第一章集合與常用邏輯用語

甘-J-R

弟一下集合

1.集合的相關概念

(1)集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性.

(2)元素與集合的兩種關系：屬于，記為G;不屬于，記為陣.

(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)五個特定的集合:

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號N/或N+ZQR

2.集合同的根本關系

表示

關好、文字語言符號語言記法

集合力的元素都是集合6的

子集AUB或垣上

元素xQB

根

集合/是集合8的子集，且AQB,且

本真子/B或

集合B中至少有一個元素不3Xo￡B,

關集BA

屬于AxoiA

系

AQB,

相等集合45的元素完全相同A=8

醫(yī)A

不含任何元素的集合.空集

Vx,超0,0GA,

空集是任何集合A的壬集，是任0

0B1芹0)

何非空集合6的真子集

3.集合的根本運算

集合的并集集合的交集集合的補集

符號假設全集為〃，那么集合

A^BA^B

表示/的補集為

圖形

表示

U0

1c必

意義{x且{x\xRU,且xiA}

4.集合的運算性質(zhì)

(1)并集的性質(zhì)：AU0=A；AUA=A；AUB=BUA；龐4

⑵交集的性質(zhì)：JA0=0；/n/=44n6=6門4B.

(3)補集的性質(zhì)：/n((，)=0；

[〃([源)=4[〃(RU而=([〃)C([㈤；而=([〃)u([㈤.

1.判斷以下結論是否正確(請在括號中打“J〃或"X〃)

⑴假設{"1}={0,1},那么x=0,1.()

⑵{x|xWl}={力|tWl}.()

(3){x\y=x+l}={y\y=x+l}={(x,y)\y=x+l}.()

(4)任何一個集合都至少有兩個子集.()

⑸假設4B,那么芥6且4#6.()

(6)對于任意兩個集合力，B,關系(406)1Q4U6)恒成立.()

(7)假設那么8=C()

答案：⑴X(2)V(3)X(4)X(5)V(6)V(7)X

2.(2021?全國卷H)設集合/={1,2,3},6={2,3,4},那么/U8=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}

C.{2,3,4}D.{1,3,4}

解析：選A由題意得/U6={1,2,3,4}.

3.(2021?北京高考)假設集合/={x|—2<x<l},8={x|*—1或x>3},那么/C8=

)

A.{x\—2〈K—1}B.{x|-2〈x〈3}

C.U|-1<X1}D.U|KX3}

解析：選A由集合交集的定義可得/n8={x1—2<K—1}.

4.(2021?北京高考)全集〃=R,集合/={x|x<—2或x>2},那么[M=()

A.(-2,2)B.(—8,-2)U(2,+8)

C.[—2,2]D.(—8,-2]U[2,+8)

解析：選C由可得，集合/的補集[〃=[—2,2].

5.集合4={0,1,5x},假設一4G4那么實數(shù)x的值為.

解析：'/—4G4/.x—5x——4,

X—1或x—4.

答案：1或4

6.集合P={2,3,4,5,6},Q={3,4,5,7}，假設M=PCQ,那么〃的子集個數(shù)為.

解析：由題意可知，”={3,4,5},故〃的子集個數(shù)為于=8.

答案：8

考點一集合的根本概念根底送分型考點一一自主練透

［考什么?怎么考］

集合元素的三大特性是理解集合概念的關鍵,一般涉及元素與集合之間的關系及根據(jù)集

合中元素的特性特別是集合中元素的互異性，來確定集合元素的個數(shù)或求參數(shù)值，屬于

根底題.

1.(2021?全國卷HI)集合z={(x,y)\x+y=l},￡={(x,y)|y=x\,那么NG8中

元素的個數(shù)為()

A.3B.2

C.1D.0

解析：選B因為4表示圓f+/=l上的點的集合，夕表示直線p=x上的點的集合，

直線y=x與圓/+/=1有兩個交點，所以4G夕中元素的個數(shù)為2.

