第十七章

勾股定理17.2勾股定理的逆定理第1課時

勾股定理的逆定理1課堂講解2課時流程逐點導講練課堂小結作業提升逆命題、逆定理勾股定理的逆定理勾股數勾股定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2＋b2＝c21知識點逆命題、逆定理如果兩個命題的題設、結論正好相反，那么這

兩個命題稱為互逆命題，如果把其中一個叫做

原命題，那么另一個叫做它的逆命題．知1－導2．如果一個定理的逆命題經過證明是正確的，那

么它也是一個定理，稱其為原定理的逆定理，

這兩個定理稱為互逆定理．知1－講（來自《點撥》）導引：根據題目要求，先判斷原命題的真假，再將原命題

的題設和結論互換，寫出原命題的逆命題，最后判

斷逆命題的真假．例1判斷下列命題的真假，寫出逆命題，并判斷逆命題

的真假：(1)如果兩條直線相交，那么它們只有一個交點；(2)如果a＞b，那么a2＞b2；(3)如果兩個數互為相反數，那么它們的和為零；(4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.知1－講解：(1)原命題是真命題．逆命題為：如果兩條直線只有

一個交點，那么它們相交．逆命題是真命題．(2)原命題是假命題．逆命題為：如果a2＞b2，那么a

＞b.逆命題是假命題．(3)原命題是真命題．逆命題為：如果兩個數的和為

零，那么它們互為相反數．逆命題是真命題．(4)原命題是假命題．逆命題為：如果a＞0，b＜0，

那么ab＜0.逆命題是真命題．知1－講（來自《點撥》）總

結知1－講（來自《點撥》）

寫出逆命題的關鍵是分清楚原命題的題設和結論，然后將它的題設和結論交換位置就得到這個命題的逆命題．判斷一個命題是真命題需要進行邏輯推理，判斷一個命題是假命題只需要舉出一個反例就可以了．1

說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？(1)兩條直線平行，內錯角相等；(2)如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等；(3)全等三角形的對應角相等；(4)在角的內部，到角的兩邊距離相等的點在角

的平分線上.知1－練（來自《教材》）知1－練（來自《教材》）(1)逆命題：內錯角相等，兩條直線平行．逆命題

成立．(2)逆命題：如果兩個實數的絕對值相等，那么這

兩個實數相等．逆命題不成立．(3)逆命題：三個角對應相等的兩個三角形全等．

逆命題不成立．(4)逆命題：角的平分線上的點到角兩邊的距離相

等．逆命題成立．解：下列說法正確的是(

)A．每個定理都有逆定理B．每個命題都有逆命題C．原命題是假命題，則它的逆命題也是假命題D．真命題的逆命題是真命題知1－練（來自《典中點》）2B已知下列命題：①若a>b，則ac>bc；②若a＝1，則

＝a；③內錯角相等．其中原命題與逆命題均為真命題的個數是(

)A．0B．1C．2D．3知1－練（來自《典中點》）3A下列定理中，沒有逆定理的是(

)A．直角三角形的兩銳角互余B．若三角形三邊長a，b，c(其中a＜c，b＜c)

滿足a2＋b2＝c2，則該三角形是直角三角形C．全等三角形的對應角相等D．互為相反數的兩數之和為0知1－練（來自《典中點》）4C2知識點勾股定理的逆定理知2－導勾股定理的逆定理

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三邊長a、b、c滿足那么這個三角形是直角三角形.a2+b2=c2互逆定理知2－講例2判斷由線段a，b，c組成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15，b=8，c=17；(2)a=13，b=14，c=15.分析：根據勾股定理及其逆定理，判斷一個三角形是不是直

角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最

大邊長的平方.解：(1)因為152+82=225+64=289,172=289，所以152+82=172

，

根據勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形.(2)因為132+142=169+196=365，152=225，所以132+142≠

