專題01平行線的四大模型結論1：若AB∥CD，則∠P+∠AEP+∠PFC=360°；結論2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，則AB∥CD.【典例1】（2023秋?南崗區校級期中）已知，射線FG分別交射線AB、DC于點F、G，點E為射線FG上一點．（1）如圖1，若∠A+∠D＝∠AED，求證：AB∥CD．（2）如圖2，若AB∥CD，求證：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如圖3，在（2）的條件下，DI交AI于點Ⅰ，交AE于點K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度數．【答案】（1）（2）證明見解析；（3）95°．【解答】（1）證明：如圖所示：過點E作EH∥AB，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（2）證明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠EHG，∵∠EHG＝∠D+∠AED，∴∠A＝∠D+∠AED，∴∠A﹣∠D＝∠AED；（3）解：設AE與CD交于點H，∠EAI＝x，則∠BAI＝，，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAB＝，∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，∴x+25°＝∠EDI+25°，∴∠EDI＝x，∵∠EDI＝∠CDE，∴∠CDI＝，∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，∴，解得：x＝60°，∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I＝180°﹣60°﹣25°＝95°．【變式1-1】（2022秋?古縣期末）如圖：按虛線剪去長方形紙片的相鄰兩個角，并使∠1＝150°，AB⊥BC，則∠2的度數為（）A．100° B．110° C．120° D．130°【答案】C【解答】解：過點B作BE∥AD，∵AD∥CF，∴AD∥BE∥CF，∴∠1+∠ABE+∠CBE+∠2＝360°，即∠1+∠ABC+∠2＝360°，∵∠1＝150°，∠ABC＝90°，∴∠2的度數為120°．故選：C．【變式1-2】（2023?金安區一模）如圖，已知a∥b，∠1＝45°，∠2＝125°，則∠ABC的度數為（）A．100° B．105° C．115° D．125°【答案】A【解答】解：解法一：如圖，過點B作DE∥a，∴∠DBA＝∠1＝45°，∵a∥b，DE∥a，∴DE∥b，∴∠2+∠DBC＝180°，∴∠DBC＝180°﹣∠2＝180°﹣125°＝55°，∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝45°+55°＝100°．解法二：如圖，延長AB交b于點F，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝45°，∵∠2＝125°，∵∠2＝∠3+∠CBF，∴∠CBF＝∠2﹣∠3＝125°﹣45°＝80°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBF＝180°﹣80°＝100°．故選：A．【變式1-3】（2023秋?北碚區期末）如圖，AB∥CD，點E是直線AB，CD之間一點．（1）如圖1，求證：∠B+∠D+∠E＝360°；（2）如圖2，若∠B＝120°，∠BED，∠CDE的平分線相交于點F．求∠DFE的度數；（3）如圖3，若∠D＝α，∠EBF＝4∠ABF，∠BEF＝4∠DEF．請直接寫出∠BFE的度數（用含α的代數式表示）．【答案】（1）360°；（2）60°；（3）．【解答】解：（1）如圖所示：過點E作EF∥AB，∴∠B+∠BEF＝180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D+∠DEF＝180°，∴∠B+∠BEF+∠DEF+∠D＝180°+180°，即∠B+∠BED+∠D＝360°；（2）由（1）可知：∠B+∠BED+∠D＝360°；∵∠B＝120°，∴∠BED+∠D＝360°﹣120°＝240°，∵∠BED，∠CDE的平分線相交于點F，∴∠DEF＝，∴∠DEF+∠EDF＝＝＝＝120°，∴∠DFE＝180°﹣（∠DEF+∠EDF）＝60°；（3）∵∠EBF＝4∠ABF，∠BEF＝4∠DEF，∴，由（1）可知：∠ABE+∠BED+∠D＝360°，∴∠ABE+∠BEF＝360°﹣∠D＝360°﹣α，∴∠FBE+∠BEF＝＝＝＝，∵∠F+∠FBE+∠BEF＝180°，∴∠BFE＝180°﹣（∠FBE+∠BEF）＝＝＝．【變式1-4】（2023秋?重慶期末）已知，MN∥PQ，直線AB交MN于點A，交PQ于點B，點C在線段AB上，過C作射線CE、CF分別交直線MN、PQ于點E、F．（1）如圖1，當CE⊥CF時，求∠AEC+∠BFC的度數；（2）如圖2，若∠MEC和∠PFT的角平分線交于點G，求∠ECF和∠G的數量關系；（3）如圖3，在（2）的基礎上，當CE⊥CF，且∠ABP＝60°，∠ACE＝20°時，射線FT繞點F以5°每秒的速度順時針旋轉，設運動時間為t秒，當射線FG與△AEC的一邊互相平行時，請直接寫出t的值．