高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省常州市金壇區2022-2023學年高二下學期期中數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知隨機變量，且，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗隨機變量，且，，，，.故選：A.2.已知兩條異面直線a，b上分別有4個點和7個點，則這11個點可以確定不同的平面個數為（）A.4 B.7 C.11 D.126〖答案〗C〖解析〗分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的7個點可以確定7個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的4個點可以確定4個不同的平面．根據分類加法計數原理知，共可以確定7＋4＝11個不同的平面.故選：C．3.若的展開式中不含項，則實數m的值為（）A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗，二項式展開式的通項為：，令時，；令時，，所以的展開式中的系數為，因為的展開式中不含項，所以，解得：.故選：D.4.在4次獨立試驗中，事件A出現的概率相同，若事件A至少發生一次的概率是，則事件A在一次試驗中出現的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設事件A在一次試驗中出現的概率是，由事件A至少發生次的概率為，可知事件A一次都不發生的概率為，由獨立事件同時發生的概率知，則，故選：C．5.將邊長為的正三角形沿邊上的高線折成的二面角，則點A到邊的距離是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗翻折前，因為是邊長為的等邊三角形，是邊上的高線，則為的中點，且，，且，翻折后，則有，，在三棱錐中，由二面角的定義可得，如下圖所示：取線段的中點，連接、，因為，，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，在中，，，則，因為為的中點，則，且，所以，，因為，為的中點，所以，，因此，點到的距離為.故選：A.6.某考生回答一道四選一的單項選擇考題，假設他知道正確〖答案〗的概率為0.6，知道正確〖答案〗時，答對的概率為，而不知道正確〖答案〗時，猜對的概率為0.2，那么他答對題目的概率為（）A.0.8 B.0.68 C.0.6 D.0.2〖答案〗B〖解析〗設“考生答對題目”為事件A，“考生知道正確〖答案〗”為事件B，則，，，．故選：B．7.學校環保節活動期間，某班有甲、乙、丙、丁四名學生參加了志愿者工作．將這四名學生分配到A，B，C三個不同的環保崗位，每個崗位至少分配一名學生，若甲要求不分配到B崗位，則不同的分配方案的種數為（）A.30 B.24 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗由題意可得有兩種情況：①有一個人與甲在同一個崗位，則有種分配方案；②沒有人與甲在同一個崗位，則種分配方案；所以由分類加法原理可知共有不同的分配方案，故選：B.8.如圖，長方體中，，P為線段上的動點，則以下結論中不正確的是（）A.當時，直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為B.當時，若平面的法向量記為，則C.當時，二面角的余弦值為D.若，則〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系；由，可知，則，設，，選項A，當時，，所以，所以，平面ABCD的法向量為，所以直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為：，故A正確；選項B，當時，，所以，所以，平面的法向量記為，由.,由可知，，所以可取，所以，故B正確；選項C，當時，，所以，平面的法向量記為，設平面的法向量記為，由.,由可知，，所以可取，所以二面角的余弦值為，所以，故C錯誤；選項D，若，，，因為，所以，所以，，由，解得，所以，即，故D正確.