2.(2021?南昌模擬)集合〃={1,2},N={3,4,5},P={x\x=a+b,那

么集合戶的元素個數(shù)為()

A.3B.4

C.5D.6

解析：選B因為a￡憶bRN,所以a=l或2,6=3或4或5.當a=l時，假設方=3,

那么x=4；假設8=4,那么x=5；假設6=5,那么x=6.同理，當女=2時，假設Z?=3,

那么x=5；假設6=4,那么x=6；假設6=5,那么x=7,由集合中元素的特性知P=

(4,5,6,7),那么產(chǎn)中的元素共有4個.

3.假設集合Z={x￡R|ax2—3x+2=0}中只有一個元素，那么a等于()

99

A-2B-8

-9

C.0D.0或三

o

解析：選D假設集合力中只有一個元素，那么方程數(shù)2—3x+2=0只有一個實根或有

兩個相等實根.

2

當a=0時，x=g,符合題意.

9

當aWO時，由/=(-3)2—8a=0,得劉=三，

O

所以a的值為0或29.

O

4.設a,6￡R,集合{1,a+b,a}=jo,A那么6—a=()

A.1B.-1

C.2D.-2

解析：選C因為{1,a+b,a\=jo,",所以aWO,a-\-b=Q,那么■!=—].,所以

a=-1,6=1.所以6—a=2.

5.集合4={必+2,2口?+R},假設3￡4那么"的值為.

3

解析：由題意得加+2=3或2）?+/=3,那么/=1或〃=—2,當〃=1時，勿+2=3且

2%?+/=3,根據(jù)集合元素的互異性可知不滿足題意；當勿=―1時，zzz+2=1,而2方+〃=3,

以3

故m=-2?

答案：一萬

[怎樣快解?準解]

1.與集合中的元素有關的解題策略

（1）確定集合中的代表元素是什么，即集合是數(shù)集還是點集.

（2）看這些元素滿足什么限制條件.

（3）根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù)，但要注意檢驗集合是否滿

足元素的互異性.

2.常見易錯探因

第2題，第5題易無視集合中元素的互異性而導致錯誤;第3題集合A中只有一個元素,

要分a=0與aWO兩種情況進行討論，此題易無視a=0的情形.

考點二集合間的根本關系根底送分型考點一一自主練透

―集合間的關系有相等、子集（包含真子集）等，其中子集是高考考查重點，要能準確判定

一個具體集合是否是另一個具體集合的子集.多以選擇題形式出現(xiàn)，屬于根底題.

（一）直接考一一兩集合間根本關系的判斷

1.集合/={x|x2—3x+2=0,x￡R},8={x|0<x<5,x￡N},那么（）

A.BQAB.A=B

C.ABD.夕/

解析：選C由3x+2=0得x=l或x=2,.\A={1,2}.由題意知方={1,2,3,4},

比擬4夕中的元素可知/B,應選C.

fI左兀JI]

2.（2021?煙臺調(diào)研）集合〃=[王卜=—^+了，集合代

[Ik式Ji1

卜卜=丁+%，屆zj,那么（）

A.MC\N=^.忙N

C.但〃D.MUN=M

（I2A+4兀兀][2〃兀兀]

解析：選B由題意可知，—什卜=--------------―,k^l\,=\xx=~^----[，

[I2kTI兀—2k—\兀JI]”，,

N=\x\x=-----或，x=---------------------—,AeZ,所以生兒應選B.

3.（2021?云南第一次檢測）設集合力={*|一￡—X+2<0},6={X|2X—5>0},那么集合

2與6的關系是（）

A.醫(yī)4B.B2A

C.8cAD.AG8

解析:選A因為A={x|—J—x+2<0}={x|x〉l或x<-2},B={x|2x—5〉0}=1x卜

在數(shù)軸上標出集合力與集合8如下圖，

可知，BQA.

