°,連結EF,若力。=2百，貝ijEF=.(直接寫出)

19.

在矩形紙片ABC。中，點E,點F分別是邊AD,BC邊上的動點，連結BE,DF.

將矩形紙片4BCD分別沿直線BE,DF折疊，點4的對應點為點M,點C的對應點為點N.若點F與點M重

合，ON與EF交于點G,如圖①，求證：DG=GM.

(2)【探究】

a.如圖②，當點M,N落在對角線BD上時，AB=4,AD=6,則MN=.

b.如圖③，當點M,N落在對角線AC上時，EM與DN交于點P,BM與FN交于點Q,連結PQ,若力B=4,

AD=6,PQ=.

20.AABC和ACEF均為等邊三角形，0分別為BC和EF的中點，連接力0,4C=8,DF=6.

⑴【特例發現】如圖1,當點。，點E與點F分別在A。，BC上時，可以得出結論：鋁=；

直線4。與直線CF的位置關系是.

(2)【探究證明】如圖2,將圖1中的ADEF繞點。順時針旋轉，使點。恰好落在線段4c上，連接

CF.(l)中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

(3)【拓展運用】如圖3,將圖1中的ADEF繞點。順時針旋轉a(19。<a<60。)，連接49,FC,

它們的延長線交于點H,當DH=OF時：

①連接0D,判斷四邊形OFHD的形狀，并給予證明；

②直接寫出cos(60。一a)的值.

(1)【問題呈現】

如圖1,AZBC和ATWE者B是等邊三角形，連接BD,CE.求證：BD=CE.

(2)【類比探究】

如圖2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，AABC=AADE=90°.連接BD,CE.請直接寫出,

的值.

(3)【拓展提升】

如圖3,AZBC和AaOE者E是直角三角形，^ABC=AADE=90°,且需=器=/連接B￡),CE.延

長CE交BQ于點F,交于點G.求sin/BFC的值.

22.如圖

【方法嘗試】如圖1,矩形4BFC是矩形4CGE以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉90。所得的圖

形，CB、EO分別是它們的對角線.求證:CB1ED.

【類比遷移】如圖2,在RCA4BC和RtAZDE中，ABAC=ADAE=90°,AC=亞,AB=巾,

AE=痘，AD=1.將△繞點4在平面內逆時針旋轉，設旋轉角ZB4E為毆0。<a<360°),連接CE,

BD.

①請判斷線段CE和BQ的數量關系和位置關系，并說明理由；

②當點B,D,E在同一直線上時，求線段CE的長.

【拓展延伸】如圖3,在RtAZBC中，AACB=90°,AB=6,過點2作AP||BC,在射線AP上取一

點。，連接CD,使得tcm乙48=桃，請直接寫出線段BD的最值.

23.(1)【探究發現】如圖，在正方形4BCQ中，E為4。邊上一點，將△2EB沿BE翻折得到△BEF,

延長EF交CD邊于點G.求證：△BFGSABCG；

(2)【類比遷移】如圖，在矩形2BCD中，E為4。邊上一點，且4。=8,AB=6,將AAEB沿BE

翻折得到ABEF,延長EF交BC邊于點G,延長B尸交CD邊于點H,且FH=CH,求4E的長;

(3)【實踐創新】如圖，為等腰三角形，AABC=90°,O為斜邊AC的中點，M,N為線

段4C上的動點，且滿足ZMBN=45°,設ZMB。=a,乙NBO=6,AB=V2,證明：tan(a+6)=

tana+tanS

1—tancr-tany?,

四'實踐探究題

24.仁皇閣是一個著名景點，某校九年級研學期間參觀了仁皇閣，數學興趣小組對仁皇閣高度產生了

測量

測量角度的儀器，皮尺，刻度尺等

工具

組別測量方案示意圖測量方案說明

A

、一惠

如圖1,先在仁皇閣底部廣場的C處用儀器測得閣樓

頂端A的仰角為27。，然后從C處向閣樓底部前進

組1

10m到達D處，此時在D處測得閣樓頂端A的仰角

CDB

圖1為30。.

*E

如圖2,身高1.5m的組員站在仁皇閣正門邊上合

組2影.打印出照片后量得此組員圖上高度GH為0.5cm,

量得仁皇閣圖上高度EF為12.9cm.

圖2

(1)任務一請分別計算兩組中測量得到的閣樓高度；(結果保留小數點后一位.參考數據sin27°?