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在江蘇新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學、生物、歷史、政治、地理共六門，學生根據高校要求，結合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門學科中選擇1門，再從化學、生物、政治、地理4門學科中選擇2門，選中的3門學科作為選擇性考試科目參加考試．則下列說法正確的是（）A.若任意選科，則選法總數為B.若政治必選，則選法總數為C.若化學、地理至少選一門，則選法總數為D.若歷史必選，生物、政治至多選一門，則選法總數為〖答案〗ACD〖解析〗在物理、歷史2門學科中選擇1門有種，在化學、生物、政治、地理4門學科中選擇2門有種，若任意選科，則選法總數為種，A正確；若政治必選，還需從化學、生物、地理3門學科中選擇1門有，則選法總數為種，B錯誤；若化學、地理至少選一門，兩門都選有1種，只選一門有，則選法總數為，C正確；若歷史必選有種，生物、政治至多選一門有種，則選法總數為種，D正確.故選：ACD.10.設，則結論正確的是（）A. B.C. D.，，，，，，中最小的是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，令，則①，故A正確；對于B，令，則②，則②減①可得：，則，故B正確；對于C，的通項為，令，則，令，則，所以，故C錯誤；對于D，的通項為，所以當時，即，而，又，故，，，，，，中最小的是，故D正確.故選：ABD.11.“信息熵”是信息論中的一個重要概念，設隨機變量X的所有可能取值為，且，，定義X的信息熵，則下列說法中正確的是（）A.當時，B.當且時，C.若，則隨著n的減小而減小D.當時，隨著的增大而減小〖答案〗ABC〖解析〗對于A，當時，,，A正確；對于B，當時，，，B正確；對于C，，，則隨著n的減小而減小，C正確；對于D，當時，，當時，，當時，，兩者相等，D錯誤.故選：ABC.12.在棱長為的菱形ABCD中，，將菱形ABCD沿對角線AC折成大小為的二面角，若折成的四面體的四個頂點均在球O的球面上，則下列結論正確的是（）A.折成的四面體體積的最大值為B.當折成的四面體表面積最大時，C.當時，球O的體積為D.當時，球O的表面積為〖答案〗BD〖解析〗由題意，可作圖如下：選項A，，，則為等邊三角形，取的中點，則，同理可知，為等邊三角形，，且，，二面角的平面角為，設點到平面的距離為，則，，當且僅當時，等號成立，即四面體的體積的最大值是，故A不正確；選項B，，，，，，當且僅當時取等號，此時四面體的表面積最大，最大值為，此時，在中，由余弦定理可得，，解得，故B正確；選項C，設分別為的外心，則，在平面內過點作的垂線與過點作的垂線交于點，如下圖：，，，平面，平面，平面，，，，平面，平面，同理可得平面，則為四面體的外接球球心，連接，，，，，，，平面，平面，，，即球心的半徑為，球的體積為，故C不正確；選項D，由C可得當時，，，平面，平面，，，即球的半徑為，球的表面積為，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若能被13整除，則m的最小正整數取值為______．〖答案〗12〖解析〗，因為能被13整除，所以是13的倍數時，能被13整除，所以m的最小正整數取值為12，故〖答案〗為：12.14.隨機變量的分布列如表所示，設，則______，______．01〖答案〗〖解析〗依題意，得，因為，所以，.故〖答案〗為：；.15.我們把各位數字之和為6的四位數稱為“四位合六數”（如1203、1005均是四位合六數），則在“四位合六數”中首位為1的不同的“四位合六數”共有______個．〖答案〗21〖解析〗由題知后三位數字之和為5，當一個位置為5時有005，050，500，共3個;當兩個位置和為5時有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12個;當三個位置和為5時有113，131，311，122，212，221，共6個;所以一共有21個.故〖答案〗為:21.16.如圖，三棱柱的各條棱長均為是2，側棱與底面ABC所成的角為60°，側面底面ABC，點P在線段上，且平面平面，則______．