【答案】（1）∠AEC+∠BFC＝90°；（2）2∠G+∠ECF＝180°；（3）10或26或34秒．【解答】解：（1）如圖所示：過點C作CH∥MN，∴∠AEC＝∠1，∵MN∥PQ，∴CH∥PQ，∴∠BFC＝∠2，∵CF⊥CE，∴∠1+∠2＝90°，∴∠AEC+∠BFC＝90°；（2）如圖所示：∵EG平分∠MEC，FG平分∠PFT，∴∠1＝∠2，∠PFT＝2∠3，∵∠PFT+∠PFC＝180°，∴∠PFC＝180°﹣∠PEF＝180°﹣2∠3，∵MN∥PQ，∴∠1＝∠5＝∠2，∵∠5＝∠3+∠G，∠2+∠5+∠ECF+∠PFC＝360°，∴2∠5+∠ECF+180°﹣2∠3＝360°，∴2（∠3+∠G）+∠ECF﹣2∠3＝180°，∴2∠G+∠ECF＝180°；（3）如圖所示：分三種情況：①如圖1所示：當FG旋轉到FT'時，FT'∥AE，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∵∠ACE＝20°，∠ABP＝60°，∠ACE+∠ABP+∠BCF＝180°，∴∠BCF＝100°，∵∠BCF+∠ABP+∠BFC＝180°，∠ABP＝60°，∴∠BFC＝180°﹣∠BCF﹣∠ABP＝50°，∴∠T'FT＝∠BFC＝50°，∵FG平分∠PFT，FT繞點F旋轉的速度每秒5°，∴∠T'FG＝，FG繞點F旋轉的速度為每秒2.5°，∴t＝25°÷2.5°＝10秒；②如圖2所示：當FG旋轉到FT'時，FT'∥CE，∵CF⊥CE，∴∠ECF＝90°，∵FT'∥CE，∴∠TFT'＝∠ECF＝90°，∵∠ACE＝20°，∠ABP＝60°，∠ACE+∠ABP+∠BCF＝180°，∴∠BCF＝100°，∴∠TFP＝∠BCF＝50°∵FG平分∠PFT，∴∠GFT＝，∴∠GFT'＝∠TFT'﹣∠GFT＝65°，∴t＝65°÷2.5°＝26秒；③如圖3所示：當FG旋轉到FT'時，FT'∥AC，∴∠PFT'＝∠ABP＝60°，∵①已證∠PFT＝∠BFC＝50°，FG平分∠PFT，∴∠GFT＝＝∠PFG∴∠GFT'＝∠PFG+∠PFT'＝25°+60°＝85°，∴t＝85°÷2.5°＝34秒；∴當射線FG與△AEC的一邊互相平行時，t的值為10或26或34秒．模型二“豬蹄”模型（M模型）點P在EF左側，在AB、CD內部“豬蹄”模型結論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP+∠CFP；結論2：若∠P=∠AEP+∠CFP，則AB∥CD.【典例2】（2023春?邵陽縣期末）如圖，直線AB∥CD，連接EF，直線AB，CD及線段EF把平面分成①②③④四個部分，規定：線上各點不屬于任何部分．當動點G落在某個部分時，連接GE，GF，構成∠EGF，∠GEB，∠GFD三個角．（1）當動點G落在第③部分時，如圖一，試說明：∠EGF，∠GEB，∠GFD三者的關系；（2）當動點G落在第②部分時，如圖二，思考（1）中三者關系是否仍然成立若不成立，說明理由．【答案】（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，理由見解答；（2）（1）中三者關系不成立，理由見解答．【解答】解：（1）∠EGF＝∠GEB+∠GFD，理由：過點G作GM∥AB，∴∠GEB＝∠EGM，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠GFD＝∠FGM，∵∠EGF＝∠EGM+∠FGM，∴∠EGF＝∠GEB+∠GFD；（2）（1）中三者關系不成立，理由：過點G作GN∥AB，∴∠GEB+∠EGN＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GN，∴∠GFD+∠FGN＝180°，∴∠GEB+∠EGN+∠FGN+∠GFD＝360°，即∠GEB+∠EGF+∠GFD＝360°．【變式2-1】（2023?盤錦）如圖，直線AB∥CD，將一個含60°角的直角三角尺EGF按圖中方式放置，點E在AB上，邊GF，EF分別交CD于點H，K，若∠BEF＝64°，則∠GHC等于（）A．44° B．34° C．24° D．14°【答案】B【解答】解：因為AB∥CD，且∠BEF＝64°，所以∠DKF＝∠BEF＝64°．又三角形EFG為直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，所以∠F＝30°．所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．又∠GHC＝∠KHF，所以∠GHC＝34°．故選：B．【變式2-2】（2023?大石橋市校級三模）如圖，直線a∥b，等邊△ABC的頂點C在直線b上，∠1＝28°，則∠2的度數為（）A．36° B．24° C．28° D．32°【答案】D【解答】解：過點B作BF∥a，∴∠1＝∠ABF＝28°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝∠ABC﹣∠ABF＝32°，∵a∥b，∴BF∥b，∴∠2＝∠FBC＝32°，故選：D．【變式2-3】（2023春?