0.45,cos27"0.89,tan27°?0.50,41,V31.73)

(2)任務二后續經過查證后發現小組2數據更為精確，請你幫小組1分析可能產生誤差的原因.(寫

出一條即可)

25.如圖1,某人的一器官后面A處長了一個新生物，現需檢測其到皮膚的距離.為避免傷害器官，可

利用一種新型檢測技術，檢測射線可避開器官從側面測量.某醫療小組制定方案，通過醫療儀器的測量

獲得相關數據，并利用數據計算出新生物到皮膚的距離方案如下:

課題檢查新生物到皮膚的距離

工具醫療儀器等

Sc皮膚_____________

示意

蠹物

圖

圖1圖2

如圖2,新生物在A處，先在皮膚上選擇最大限度地避開器官的B處照射新生物，檢測射

線與皮膚MN的夾角為NDBN；再在皮膚上選擇距離B處9cm的C處照射新生物，檢測

說明

射線與皮膚MN的夾角為NECN.

測量

NDBN=35°,ZECN=22°,BC=9cm.

數據

請你根據上表中的測量數據，計算新生物A處到皮膚的距離（結果精確到0.1cm,參考數據：

sin35°~0.57,cos35°?0.82,tan35~0.70,sin22°~0.37,cos22°?0.93,tan22°~0.40）.

26.【問題背景】

在一次數學實踐活動中，張老師將班級學生分成“扶搖”、“驚鴻”、“騏驥”三個小組，運用直角三角尺

測量三個不同直尺的寬度.（直尺的每兩個長刻度之間的長度是1cm）

【實踐探究】

（1）扶搖組同學用含45。的三角尺，提出按照圖1的方案，直尺與直角三角尺ZBC的邊4C重合，

另一邊分別交力aBC于點E,F.點4,C,E,尸的讀數分別為13,20,4.2,0,則該直尺的寬度FC

的長為cm；

（2）驚鴻組同學用含45。的三角尺，提出按照圖2的方案，直尺與直角三角尺4BC的斜邊AB重合,

另一邊分別交ZC,BC于點M,N點A,B,M,N的讀數分別為20,10,3,7,求該直尺的寬度；

（3）騏驥組同學用含30。的三角尺，提出按照圖3的方案，直尺與直角三角尺力BC斜力B平行，直

分別交AC,BC于點S,P,T,Q.點S,T,P,Q的讀數分別為20,10,1.8,4.6,Z.B=30°,直接寫

出該直尺的寬度.（結果精確到0.1cm）.0（參考數據：V3x1.73）

27.綜合與實踐：【問題情境】：通過查看出廠包裝袋上的數據，數學活動小組的同學發現44紙的長

與寬分別為297zmn和210nwi,其比值為第n1.414,而迎71.414,他們上網查閱資料也發現44

紙的長與寬的比是一個特殊值“遮”.不妨定義長與寬的比為魚：1的矩形為“標準矩形”.【操作實踐】：

如圖1,數學活動小組的同學在幾何畫板軟件上畫了一個正方形4BCD,連接對角線BD,在射線DC

上截取了￡>E=DB,過點E作EF12B交ZB的延長線于點F,令=1.

【問題探究工

(1)求證：四邊形4FE。為“標準矩形”；

(2)如圖2,數學活動小組的同學在圖1的基礎上隱藏了線段BC,在線段EF上取一點P,連接BP,

DP.

①當QP平分ZBDE時，求PF的長；

②當ABCP的周長最小時，求ZPBF的正切值.

28.某“綜合與實踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動.他們制訂了測量方案，并利用課余時間

完成了實地測量.他們在該旗桿底部所在的平地上，選取兩個不同測點，分別測量了該旗桿頂端的仰角

以及這兩個測點之間的距離.為了減小測量誤差，小組在測最仰角的度數以及兩個測點之間的距離時,

都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結果，測量數據如下表(不完整).

課題測量旗桿的高度

----A

7

成員組長XXX組員：XXX,XXX,XXX

測量工具測量角度的儀器、皮尺等

說明：線段GH表示學校旗桿，測量角度的儀

測育嚷示意圖器的高度AC=BD=1.5m,測點A,B與H

在同一條水平直線上，A,B之間的距離可以

直接測得，且點G,H,A,B,C,D都在同

E__________J__

HBA一豎直平面內.點C,D,E在同一條直線上，

點E在GH上.