[題型技法]

判斷集合間關系的3種方法

根據(jù)題中限定條件把集合元素表示出來，然后比擬集合元素的異同，從

列舉法

而找出集合之間的關系.（如第1題）

從元素的結構特點入手，結合通分、化簡、變形等技巧，從元素結構上

結構法

找差異進行判斷.（如第2題）

在同一個數(shù)軸上表示出兩個集合，比擬端點之間的大小關系，從而確定

數(shù)軸法

集合與集合之間的關系.（如第3題）

（二）遷移考一一利用集合間關系求參數(shù)

4.（2021?云南師大附中模擬）集合/={x|V—aWO},6={川水2},假設416,那么

實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（—8,4]B.（―0°,4）

C.[0,4]D.（0,4）

解析：選B集合/就是不等式/—a<0,即x?Wa的解集.①當a<0時，不等式無解,

故/=0.此時顯然滿足4=8.②當a=0時，不等式為x'WO,解得x=0,所以/={0}.顯然

{0}￡{才|矛<2},即滿足d=B.③當a>0時,解不等式x^a,得一小W所以A=l~y[a,

由4a8可得,0<2,解得0〈a〈4.綜上，實數(shù)a的取值范圍為（一8,0）U{0}U（0,4）

=（—8,4）.應選B.

5.假設{%In（Z?+1）>1}={a,a+b,0},那么才。止+9"8=.

解析：由得aWO,ln（Z?+l）=0,所以Z?=0,于是才=1,即a=l或a=-1,又根據(jù)

集合中元素的互異性可知己=1應舍去，因此a=-1,故3°18+方2OI8=L

答案：1

6.集合/={x|lW/5},6=3—水后0+3},假設店（AC而,那么a的取值范圍為

解析：因為醫(yī)(/n而，所以醫(yī)4

3

①當8=0時，滿足住4此時一a》a+3,即aW—]；

—a<a+3,

3

②當6力0時，要使醫(yī)4那么<一a2l,解得一]〈aW—1.由①②可知，a的取

、a+3〈5,

值范圍為(一8,-1].

答案：(—8,—1]

[題型技法]

利用集合間關系求解參數(shù)問題的策略

假設參數(shù)在元素的性質(zhì)特征之中，多以一次不等式或二次不等式的形式出

化簡要分現(xiàn)，此時要對其進行合理分類，分類的主要依據(jù)就是參數(shù)對該不等式的對

類應方程的解的影響.分類的主要層次為：①最高次累系數(shù)是否為0；②方

程是否有解；③解之間的大小關系.(如第4題)

關系要分兩個集合之間的關系求參數(shù)的取值，要注意對集合是否為空集進行分類討

類論，因為。是任意一個集合的子集.(如第6題)

利用集合之間的子集關系確定參數(shù)所滿足的條件，實際上就是比擬兩個區(qū)

間端點值的大小關系，所以集合對應區(qū)間的端點的取舍對兩個集合之間的

“端點〃

關系有制約作用，這也是區(qū)分子集與真子集的關鍵.如4=(1,3],B=U

要取舍

fa>l,[aWl,

b\(a<b),假設醫(yī)4那么i假設/=昆那么、

〔6W3；

考點三集合的根本運算重點保分型考點一一師生共研

集合的根本運算是歷年高考的熱點.高考中主要考查求集合的交、并、補運算，常與解

不等式、求函數(shù)定義域和值域等知識相結合，考查題型主要是選擇題，偶爾也出現(xiàn)填空題，

屬于根底題.

[典題領悟]

1.集合/={x|x2—6x+5W0},B={^|y=log2(jr—2)},那么/C6=()

A.(1,2)B.[1,2)

C.(2,5]D.[2,5]

解析：選C由V—6x+5W0的解集為{x|lWA5},得Z=[l,5].由x—2>0,解得

x〉2,故6=(2,+8).把兩個集合力,8在數(shù)軸上表示出來，如圖，可知206=(2,5].

