第二十三講工程問題

我們這一講要學習的問題叫做工程問題.先來看下面的這個例子，假設一條地鐵線有15

千米長，工程隊每個月可以修3千米，同學們肯定馬上就能看出，共需要5個月的時間修好整

條地鐵.

在這個例子中，總長度15千米叫做這個工程問題的工作總量，5個月即為工作時間，

而工程隊每個月修3千米就叫做工作效率.同學們，你們能看出來這和我們以前學過的哪一

類應用題很類似嗎？沒錯，就是行程問題！上面的例子很容易轉化成這樣一個行程問題：兩

地相距15千米，某人行走的速度為每小時3千米，那么從一地走到另一地需要5小時.

雖然工程問題看起來和行程問題很類似，但工程問題有它自己獨特的解法.在工程問題

中，經常無法從題目中找到工作總量，此時可以把工作總量設為單位“1”.例如：一個工

程隊5天修完一段公路，我們就可以把修這段公路的工作總量設為單位“1”，那么工程隊

每天就能修完公路的1，那么每天完成的工作量就是“』"，而“!”就是這個工程隊的工

555

作效率.

||所謂工作效率，就是單位時間內完成的工作量.

如同速度在行程問題中的核心地位，工程問題中工作效率、工作時間和工作總量這三個

量中最為關鍵的量也是工作效率.因此，如何求出每一個工作者的工作效率，是同學們分析

問題時的重點.

練一練：

1.李師傅要完成一批零件，他預計用6個小時完成了整個工作.則以這批零件的總量為

單位“1”，李師傅的工作效率是,如果李師傅工作了2個小時，那么他完成

了全部工作的分之,

2.明明用了10個小時完成了寫大字的作業，那么明明3個小時能完成作業的分之

,如果這時他寫好了30個大字，那么他總共要寫個大字.

3.吃飯的時候，媽媽給小高盛了一碗米飯，小高發現自己用了5分鐘就吃掉了半碗，如

果以一碗米飯為單位“1”，那么小高吃米飯的效率是,那么小高分鐘能

吃掉2碗的米飯.

5

4.阿呆和阿瓜兩個人打掃屋子，阿呆自己打掃50分鐘能打掃完，阿瓜75分鐘能打掃完，

那么阿呆每分鐘能完成全部工作的分之,阿瓜每分鐘能完成全部工作的

分之，如果兩個人同時工作的話，那么每分鐘能完成全部工作的分

之.

5.阿萍為鄰居家的溫奶奶修廁所，用30天可以修好，阿萍的效率是.阿萍工作了

10天之后，修廁所的技術上了一個臺階，效率變成了之前的2倍.她還需要

天就可以把廁所修好.

在完成一項工作時，很多時候依靠個人的力量是無法完成的，或者不能完成得很快、很

好，這時就需要多個人合作來完成.俗話說：“眾人拾柴火焰高”，團隊的智慧是遠遠超過

個人的.

當多人合作的時候，完成的工作總量就是這些人工作量的總和，“總工效”就是他們每

個人的工作效率之和.

例題1.

一條公路，甲隊單獨去修需要20天完成，乙隊單獨去修需要30天完成.那么：

(1)甲、乙兩隊一起修，共需要多少天完成？

(2)如果甲、乙兩隊合修若干天之后，乙隊停工休息，而甲隊繼續修了5天才修完，那么

乙隊一共修了多少天？

「分析」題目中己知甲、乙的工作時間，如果我們把工作總量設為單位“1”,那么利用工程

問題的基本關系式：工作總量+工作時間=工作效率，馬上可以求出甲、乙兩隊的工作效率，

那么兩人合作的效率是多少？

第(2)問中，甲隊獨修了5天，那么甲隊獨修的工作量是多少？其余的工作由兩人合

作完成，那兩人還需要合作幾天？

練習1.

有一堆排骨，老虎單獨吃需要10分鐘，獅子單獨吃需要15分鐘.那么：

(1)老虎和獅子一起互不影響地吃這堆排骨，需要多少分鐘吃完？

(2)如果老虎和獅子一起吃了3分鐘后，老虎就把獅子趕走了，剩下的排骨可以讓老虎單

獨吃兒分鐘？

在例題1中，單獨與合作劃分得很清楚，單獨做的時候只要找那個人對應的工效和工作

量，就能算出那個人單獨的工作時間，而合作的時候，只要找到工效和與對應的工作量就能

求出合作時間.然而有些時候，單獨與合作的界線并不是那么清楚，需要我們自己找到.