〖答案〗〖解析〗側面底面，則點在平面上的射影在直線上，為直線與底面所成的角，，三棱柱的各條棱長均為2，是等邊三角形，取中點，連接，，則，∵側面底面，側面底面，面，所以面，如圖所示，以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，則，故，設，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，令，則，，平面的一個法向量為，平面平面，∴，，，．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.有甲、乙兩只不透明的袋子，其中甲袋放有3個紅球，2個白球，乙袋放有2個紅球，3個白球，且所有球的大小和質地均相同．（1）先隨機取一只袋子，再從該袋中隨機取1個球，求取出的該球是白球的概率；（2）先從甲袋中任取2個球放入乙袋中，再從乙袋中任取2個球，求從乙袋中取出的2個球均為紅球的概率．解：（1）先隨機取一只袋子，記“取到的是甲袋”為事件，“取到的是乙袋”為事件，再從袋中隨機取1個球，“取出的該球是白球”為事件B，則事件B有兩類：取到的是甲袋且從中取出的是白球，取到的是乙袋且從中取出的是白球，即，因為與互斥，所以，由概率的乘法公式得，又因為，，，，所有，先隨機取一只袋子，再從該袋中隨機取1個球，取出的該球是白球的概率為（2）記“從甲袋中取出2個紅球”為事件，“從甲袋中取出2個白球”為事件，“從甲袋中取出1個紅球和1個白球”為事件，“從乙袋中取出的2個球均為紅球”為事件D，顯然，事件，，兩兩互斥，且正好為“從甲袋中任取2個球”的樣本空間，由全概率公式得，先從甲袋中任取2個球放入乙袋中，再從之乙袋中任取2個球，則從乙袋中取出的2個球均為紅球的概率為.18.有5名男運動員和3名女運動員，從中選出5名運動員，參加“籃球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”這5種不同的球類競賽，每名運動員只能參加一個球類項目競賽，且每個球類項目競賽都要有人參加，求符合下列條件的選法種數．（用數字作答）（1）有女運動員參賽，且參賽的女運動員人數必須少于參賽的男運動員人數；（2）女運動員指定參加排球競賽，男運動員必須參賽但不能參加足球競賽．解：（1）因為有女運動員參賽，且參賽的女運動員人數必須少于參賽的男運動員人數，所以選出的5名運動員可以是2名女運動員和3名男運動員，也可以是1名女運動員和4名男運動員，則有種情況，再將選出來的運動加分配到各個項目中，則有種方法，所以符合要求的選法種數為.（2）因為女運動員指定參加排球競賽，男運動員必須參賽但不能參加足球競賽，所以先從除去該女運動員和該男運動員的6人中任選3人，有種情況，再安排男運動員參賽的項目，有種情況，最后選出的3人對余下的3個項目進行全排列，有種情況，則符合要求的選法種數為.19.已知在二項式的展開式中，前三項的系數成等差數列．（1）求展開式中的有理項；（2）求展開式中系數最大的項．解：（1）在的展開式中，前三項的系數分別依次為，，，前三項的系數成等差數列，所以，整理得，解得或（不合題意舍去），則展開式中的通項為：，要求有理項，則需為整數，即，4，8，則有理項分別為：，，.（2）由（1）知，此二項式為，設展開式中第項的系數最大，則，即，解得，當時，，當時，，所以第項和第項的系數同時達到最大，故展開式中系數最大的項為，.20.如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．（1）求證：；（2）求直線PC與平面ABP所成角的余弦值；（3）線段PA上是否存在點E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．（1）證明：取AB的中點為O，連接DO，PO，由，得，又四邊形ABCD為直角梯形，且，，，，則四邊形OBCD為正方形，，又，平面POD，因此平面POD，又平面POD，所以.（2）解：且平面PAB，又平面平面ABCD，且平面平面，則平面ABCD，平面，有，即有OA，OD，OP兩兩垂直，以點O為原點，OD、OA、OP分別為x、y、z軸的空間直角坐標系，由等腰直角，，，得，則，即，平面PAB的一個法向量為，設直線PC與平面PAB所成的角為，因此，即，所以所求直線PC與平面ABP所成角的余弦值為.（3）解：線段PA上存在點E，且當時，使得平面EBD.由，得，則，，設平面EBD的法向量為，則，令，得，又，則，而平面EBD，因此平面EBD，所以點E滿足時，有平面EBD．21.某校為了普及科普知識，增強學生的科學素養，在全校組織了一次科普知識競賽．經過初賽、復賽，甲、乙兩個代表隊（每隊3人）進入了決賽．