黑龍江省北安市第一中學2024年高三第四次模擬考試數學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個陶瓷圓盤的半徑為，中間有一個邊長為的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發現落在正方形花紋上的米共有51粒，據此估計圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.1472．集合的真子集的個數是（）A． B． C． D．3．已知拋物線：，點為上一點，過點作軸于點，又知點，則的最小值為（）A． B． C．3 D．54．已知向量滿足,且與的夾角為,則()A． B． C． D．5．已知等式成立，則（）A．0 B．5 C．7 D．136．若集合，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．7．已知集合，，若，則實數的值可以為（）A． B． C． D．8．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．9．己知，，，則（）A． B． C． D．10．的圖象如圖所示，，若將的圖象向左平移個單位長度后所得圖象與的圖象重合，則可取的值的是（）A． B． C． D．11．函數的大致圖象是A． B． C． D．12．將函數的圖象先向右平移個單位長度，在把所得函數圖象的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖象，若函數在上沒有零點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線（，）過圓：的圓心，則的最小值是______.14．已知矩形ABCD，AB=4，BC=3，以A,B為焦點，且過C,D兩點的雙曲線的離心率為____________.15．已知函數，則函數的極大值為___________．16．記為數列的前項和.若，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線與直線的直角坐標方程；（2）若曲線與直線交于兩點，求的值.18．（12分）如圖，在正四棱柱中，已知，.（1）求異面直線與直線所成的角的大小；（2）求點到平面的距離.19．（12分）在中，角所對的邊分別是，且.（1）求；（2）若，求.20．（12分）已知函數（1）當時，求不等式的解集；（2）若函數的值域為A，且，求a的取值范圍.21．（12分）為提供市民的健身素質，某市把四個籃球館全部轉為免費民用（1）在一次全民健身活動中，四個籃球館的使用場數如圖，用分層抽樣的方法從四場館的使用場數中依次抽取共25場，在中隨機取兩數，求這兩數和的分布列和數學期望；（2）設四個籃球館一個月內各館使用次數之和為，其相應維修費用為元，根據統計，得到如下表的數據：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程；②叫做籃球館月惠值，根據①的結論，試估計這四個籃球館月惠值最大時的值參考數據和公式：，22．（10分）已知函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B【點睛】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型，屬于基礎題2、C【解析】

根據含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，計算可得；【詳解】解：集合含有個元素，則集合的真子集有（個），故選：C【點睛】考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對于含有個元素的集合，有個子集，有個真子集，屬于基礎題．3、C【解析】

由,再運用三點共線時和最小，即可求解.【詳解】.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義，合理轉化是本題的關鍵，注意拋物線的性質的靈活運用，屬于中檔題．4、A【解析】

根據向量的運算法則展開后利用數量積的性質即可.【詳解】.故選：A.【點睛】本題主要考查數量積的運算，屬于基礎題.5、D【解析】

根據等式和特征和所求代數式的值的特征用特殊值法進行求解即可.【詳解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，，而，所以.故選：D【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了特殊值代入法，考查了數學運算能力.6、D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關系，考查了學生概念理解，數學運算能力，屬于基礎題.7、D【解析】

由題意可得，根據，即可得出，從而求出結果．【詳解】，且，，∴的值可以為．故選：D．【點睛】考查描述法表示集合的定義，以及并集的定義及運算．8、C【解析】

分類討論，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個，再取沒有陽爻的坤卦，計算滿足條件的種數，利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數是；僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽爻的是坤卦，此時取兩卦滿足條件的種數是，于是所求的概率．故選：C【點睛】本題考查了古典概型的應用，考查了學生綜合分析，分類討論，數學運算的能力，屬于基礎題.9、B【解析】

先將三個數通過指數，對數運算變形，再判斷.【詳解】因為，，所以，故選：B.【點睛】本題主要考查指數、對數的大小比較，還考查推理論證能力以及化歸與轉化思想，屬于中檔題.10、B【解析】

根據圖象求得函數的解析式，即可得出函數的解析式，然后求出變換后的函數解析式，結合題意可得出關于的等式，即可得出結果.【詳解】由圖象可得，函數的最小正周期為，，，則，，取，，則，，，可得，當時，.故選：B.【點睛】本題考查利用圖象求函數解析式，同時也考查了利用函數圖象變換求參數，考查計算能力，屬于中等題.11、A【解析】

利用函數的對稱性及函數值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數為奇函數，可排除B選項；當時，，可排除D選項；當時，，當時，，即，可排除C選項，故選：A【點睛】本題考查了函數圖象的判斷，函數對稱性的應用，屬于中檔題．12、A【解析】

