湖南省長沙麓山國際實驗學校2024屆數學高一下期末檢測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在ABC中，．則的取值范圍是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）2．設變量滿足約束條件，則目標函數的最大值為()A．3 B．4 C．18 D．403．已知，為直線，，為平面，下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，則與為異面直線C．若，，，則D．若，，，則4．已知是定義在上不恒為的函數，且對任意，有成立，，令，則有()A．為等差數列 B．為等比數列C．為等差數列 D．為等比數列5．已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．6．以下給出了4個命題：（1）兩個長度相等的向量一定相等；（2）相等的向量起點必相同；（3）若，且，則；（4）若向量的模小于的模，則．其中正確命題的個數共有（）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個7．已知向量，，，且，則實數的值為A． B． C． D．8．已知三條相交于一點的線段兩兩垂直且在同一平面內，在平面外、平面于，則垂足是的（）A．內心 B．外心 C．重心 D．垂心9．如圖：樣本A和B分別取自兩個不同的總體，他們的樣本平均數分別為和，樣本標準差分別為和，則（）A．B．C．D．10．已知直線(3-2k)x-y-6=0不經過第一象限，則k的取值范圍為（）A．-∞,32 B．-∞,32二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．關于的方程只有一個實數根，則實數_____．12．的值為___________．13．已知函數，則的取值范圍是____14．等腰直角中，，CD是AB邊上的高，E是AC邊的中點，現將沿CD翻折成直二面角，則異面直線DE與AB所成角的大小為________.15．已知，，，若，則__________．16．在直角坐標系中，已知任意角以坐標原點為頂點，以軸的非負半軸為始邊，若其終邊經過點，且，定義：，稱“”為“的正余弦函數”，若，則_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知向量，又點，，，.（1）若，且，求向量；（2）若向量與向量共線，常數，求的值域.18．已知函數.（1）求的單調遞增區間；（2）求在區間的最大值和最小值.19．已知直線經過兩條直線:和:的交點，直線:；(1)若，求的直線方程；(2)若，求的直線方程．20．如圖，已知矩形ABCD中，，，M是以CD為直徑的半圓周上的任意一點（與C，D均不重合），且平面平面ABCD.（1）求證：平面平面BCM；（2）當四棱錐的體積最大時，求AM與CD所成的角.21．已知函數（1）求函數的反函數；（2）解方程：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

試題分析：由于，根據正弦定理可知，故．又，則的范圍為.故本題正確答案為C.考點：三角形中正余弦定理的運用.2、C【解析】不等式所表示的平面區域如下圖所示，當所表示直線經過點時，有最大值考點：線性規劃.3、D【解析】

利用空間中線線、線面、面面間的位置關系對選項逐一判斷即可.【詳解】由，為直線，，為平面，知：在A中，若，，則與相交、平行或異面，故A錯誤；在B中，若，，則與相交、平行或異面，故B錯誤；在C中，若，，，則與相交、平行或異面，故C錯誤；在D中，若，，，則由線面垂直、面面平行的性質定理得，故D正確.故選：D.【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，屬于基礎題.4、C【解析】令,得到得到，.,說明為等差數列，故C正確，根據選項，排除A，D.∵.顯然既不是等差也不是等比數列．故選C.5、B【解析】

利用橢圓的性質列出不等式求解即可．【詳解】方程1表示焦點在y軸上的橢圓，可得，解得1＜m．則m的取值范圍為：（1，）．故選B．【點睛】本題考查橢圓的方程及簡單性質的應用，基本知識的考查．6、D【解析】

利用向量的概念性質和向量的數量積對每一個命題逐一分析判斷得解.【詳解】（1）兩個長度相等的向量不一定相等，因為它們可能方向不同，所以該命題是錯誤的；（2）相等的向量起點不一定相同，只要它們方向相同長度相等就是相等向量，所以該命題是錯誤的；（3）若，且，則是錯誤的，舉一個反例，如，不一定相等，所以該命題是錯誤的；（4）若向量的模小于的模，則，是錯誤的，因為向量不能比較大小，因為向量既有大小又有方向，故該命題不正確．故選：D【點睛】本題主要考查向量的概念和數量積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7、A【解析】

求出的坐標，由得，得到關于的方程.【詳解】，，因為，所以，故選A.【點睛】本題考查向量減法和數量積的坐標運算，考查運算求解能力.8、D【解析】

根據題意，結合線線垂直推證線面垂直，以及根據線面垂直推證線線垂直，即可求解。【詳解】連接BH，延長BH與AC相交于E，連接AH，延長AH交BC于D，作圖如下：因為，故平面PBC，又平面PBC，故；因為平面ABC，平面ABC，故；又平面PAH，平面PAH故平面PAH，又平面PAH，故，即；同理可得：，又BE與AD交于點H，故H點為的垂心.故選：D.【點睛】本題考查線線垂直與線面垂直之間的相互轉化，屬綜合中檔題.9、B【解析】