2.(2021?湖南湘潭模擬)全集斤R,集合—{x|N^[y\y=2x,xGR},那么

集合[”(#ua=()

A.(—8,-I]B.(-1,2)

C.(—8,—1］u［2,+°°)D.［2,+0°)

解析：選A解|川〈1,得一

所以M=(-1,1).

集合N中的代表元素為y,

所以該集合是函數(shù)y=2',xGR的值域，即比=(0,+8).

從而J/U7V=(—1,+°°).

因為〃=R,所以加=(-8,-1］,應選A.

3.全集片R,集合/={x|X。一3x—4>0},B—{x\—,

那么如下圖陰影局部所表示的集合為()

A.{x|-2Wx〈4}B.或x24}

C.{x|—-1}D.{x|-

解析：選D依題意得力={x|K-1或x>4},因此(/={x］—1W^<4},題中的陰影局

部所表示的集合為(［R/)C8=3-1W^<2},選D.

［解題師說］

1.掌握“4種技巧〃

(1)先“簡〃后”算〃：進行集合的根本運算之前要先對其進行化簡，化簡時要準確把

握元素的性質(zhì)特征，區(qū)分數(shù)集與點集等.如求集合夕=卜仁〈”的補集，要先進行化簡，假

設直接否認集合?中元素的性質(zhì)特征，就會誤以為［汨=卜(力1］,導致漏解.

(2)遵“規(guī)〃守"矩"：定義是進行集合根本運算的依據(jù)，交集的運算要抓住“公共元

素"，補集的運算要關注“你有我無〃的元素.

(3)活“性〃減”量〃：靈活利用交集與并集以及補集的運算性質(zhì)，特別是摩根定律，

即葭(〃n/0=(［勵u(［加,L/(#u/0=(［成n(［加等簡化運算，減少運算量.

(4)借“形〃助"數(shù)”：在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題

直觀化，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍.(如典題領悟第1題)

2.謹防"2種失誤”

(1)進行集合根本運算時要注意對應不等式端點值的處理，尤其是求解集合補集的運算，

一定要注意端點值的取舍.(如典題領悟第2題)

(2)求集合的補集時，既要注意全集是什么，又要注意求補集的步驟，一般先求出原來

的集合，然后求其補集，否那么容易漏解.(如典題領悟第3題、沖關演練第3題)

［沖關演練］

1.(2021?天津高考)設集合力={1,2,6},6={2,4},C={xGR］-1W啟5},那么(/

U面CC=()

A.{2}B.{1,2,4}

C.(1,2,4,6}D.{x￡R|—lWxW5}

解析：選BZU6={1,2,4,6},又。={丫￡力一1WXW5},那么(ZU③G。={1,2,4}.

2.(2021?合肥質(zhì)量檢測)集合/=[1,+8),ij,假設ZAgW

0,那么實數(shù)〃的取值范圍是()

C.I，+°°jD.(1,+00)

2a—121,

解析：選A因為ZG#。，所以《解得

2a~a,

3.(2021?皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)集合Z={y|y=，7=1},8={x|y=lg(x—2x,},那么[

RG4G6)=()

n,

1

-(z81\u+8

o,IB.\-，7?

2;.

z11

ck-D8u-+8

K2,

2J

解析：選D因為4={p|y=N/-1}=[0,+8),8={x|y=lg(x—2/)}=0I

所以所以［式/口為=(-8,o］U

考點四集合的新定義問題重點保分型考點一一師生共研

以集合為載體的新定義問題，是高考命制創(chuàng)新型試題的一個熱點，常見的命題形式有新

概念、新性質(zhì)、新法那么等，一般以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，難度中等或偏上.

