福建省南平市邵武市四中2023-2024學年高一數學第二學期期末學業水平測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．某市舉行“精英杯”數學挑戰賽，分初賽和復賽兩個階段進行，規定：初賽成績大于90分的具有復賽資格，某校所有學生的成績均在區間內，其頻率分布直方圖如圖所示，該校有130名學生獲得了復賽資格，則該校參加初賽的人數約為（）A．200 B．400 C．2000 D．40002．七巧板是古代中國勞動人民的發明，到了明代基本定型．清陸以湉在《冷廬雜識》中寫道：近又有七巧圖，其式五，其數七，其變化之式多至千余．如圖，在七巧板拼成的正方形內任取一點，則該點取自圖中陰影部分的概率是（）A． B．C． D．3．一個幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C．10 D．4．等比數列的各項均為正數，且，則（）A． B． C． D．5．在區間上隨機選取一個數，則滿足的概率為()A． B． C． D．6．已知在中，，則的形狀是A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形7．《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作，其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗公式為弧田面積，弧田（如圖所示）由圓弧和其所對的弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現有圓心角為，半徑為6米的弧田，按照上述經驗公式計算所得弧田面積大約是（）（）A．16平方米 B．18平方米C．20平方米 D．24平方米8．在中，為的中點，，則（）A． B． C．3 D．-39．若是函數的兩個不同的零點，且這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則的值等于（）A．1 B．5 C．9 D．410．若圓與圓外切，則（）A．21 B．19 C．9 D．-11二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某單位共有200名職工參加了50公里徒步活動，其中青年職工與老年職工的人數比為，中年職工有24人，現采取分層抽樣的方法抽取50人參加對本次活動滿意度的調查，那么應抽取老年職工的人數為________人.12．在中，已知M是AB邊所在直線上一點，滿足，則________.13．某公司有大量客戶，且不同齡段客戶對其服務的評價有較大差異．為了解客戶的評價，該公司準備進行抽樣調查，可供選擇的抽樣方法有簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣，則最合適的抽樣方法是________．14．已知正方體中,，分別為,的中點,那么異面直線與所成角的余弦值為______.15．給出下列五個命題：①函數的一條對稱軸是；②函數的圖象關于點（,0）對稱；③正弦函數在第一象限為增函數；④若，則，其中；⑤函數的圖像與直線有且僅有兩個不同的交點，則的取值范圍為.以上五個命題中正確的有（填寫所有正確命題的序號）16．執行如圖所示的程序框圖，則輸出結果_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，經過村莊有兩條夾角為的公路，根據規劃要在兩條公路之間的區域內修建一工廠，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫（異于村莊），要求（單位：千米），記.（1）將用含的關系式表示出來；（2）如何設計（即為多長時），使得工廠產生的噪聲對居民影響最小（即工廠與村莊的距離最大）？18．某校名學生的數學期中考試成績頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區間是,,,，，.求圖中的值；根據頻率分布直方圖,估計這名學生的平均分；若這名學生的數學成績中,某些分數段的人數與英語成績相應分數段的人數之比如表所示,求英語成績在的人數.分數段:51:21:119．已知函數.（1）求在區間上的單調遞增區間；（2）求在的值域.20．為保障高考的公平性，高考時每個考點都要安裝手機屏蔽儀，要求在考點周圍1km內不能收到手機信號，檢查員抽查某市一考點，在考點正西約km/h的的B處有一條北偏東60°方向的公路，在此處檢查員用手機接通電話，以每小時12千米的速度沿公路行駛，最多需要多少時間，檢查員開始收不到信號，并至少持續多長時間該考點才算合格？21．已知角的終邊經過點，且．（1）求的值；（2）求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由頻率和為1，可算得成績大于90分對應的頻率，然后由頻數÷總數=頻率，即可得到本題答案.【詳解】由圖，得成績大于90分對應的頻率=，設該校參加初賽的人數為x，則，得，所以該校參加初賽的人數約為200.故選：A【點睛】本題主要考查頻率直方圖的相關計算，涉及到頻率和為1以及頻數÷總數=頻率的應用.2、B【解析】

