PAGEPAGE19第2章線性系統的狀態空間描述一、狀態空間描述的建立1．(由系統機理建立狀態空間描述)如圖電路，寫出系統的狀態方程和輸出方程。選擇狀態變量x=uc，輸入變量u=e(t)，輸出變量y=uc。解：如圖電路，寫出系統的狀態方程和輸出方程。選擇狀態變量x=uc，輸入變量u=e(t)，輸出變量y=uc。解：2．(由輸入輸出描述建立狀態空間描述)系統的傳遞函數如下，求系統的狀態空間描述解：可控標準形， ；或可觀標準形， 3．例2.3給定單輸入單輸出線性定常系統的輸入輸出描述為試求系統的狀態空間表達式。解：此例中。由長除法得則系統的狀態空間表達式為4．例2.2：已知二階系統的微分方程試求系統的狀態空間表達式。解：可控規范形實現為：則可觀測規范形實現為：二、傳遞函數矩陣的計算1．系統的狀態空間描述如下，求系統的傳遞函數矩陣G(s)，；解：。系統的狀態空間描述如下，求系統的輸出變量和輸入變量之間的微分方程。解：三、化對角線規范形1．例2.9已知線性定常系統的狀態方程為：求系統的對角線規范形。解:①求系統特征值：系統的特征方程，即所以系統的3個特征值為：，特征值兩兩相異，可以化為對角線規范形。②求系統特征向量：由確定特征向量，與特征值相對應的特征向量由下式確定上式有無窮多解，設，從中可得。令，得，同理可算出與特征根、相對應的特征向量、為：。③構造變換矩陣P并求逆：④計算變換后系數矩陣⑤定出對角線規范形狀態方程2．例2.10將下列系統狀態方程化為對角線規范形解：（1）計算系統特征值則系統特征值為（的代數重數），（的代數重數）。（2）有重特征值，判斷是否可以化為對角規范形對于2重特征值，它所對應的特征矩陣所以其幾何重數。顯然，雖然該題中系統矩陣A有重特征值，但重特征值的代數重數和幾何重數相等，仍可以化為對角規范形。（3）確定特征向量由確定特征向量，特征值的幾何重數，故存在兩個屬于該特征值的線性無關特征向量，相對應的特征向量由下式確定解得：，而和可以任取。為保證特征向量非零，可分別取，得到2個屬于二重特征值的特征向量。對于單特征值，由有特征向量。（4）構造變換矩陣、求逆并計算系數矩陣，（5）對角線規范形狀態方程為四、組合系統的狀態空間描述例2.14：兩個子系統分別為求其并聯組合系統、串聯組合系統和反饋連接組合系統的狀態空間描述。解：1）串聯：2）并聯：3）反饋連接：；第3章線性系統的運動分析一、狀態轉移矩陣性質的應用1．例3.6：已知狀態轉移矩陣為試求：解：1）根據狀態轉移矩陣的運算性質有：2）根據狀態轉移矩陣的運算性質有：所以：2．已知線性定常系統的系統矩陣A如下，求狀態轉移矩陣，解：；。二、狀態響應和輸出響應例：已知系統的狀態空間描述和初始條件如下：求系統在單位階躍輸入作用下的狀態響應和輸出響應。解：1）積分法：由于：，所以2）拉氏變換法：(5分)已知系統的狀態空間描述及初始條件如下，；；；求系統在單位階躍輸入作用下的系統輸出y(t)。五、(20分)系統的可控性、可觀性與結構分解(5分)已知系統為；；判斷該系統狀態的可控性和可觀測性。(5分)已知系統為；；第4章線性系統的能控性和能觀測性一、可控性和可觀測性1．例4.6(基本題型)：已知判斷其能控性。解：首先確定出能控判別陣Qc，所以系統為完全能控。 或應用對角規范形判據.(5分)已知系統為；；2．例4.13（對角線規范形判據的應用）：判斷下列系統能控性解：由于對角規范型中包含元素全為零的行，故系統不完全能控。3．（約當規范形判據的應用）判斷下面系統的能控性和能觀性解：能控。不能觀。4．例4.15（約當規范形判據的應用）：判斷下述系統的能控性解：不是全為零的行，，行線性相關。所以，系統不完全能控。5．例4.12：確定使下列系統狀態完全能控的待定參數的a，b，c取值范圍（1）（2）解：（1）n=3，能控性判別陣為系統完全能控必有成立（此時），即系統完全可控時參數取值范圍：，b任意。（2）若應用秩判據，通過計算來求，理論上可行，但此題很難從中解出a,b,c的取值范圍，計算很困難，故考慮使用PBH秩判據。根據狀態方程可寫出：令求特征值得故特征值為：。當時，有因為第1列與第2列線性相關，第3列為0，故不管a,b,c取何值，最大為2，所以：a,b,c為任何值都不能控。6．已知系統狀態空間描述為且狀態完全能觀，求。解：，9．例4.25：已知系統的傳遞函數為：設系統狀態完全可控且完全可觀,試求a的范圍。解：這種題型的解題思路：可先寫出系統的能控（或能觀測）規范形實現，再通過判據確定使系統完全能觀測（或能控）的參數范圍即可。寫出可控標準型實現，然后檢查可觀性：能控規范形系統完全可控，故只檢查能觀測性即可。能觀測性判別陣：系統完全可觀，必有，即必有，即所以a1≠1、a2≠2和a3≠4時系統完全能控且完全能觀測。二、能控性指數和能觀測性指數1.例4.17給定一個連續時間線性時不變系統為通過計算得到這表明，系統完全能控，且能控性指數集和能控性指數為和三、化能控規范形和能觀測規范形1．