從圖形中可以看出樣本A的數據均不大于10，而樣本B的數據均不小于10，A中數據波動程度較大，B中數據較穩定，由此得到結論．【詳解】∵樣本A的數據均不大于10，而樣本B的數據均不小于10，，由圖可知A中數據波動程度較大，B中數據較穩定，.故選B.10、D【解析】

由題意可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】直線y＝（3﹣2k）x﹣6不經過第一象限，可得3﹣2k＝0或3﹣2k＜0，解得k≥3則k的取值范圍是[32故選：D．【點睛】本題考查直線方程的運用，注意運用直線的斜率為0的情況，考查運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先從方程看是不能直接解出這個方程的根的，因此可以轉化成函數，從函數的奇偶性出發。【詳解】設，則∴為偶函數，其圖象關于軸對稱，又依題意只有一個零點，故此零點只能是，所以，∴，∴，∴，∴，故答案為：【點睛】本題主要考查了函數奇偶性以及零點與方程的關系，方程的根就是對應函數的零點，本題屬于基礎題。12、【解析】

=13、【解析】

分類討論，去掉絕對值，利用函數的單調性，求得函數各段上的取值，進而得到函數的取值范圍，得到答案．【詳解】由題意，當時，函數，此時函數為單調遞減函數，所以最大值為，此時函數的取值當時，函數，此時函數為單調遞減函數，所以最大值為，最小值，所以函數的取值為當時，函數，此時函數為單調遞增函數，所以最大值為，此時函數的取值，綜上可知，函數的取值范圍是．【點睛】本題主要考查了分段函數的值域問題，其中解答中合理分類討論去掉絕對值，利用函數的單調性求得各段上的值域是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．14、【解析】

取的中點，連接，則與所成角即為與所成角，根據已知可得，，可以判斷三角形為等邊三角形，進而求出異面直線直線DE與AB所成角.【詳解】取的中點，連接，則，直線DE與AB所成角即為與所成角，，，，，，即三角形為等邊三角形，異面直線DE與AB所成角的大小為.故答案為：【點睛】本題考查立體幾何中的翻折問題，考查了異面直線所成的角，考查了學生的空間想象能力，屬于基礎題.15、-3【解析】由可知，解得，16、【解析】試題分析：根據正余弦函數的定義，令，則可以得出，即.可以得出，解得，.那么，，所以故本題正確答案為.考點：三角函數的概念.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）當時的值域為.時的值域為.【解析】分析：（1）由已知表示出向量，再根據，且，建立方程組求出，即可求得向量；（2）由已知表示出向量，結合向量與向量共線，常數，建立的表達式，代入，對分類討論，綜合三角函數和二次函數的圖象與性質，即可求出值域.詳解：（1），∵，且，∴，，解得，時，；時，.∴向量或.（2），∵向量與向量共線，常數，∴，∴.①當即時，當時，取得最大值，時，取得最小值，此時函數的值域為.②當即時，當時，取得最大值，時，取得最小值，此時函數的值域為.綜上所述，當時的值域為.時的值域為.點睛：本題考查了向量的坐標運算、向量垂直和共線的定理、模的計算、三角函數的值域等問題，考查了分類討論方法、推理與計算能力.18、（1），；（2），【解析】

（1）直接利用三角函數的恒等變換，把三角函數變形成正弦型函數．進一步求出函數的單調區間．（2）直接利用三角函數的定義域求出函數的最值．【詳解】解：（1）令，解得，即函數的單調遞增區間為，（2）由（1）知所以當，即時，當，即時，【點睛】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數的單調性的應用，利用函數的定義域求三角函數的值域．屬于基礎型．19、(1)；(2)【解析】

(1)先求出與的交點，再利用兩直線平行斜率相等求直線l(2)利用兩直線垂直斜率乘積等于-1求直線l【詳解】（1）由，得，∴與的交點為.設與直線平行的直線為，則，∴.∴所求直線方程為.（2）設與直線垂直的直線為，則，解得．∴所求直線方程為.【點睛】兩直線平行斜率相等，兩直線垂直斜率乘積等于-1．20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）只證明CM⊥平面ADM即可，即證明CM垂直于該平面內的兩條相交直線，或者使用面面垂直的性質，本題的條件是平面CDM⊥平面ABCD，而M是以CD為直徑的半圓周上一點，能夠得到CM⊥DM，由面面垂直的性質即可證明；（2）當四棱錐M一ABCD的體積最大時，M為半圓周中點處，可得角MAB就是AM與CD所成的角，利用已知即可求解．【詳解】（1）證明：CD為直徑，所以CMDM，已知平面CDM平面ABCD，ADCD，AD平面CDM，所以ADCM又DMAD=DCM平面ADM又CM平面BCM，平面ADM平面BCM，（2）當M為半圓弧CD的中點時，四棱錐的體積最大，此時，過點M作MOCD于點E,平面CDM平面ABCDMO平面ABCD，即MO為四棱錐的高又底面ABCD面積為定值2，AM與CD所成的角即AM與AB所成的角，求得，三角形為正三角形，，故AM與CD所成的角為【點睛】本題主要考查異面直線成的角，面面垂直