規定每人回答一個問題，答對者為本隊贏得10分，答錯者得0分．假設甲隊中3人答對的概率分別為，，，乙隊中每人答對的概率均為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示甲隊的總得分．（1）求的分布列和數學期望；（2）求甲、乙兩隊總得分之和等于30分且甲隊獲勝的概率．解：（1）由題意知的所有可能取值為0，10，20，30，可得，，，，所以隨機變量的分布列為0102030P所以數學期望.（2）記“甲隊得30分，乙隊得0分”為事件A，“甲隊得20分，乙隊得10分”為事件B，則A，B為互斥事件，可得，，則，所以甲、乙兩隊總得分之和等于30分且甲隊獲勝的概率為.22.如圖，三角形ABC是圓柱底面圓的內接三角形，PA為圓柱的母線，M，N分別是AC和PA的中點，平面平面PAB，．（1）求證：；（2）求三棱錐和圓柱的體積之比；（3）求平面PBC與平面MBN所成的銳二面角的大小．（1）證明：因為PA為圓柱的母線，則平面ABC，平面ABC，可得，取PB邊的中點為D，連接AD，因為，則，平面PAB，且平面平面PAB，平面平面，所以平面PBC，且平面PBC，則，且AD，平面PAB，所以平面PAB，且平面PAB，所以.（2）解：因為平面ABC，則，又因為，則為底面圓的直徑，則，所以.（3）以B點作為坐標原點，直線BA、BC分別為x、y軸，過點B作平面ABC的垂線，并以此垂線作為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，，，，可得，，，．設平面PBC和平面MBN的法向量分別為，，可得，取，則，，即可得，取，則，，即設平面PBC與平面MBN所成的銳二面角為，則，又因為，所以，即平面PBC與平面MBN所成的銳二面角為.江蘇省常州市金壇區2022-2023學年高二下學期期中數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標號．回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知隨機變量，且，，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗隨機變量，且，，，，.故選：A.2.已知兩條異面直線a，b上分別有4個點和7個點，則這11個點可以確定不同的平面個數為（）A.4 B.7 C.11 D.126〖答案〗C〖解析〗分兩類情況討論：第1類，直線a分別與直線b上的7個點可以確定7個不同的平面；第2類，直線b分別與直線a上的4個點可以確定4個不同的平面．根據分類加法計數原理知，共可以確定7＋4＝11個不同的平面.故選：C．3.若的展開式中不含項，則實數m的值為（）A. B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗，二項式展開式的通項為：，令時，；令時，，所以的展開式中的系數為，因為的展開式中不含項，所以，解得：.故選：D.4.在4次獨立試驗中，事件A出現的概率相同，若事件A至少發生一次的概率是，則事件A在一次試驗中出現的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設事件A在一次試驗中出現的概率是，由事件A至少發生次的概率為，可知事件A一次都不發生的概率為，由獨立事件同時發生的概率知，則，故選：C．5.將邊長為的正三角形沿邊上的高線折成的二面角，則點A到邊的距離是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗翻折前，因為是邊長為的等邊三角形，是邊上的高線，則為的中點，且，，且，翻折后，則有，，在三棱錐中，由二面角的定義可得，如下圖所示：取線段的中點，連接、，因為，，，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，在中，，，則，因為為的中點，則，且，所以，，因為，為的中點，所以，，因此，點到的距離為.故選：A.6.某考生回答一道四選一的單項選擇考題，假設他知道正確〖答案〗的概率為0.6，知道正確〖答案〗時，答對的概率為，而不知道正確〖答案〗時，猜對的概率為0.2，那么他答對題目的概率為（）A.0.8 B.0.68 C.0.6 D.0.2〖答案〗B〖解析〗設“考生答對題目”為事件A，“考生知道正確〖答案〗”為事件B，則，，，．故選：B．7.學校環保節活動期間，某班有甲、乙、丙、丁四名學生參加了志愿者工作．