設陰影部分正方形的邊長為，計算出七巧板所在正方形的邊長，并計算出兩個正方形的面積，利用幾何概型概率公式可計算出所求事件的概率.【詳解】如圖所示，設陰影部分正方形的邊長為，則七巧板所在正方形的邊長為，由幾何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形內任取一點，則該點取自圖中陰影部分的概率，故選：B.【點睛】本題考查幾何概型概率公式計算事件的概率，解題的關鍵在于弄清楚兩個正方形邊長之間的等量關系，考查分析問題和計算能力，屬于中等題.3、B【解析】

由三視圖可知該幾何體為正四棱臺，下底面邊長為4，上底面邊長為2，高為1．再由正四棱臺體積公式求解．【詳解】由三視圖可知該幾何體為正四棱臺，下底面邊長為4，上底面邊長為2，高為1，所以，，∴該正四棱臺的體積.故選：B．【點睛】本題考查由三視圖求正四棱臺的體積，關鍵是由三視圖判斷出原幾何體的形狀，屬于基礎題．4、D【解析】

本題首先可根據數列是各項均為正數的等比數列以及計算出的值，然后根據對數的相關運算以及等比中項的相關性質即可得出結果．【詳解】因為等比數列的各項均為正數，，所以，，所以，故選D．【點睛】本題考查對數的相關運算以及等比中項的相關性質，考查的公式為以及在等比數列中有，考查計算能力，是簡單題．5、D【解析】

在區間上，且滿足所得區間為，利用區間的長度比，即可求解．【詳解】由題意，在區間上，且滿足所得區間為，由長度比的幾何概型，可得概率為，故選D．【點睛】本題主要考查了長度比的幾何概型的概率的計算，其中解答中認真審題，合理利用長度比求解是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題．6、D【解析】

利用正弦定理可將已知中的等號兩邊的“邊”轉化為它所對角的正弦，再利用余弦定理化簡即得該三角形的形狀．【詳解】根據正弦定理，原式可變形為：所以整理得．故選．【點睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.7、C【解析】分析：根據已知數據分別計算弦和矢的長度，再按照弧田面積經驗公式計算，即可得到答案.詳解：由題可知，半徑，圓心角，弦長：，弦心距：，所以矢長為.按照弧田面積經驗公式得，面積故選C.點睛：本題考查弓形面積以及古典數學的應用問題，考查學生對題意的理解和計算能力.8、A【解析】

本題中、長度已知，故可以將、作為基底，將向量用基底表示，從而解決問題．【詳解】解：在中，因為為的中點，所以，故選A【點睛】向量數量積問題常見解題方法有1.基底法，2.坐標法．基底法首先要選擇兩個不共線向量作為基向量，然后將其余向量向基向量轉化，然后根據數量積公式進行計算；坐標法則要建立直角坐標系，然后將向量用坐標表示，進而運用向量坐標的運算規則進行計算．9、C【解析】試題分析：由韋達定理得，，則，當適當排序后成等比數列時，必為等比中項，故，．當適當排序后成等差數列時，必不是等差中項，當是等差中項時，，解得，；當是等差中項時，，解得，，綜上所述，，所以．考點：等差中項和等比中項．10、C【解析】試題分析：因為,所以且圓的圓心為,半徑為,根據圓與圓外切的判定(圓心距離等于半徑和)可得,故選C.考點：圓與圓之間的外切關系與判斷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解析】

直接利用分層抽樣的比例關系得到答案.【詳解】青年職工與老年職工的人數比為，中年職工有24人，故老年職工為，故應抽取老年職工的人數為.故答案為：.【點睛】本題考查了分層抽樣的相關計算，意在考查學生的計算能力.12、3【解析】