測量項目第一次第二次平均值

NGCE的度

25.6°25.8°25.7°

數

測量數據

NGDE的

31.2°30.8°31°

度數

A,B之間

5.4m5.6m

的距離

任務一：兩次測量，A,B之間的距離的平均值是▲m.

任務二：根據以上測量結果，請你幫助該“綜合與實踐”小組求出學校旗桿GH的高度.

(參考數據：sin25.7°?0.43,cos25.7°.0.90,tan25.7°?0.48,sin31°工0.52,cos31°工0.86,

tan31°?0.60)

任務三：該“綜合與實踐”小組在制訂方案時，討論過“利用物體在陽光下的影子測量旗桿的高度”

的方案，但未被采納，你認為其原因可能是什么？

29.問題：如何設計“倍力橋”的結構？

圖1是搭成的“倍力橋”,縱梁a,c夾住橫梁b,使得橫梁不能移動，結構穩固.圖2是長為(cm),

寬為3cm的橫梁側面示意圖，三個凹槽都是半徑為1cm的半圓，圓心分別為內，02,03,

OiM=OiN,O2Q=O3P=2cm,縱梁是底面半徑為1cm的圓柱體，用相同規格的橫梁、縱

梁搭“橋”，間隙忽略不計.

探究1：

縱苑

橫海

圖I

（1）圖3是“橋”側面示意圖，A,B為橫梁與地面的交點，C,E為圓心，D,Hi，&是橫梁側面

兩邊的交點，測得ZB=32cm,點C到AB的距離為12cm,試判斷四邊形CDE/的形狀，并求I的值.

（2）若搭成的“橋”剛好能繞成環，其側面示意圖的內部形成一個多邊形.

①若有12根橫梁繞成環，圖4是其側面示意圖，內部形成十二邊形修"2H3-412,求，的值；

②若有n根橫梁繞成的環（"為偶數,且n>6）,試用關于n的代數式表示內部形成的多邊形

“用2"3一?%的周長.

30.我國著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分

家萬事休”，數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，它們之間有著十分密切的聯系，在一定條件

下，數和形之間可以相互轉化，相互滲透.在我校的數學選修課上，同學們針對四邊形面積求解的問題

進行了探究：

圖1圖2

（1）【問題提出】

如圖1,在o中，乙4=45。，AB=8,AD=6,E是40的中點，點F在DC上，且DF=5,

求四邊形4BFE的面積；（結果保留根號）

（2）【問題解決】

如圖2所示，現規劃在一處灘地上規劃一個五邊形河畔公園ABCDE,按設計要求，要在五邊形河

畔公園4BCDE內挖一個四邊形人工湖。PMN,使點。、P、M、N分別在邊BC、CD、AE.上，且滿

足B。=2AN=2CP,AM=0C.已知五邊形4BCDE中，NA=zB=ZC=90。，AB=800m,BC=

1200m,CD=600m,AE=900m,為滿足人工湖周邊各功能場所及綠化用地需要，想讓人工湖面積

盡可能小,請問，是否存在符合設計要求的面積最小的四邊形人工湖0PMN?若存在，求四邊形。PMN

面積的最小值及這時點N到點4的距離；若不存在，請說明理由.

答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】62

8.【答案】(1)!

⑵導

9.【答案】33792

10.【答案】|

【答案】⑴手

(2)解：如圖所示，過點A作ADLBC于點D,在BC上找點E,使BE=AE,

A

VZC=45°,AC=2V3-2,ZDAC=45°.

...AD=CD,sinC第，

/icz乙7s-z

AD=V6-V2.

?../B=15。，sinB嚼，gp76-72=76-V2>

AABM.

VBE=AE,/.ZB=ZEAB=15°.

/.ZAED=30°.

.\AE=2AD=2V6-2V2.

tanNAED=器，即孚旦常1

ED=3V2-V6.

CB—BE+DE+DC=2V6-2V2+3V2-V6+V6-V2—2V6.

12.【答案】(1)V2-1

(2)證明：延長CB使BD=2B,連接ZD,得AD=全

設BC=1,

tana—m,

???AC=m,AB=J/+i，

??CD—J*+1+1

.tan。—m—m(Vm2+l-1)_(Vm2+1—1)

2Vm2+1+1(Vm2+1+1)(Vm2+1—1)m

13.【答案】(1)證明：過點A作ADJ_BC交BC于點D,如圖2所示:

在RtAABD中，AD=csinB,

在RtAACD中，AD=bsinC,

/.csinB=bsinC,

?b_c

**sinB-sinC'

(2)解：過點A作AELBC交BC于點E,如圖3所示:

NBAC=67。，NB=53。，ZC=60°,

在RtAACE中，ZE=ZC?sin60。=80x字=40百(m)，

..AC_BC

*sinB=sin^BAC"

4cfin/B4c?80義0.9

：

.BCsinA~0.8=90(zn),

2

■-S^ABc=1x90x40V3=1800V3(m).