將這四名學生分配到A，B，C三個不同的環保崗位，每個崗位至少分配一名學生，若甲要求不分配到B崗位，則不同的分配方案的種數為（）A.30 B.24 C.20 D.18〖答案〗B〖解析〗由題意可得有兩種情況：①有一個人與甲在同一個崗位，則有種分配方案；②沒有人與甲在同一個崗位，則種分配方案；所以由分類加法原理可知共有不同的分配方案，故選：B.8.如圖，長方體中，，P為線段上的動點，則以下結論中不正確的是（）A.當時，直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為B.當時，若平面的法向量記為，則C.當時，二面角的余弦值為D.若，則〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系；由，可知，則，設，，選項A，當時，，所以，所以，平面ABCD的法向量為，所以直線BP與平面ABCD所成角的正弦值為：，故A正確；選項B，當時，，所以，所以，平面的法向量記為，由.,由可知，，所以可取，所以，故B正確；選項C，當時，，所以，平面的法向量記為，設平面的法向量記為，由.,由可知，，所以可取，所以二面角的余弦值為，所以，故C錯誤；選項D，若，，，因為，所以，所以，，由，解得，所以，即，故D正確.故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在江蘇新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學、生物、歷史、政治、地理共六門，學生根據高校要求，結合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門學科中選擇1門，再從化學、生物、政治、地理4門學科中選擇2門，選中的3門學科作為選擇性考試科目參加考試．則下列說法正確的是（）A.若任意選科，則選法總數為B.若政治必選，則選法總數為C.若化學、地理至少選一門，則選法總數為D.若歷史必選，生物、政治至多選一門，則選法總數為〖答案〗ACD〖解析〗在物理、歷史2門學科中選擇1門有種，在化學、生物、政治、地理4門學科中選擇2門有種，若任意選科，則選法總數為種，A正確；若政治必選，還需從化學、生物、地理3門學科中選擇1門有，則選法總數為種，B錯誤；若化學、地理至少選一門，兩門都選有1種，只選一門有，則選法總數為，C正確；若歷史必選有種，生物、政治至多選一門有種，則選法總數為種，D正確.故選：ACD.10.設，則結論正確的是（）A. B.C. D.，，，，，，中最小的是〖答案〗ABD〖解析〗對于A，令，則①，故A正確；對于B，令，則②，則②減①可得：，則，故B正確；對于C，的通項為，令，則，令，則，所以，故C錯誤；對于D，的通項為，所以當時，即，而，又，故，，，，，，中最小的是，故D正確.故選：ABD.11.“信息熵”是信息論中的一個重要概念，設隨機變量X的所有可能取值為，且，，定義X的信息熵，則下列說法中正確的是（）A.當時，B.當且時，C.若，則隨著n的減小而減小D.當時，隨著的增大而減小〖答案〗ABC〖解析〗對于A，當時，,，A正確；對于B，當時，，，B正確；對于C，，，則隨著n的減小而減小，C正確；對于D，當時，，當時，，當時，，兩者相等，D錯誤.故選：ABC.12.在棱長為的菱形ABCD中，，將菱形ABCD沿對角線AC折成大小為的二面角，若折成的四面體的四個頂點均在球O的球面上，則下列結論正確的是（）A.折成的四面體體積的最大值為B.當折成的四面體表面積最大時，C.當時，球O的體積為D.當時，球O的表面積為〖答案〗BD〖解析〗由題意，可作圖如下：選項A，，，則為等邊三角形，取的中點，則，同理可知，為等邊三角形，，且，，二面角的平面角為，設點到平面的距離為，則，，當且僅當時，等號成立，即四面體的體積的最大值是，故A不正確；選項B，，，，，，當且僅當時取等號，此時四面體的表面積最大，最大值為，此時，在中，由余弦定理可得，，解得，故B正確；選項C，設分別為的外心，則，在平面內過點作的垂線與過點作的垂線交于點，如下圖：，，，平面，平面，平面，，，，平面，平面，同理可得平面，則為四面體的外接球球心，連接，，，，，，，平面，平面，，，即球心的半徑為，球的體積為，故C不正確；選項D，由C可得當時，，，平面，平面，，，即球的半徑為，球的表面積為，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若能被13整除，則m的最小正整數取值為______．