求下面系統的能觀測規范形(要求寫出變換矩陣)解：，系統能觀測，能化成能觀規范形。引入變換矩陣：則能觀測規范形為：四、結構分解：例4.31（胡壽松P497例9-21）：已知系統，其中試將系統作能控性規范分解。解：1）能控性判別矩陣，故系統不完全能控。2）從能控性矩陣中選出兩個線性無關的列向量和，附加任意列向量，構成非奇異變換矩陣：則：，即可得到系統按能控性分解的規范表達式為：故能控子系統動態方程為：不能控子系統動態方程為：五、最小實現1．例4.35（補充）已知系統傳遞函數為試求出系統的一個最小實現。解:則最小實現為：第5章系統運動的穩定性定常系統穩定性判斷：1．例1（補充，結論5.3，5.6的應用）已知系統的狀態空間描述為判斷系統的BIBO穩定性和漸近穩定性。解：（1）傳遞函數矩陣極點具有負實部，所以系統是BIBO穩定的。（2）由系統特征方程求得系統矩陣A的特征值為，因其具有一個正的實特征值，不滿足系統矩陣A的特征值均具有負實部的條件，所以不是漸近穩定的。2．例5.5（補充，結論5.22的應用）：判斷下述線性定常系統的穩定性解：系統矩陣A為奇異矩陣，系統存在無窮多個平衡狀態。系統的平衡狀態為，其中和為任意實數，即狀態空間中平面上的每一個點均為平衡狀態，解系統的特征方程得特征值分別為：。又：顯然，最小多項式為。系統所有特征值均具有非正實部，且具有零實部的特征值是最小多項式的單根，因此系統的每一個平衡狀態都是李亞普諾夫意義下穩定的。3．例5.6（補充，結論5.23的應用）：判斷下述線性定常系統的穩定性解：系統矩陣A為非奇異，顯然原點是系統的唯一平衡狀態，解系統的特征方程得特征值分別為：。顯然，系統的所有特征值都具有負實部，所以系統的唯一平衡狀態是漸近穩定的。4．例5.7（結論5.24）設系統為試用李亞普諾夫方程判斷系統的漸近穩定性。解：系統狀態方程為，則，，即A為非奇異矩陣，原點x=0是唯一平衡狀態。令李亞普諾夫方程為則有得到：得到3個線性方程由于，，故P負定，則系統不是漸近穩定的。5．求系統的原點平衡狀態為漸近穩定時參數a的取值范圍。解：,勞斯表計算第6章線性反饋系統的時間域綜合一、狀態反饋對系統能控性、能觀測性的影響：1．例6.1(補充題)：已知系統的狀態空間描述（1）求出系統的傳遞函數；（2）引入狀態變量的線性反饋，反饋增益矩陣為，反饋后閉環系統的能控性和能觀性是否改變，請說明理由。解:(1)系統的狀態方程為能控規范型實現，根據傳遞函數分子、分母多項式的系數與能控規范型系數矩陣之間的對應關系，可直接寫出系統的傳遞函數為注：也可由公式計算(2)定理：系統實現為最小實現，即為能控且能觀測的充要條件是，傳遞函數G(s)的分子分母間沒有零極點的對消，即與互質。本題求出的G(s)的分子分母間沒有零極點的對消，是互質的，所以原系統是完全能控且完全能觀測的。引入上述狀態反饋后的閉環反饋系統是能控不能觀測的，即能控性不變，能觀性發生了改變。狀態反饋的引入不改變系統的能控性，而能觀測性是否發生改變，要視具體情況而定，討論如下：引入狀態反饋后，閉環反饋系統的狀態空間描述為其傳遞函數矩陣為：閉環反饋系統出現零極點對消，被對消掉的極點就不能觀測了，所以引入狀態反饋后的閉環反饋系統是能控不能觀測的。二、狀態反饋鎮定問題：1．例6.2(補充題)：已知系統的狀態空間描述能否通過狀態反饋鎮定？請說明理由。解：由于此對角規范型中c包含元素全為零的行，故系統不完全能控。不能控的特征值為-1，滿足結論6.16:當且僅當線性定常系統的不能控部分漸近穩定時，系統是狀態反饋可鎮定的。故該系統可以通過狀態反饋鎮定。2．例6.3(補充題)：已知系統的狀態空間描述判斷系統能控性，若不完全能控，請進行結構分解，并討論能否用狀態反饋使閉環系統穩定。解：1.因為，故系統不完全能控。2.結構分解：構造變換矩陣，計算得計算：所以系統按能控性結構分解后的狀態方程為可見，不能控子系統對應的特征值為，即不能控子系統是漸近穩定的，而能控子系統可通過狀態反饋實現閉環極點的任意配置，故用狀態反饋可以使閉環系統穩定。三、極點配置與狀態觀測器設計1．（極點配置問題）：已知系統的狀態方程為，；求狀態反饋矩陣K=[k1k2k3]，使閉環系統的特征值為-2，-4，-5。求狀態反饋矩陣K=[k1k2k3]，使閉環系統的特征值為-2，-4，-5。解：期望特征多項式為；閉環系統特征多項式為：；比較特征多項式系數得到。2．（極點配置問題）:例6.8已知系統的傳遞函數為試問：是否存在狀態反饋矩陣k，使閉環系統的傳遞函數矩陣為如果存在，求出此狀態反饋矩陣k。解：1.系統的傳遞函數化簡為：由上式得到系統的能控規范形實現為：系統完全能控，可以通過狀態反饋實現極點的任意配置。根據結論6.11狀態反饋不改變系統傳遞函數的零點，所以期望的閉環系統的傳遞函數為：因此，閉環系統期望的特征多項式為：(1)引入狀態反饋后，得到的閉環系統實際的特征多項式為：(2)比較(1)和(2)，可得所以，所求的狀態反饋增益矩陣