瀏陽市期末）（1）感知與探究：如圖①，直線AB∥CD，過點E作EF∥AB．請直接寫出∠B，∠D，∠BED之間的數量關系：∠BED＝∠B+∠D；（2）應用與拓展：如圖②，直線AB∥CD．若∠B＝23°，∠G＝35°，∠D＝25°，借助第（1）問中的結論，求∠BEG+∠GFD的度數；（3）方法與實踐：如圖③，直線AB∥CD．若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，則∠D＝25度．【答案】（1）∠BED＝∠B+∠D；（2）∠BEG+∠GFD的度數為83°；（3）25．【解答】解：（1）∵EF∥AB，∴∠B＝∠1，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠2＝∠D，∵∠BED＝∠1+∠2，∴∠BED＝∠B+∠D，故答案為：∠BED＝∠B+∠D；（2）過點G作GH∥AB，由（1）可得：∠BEG＝∠B+∠EGH，∵AB∥CD，∴CH∥CD，由（1）可得：∠GFD＝∠D+∠FGH，∵∠B＝23°，∠EGF＝35°，∠D＝25°，∴∠BEG+∠GFD＝∠B+∠EGH+∠D+∠FGH＝∠B+∠D+∠EGF＝23°+35°+25°＝83°，∴∠BEG+∠GFD的度數為83°；（3）設AB與EF相交于點M，∵∠B＝60°，∠F＝85°，∴∠BMF＝180°﹣∠B﹣∠F＝35°，∴∠AME＝∠BMF＝35°，由（1）得：∠E＝∠AME+∠D，∵∠E＝60°，∴∠D＝∠E﹣∠AME＝60°﹣35°＝25°，故答案為：25．【變式2-4】（2023春?霸州市期中）如圖1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°，求∠APC度數．小明的思路是：過P作PE∥AB，如圖2，通過平行線性質來求∠APC．（1）按小明的思路，易求得∠APC的度數為100°；請說明理由；（2）如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，則∠CPD、∠α、∠β之間有何數量關系？請說明理由；（3）在（2）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數量關系．【答案】（1）100°，理由見解答；（2）∠DPC＝∠α+∠β，理由見解答；（3）當點P在射線AM上運動時，∠DPC＝∠β﹣∠α；當點P在OB上運動時，∠DPC＝∠α﹣∠β，理由見解答．【解答】解：（1）∵PE∥AB，∠PAB＝135°，∴∠APE＝180°﹣∠PAB＝45°，∵AB∥CD，∴PE∥CD，∴∠CPE＝180°﹣∠PCD＝55°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝100°，故答案為：100°；（2）∠DPC＝∠α+∠β，理由：過點P作PF∥AD，∴∠DPF＝∠ADP＝∠α，∵AD∥CB，∴PF∥CB，∴∠CPF＝∠PCB＝∠β，∵∠DPC＝∠DPF+∠CPF，∴∠DPC＝∠α+∠β；（3）分兩種情況：當點P在射線AM上運動時，∠DPC＝∠β﹣∠α，理由：如圖：過點P作PG∥AD，∴∠GPD＝∠ADP＝∠α，∵AD∥BC，∴PG∥BC，∴∠GPC＝∠BCP＝∠β，∵∠DPC＝∠GPC﹣∠GPD，∴∠DPC＝∠β﹣∠α；當點P在OB上運動時，∠DPC＝∠α﹣∠β，理由：如圖：過點P作PH∥AD，∴∠HPD＝∠ADP＝∠α，∵AD∥BC，∴PG∥BC，∴∠HPC＝∠BCP＝∠β，∵∠DPC＝∠HPD﹣∠HPC，∴∠DPC＝∠α﹣∠β；綜上所述：當點P在射線AM上運動時，∠DPC＝∠β﹣∠α；當點P在OB上運動時，∠DPC＝∠α﹣∠β．【變式2-5】（2023春?南漳縣期中）如圖1，點A是直線HD上一點，C是直線GE上一點，B是直線HD、GE之間的一點．∠HAB+∠BCG＝∠ABC．（1）求證：AD∥CE；（2）如圖2，作∠BCF＝∠BCG，CF與∠BAH的角平分線交于點F，若α+β＝50°，求∠B+∠F的度數；（3）如圖3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠BAH＝40°，試探究∠NBM的值，若不變求其值，若變化說明理由．【答案】（1）證明過程見解答；（2）∠B+∠F的度數為150°；（3）∠NBM的值不變，∠NBM的值為20°．【解答】（1）證明：過點B作BP∥AD，∴∠ABP＝∠HAB，∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP，∠ABC＝∠HAB+∠BCG，∴∠CBP＝∠BCG，∴BP∥CE，∴AD∥CE；（2）解：∵AF平分∠HAB，∴∠HAF＝∠FAB＝β，∴∠HAB＝2∠FAB＝2β，∵∠BCF＝∠BCG＝α，∴∠FCG＝2∠FCB＝2α，∵∠B＝∠HAB+∠BCG，∴∠F＝∠HAF+∠FCG，∵α+β＝50°，∴∠B+∠F＝∠HAB+∠BCG+∠HAF+∠FCG＝2β+α+β+2α＝3α+3β＝3（α+β）＝150°，∴∠B+∠F的度數為150°；（3）解：∠NBM的值不變，理由：∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，∵BM∥CR，∴∠BCR＝∠MBC，∴∠BCG＝2∠MBC，∵∠HAB+∠BCG＝∠ABC，∠BAH＝40°，∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG＝2∠NBC﹣2∠MBC＝2（∠NBC﹣∠MBC）＝2∠NBM，∴∠NBM＝∠HAB＝20°，∴∠NBM的值為20°結論1：若AB∥CD，則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；結論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，則AB∥CD.