這片區域的面積為1800V3m2.

14.【答案】(1)解：“BD=CE”仍成立.

,?NBAC=NDAE,NBAD=NCAE.

又：AB=AC,AD=AE,AABAD^ACAE(SAS).

，BD=CE.

(2)解：作AFLBE于點F.

?.'△ABC為等邊三角形，；.ZBAC=60°.AZDAE=ZBAC=60°.

又AD=AE,.;△ADE為等邊三角形.

，AE=AD=DE=2,ZEAF=30°.

.,.EF=1,AF=V3,DF=EF=1.

在Rt^ABF中，BF=V4B2—4尸2=12_(圾2=限

.\BD=BF-DF=V6-1,.-.CE=BD=V6-1.

15.【答案】(1)學

⑵竽

16.【答案】(1)解：①證明：如圖1,延長4。交BE于P,

B

圖1

由折疊知，乙4FB=90。=乙4CB,

???/LDAC+/.ADC=乙BDF+乙EBC=90°,

???Z-ADC=乙BDF,

???Z-DAC=Z-EBC；

②1

(2)解：如圖2,延長ZD交BE于F,

B

圖2

由⑴①知，乙DAC=LEBC,

■:Z-ACG=乙BCE,

??.△ACG^LBCE,

CGAC

-'-CE=BC"m；

(3)解：由折疊知，^AFB=90°,BF=FE,

???點。是BC的中點，

??.BD=CD,

???D尸是ABCE的中位線，

???DF"CE,

:?乙BEC=^BFD=90。,Z.AGC=zFCG,Z.GAH=/.CEA,

由(2)知，AACGS^BCE,

ACAC、B

^AGC=乙BEC=90°,訪=%：=2血=V2,

2bL

CG^DC1

-''AG^tan^GAC=AC=^

設CG=x,貝4G=V2x,BE—2x,CE=V2x

??.AG=CE,

??.△ZG*ZkECH(44S),

???AH=EH,GH=CH,

1

?*?GH=

在中，根據勾股定理得，AH=jAG2+GH2=lx,

???EB?EH=6,

，2c%?13%=,6,

???x—魚或久=—四（舍），

即CG=A/5.

17.【答案】8，學學【實踐探究】在解決“如圖1,在Rt△ABC中，NC=90°,AC=2,BC=1,求tan（N）

5乙

的值”這一問題時，小邕想構造包含號4的直角三角形，延長C4到點D,使DA=AB,連接BD,所以

可得乙D=±NB4C,問題即轉化為求功的正切值，請按小邕的思路求tan（聶）的值【答案】解：如圖

R

1,在RtZkABC中，ZC=90。，AC=2,BC=1,--'=/'______j-,.AB=AC2+BC2=V5-

D...............AC

圖I

.'-ADAB=：.^D=AABD,：.ABAC=2AD,CD=AD+AC=2+^5,：-tan^A=tanD=

1fL=代一2.【拓展延伸】如圖2,在中，ZC=90°,AC=3,tanZ=5請模仿小邕的思

V5+23

路或者用你的新思路，試著求一求tan24的值.【答案】解：如圖2,作AB的垂直平分線交/C于點E,

\B

連接BE..1._J則NBEC=2N4ZE=BE,N4=N4BE.?.?RtAZBC中，NC=90。,4。=

AE\C

i‘q，

1__

3,tanX=q.；?BC=1,AB—VTU.設ZE=x,則EC=3—%,在Rt/XEBC中，%2=(3-X)2+1,解

八BC3

得尤=1，即ZE=BE=|,EC=1./.tan24=tanZ_8EC==不

(1)V3；等；*

(2)解：如圖1,在HtAZBC中，ZC=90c,AC=2,BC=1,

B

*二二N

DAC

ffll

???XB=y/AC2+BC2=V5.

?'-AD=AB=V5,

/.Z.D=Z-ABD,

:.乙BAC=2乙D,CD=AD+AC=2+V5,

1

/.tan2A—tanD==V5-2.