〖答案〗12〖解析〗，因為能被13整除，所以是13的倍數時，能被13整除，所以m的最小正整數取值為12，故〖答案〗為：12.14.隨機變量的分布列如表所示，設，則______，______．01〖答案〗〖解析〗依題意，得，因為，所以，.故〖答案〗為：；.15.我們把各位數字之和為6的四位數稱為“四位合六數”（如1203、1005均是四位合六數），則在“四位合六數”中首位為1的不同的“四位合六數”共有______個．〖答案〗21〖解析〗由題知后三位數字之和為5，當一個位置為5時有005，050，500，共3個;當兩個位置和為5時有014，041，410，401，140，104，023，032，302，320，203，230，共12個;當三個位置和為5時有113，131，311，122，212，221，共6個;所以一共有21個.故〖答案〗為:21.16.如圖，三棱柱的各條棱長均為是2，側棱與底面ABC所成的角為60°，側面底面ABC，點P在線段上，且平面平面，則______．〖答案〗〖解析〗側面底面，則點在平面上的射影在直線上，為直線與底面所成的角，，三棱柱的各條棱長均為2，是等邊三角形，取中點，連接，，則，∵側面底面，側面底面，面，所以面，如圖所示，以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，則，故，設，則，設平面的一個法向量為，則，令，則，，平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，令，則，，平面的一個法向量為，平面平面，∴，，，．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.有甲、乙兩只不透明的袋子，其中甲袋放有3個紅球，2個白球，乙袋放有2個紅球，3個白球，且所有球的大小和質地均相同．（1）先隨機取一只袋子，再從該袋中隨機取1個球，求取出的該球是白球的概率；（2）先從甲袋中任取2個球放入乙袋中，再從乙袋中任取2個球，求從乙袋中取出的2個球均為紅球的概率．解：（1）先隨機取一只袋子，記“取到的是甲袋”為事件，“取到的是乙袋”為事件，再從袋中隨機取1個球，“取出的該球是白球”為事件B，則事件B有兩類：取到的是甲袋且從中取出的是白球，取到的是乙袋且從中取出的是白球，即，因為與互斥，所以，由概率的乘法公式得，又因為，，，，所有，先隨機取一只袋子，再從該袋中隨機取1個球，取出的該球是白球的概率為（2）記“從甲袋中取出2個紅球”為事件，“從甲袋中取出2個白球”為事件，“從甲袋中取出1個紅球和1個白球”為事件，“從乙袋中取出的2個球均為紅球”為事件D，顯然，事件，，兩兩互斥，且正好為“從甲袋中任取2個球”的樣本空間，由全概率公式得，先從甲袋中任取2個球放入乙袋中，再從之乙袋中任取2個球，則從乙袋中取出的2個球均為紅球的概率為.18.有5名男運動員和3名女運動員，從中選出5名運動員，參加“籃球、排球、足球、羽毛球、乒乓球”這5種不同的球類競賽，每名運動員只能參加一個球類項目競賽，且每個球類項目競賽都要有人參加，求符合下列條件的選法種數．（用數字作答）（1）有女運動員參賽，且參賽的女運動員人數必須少于參賽的男運動員人數；（2）女運動員指定參加排球競賽，男運動員必須參賽但不能參加足球競賽．解：（1）因為有女運動員參賽，且參賽的女運動員人數必須少于參賽的男運動員人數，所以選出的5名運動員可以是2名女運動員和3名男運動員，也可以是1名女運動員和4名男運動員，則有種情況，再將選出來的運動加分配到各個項目中，則有種方法，所以符合要求的選法種數為.（2）因為女運動員指定參加排球競賽，男運動員必須參賽但不能參加足球競賽，所以先從除去該女運動員和該男運動員的6人中任選3人，有種情況，再安排男運動員參賽的項目，有種情況，最后選出的3人對余下的3個項目進行全排列，有種情況，則符合要求的選法種數為.19.已知在二項式的展開式中，前三項的系數成等差數列．（1）求展開式中的有理項；（2）求展開式中系數最大的項．解：（1）在的展開式中，前三項的系數分別依次為，，，前三項的系數成等差數列，所以，整理得，解得或（不合題意舍去），則展開式中的通項為：，要求有理項，則需為整數，即，4，8，則有理項分別為：，，.（2）由（1）知，此二項式為，設展開式中第項的系數最大，則，即，解得，當時，，當時，，所以第項和第項的系數同時達到最大，故展開式中系數最大