［典題領悟］

1.設集合/={—1,0,1),集合6={—1,1,2,3},定義4#6=［z2=*x^A,yej,

那么那6中元素的個數(shù)是()

A.5B.7

C.10D.15

解析：選B因為所以x可取一1,0,1；

因為y《B,所以p可取一1,1,2,3.

V

那么z=一的結果如下表所示:

y

123

_1_1

-11-1

-2~3

00000

1

1-11

23

故/#8中元素有一12_]，—2,0,1,共7個,應選B.

2.集合〃={（x,y）|y=f（x）},假設對于任意實數(shù)對（為，珀e弘都存在㈤e四

使得為為+k處二。成立，那么稱集合〃是“垂直對點集〃.給出以下四個集合：

①〃=[x,yy=1j；

②Q{（x,y）|y=logzx}；

③〃={（x,y）|y—e—2]；

④〃={（x,力|y=sinx+l}.

其中是“垂直對點集〃的序號是（）

A.①④B.②③

C.③④D.②④

解析：選C記力（國，yi）,8（如再），那么由xixz+yi%=0得的_1_①對于①，對任意

AGM,不存在8G”,使得如，如對于②，當/為點（1,0）時，不存在8G”滿足題意.對于

③④，對任意Ae四過原點。可作直線/_1_的，它們都與函數(shù)尸e"-2及尸sinx+1的

圖象相交，即③④滿足題意，應選C.

3.設集合"={—1,0,1},集合8={0,1,2,3},定義4*8={（x,y）\x^A^B,yeju

B\,那么4*6中元素的個數(shù)是（）

A.7B.10

C.25D.52

解析:選B因為/={—1,0,1},8={0,1,2,3},

所以/C6={0,1},/U8={—1,0,1,2,3}.

由xG/CH可知x可取0,1；

由可知y可取一1,0,1,2,3.

所以元素（x,0的所有結果如下表所示：

X-10123

0(0,-1)(0,0)(0,1)(0,2)(0.3)

1(1,—1)(1,0)(1,1)(1,2)(1.3)

所以4*6中的元素共有10個.

［解題師說］

與集合相關的新定義問題的解題思路

(1)緊扣“新〃定義：分析新定義的特點，把新定義所表達的問題的本質(zhì)弄清楚，并能

夠應用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題的關鍵所在.

(2)把握“新"性質(zhì)：集合的性質(zhì)(概念、元素的性質(zhì)、運算性質(zhì)等)是破解新定義型集

合問題的根底，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素,

在關鍵之處用好集合的性質(zhì).

(3)遵守“新〃法那么：準確把握新定義的運算法那么，將其轉(zhuǎn)化為集合的交集、并集

與補集的運算即可.

［沖關演練］

1.定義集合的商集運算為集合力={2,4,6},B=

比小那么集合夕中的元素個數(shù)為()

A.6B.7

C.8D.9

B［］］］B

解析：選B由題意知，B={0,1,2),-=0,1,那么7U6=

A2463A

jo,I，I，1,I，21，共有7個元素，應選B.

2.(2021?武昌調(diào)研)設48是兩個非空集合，定義集合［一8={x|x￡4且褊而，假

設/={x￡N|,6={x|9一7才+10<0},那么［一8=()

A.{0,1}B.{1,2}

C.{0,1,2}D.{0,1,2,5}

解析:選D因為Z={x￡N|0WxW5}，所以A={0,1,2,3,4,5).解不等式x~7x+10<0,

即(x—2)(x—5)<0,得2〈水5.所以B=(2,5).因為A—B—{^r|x^A,且前6},而3,4￡

B,0,1,2,所以2—月={0,1,2,5},應選D.