V5+2

(3)解：如圖2,作ZB的垂直平分線交4c于點E,連接BE.

圖2

則ZBEC=2乙4,AE=BE,Z4=^ABE.

RtAABC^,z_C=90°,AC—3,tan/l=:.

：.BC=1,AB=V10.

設ZE=x,貝!JEC=3—x,

在RMEBC中，%2=(3-%)2+l,

解得％="l，即ZE=BE=I*,EC-/

nro

Atan24=tanzFFC=注=本

18.【答案】(1)1<AD<5

(2)解：①如圖②，延長2。到點E,^AD=DE,連結CE,

???BD=CD,匕ADB=乙EDC,AD=DE,

???△/Br?ECD(SZS),

Z.E=^BAD=90°,DE=AD=3,CE=AB,

在RM/EC中，AE=6,AC=2V10,

???CE=VXC2—AE2=V40—36=2,

AB=CE=2；

②如圖③，延長ZO到點G,使ZD=GD,連結CG,

F

E

BD\C

'、

G

(圖③)

由(1)知道GCD(SAS},

:.Z.G—匕BAD,AB=CG,

???乙BAD+乙CAG+LEAF=360°-^EAB-^LFAC=180°,

???NG+/-CAG+^EAF=180°,

又???ZG+"AG+乙ACG=180°,

?，?Z.EAF=Z-ACG,

EAEA/ADU+or\oFAArr+2co

???亞=就=tanZ-ABE=tan30=手，蔗=tanZ.ACF=tan30=丁

EA_FA

GC=AC'

??.△EAF^LGCA,

EFV3

GA=^

EF=*4G，

vAG=2AD=4V3,

???EF=*X4A/3=4-

故答案為：4.

19.【答案】(1)證明：???四邊形/BCD是矩形，

???乙ABC=3=90°,ABHCD,

由折疊得：/-BME=^A=90°,

???四邊形是矩形，

??.AB//EM,

???EM//CD,

???(GMD=乙CDM,

由折疊得：乙CDF=CGDF,

???Z-GMD=Z.GDF,

DG=GM；

（2）8-2V13;

20.【答案】（1）遍；AD1CF

（2）解：成立.

證明：如圖2,連接DO,

.AO_OC_4

"'DO='OF=3,

又AAOD=/.COF,

??.△AOD^COF,

...罌=槳=學=技乙OCF=〃）AD,

CrUC4

又”/LOAD+^ACO=90°,

???ZOCF+^ACO=90°,

即力。1CF.

故（1）中的結論仍然成立；

（3）解：①矩形.

證明：如圖3,連接。。，設DF與/C交點為M,則乙4Mo=a,

（圖3）

由(2)可知NH=90°,

一1

又?：DH=OF,0F=^DF=3,

1

???DH=”F,

”廠DH1

:.cosZ-HDF=口戶=2，

???乙HDF=60°,

-1

又「乙ODF=REDF=30。，

乙ODH=90°,

又乙DOF=AH=90°,

???四邊形OFHD是矩形.

@cos(60°—a)=3+^^.

21.【答案】(1)證明：???△ABC和都是等邊三角形，

AD=AE,AB=AC,乙DAE=ABAC=60°,

^DAE-乙BAE=Z.BAC-乙BAE,即=Z.EAC

：.AADB三AAEC(SAS)

BD=CE

(2)解：???△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，乙4BC=NACE=90。，AD=DE,AB=BC

AE=yjAD2+DE2=6AD，AC=AB2+BC2=夜/B，

AE42AD_AD

"^C~/ZAB~^B

ADAE=ABAC=45°,

^DAE-ABAE=ABAC-乙DAE,即乙DAB=Z.EAC

??.ADABEAC,

.BDAD_AD_V2

"~CE~~AE^/ZAD一不

(3)解：???△ABC和ATWE都是直角三角形，^ABC=AADE=90°,且需=器=半

???AABC八ADE,

?"E="票=需

ZDXE-乙BAE=ABAC-乙BAE,即NfMB=Z.EAC,

???ADAB八EAC,

???乙ABD=Z.ACE,

■:Z-AGC=Z-FGB,

???Z-BFC=乙CAB,

r>r

???smZ-BFC=smZ-BAC=衣,

設ZB=3k,BC=4k,則力C=y/AB2+BC2=7(3/c)2+(4/c)2=5k，

BC_4k_4

???sinzBFCAC=5k=5

22.【答案】解：【方法嘗試】證明：如圖1中，延長CB交DE于T.