152，根據勾股定理，這個三角形不是直角三角形.（來自《教材》）總

結知2－講（來自《點撥》）

判斷一個三角形是不是直角三角形有兩種方法：(1)利用定義，即如果已知條件與角度有關，可借助三角

形的內角和定理判斷；(2)利用直角三角形的判定條件，即若已知條件與邊有關，

一般通過計算得出三邊的數量關系(即a2＋b2＝c2)來判

斷，看是否符合較短兩邊的平方和等于最長邊的平方．知2－講例3如圖，某港口P位于東西方向的海岸線上.“遠航”

號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固

定方向航行，“遠航”號每小時航行16nmile，

“海天”號每小時航行12nmile.它們離開港口一個

半小時后分別位于點Q，R處，且相距30nmile.如

果知道“遠航”號沿東北方

向航行，能知道“海天”號

沿哪個方向航行嗎？知2－講分析：在圖中可以看到，由于“遠航”號的航向已知，

如果求出兩艘輪船的航向所成的角，就能知道

“海天”號的航向了.解：根據題意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，

QR=30.

因為242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，

所以∠QPR=90°.

由“遠航”號沿東北方向航行可知，∠1=45°.

因此∠2=45°，即“海天”號沿西北方向航行.（來自《教材》）總

結知2－講（來自《點撥》）

用數學幾何知識解決生活實際問題的關鍵是：建模思想，即將實際問題轉化為數學問題；這里要特別注意弄清實際語言與數學語言間的關系；如本例中：“點與點之間的最短路線”就是“連接這兩點的線段”，“點與直線的最短距離”就是“點到直線的垂線段的長”．1

如果三條線段長a，b，c滿足a2=c2–b2，這三

條線段組成的三角形是不是直角三角形？為

什么？知2－練（來自《教材》）這三條線段組成的三角形是直角三角形，因為三條線段長a，b，c滿足a2＝c2－b2，即a2＋b2＝c2，根據勾股定理的逆定理可知，三角形是直角三角形．解：知2－練（來自《典中點》）2(2016·南京)下列長度的三條線段能組成鈍角三角形

的是(

)A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，73在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，則(

)A．∠A為直角

B．∠B為直角C．∠C為直角

D．△ABC不是直角三角形CA4五根小木棒，其長度(單位：cm)分別為7，15，20，24，25，現將它們擺成兩個直角三角形，

其中正確的是(

)知2－練（來自《典中點》）C如圖，△ABC的頂點在正方形網格的格點，若小方格的邊長為1，則△ABC是(

)A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．以上都不對知2－練（來自《典中點》）5B△ABC的三邊長分別為a，b，c，下列條件：①∠A＝∠B－∠C；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③a2＝(b＋c)(b－c)；④a：b：c＝5：12：13.其中能判定△ABC是直角三角形的有(

)A．1個B．2個C．3個D．4個知2－練（來自《典中點》）6C3知識點勾股數知3－導勾股數：能夠成為直角三角形三條邊長的三個

正整數．

常見的勾股數有：3，4，5；5，12，13；

8，15，17；7，24，25；9，40，41；….知3－講（來自《點撥》）2．判斷勾股數的方法：(1)確定是否是三個正整數；(2)確定最大數；(3)計算：看較小兩數的平方和是否等于最大數的

平方．知3－講導引：根據勾股數的定義：滿足a2＋b2＝c2的三個正整數a，b，c稱為勾股數．A.62＋72≠82，不能構成勾

股數，故錯誤；B.52＋82≠132，不能構成勾股數，

故錯誤；C.1.5和2.5不是整數，所以不能構成勾股

數，故錯誤；D.212＋282＝352，能構成勾股數，故

正確．故選D.（來自《點撥》）例4

下面四組數中是勾股數的一組是(

)A．6，7，8

B．5，8，13

C．1.5，2，2.5

D．21，28，35D總

結知3－講（來自《點撥》）

確定勾股數的方法：首先看這三個數是否是正整數；然后看較小兩個數的平方和是否等于最大數的平方，記住常見的勾股數(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解題速度．1下面幾組數中，為勾股數的一組是(

)A．4，5，6B．12，16，20C．－10，24，26D．2.4，4.5，5.12下列幾組數：①9，12，15；②8，15，17；③7，24，25；④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整數),

其中是勾股數的有(

)A．1組B．2組