由M在AB邊所在直線上，則，又，然后將，都化為，即可解出答案.【詳解】因為M在直線AB上，所以可設，

可得，即，又，則由與不共線，所以，解得.故答案為：3【點睛】本題考查向量的減法和向量共線的利用，屬于基礎題.13、分層抽樣.【解析】分析：由題可知滿足分層抽樣特點詳解：由于從不同齡段客戶中抽取，故采用分層抽樣故答案為分層抽樣．點睛：本題主要考查簡單隨機抽樣，屬于基礎題．14、【解析】

異面直線所成角，一般平移到同一個平面求解．【詳解】連接DF，異面直線與所成角等于【點睛】異面直線所成角，一般平移到同一個平面求解．不能平移時通常考慮建系，利用向量解決問題．15、①②⑤【解析】試題分析：①將代入可得函數最大值,為函數對稱軸；②函數的圖象關于點對稱,包括點；③,③錯誤；④利用誘導公式,可得不同于的表達式；⑤對進行討論,利用正弦函數圖象,得出函數與直線僅有有兩個不同的交點，則．故本題答案應填①②⑤.考點：三角函數的性質．【知識點睛】本題主要考查三角函數的圖象性質.對于和的最小正周期為.若為偶函數,則當時函數取得最值,若為奇函數,則當時,.若要求的對稱軸,只要令,求.若要求的對稱中心的橫坐標,只要令即可.16、1【解析】

弄清程序框圖的算法功能是解題關鍵．由模擬執行程序，可知，本程序的算法功能是計算的值，依據數列求和方法——并項求和，即可求出．【詳解】根據程序框圖，可得程序框圖的功能是計算并輸出，輸出的為1．【點睛】本題主要考查了含有循環結構的程序框圖的算法功能的理解以及數列求和的基本方法——并項求和法的應用．正確得到程序框圖的算法功能，選擇合適的求和方法是解題的關鍵．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】

（1）根據正弦定理，得到，進而可求出結果；（2）由余弦定理，得到，結合題中數據，得到，取最大值時，噪聲對居民影響最小，即可得出結果.【詳解】（1）因為，在中，由正弦定理可得：，所以，；（2）由題意，由余弦定理可得：，又由（1）可得，所以，當且僅當，即時，取得最大值，工廠產生的噪聲對居民影響最小，此時.【點睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理的應用，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于常考題型.18、（1）（2）平均數為（3）人【解析】

(1)根據面積之和為1列等式解得.(2)頻率分布直方圖中每一個小矩形的面積乘以底邊中點的橫坐標之和即為平均數,(3)先計算出各分數段上的成績,再根據比值計算出相應分數段上的英語成績人數相加即可.【詳解】解：由,解得.頻率分布直方圖中每一個小矩形的面積乘以底邊中點的橫坐標之和即為平均數,即估計平均數為.由頻率分布直方圖可求出這名學生的數學成績在,,的分別有人,人,人,按照表中給的比例,則英語成績在,,的分別有人,人,人,所以英語成績在的有人.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖,屬中檔題.19、(1)和.(2)【解析】

（1）利用輔助角公式可將函數化簡為；令可求出的單調遞增區間，截取在上的部分即可得到所求的單調遞增區間；（2）利用的范圍可求得的范圍，對應正弦函數的圖象可求得的范圍，進而得到函數的值域.【詳解】（1）令，解得：令，可知在上單調遞增令，可知在上單調遞增在上的單調遞增區間為：和（2）當時，即在的值域為：【點睛】本題考查正弦型函數單調區間和值域的求解問題；解決此類問題的常用方法是采用整體對應的方式，將整體對應正弦函數的單調區間或整體所處的范圍，從而結合正弦函數的知識可求得結果.20、答案見解析.【解析】

由題意利用正弦定理首先求得的大小，然后確定檢查員檢查合格的方法即可.【詳解】檢查開始處為，設公路上兩點到考點的距離均為1km.在中，,由正弦定理，得，，.在中，,為等邊三角形，.在段需要5min，在段需要5min.則最多需要5min，檢查員開始收不到信號，并至少