???四邊形/HFC是矩形,

：.￡.CAB=90°,

■:乙ABC=乙EBT,

，乙BTE=乙CAB=90°,

ACB1DE；

【類比遷移】解：①結論：CE=y/3BD,CE1BD.

理由：如圖2中，延長CE交3D于點Q,交43于點O.

：.^CAE=匕BAD,

VXC=V21,AB=?XF=V3,AD=1,

..AC_AE_

9AB=AD=

△CAE?XBAD,

?嚼=籍=舊，^ACE=^ABD,

'：^AOC=乙BOQ,

：.^OQB=AOAC=90°,

：.CE=-J3BD,CE1BD；

②如圖2-1中，當點D落在線段BE上時，設BD=x,

圖2T

'."EC=y[3BD,EC1BD,

EC—V3x,

BC=yjAB2+AC2=J(")2+(何＞=2夕，DE=y/AD2+AE2=Jl2+(V3)2=2-

"：BC2=EC2+BE2,

(277)2=(2+%)2+(V3x)2,

整理得，x2+x—6—0,

解得x=-3或2(負根舍棄)，

/.CE=2V3.

如圖2-2中，當點E在線段BD上時，設BD=ni,則EC=遍小，BE=m-2,

圖2-2

"：BC2=BE2+EC2,

3m2+(m—2)2=28,

???租=3或一2(負根舍棄)，

?'?EC=V3m=3A/3,

綜上所述，EC的長為2百或3百；

【拓展延伸】BD的最小值為畢一》,最大值為窣+?

4444

23.【答案】(1)證明：由翻折的性質以及正方形的性質可得，AB=BF=BC,ZBFE=乙4=90。,

?./.BFG=90°=ZC,

在RtABFG和RtABCG中，

..(BG—BG

?IFF=BC'

：.Rt△BFG=RtABCG(HL),

△BFG=△BCG；

(2)解：如圖，延長BH,4D交于點Q,

設FH=CH=x,貝IJBH=6+x,

在RMBCH中，由勾股定理得，BC2+CH2=BH2,即82+/=(6+K)2,解得％=1

:.DH=DC-HC=^-,

'：AQDH==90°,乙DQH=AAQB,

：.ADQHsAAQB,

.?骼=器，即兀=：,解得DQ=當，

力QAB8+DQ67

在RtADHQ中,由勾股定理得，HQ='即+QQ2=資,

?廠c廠”,“c7,275108

??FQ=FH+HQ=可+-2j~=

?:乙QDH=LQFE=9。。,乙DQH=^FQE,

：.ADQH八FQE,

]]88

,/=端，即蠢=備，解得"=小

~7~

Q

?>AE=EF=2，

???4E的長為方

(3)證明：???/?[△Z3C為等腰三角形，LABC=90°,O為斜邊ZC的中點,

???乙4=乙4cB=45°,OB=OA=OC,

如圖，將△B4M繞B點順時針旋轉90。得到△艮4時，連接NM',CM,，

由旋轉的性質可得△BAM=△BAM'，BM=BM，AM=CM'，乙BCM,=匕BAM=45。，

Z-MBM=90。，

■:乙MBN=45°,

**-zM'BN=45。，

在AMBN和BN中，

(BM=BM'

9：］AMBN=^M'BN'

vBN=BN

:FMBN三AM'BN(SAS)，

：-MN=MN=OM+ON，

VzMBAf=45°,A.MBO=a,乙NBO=R,AB=g

.\OB=AB-cos45°=1,tan(a+jS)=tan45°=1,tana=^^=OM,tanS=—ON,tana+

UDUD

tanS=OM+ON,tana?tan6=OM-ON,

￡.BCM+/LACB=90。，

2

:?在RtANCM'中，由勾股定理得M,N2=CM'+CN2，

即M'N2=AM2+CN2=(1-。〃)2+(1-0N)2

=2-2(0M+ON)+OM2+ON2

=2-2(0M+ON)+(OM+ONy-2OM-ON

=2-2MN+M'N2-2OM-ON

：.OM-ON=M'N，

,tana+tanSOM+ONM'N>o\

?,用閑蠢=「兩西=0=14=tan(a+/?)，

tana+tan0

/.tan(a+°)=1—tancr-tan^

24.【答案】（1）解：組1,vAB1BC,

???乙ABC=90°,

在At△