3.(2021?廣東揭陽一模)非空數(shù)集/假設滿足：(1)044(2)假設VxC4有乂4那

X

么稱/是“互倒集〃.給出以下數(shù)集:

①{x￡R|V+ax+l=0}；

②{x\^r2—4^r+l<0}；

"1rlX

y=~~,丁iju1，e］［；

,2「

2x+-,x￡[0,1

5

y>

x+~,[1,2].

x

其中“互倒集〃的個數(shù)是()

A.4B.3

C.2D.1

解析：選C對于①，當一2〈水2時為空集，所以①不是“互倒集〃；對于②，{x|*

—4x+l<0}={x\2—y[3<x<2+y[3],所以\'小，即2—十〈一〈2+十，所以②是

“互倒集〃；對于③，/1---1riv故函數(shù)尸1〒in是V增函數(shù)，當吐1，1)\時，代[-

(1212、5

e,0),當xe(l,e]時，ye|^0,-,所以③不是“互倒集"；對于④，[，yju2,-

~25~11「25~

=7，9且一e幣o'所以④是"互倒集"，應選C.

□2」y|_o

(一)普通高中適用作業(yè)

A級一一根底小題練熟練快

1.(2021?山東高考)設函數(shù)之=74一避的定義域為/,函數(shù)y=ln(l—x)的定義域為6,

那么/C6=()

A.(1,2)B.(1,2]

C.(-2,1)D.[-2,1)

解析：選D由題意可知/={x|—2WK2},B—{^|x<\],故/C6={x|—2Wx〈l}.

2.(2021?全國卷III)集合/={1,2,3,4},B={2,4,6,8},那么/C8中元素的個數(shù)為

()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選B48兩集合中有兩個公共元素2,4,應選B.

3.集合力=卜上2,且士"，那么集合力中的元素個數(shù)為(

)

A.2B.3C.4D.5

3

解析：選C.??口-,；.2-X的取值有一3,一1,1,3,又?.?xez,...X的值分別為

5,3,1,-1,故集合力中的元素個數(shù)為4.

4.集合/={1,2,3,4,5},B={1x,力且yG/且x—yG/},那么8中所含元素

的個數(shù)為()

A.3B.6

D.10

解析：選D由y^A,x—y^A,得x——y=l或x—y=2或x—y=3或x——y=4,

所以集合方={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},

所以集合8有10個元素.

5.集合>={太|產(chǎn)==1一才2,R},B={x\x=m,mWA},那么()

A.ABB.BA

C.AQBD.B=A

解析：選B因為Z={x|y=\/F￥,x￡R},所以{={x|—1WxWl},所以6={x|x

=m,勿￡4}={x|0WxWl},所以8A,應選B.

6.集合/={0,1,2血，6={X|1V22-、V4},假設2G片{1,2口},那么實數(shù)〃的取值范

C.0,目唱，1)D.(0,1)

解析:選C因為6={x|l<22-*<4},所以6={x|0<2—x<2},所以6={x|0<x<2}.在

數(shù)軸上畫出集合8集合408,如圖1或圖2所示，

從圖中可知，0<2麻：1或1<24<2,解得0<小費或;<加<1,所以實數(shù)加的取值范圍

是(o,習U(；，1).應選C.

7.設集合/={矛3一x—2W0},8={x|x〈l,且xGZ},那么/C8=.

解析：依題意得/={x|(x+1)(x—2)WO}={削-1W啟2},因此{或|-1W水1,

x￡Z}={-1,0}.

答案：{-1,0}

8.設集合/={x|(x—血2<1},且2^43在4那么實數(shù)a的取值范圍是.

2—aVI,

解析：由題意得

3—a~21,

l<a<3,

所以l<aW2.

aW2或a24,

答案：(1,2]

9.設46為兩個集合，以下四個命題：

①/用>對任意xG4有趙氏②48。/08=0；

③/B^B4@A80存在xG4使得褊6.

其中真命題的序號是.

解析：如果對任意xe4有xGB,那么/U6,假設/中至少有一個元素不在6中，即

存在xd4使得超8,那么/不是6的子集.所以④是真命題.