【典例3】（2023春?中山區期末）如圖，∠ABE+∠BED＝∠CDE．（1）如圖1，求證AB∥CD；（2）如圖2，點P在AB上，∠CDP＝∠EDP，BF平分∠ABE，交PD于點F，探究∠BFP，∠BED的數量關系，并證明你的結論；（3）在（2）的條件下，如圖3，PQ交ED延長線于點Q，∠DPQ＝2∠APQ，∠PQD＝80°，求∠CDE的度數．【答案】（1）答案見解答過程；（2）∠BED＝2∠BFP，理由見解答過程；（3）120°．【解答】（1）證明：延長CD交BE于點H，∴∠CDE＝∠DHE+∠BED，∵∠ABE+∠BED＝∠CDE，∴∠DHE＝∠ABE，∴AB∥CD，（2）解：∠BFP，∠BED的數量關系是：∠BED＝2∠BFP，理由如下：設∠EBF＝α，∠CDP＝β，∵BF平分∠ABE，∠CDP＝∠EDP，∴∠EBF＝∠ABF＝α，∠CDP＝∠EDP＝β，∴∠PBE＝2∠EBF＝2α，由（1）可知：AB∥CD，∴∠DPB＝∠CDP＝β，∴∠APD＝180°﹣∠∠DPB＝180°﹣β，∵∠APD＝∠ABF+∠BFP，∴180°﹣β＝α+∠BFP，∴∠BFP＝180°﹣（α+β），由四邊形的內角和等于360°得：∠BED+∠EDP+∠DPB+∠PBE＝360°，即：∠BED+β+β+2α＝360°，∴∠BED＝360°﹣2（α+β），∴∠BED＝2∠BFP．（3）解：設∠APQ＝θ，∴∠DPQ＝2∠APQ＝2θ，∴∠APD＝∠APQ+∠DPQ＝3θ，由（1）可知：AB∥CD，∴∠CDP+∠APD＝180°，∴∠CDP＝180°﹣∠APD＝180°﹣3θ，∵∠PQD＝80°，∴∠EDP＝∠PQD+∠DPQ＝80°+2θ，∵∠CDP＝∠EDP，∴180°﹣3θ＝80°+2θ，解得：θ＝20°，∴∠CDP＝180°﹣3θ＝120°，∠EDP＝80°+2θ＝120°，根據周角的定義得：∠CDE+∠CDP+∠EDP＝360°，∴∠CDE＝360°﹣（∠CDP+∠EDP）＝360°﹣（120°+120°）＝120°．【變式3-1】（2023春?伊通縣期末）如圖1，線段CD是由線段AB平移得到的．分別連接BD，AC．直線BE⊥AC于點E，延長DC與BE相交于點F．點P是射線FD上的一個動點，點P不與點F、點C、點D重合．連接BP，EP．（1）線段AC，BD的關系是AC＝BD，AC∥BD；（2）如圖1，當點P在線段FC上運動時，∠DBP，∠CEP，∠BPE之間的數量關系是∠DBP＝∠CEP+∠BPE；（3）如圖2，當點P在線段CD上運動時，∠DBP，∠CEP，∠BPE之間的數量關系是否發生變化？若發生變化請寫出它們的關系，并證明；若沒有發生變化，請說明理由；（4）如圖3，當點P在點D上方運動時，請直接寫出∠DBP，∠CEP，∠BPE之間的數量關系：∠CEP＝∠DBP+∠BPE．【答案】（1）AC＝BD，AC∥BD；（2）∠DBP＝∠CEP+∠BPE；（3）當點P在線段CD上運動時，∠DBP，∠CEP，∠BPE之間的數量關系不會發生變化，理由見解析；（4）∠CEP＝∠DBP+∠BPE．【解答】解：（1）∵線段CD是由線段AB平移得到的，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∴AC＝BD，AC∥BD；故答案為：AC＝BD，AC∥BD；（2）如圖，設AC與BP交于點G，∵AC∥BD，∴∠DBP＝∠CGP，∵∠CGP＝∠CEP+∠BPE，∴∠DBP＝∠CEP+∠BPE；故答案為：∠DBP＝∠CEP+∠BPE；（3）當點P在線段CD上運動時，∠DBP，∠CEP，∠BPE之間的數量關系不會發生變化，理由如下：如圖，過點P作PH∥BD交AB于點H，∵AC∥BD，∴AC∥HP∥BD，∴∠DBP＝∠BPH，∠CEP＝∠EPH，∵∠BPE＝∠BPH+∠EPH，∴∠BPE＝∠DBP+∠CEP；（4）如圖，設PE交BD于點M，∵AC∥BD，∴∠CEP＝∠DMP，∵∠DMP＝∠DBP+∠BPE，∴∠CEP＝∠DBP+∠BPE．故答案為：∠CEP＝∠DBP+∠BPE．【變式3-2】（2023春?大足區期末）已知直線AB∥CD，E為平面內一點，連接EB、EC．（1）如圖1，已知∠B＝32°，∠C＝120°，求∠BEC的度數；（2）如圖2，判斷∠ABE、∠BEC、∠DCE之間的數量關系為∠ABE﹣∠BEC+∠DCE＝180°；（3）如圖3，BE⊥CE，BF平分∠ABE，若，求∠BFC的度數．【答案】（1）92°，（2）∠ABE﹣∠BEC+∠DCE＝180°．（3）∠BFC＝45°．【解答】解：（1）過點E作EF∥AB，如圖：則AB∥CD∥EF，∴∠B＝∠BEF＝32°，∠C+∠CEF＝180°，∵∠C＝120°，∴∠CEF＝60°，∴∠BEC＝32°+60°＝92°，（2）過點E作EM∥AB，則AB∥EM∥CD，如圖：∵AB∥EM∥CD，∴∠B＝∠BEM，∠CEM+∠C＝180°，∵∠CEM＝∠BEM﹣∠BEC＝∠B﹣∠BEC，∴∠B﹣∠BEC+∠C＝180°，即∠ABE﹣∠BEC+∠DCE＝180°．