根據y=Acos（ωx+φ）的圖象變換規律，求得g（x）的解析式，根據定義域求出的范圍，再利用余弦函數的圖象和性質，求得ω的取值范圍．【詳解】函數的圖象先向右平移個單位長度，可得的圖象，再將圖象上每個點的橫坐標變為原來的倍(縱坐標不變)，得到函數的圖象，∴周期，若函數在上沒有零點，∴，∴，，解得，又，解得，當k=0時，解，當k=-1時，，可得，.故答案為：A.【點睛】本題考查函數y=Acos（ωx+φ）的圖象變換及零點問題，此類問題通常采用數形結合思想，構建不等關系式，求解可得，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】

求出圓心坐標，代入直線方程得的關系，再由基本不等式求得題中最小值．【詳解】圓：的標準方程為，圓心為，由題意，即，∴，當且僅當，即時等號成立，故答案為：．【點睛】本題考查用基本不等式求最值，考查圓的標準方程，解題方法是配方法求圓心坐標，“1”的代換法求最小值，目的是湊配出基本不等式中所需的“定值”．14、2【解析】

根據為焦點，得；又求得，從而得到離心率.【詳解】為焦點在雙曲線上，則又本題正確結果：【點睛】本題考查利用雙曲線的定義求解雙曲線的離心率問題，屬于基礎題.15、【解析】

對函數求導，通過賦值，求得，再對函數單調性進行分析，求得極大值.【詳解】，故解得，，令，解得函數在單調遞增，在單調遞減，故的極大值為故答案為：.【點睛】本題考查函數極值的求解，難點是要通過賦值，求出未知量.16、1【解析】

由已知數列遞推式可得數列是以16為首項，以為公比的等比數列，再由等比數列的前項和公式求解．【詳解】由，得，．且，則，即．數列是以16為首項，以為公比的等比數列，則．故答案為：1．【點睛】本題主要考查數列遞推式，考查等比數列的前項和，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）曲線的直角坐標方程為；直線的直角坐標方程為（2）【解析】

（1）由公式可化極坐標方程為直角坐標方程，消參法可化參數方程為普通方程；（2）聯立兩曲線方程，解方程組得兩交點坐標，從而得兩點間距離．【詳解】解：（1）曲線的直角坐標方程為直線的直角坐標方程為（2）據解，得或【點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化，考查參數方程與普通方程的互化，屬于基礎題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）建立空間坐標系，通過求向量與向量的夾角，轉化為異面直線與直線所成的角的大小；（2）先求出面的一個法向量，再用點到面的距離公式算出即可．【詳解】以為原點，所在直線分別為軸建系，設所以,,所以異面直線與直線所成的角的余弦值為，異面直線與直線所成的角的大小為．（2）因為，，設是面的一個法向量，所以有即，令，，故，又，所以點到平面的距離為.【點睛】本題主要考查向量法求異面直線所成角的大小和點到面的距離，意在考查學生的數學建模以及數學運算能力．19、（1）（2）【解析】

（1）根據正弦定理到，得到答案.（2）計算，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）由，可得,因為，所以，所以.（2），又因為，所以.因為，所以，即.【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理，意在考查學生的計算能力.20、（1）或（2）【解析】

（1）分類討論去絕對值即可；（2）根據條件分a＜﹣3和a≥﹣3兩種情況，由[﹣2，1]?A建立關于a的不等式，然后求出a的取值范圍.【詳解】（1）當a＝﹣1時，f（x）＝|x+1|.∵f（x）≤|2x+1|﹣1，∴當x≤﹣1時，原不等式可化為﹣x﹣1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1；當時，原不等式可化為x+1≤﹣2x﹣2，∴x≤﹣1，此時不等式無解；當時，原不等式可化為x+1≤2x，∴x≥1，綜上，原不等式的解集為{x|x≤﹣1或x≥1}.（2）當a＜﹣3時，，∴函數g（x）的值域A＝{x|3+a≤x≤﹣a﹣3}.∵[﹣2，1]?A，∴，∴a≤﹣5；當a≥﹣3時，，∴函數g（x）的值域A＝{x|﹣a﹣3≤x≤3+a}.∵[﹣2，1]?A，∴，∴a≥﹣1，綜上，a的取值范圍為（﹣∞，﹣5]∪[﹣1，+∞）.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法和利用集合間的關于求參數的取值范圍，考查了轉化思想和分類討論思想，屬于中檔題.21、（1）見解析，12.5（2）①②20【解析】

(1)運用分層抽樣，結合總場次為100，可求得的值，再運用古典概型的概率計算公式可求解果;(2)①由公式可計算的值，進而可求與的回歸直線方程；②求出，再對函數求導，結合單調性，可估計這四個籃球館月惠值最大時的值.【詳解】解：（1）抽樣比為，所以分別是，6，7，8，5所以兩數之和所有可能取值是：10，12，13，15，，，所以分布列為期望為（2）因為所以，，；②，設，所以當遞增，當遞減所以約惠值最大值時的值為20【點睛】本題考查直方圖的實際應用，涉及求概率，平均數、