答案：④

10.集合/={x|logzxW2},B={x\x<a},假設ANB,那么實數(shù)a的取值范圍是

解析：由log2*W2,得0<xW4,

即/={x[0<xW4},而6={x|x<a},

由于在數(shù)軸上標出集合4B,如下圖，

那么a>4.

答案：（4,+°°）

B級一一中檔題目練通抓牢

1.（2021?湘中名校高三聯(lián)考）集合/={x|f—llx—12<0},8={X|X=2（3A+1）,n

eZ},那么/C8等于（）

A.{2}B.{2,8}

C.{4,10}D.{2,8,10}

解析：選B因為集合A={x|V—llx—12<0}={x[-集合8為被6整除

余數(shù)為2的數(shù).又集合A中的整數(shù)有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,故被6整除余數(shù)為2的

數(shù)有2和8,所以AC6={2,8},應選B.

2.（2021?河北衡水中學月考）設48是兩個非空集合，定義運算/X6={x|xeC4U

6）且超（ZC面},A—{x\y^^2x~x},B—{y\y—2r,x>0},那么4X6=（）

A.[0,1]U（2,+8）B.[0,1）U[2,+8）

C.[0,1]D.[0,2]

解析：選A由題意得/={x|2x—矛220}={x|0WxW2},B={y|y>l},

所以/U6=[0,+8）,/C5=（l,2],

所以AX6=[0,1]U（2,+8）.

3.全集〃中有0個元素，（[』）U（[應中有〃個元素.假設4A8非空，那么/C6

的元素個數(shù)為（）

A.儂B,m+n

C.n-mD.m-n

解析：選D因為（[/）U（[加）中有〃個元素，如圖中陰影局部所示，廠

又〃=ZU6中有"個元素，故2G3中有/一〃個元素.AB

4.（2021?貴陽監(jiān)測）全集Z/={&,&,as,a},集合力是全集〃的恰有兩個元素的子

集，且滿足以下三個條件：

①假設為G4那么azG/；

②假設aAA,那么aAA-,

③假設a3G4那么aAA.

那么集合/=.（用列舉法表示）

解析：假設那么azd/,由假設as。/,那么a?。/可知，a3c4,故假設不成立；

假設&G4那么asH,aAA,aAA,故假設不成立.故集合/=海，a3}.

答案：{如a3}

5.集合/={x|—l〈x<3},B={x\—nKx〈向,假設醫(yī)/,那么小的取值范圍為.

解析：當勿W0時，8=0,顯然醫(yī)4

當加〉0時，"."A={x\—KX3}.

當醫(yī)/時，在數(shù)軸上標出兩集合，如圖，

——1,

；.1欣3,；.0〈辰1.

綜上所述，曲的取值范圍為（一8,J.

答案：（-8,1]

6.設全集〃=R,4={x|lWxW3},6={x|2〈x<4},C={x|aWxWa+1}.

⑴分別求4nA%U（C。；

（2）假設6UC=8求實數(shù)a的取值范圍.

解：（D由題意知，/C8={x|lWA3}n{x|2<x<4}={x|2<W3}.

易知（/={x\xW2或x?4},

所以JU（[㈤={x|U{x|或x>4}={x|或x24}.

⑵由6UC=6,可知值S畫出數(shù)軸（圖略），

易知2<a〈a+l〈4,解得2<a<3.

故實數(shù)a的取值范圍是（2,3）.

7.集合/={xGRlf一/+6=0},B={xGR|f+cx+15=0}，/C6={3},/U8={3,5}.

（1）求實數(shù)a,b,c的值.

（2）設集合々{xGR|aV+6x+cW7},求集合戶CZ.

解：（1）因為AC6={3},所以3G6,

所以32+CX3+15=0,解得。=一8,

所以B—{xGR|/—8x+15=0}=⑶5}.

又因為ZA6=⑶，”6={3,5},所以公⑶，

所以方程x-ax+b=O有兩個相等的實數(shù)根都是3,

所以a=6,b=9.

