考研數學一（高等數學）模擬試卷207(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。1．設曲線y=x2+ax+b與曲線2y=xy3一1在點(1，一1)處切線相同，則()．A．a=1，b=1B．a=一1，b=一1C．a=2，b=1D．a=一2，b=一1．正確答案：B解析：由y=x2+ax+b得y’=2x＋a，2y=xy3一1兩邊對x求導得2y’－y3＋3xy2y’，解得y’=，因為兩曲線在點(1，一1)處切線相同，所以，應選(B)．知識模塊：高等數學2．設L為由y2=x＋3及x=2圍成的區域的邊界，取逆時針方向，則等于()．A．一2πB．2πC．πD．0正確答案：B解析：取C：x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L內，取逆時針)，P(x，y)=設由L及Cr所圍成的區域為Dr，由Cr圍成的區域為D0，由格林公式得知識模塊：高等數學3．設級數發散(an＞0)，令Sn=a1+a2+…+an，則()．A．發散B．收斂于C．收斂于0D．斂散性不確定正確答案：B解析：因為正項級數=+∞．知識模塊：高等數學填空題4．=________．正確答案：解析：知識模塊：高等數學5．設f(x)連續，且F(x)=∫axf(t)dt，則F(x)=________．正確答案：a2f(a)解析：知識模塊：高等數學6．曲線ex＋y一sin(xy)=e在點(0，1)處的切線方程為_________．正確答案：y=(－1)x＋1解析：exy—sin(xy)=e兩邊對x求導得ex＋y．(1+y’)一cos(xy)．(y+xy’)=0，將x=0，y=1代入得y’(0)=—1，所求的切線為y一1=(一1)x，即y=(一1)x+1．知識模塊：高等數學7．曲線y=(3x+2)的斜漸近線為_________．正確答案：y=3x＋5解析：由=5得曲線的斜漸近線為y=3x+5．知識模塊：高等數學8．曲面x2+2y2+3z2=21在點(1，一2，2)處的法線方程為________．正確答案：解析：n=｛2x，4y，6z｝(1，－2，2)=｛2，一8，12｝，法線方程為．知識模塊：高等數學9．設y=2e－x+exsinx為y’’’+py’’+qy’+ry=0的特解，則該方程為________．正確答案：y’’’一2y’’+2y=0解析：三階常系數齊次線性微分方程的特征值為λ1=一1，λ2，3=1±i，特征方程為(λ+1)(λ一1一i)(λ一1+i)=0，整理得λ3一λ2+2=0，所求方程為y’’’一2y’’+2y=0．知識模塊：高等數學解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。10．求．正確答案：涉及知識點：高等數學11．求(其中ai＞0(i=1，2，…，n))正確答案：所以原式=a1a2…an．涉及知識點：高等數學12．設f(x)=討論f(x)在x=0處的可導性．正確答案：f(0)=f(0—0)=0，f(0+0)==0．由f(0一0)=f(0+0)=f(0)得f(x)在x=0處連續：由=0得f－’(0)=0．=0得f＋’(0)=0，因為f－’(0)=f＋’(0)=0，所以f(x)在x=0處可導．涉及知識點：高等數學13．設0＜a＜1，證明：方程arctanx=ax在(0，+∞)內有且僅有一個實根．正確答案：令f(x)=arctanx—ax，由f’(x)=，由f’’(x)=為f(x)的最大點，由=一∞，f(0)=0得方程arctanx=ax在(0，+∞)內有且僅有唯一實根，位于內．涉及知識點：高等數學14．求．正確答案：涉及知識點：高等數學15．求．正確答案：涉及知識點：高等數學16．設f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx，求∫01f(x)dx．正確答案：令A=∫01f(x)dx，f(x)=xe2x+2∫01f(x)dx兩邊積分得A=∫01xe2xdx＋2A，解得A=∫01f(x)dx=一∫01xe2xdx=一∫01xd(e2x)=一．涉及知識點：高等數學17．求∫－22(3x+1)max｛2，x2｝dx．正確答案：∫－222(3x+1)max{2，x2}dx=∫－22max｛2，x2｝dx=2∫02max｛2，x2｝dx，由max｛2，x2｝=得∫－22(3x+1)max{2，x2}dx=．涉及知識點：高等數學18．求曲線y=cosx與x軸圍成的區域繞x軸、y軸形成的幾何體體積．正確答案：Vx=．取[x，x+dx]，則dVy=2πxcosxdx，涉及知識點：高等數學19．設y=y(x)，z=z(x)由．正確答案：兩邊對x求導得涉及知識點：高等數學20．求函數μ=x2+yz的梯度方向的方向導數．正確答案：x2＋yz的梯度為l=｛x，z，y｝，梯度的方向余弦為故所求的方向導數為．涉及知識點：高等數學21．設D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤}，求｜x—y｜dxdy．正確答案：涉及知識點：高等數學22．求(x+y)2dy．正確答案：令，則涉及知識點：高等數學23．計算I=被z=1和z=2截得部分的下側．正確答案：令∑1：z=1(x2+y2≤1)取下側，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上側，=∫12ezdz∫02πdθ∫0zdr=2π∫12zezdz=2π(z－1)ez｜12=2πe2涉及知識點：高等數學24．判斷級數的斂散性，若收斂是絕對收斂還是條件收斂．正確答案：，又當n充分大時，單調減少，且=0．所以級數條件收斂．涉及知識點：高等數學25．求微分方程(y+)dx一xdy=0(x＞0)的滿足初始條件y(1)=0的解．正確答案：由(y＋)dx一xdy=0，得．令μ==lnx+lnC，即μ+=Cx，將初始條件y(1)=0代入得C=1．由，即滿足初始條件的特解為y=．涉及知識點：高等數學26．設f(x)在[0，1]上連續且滿足，f(0)=1，f’(x)一f(x)=a(x一1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0圍成的平面區域繞x軸旋轉一周所得的旋轉體體積最小，求f(x)．正確答案：由f’(x)一f(x)=a(x一1)得f(x)=[a∫(x一1)e∫