例2.現在要修筑一條公路，如果甲、乙兩個工程隊同時施工，20天可以完成.如果兩隊合

作15天之后，剩下的全都由乙來完成，則還需要15天才能完成.那么如果這條路全部都由

甲隊來修，需要多少天才能完成？

「分析」實際工作的30天中，前15天是兩隊合作，后15天是乙隊獨做，每天的工作效率

不一樣.那我們可以分別計算前15天與后15天的工作總量，進而計算出甲和乙的工作效率.

練2.現在要修筑一條公路，如果乙工程隊單獨修，需要18天完成.如果兩隊合作10天之

后，剩下的全都由乙來完成，則還需要6天才能完成.那么如果這條路全部都由甲隊來修,

需要多少天才能完成？

例題3.

有一條公路，甲隊獨修需12天，乙隊獨修需15天.現在讓2個隊合修，但中間甲隊有別的

任務離開了，結果從頭到尾用了10天才把這條公路修完.請問：甲隊參與修路多少天？

「分析」我們可以把兩隊分開來計算.甲隊最“懶”，干了幾天就走了；乙隊最聽話，完完

整整地做了10天，由此我們可以求出乙隊的工作總量，進而求出甲的工作總量和工作時間.

練習3.

有一堆煤，甲車單獨運需要10天運完，乙車單獨運需要40天運完.乙車先開始運，若干天

后甲車加入，到運完時乙車一共運了12天.那么乙車開始后幾天甲車才加入？

例題4.

有一批待加工的零件，甲單獨做需要4天完成，乙單獨做需要5天完成，如果兩人合作，那

么完成任務時甲比乙多做20個零件.這批零件共有多少個？

「分析」到完成時甲乙各完成了這批零件的幾分之幾？20個零件占了這批零件的幾分之

幾？

練習4.

甲、乙兩工程隊修一條路，如果讓甲隊單獨修，需要8天完成；如果讓乙隊單獨修，需

要6天完成.現在兩隊合修，修完后，甲隊比乙隊少修了50米.這條路有多長？

在生活當中，有時候會出現“倒班”，也就是幾個人輪流工作，而不是同時工作.這種

類型的工程問題應該怎么解決呢?

例題5.

(1)單獨完成一項工程，甲需要15天，乙需要10天.現在兩人按甲、乙、甲、乙、…的

順序，一人一天輪流工作.那么完成這項工作需要幾天？

(2)單獨完成一項工程，甲需要15天，乙需要6天.現在兩人按甲、乙、甲、乙、…的順

序，一人一天輪流工作.那么完成這項工作需要幾天？

(3)單獨完成一項工程，甲需要15天，乙需要12天.現在兩人按甲、乙、甲、乙、…的

順序，一人一天輪流工作.那么完成這項工作需要幾天？

「分析」甲乙輪流工作，以2天為一周期，每個周期完成的工作量都是相同的.到最后完成

工作需要幾個周期呢？

很多大型的工程中，都包含著多個小型的工程.比如中國的南水北調工程就分為東線工

程、中線工程和西線工程.在工程問題中，這種整體與部分之間的關系是值得注意的.

例題6.

搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.現有兩個相同的

倉庫4和B,甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙先幫助甲搬運，中途又轉向

幫助乙搬運，最后兩個倉庫貨物同時搬完，那么丙幫助甲搬了多少小時？

「分析」我們可以把這兩個倉庫看成一個大的倉庫，那么甲乙丙三人在合作搬運這個大倉庫

的貨物，而且是同時開始，同時結束.那么搬運的時間能不能算出來？

曼哈頓工程

曼哈頓工程是第二次世界大戰期間美國陸軍自1942年起開發核武器計劃的代號。曼哈

頓工程的負責人為美國物理學家J?羅伯特?奧本海默。

愛因斯坦與奧本海默

1941年12月7日，日本偷襲美國珍珠港。此后不久，美國正式成為第二次世界大戰參

戰國。與此同時，美國國家科學院在以往研究成果的基礎上遞交的研制核武器申請得到了批

準。1942年夏，面對希特勒德國笊及疑產量令人擔心的增長，美國秘密撥款共25億美元,

加緊開發核武器。美國陸軍方面的計劃主管LeslieRichardGroves將計劃命名為曼哈頓計劃。

計劃主要在新墨西哥州LosAlamos附近的一個專為此項目開辟的絕密研究中心進行。在奧

本海默領導下，大批物理學家和技術人員參加了這一計?劃，高峰時期參加者人數逾10萬人。

1945年7月16日，第一顆原子彈試驗成功，爆炸當量相當于2萬1千噸三硝基甲苯

(TNT)。

由于當時歐洲的兩個主要軸心國均已戰敗，原子彈投放的目標轉向了日本。1945年8

月6日美國向廣島投放了稱為小男孩的原子彈,8月9日又向長崎投放了稱為胖子的原子彈。

數天后，日本宣布投降，第二次世界大戰宣告結束。

作業1.小山羊和老鹿在吃倉庫里的草，2個小時可以吃完.如果只有老鹿吃的話，3個小

時可以吃完.如果只有小山羊吃的話，幾個小時可以吃完？

作業2.廚房里有一些包子，阿呆一個人需要10分鐘吃完，阿瓜一個人需要15分鐘吃完.如

果兩個人一塊吃，到吃完時阿呆比阿瓜多吃10個包子.廚房里本來有多少個包子？

作業3.春天的時候，學校組織同學去果園給果樹澆水，甲班的學生單獨去做需要12天完

成，乙班的學生單獨去做需要15天完成，如果兩個班共同做了4天，那么乙班獨自做

完剩下的工作需要多少天？

作業4.有一項工作，甲單獨做需要5天完成，乙單獨做需要12天完成，丙單獨做需要15

天完成，現在三個人一起做這項工作，中間的時候甲離開了，結果用了4天完成了全部

的工作，那么甲離開了多少天？

作業5.一個水池，有甲、乙兩個進水口，如果打開甲進水口一個小時，然后打開乙進水口

一個小時;再打開甲進水口一個小時，……，這樣需要15個小時才能注滿水池.如果

單獨打開甲進水口需要16個小時能注滿整個水池.那么先打開乙進水口一個小時，再

打開甲進水口一個小時，……，按照這樣的順序來注水，需要多長時間把水池注滿？

第二十三講工程問題

例題1.答案：(1)12；(2)9.詳解：(1)1+f—+—1=12(天)；(2)甲隊后面這5

(3020)

天完成的工作量是‘，那么前面合作的時間內一共完成3,需要3+(-L+-L)=9天,

444(3020J

乙隊一共修了9天.

例題2.答案：30.詳解：首先可知甲乙兩隊合作的效率是」■.合作15天后，還剩下

20

1--LX15=L.那么乙的效率是2+15=-5-,甲的效率是_L-_L=_L.甲單獨修需要

204460206030

30天.

例題3.答案：4.詳解：乙隊從始至終都在做，所以乙做了10天.從整體中把乙隊修的去

掉，就是甲隊修的.所以甲隊修了整條公路的1—-!~xlO=L,甲修了J_+J_=4天.

153312

例題4.答案：180.詳解：兩人合做用1+/_L+_L)=空天，這段時間甲做了型xL=2,

149949

乙做了I—9=M利用我們已經學過的量率對應，20+但-a=i8()個.

99199)

2

例題5.答案：(1)12；(2)9；(3)13-.詳解：(1)以甲1天、乙1天為一個周期，一

5

個周期內完成的工作量是那么需要6個周期，即12天完成這項工作；

151()6

(2)以甲1天、乙1天為一個周期，一個周期內完成的工作量是上1+上1二，7.4個周

15630

期后還剩1-，7、4=上1沒有完成，接下來甲再工作1天正好完成.共需要2x4+l=9天;

3015

3

(3)以甲1天、乙1天為一個周期，一個周期內完成的工作量是上1+上1=3.6個周

151220

期后還剩l-』x6=，沒有完成.甲再工作1天后還剩乙還需要

201010153(

上1+」I=一?天，共需要2x6+l+±2=132*天.

3012555

例題6.答案：3.詳解：設兩個倉庫的容量都是“1”，那么甲、乙、丙每個小時的工作效

率分別是L、l和-L考慮到甲乙丙同時工作，可求出需要24,+-!~+-!~]=8小

1012151101215)

時將兩個倉庫的貨物搬完.這段時間內甲搬了L1x8=?4,那么剩下的11是丙幫甲搬的，

1055

需要1+工=3小時.

515

練習1.答案：(1)6；(2)5.詳解：(1)1=6；(2)合吃3分鐘后還剩1-」X3=L,

11015j62

剩下的老虎要吃5分鐘.

練習2.答案：90.詳解：乙隊單獨工作的6天完成了，x6=!，那么兩隊合作10天完成

183

了J2每天可完成9±+io=1_L.那么甲隊每天可完成I上一2|_=I」_,單獨做需要90天.

3315151890

練習3.答案：5.詳解：乙隊一共運了」1-xl2=3,那么剩下的7,是甲隊運的，需要7

401010

天.這說明甲隊共工作了7天，是在乙隊開始后5天加入的.

練習4.答案：350.詳解：兩隊合作需要1+仕+"=絲天.甲隊修了這條路的巴1=2,