故答案為：∠ABE﹣∠BEC+∠DCE＝180°．（3）過F作FH∥AB，過E作EN∥AB，如圖：∵，設∠FCE＝x，則∠ECD＝180°﹣2x，∠FCD＝180°﹣x，∴∠ABE＝∠BEN＝90°+∠CEN＝90°+180°﹣∠ECD＝90°+2x，由（2）可知∠ABF﹣∠BFC+FCD＝180°，即，解得∠BFC＝45°．【變式3-3】（2023春?吳興區期中）已知：AB∥CD，E、G是AB上的點，F、H是CD上的點，∠1＝∠2．（1）如圖1，求證：EF∥GH；（2）如圖2，過F點作FM⊥GH交GH延長線于點M，作∠BEF、∠DFM的角平分線交于點N，EN交GH于點P，求證：∠N＝45°；（3）如圖3，在（2）的條件下，作∠AGH的角平分線交CD于點Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接寫出的值．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）證明：∵AB∥CD，∴∠2＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴EF∥GH；（2）如圖2，過點N作NK∥CD，∴KN∥CD∥AB，∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7，設∠4＝x，∠7＝y，∵EN、FN分別平分∠BEF、∠DFM，∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y，又∵AB∥CD，∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x，又∵FM⊥GH，∴∠EFM＝90°，∴180°﹣2x+2y＝90°，∴x﹣y＝45°，∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°，（3）∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y，∴x＝，∴x﹣y＝﹣y＝45°∴y＝27°，x＝72°，又∵EN和GQ是角平分線，∴GQ⊥EN，∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°，又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°，∴，故答案為．1．（2023?五華區校級模擬）如圖，點B在△CDE的邊EC的延長線上，AB∥CD，若∠B＝50°，∠E＝30°，則∠D的度數為（）A．15° B．20° C．30° D．50°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝50°，∴∠B＝∠BCD＝50°，∵∠BCD＝∠D+∠E，∠E＝30°，∴∠D＝20°，故選：B．2．（2023?西峽縣三模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中AB∥CD，∠1＝30°，∠2＝70°，則∠3的度數為（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】C【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝30°，∴∠A＝∠1＝30°∵∠2＝70°，∴∠AEF＝180°﹣∠2＝110°，∴∠3＝∠A+∠AEF＝30°+110°＝140°．故選：C．3.（2023春?西塞山區期中）如圖，AB與HN交于點E，點G在直線CD上，GF交AB于點M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四個結論：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正確的結論是（）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④【答案】D【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC∴AB∥CD∴①正確；過點F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，設∠NEB＝x，∠HGC＝y，則∠FEN＝2x，∠FGH＝2y∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②錯誤；∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，∴③錯誤；∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，∴④正確．綜上所述，正確答案為①④．故選：D．4．（2023春?德城區期末）已知M，N分別是長方形紙條ABCD邊AB，CD上兩點（AM＞DN），如圖1所示，沿M，N所在直線進行第一次折疊，點A，D的對應點分別為點E，F，EM交CD于點P；如圖2所示，繼續沿PM進行第二次折疊，點B，C的對應點分別為點G，H，若∠1＝∠2，則∠CPM的度數為（）A．