(2)不等式cW7,即為6x?+9x—8W7,

5

所以23+3x—5W0,所以一,WxWL

所以夕=卜|一'|wxWl1,

所以尸CZ={—2,-1,0,1).

C級一一重難題目自主選做

1.對于非空集合4B,定義運算：/十6={x|xG/U8,且K/C6}.非空集合4{x|a

<x<6\,N—{x|c<x<d\，其中a,6,c,d滿足a+b—c+d,ab<cd<0,那么N=()

A.(a,d)U(6,c)B.(c,a)U(d,6)

C.(c,a)U\_b,d)D.(a,c\U\_d,6)

解析：選D由〃={x|a<x<6},得a<b.又ab<0,；.a<0<6.同理可得c<0<d,

,一，口ada~cd-b-,d-b

由ab<cd<0,c<0,6>0可得一>7,/.--->—X'?>a+b=c+d,a~c—d~b,----

cbcbc

>―--,c<0,b>0,:.d—b<0,因此a—c<0,a<c<0<d<b,J.MC\N=N,〃十

b

7V={x|a<x〈c或dWx<6}=(a,c]U\_d,6).應選D.

2.4為合數(shù)，且l<4<100,當次的各數(shù)位上的數(shù)字之和為質(zhì)數(shù)時，稱此質(zhì)數(shù)為次的“衍

生質(zhì)數(shù)〃.

(1)假設"的"衍生質(zhì)數(shù)”為2,那么A=；

(2)設集合A={2⑷|RA)為A的“衍生質(zhì)數(shù)"},B={k\P(6為"的“衍生質(zhì)數(shù)〃},

那么集合AU6中元素的個數(shù)是.

解析：(1)依題意設A=10a+6(aeN*,6GN),那么a+6=2,又a^N*,6GN,那么a

=2,6=0,故"=20；(2)由(1)知"衍生質(zhì)數(shù)''為2的合數(shù)有20,同理可推“衍生質(zhì)數(shù)”

為3的合數(shù)有12,21,30,“衍生質(zhì)數(shù)〃為5的合數(shù)有14,32,50,“衍生質(zhì)數(shù)”為7的合數(shù)

有16,25,34,52,70,“衍生質(zhì)數(shù)”為11的合數(shù)有38,56,65,74,92,“衍生質(zhì)數(shù)”為13的

合數(shù)有49,58,76,85,94,“衍生質(zhì)數(shù)”為17的合數(shù)有98,所以集合A有7個元素，集合B

有23個元素，故集合/U6中有30個元素.

答案：2030

(二)重點高中適用作業(yè)

A級一一保分題目巧做快做

1.集合且含GZ：,那么集合力中的元素個數(shù)為()

A.2B.3

C.4D.5

3

解析：選CV--￡Z,???2—x的取值有一3,-1,1,3,又???x￡Z,???x的值分別為

A—x

5,3,1,-1,故集合/中的元素個數(shù)為4.

2.集合Z={x|y=，T二P,x￡R},B={x\x=m,m^A\,那么（）

A.ABB.BA

C.AQBD.B=A

解析：選B因為4={x|y=Nl一居x￡R},所以/={x|-1WxWl},所以8={x|x

=m,"￡4}={x|OWxWl},所以夕A.

3.（2021?湖北七市（州）協(xié)作體聯(lián)考）集合A{〃|/?=2A—l,A￡N*,Z50},g{2,3,5）,

那么集合7={盯|才￡尸，p￡。}中元素的個數(shù)為（）

A.147B.140

C.130D.117

解析：選B由題意得，p的取值一共有3種情況，當y=2時，盯是偶數(shù)，不與y=3,

y=5時有相同的元素，當p=3,x=5,15,25,???,95時，與y=5,x=3,9,15,…，57時

有相同的元素，共10個，故所求元素個數(shù)為3X50-10=140.

4.（2021?河北衡水調(diào)研）集