74° B．72° C．70° D．68°【答案】B【解答】解：由翻折的性質得：∠AMN＝∠NMP，∠CPM＝∠HPM，∵四邊形ABCD為長方形，∴AB∥CD，∴∠AMN＝∠1，∴∠NMP＝∠1，又∵∠1＝∠2，∴∠AMN＝∠NMP＝∠1＝∠2，∴∠AMP＝2∠1，∠GMP＝3∠1，∵HP∥GM，∴∠HPM+∠GMP＝180°，即：∠HPM+3∠1＝180°，∵CP∥BM，∴∠CPM＝∠AMP＝2∠1，∴∠HPM＝∠CPM＝2∠1，∴2∠1+3∠1＝180°，∴∠1＝36°，∴∠CPM＝2∠1＝72°．故選：B．5．（2023?西城區二模）如圖，直線AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F，∠BEF的平分線交CD點G，若∠BEF＝116°，則∠EGC的大小是（）A．116° B．74° C．64° D．58°【答案】D【解答】解：∵EG為∠BEF的平分線，∠BEF＝116°，∴∠FEG＝58°，∴∠AEF＝180°﹣116°＝64°，∵直線AB∥CD，∴∠EFG＝AEF＝64°，在△EFG中，∠FEG+∠EFG+∠EGF＝180°，∴∠EGF＝180°﹣58°﹣64°＝58°，∴∠EGC＝58°，故選：D．6．（2023?佛山二模）如圖，把正方形ABCD沿EF折疊，點A的對應點為點A′，點B的對應點為點B′，若∠1＝40°，則∠AEF的度數是（）A．100° B．110° C．115° D．120°【答案】B【解答】解：根據題意得，∠BFE＝∠B'FE，∵∠1+∠BFE+∠B'FE＝180°，∴∠1+2∠BFE＝180°，∴∠BFE＝70°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD∥BC，∴AE∥BF，∴∠DEF＝∠BFE＝70°，∵∠AEF+∠DEF＝180°，∴∠AEF＝110°．故選：B．7．（2023秋?長春期末）如圖，AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，點P是AB、CD之間的一個動點．【感知】如圖①，當點P在線段EF左側時，若∠AEP＝50°，∠PFC＝70°，求∠EPF的度數．分析：從圖形上看，由于沒有一條直線截AB與CD，所以無法直接運用平行線的性質，這時需要構造出“兩條直線被第三條直線所截”的基本圖形，過點P作PG∥AB，根據兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，可知PG∥CD，進而求出∠EPF的度數．【探究】如圖②，當點P在線段EF右側時，∠AEP、∠EPF、∠PFC之間的數量關系為∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°．【答案】（1）∠EPF的度數為120°；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，【解答】（1）過點P作PG∥AB，∴∠EPG＝∠AEP＝50°，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠GPF＝∠PFC＝70°，∴∠EPF＝∠EPG+∠GPF＝50°+70°＝120°，∴∠EPF的度數為120°；（2）過點P作PG∥AB，∴∠EPG+∠AEP＝180°，∵AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠GPF+∠PFC＝180°，∴∠AEP+∠EPG+∠FPG+∠PFC＝360°，∴∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°，故答案為：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°．8．（2023春?天元區校級期末）如圖，AQ∥BP，AB⊥BP，E、C、D分別是線段AQ、AB、BP上的點，且滿足EC⊥CD．EF是∠GEC的角平分線與BP交于點F，在EQ上截一點G，連接GF，令GF＝FE．（1）如圖1，若∠AEC＝40°，求∠CDB的度數．（2）如圖1，連接GP，若GP∥EF，H是線段FP上的一點（FH＜HP），連接GH，使得2∠GHP＝3∠AEC，求∠FGH和∠CDB的數量關系．（3）如圖2，在（2）的條件下，過點Q作QM⊥GP，垂足為M．N是線段GP上的一點，且滿足∠QNM＝∠GEF．求∠GQN和∠CEF的數量關系．【答案】（1）∠CDB＝50°；（2）∠CDB+2∠FGH＝90°；（3）∠GQN+2.5∠CEF＝180°．【解答】解：（1）如圖：∵AQ∥BP，AB⊥BP，∴AB⊥AQ，∴∠AEC+∠ACE＝90°，∵EC⊥CD，∴∠BCD+∠ACE＝90°，∴∠AEC＝∠BCD，∵∠AEC＝40°，∴∠BCD＝40°，∵AB⊥BP，∴∠BCD+∠CDB＝90°，∴∠CDB＝90°﹣∠BCD＝90°﹣∠AEC＝90°﹣40°＝50°，即∠CDB＝50°；（2）由2∠GHP＝3∠AEC，∴設∠GHP＝3m，∠AEC＝2m，∵EF是∠GEC的角平分線，∴∠GEC＝2∠GEF＝2∠CEF，∵∠GEC＝180°﹣∠AEC，∴∠GEC＝180°﹣2m，∴∠GEF＝∠GEC＝90°﹣m，∵GF＝FE．∴∠GEF＝∠GFE＝90°﹣m，∵AQ∥BP，∴∠GEF＝∠EFD＝90°﹣m，∴∠GFD＝∠GEF+∠EFD＝2（90°﹣m）＝180°﹣2m，∵∠GHP＝3m，∴∠GHF＝180﹣∠GHP＝180°﹣3m，又∵∠GFD＝∠FGH+∠FGH，∴∠GFD＝∠FGH+180°﹣3m，∴180°﹣2m＝∠FGH+180°﹣3m，∴∠FGH＝m，由（1）知：∠CDB＝90°﹣∠AEC，∵∠AEC＝2m，∴∠CDB＝90°﹣∠AEC＝90°﹣2m，∴∠CDB＝90°﹣2∠FGH，即∠CDB+2∠FGH＝90°；（3）如圖：設∠GEF＝α，∵EF是∠GEC的角平分線，∴∠GEF＝∠CEF＝α，∵∠QNM＝∠GEF，∴∠QNM＝α，∵GP∥EF，∴∠QGN＝∠GEF＝α，在△GQN中，∴∠GQN＝180°﹣∠QGN﹣∠QNG＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2.5α，∴∠GQN＝180°﹣2.5∠CEF，即∠GQN+2.5∠CEF＝180°．9．（2023春?安化縣期末）在課后學習中，小紅探究平行線中的線段與角的數量關系，如圖，直線AB∥CD，點N在直線CD上，點P在直線AB上，點M為平面上任意一點，連接MP，MN，PN．（1）如圖1，點M在直線CD上，PM平分∠APN，試說明∠PMN＝∠MPN；（2）如圖2，點M在直線AB，CD之間，∠PMN＝70°，∠MNC＝30°，求∠APM的度數；（3）如圖3，∠APM和∠MNC的平分線交于點Q，∠PQN與∠PMN有何數量關系？并說明理由．【答案】（1）說明見解析；（2）40°；（3）2∠PQN＝∠PMN，理由見解析．【解答】解：（1）∵AB∥CD，∴∠APM＝∠PMN．∵PM平分∠APN，∴∠APM＝∠MPN，∴∠PMN＝∠MPN；（2）如圖，過點M作ME∥CD，∴∠EMN＝∠MNC＝30°，∵AB∥CD，ME∥CD，∴ME∥AB，∴∠APM＝∠PME，∴∠PMN＝∠PME+∠EMN＝∠APM+∠MNC，∵∠PMN＝70°，∴∠APM＝∠PMN﹣∠MNC＝70°﹣30°＝40°；（3）2∠PQN＝∠PMN，理由如下：由（2）可知∠PMN＝∠APM+∠MNC，同理可得：∠PQN＝∠APQ+∠QNC，∵PQ和NQ分別是∠APM和∠MNC的平分線，∴，∴∠PQN＝∠APQ+∠QNC，＝，∴2∠PQN＝∠PMN．10．（2023春?海陽市期末）如圖，AM∥BN，∠A＝40°，點P是射線AM上一動點（不與點A重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，交射線AM于C，D兩點．（1）求∠CBD的度數；（2）當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，求∠ABC的度數；（3）當點P運動時，∠APB與∠ADB的度數之比是否隨之發生變化？若不變，求出∠APB與∠ADB的度數之比；若變化，請說明變化規律．【答案】（1）∠CBD＝70°；（2）∠ABC＝35°；（3）∠APB：∠ADB＝2：1，理由見解析．【解答】解：（1）∵AM∥BN，∠A＝40°，∴∠ABN＝180°﹣∠A＝140°，∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，∴∠CBP＝∠ABP，∠PBD＝∠PBN，∵∠CBD＝∠CBP+∠PBD，∴∠CBD＝∠ABP+∠PBN＝∠ABN＝70°；（2）當∠ACB＝∠ABD時，又∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴∠ABC＝∠ADB，∵AM∥BN，∴∠ADB＝∠DBN，∴∠ABC＝∠CBP，∠PBD＝∠DBN，∴∠ABC＝∠CBP＝∠PBD＝∠DBN，∴∠ABC+∠CBP+∠PBD+∠DBN＝∠ABN＝×140°＝35°，∴∠ABC＝35°；（3）當點P運動時，∠APB：∠ADB＝2：1（定值），理由：∵AM∥BN，∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN＝2∠DBN∴∠APB：∠ADB＝∠PBN：∠DBN＝2：1（定值）．11．（2023春?大同期末）綜合與探究已知直線AB∥CD，直線EF分別與AB，CD交于點G，H（0°＜∠EHD＜90°）．將一把含30°角的直角三角尺PMN按如圖1所示的方式放置，使點N，M分別在直線AB，CD上，且在直線EF的右側．（1）填空：∠PNB+∠PMD＝∠MPN．（填“＞”“＜”或“＝”）（2）若∠MNG的平分線NO交直線CD于點O．①如圖2，當NO∥PM∥EF時，求∠EHD的度數；②如圖3，若將三角尺PMN沿直線BA向左移動，保持PM∥EF（點N不與點G重合），點N，M分別在直線AB、CD上，請直接寫出∠MON和∠EHD之間的數量關系．【答案】（1）“＝”；（2）①60°；②∠EHD+60°＝2∠MON．【解答】解：（1）如圖所示：過點P作PK∥AB，∴∠PNB＝∠NPK，∵AB∥CD，∴PK∥CD，∴∠KPM＝∠PMD，∴∠PNB+∠PMD＝∠NPK+∠KPM＝∠MPN，故答案為：＝；（2）①由題意可知：∠MNP＝30°，∠MPN＝90°，∴∠NMP＝60°，∵∠MNG的平分線NO交直線CD于點O，∴∠ANO＝∠MNO，∵AB∥CD，∴∠ANO＝∠NOM，∴∠MNO＝∠NOM，∵NO∥PM∥EF，∴∠EHD＝∠NOM＝∠PMD，∵∠NMO+∠NMP+∠PMD＝180°，∴∠NMO＝180°﹣∠PMD﹣60°＝120°﹣∠PMD，∵∠ONM+∠NOM+∠NMO＝180°，∴2∠NOM+120°﹣∠PMD＝180°，∴∠NOM＝60°，∴∠EHD＝∠NOM＝60°；②由題意可知：∠MNP＝30°，∠MPN＝90°，∴∠NMP＝60°，∵∠MNG的平分線NO交直線CD于點O，∴∠ANO＝∠MNO，∵AB∥CD，∴∠ANO＝∠MON，∴∠MON＝∠ONM，∵∠MON+∠NMO+∠ONM＝180°，∴∠NMO＝180°﹣2∠MON，∵EF∥PM，∴∠EHD+∠NMO+∠NMP＝180°，∴∠EHD+180°﹣2∠MON+60°＝180°，∴∠EHD+60°＝2∠MON．12．（2023春?安陽期末）【學習新知】射到平面鏡上的光線（入射光線）和反射后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，AB是平面鏡，若入射光線與水平鏡面的夾角為∠1，反射光線與水平鏡面的夾角為∠2，則∠1＝∠2．（1）【初步應用】生活中我們可以運用“激光”和兩塊相交的平面鏡進行測距．如圖2當一束“激光”DO1射到平面鏡AB上，被平面鏡AB反射到平面鏡BC上，又被平面鏡BC反射后得到反射光線O2E，回答下列問題：①當DO1∥EO2∠AO1D＝30°（即∠1＝30°）時，求∠O1O2E的度數；②當∠B＝90°時，任何射到平面鏡AB上的光線DO1經過平面鏡AB和BC的兩次反射后，入射光線與反射光線總是平行的．請你根據所學知識及新知說明理由．（提示：三角形的內角和等于180°）（2）【拓展探究】如圖3，有三塊平面鏡AB，BC，CD，入射光線EO1經過三次反射，得到反射光線O3F已知∠1＝∠6＝35°，若要使EO1∥O3F，請直接寫出∠B的度數125°；【答案】（1）①60°；②理由看解析；（2）125°．【解答】解：（1）①DO1∥EO2，∴∠DO1O2+∠EO2O1＝180°，∵∠1+∠2+∠DO1O2+∠3+∠EO2O1＝180°+180°＝360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∵∠1＝∠2＝30°，∠3＝∠4，∴∠3＝∠4＝60°，∵∠3+∠4+∠O1O2E＝180°，∴∠O1O2E＝60°；②∵∠B＝90°，∴∠2+∠3＝90°，∵∠1+∠2+∠DO1O2+∠3+∠4+∠EO1O2＝360°，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠DO1O2+∠EO1O2＝180°，∴DO1∥EO2，（2）如圖所示，過點O2作O2G∥O1E，∵O1E∥O3F，∴O2G∥O3F，∴∠9+∠10＝180°，∵O1E∥O2G，∴∠7+∠8＝180°，∵∠1+∠7+∠2＝180°，∠3+∠8+∠9+∠4＝180°，∠5+∠10+∠6＝180°，∴∠1+∠7+∠2+∠3+∠8+∠9+∠4+∠5+∠10+∠6＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝180°，∵∠1＝∠6＝35°，∴∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，∠5＝∠6＝35°，∴∠3＝∠4＝20°，∴∠2+∠3＝55°，∵∠2+∠3+∠B＝180°，∴∠B＝125°，故答案為：125°．13．（2023春?宜都市期中）已知，直線AB∥CD，點E、F分別在直線AB、CD上，點P是直線AB與CD外一點，連接PE、PF．（1）如圖1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度數；（2）如圖2，過點E作∠AEP的角平分線EM交FP的延長線于點M，∠DFP的角平分線FN交EM的反向延長線交于點N，若∠M與3∠N互補，試探索直線EP與直線FN的位置關系，并說明理由；（3）若點P在直線AB的上方且不在直線EF上，作∠DFP的角平分線FN交∠AEP的角平分線EM所在直線于點N，請直接寫出∠EPF與∠ENF的數量關系．【答案】（1）120°；（2）EP∥FN，理由見解析；（3）∠EPF+2∠ENF＝180°或∠EPF＝2∠ENF﹣180°．【解答】解：（1）如圖，過P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠QPE＝∠AEP＝45°，∠QPF＝∠180°﹣∠DFP＝180°﹣105°＝75°，∴∠EPF＝∠QPE+∠DFP＝45°+75°＝120°．故∠EPF＝120°；（2）EP∥FN，如圖，理由：∵EM平分∠AEP，FN平分∠MFD，∴∠AEP＝2∠1，∠MFD＝2∠3，由（1）得，∠M＝∠1+∠CFM＝∠1+（180°﹣2∠3）＝∠1+（180°﹣2∠4），∵AB∥CD，∴∠3＝∠4，由三角形外角的性質可得，∠N＝∠4﹣∠2＝∠4﹣∠1，∵∠M與3∠N互補，∴∠1+（180°﹣2∠4）+3（∠4﹣∠1）＝180°，整理得，∠4＝2∠1＝∠AEP，∴EP∥FN；（3）①∠EPF+2∠ENF＝180°．如圖，∵AB∥CD，∴∠CF