專題六三角函數與解三角形第1講三角函數的概念與恒等變換考題溯源教材變式理真題示例對應教材題材評說(2015·高考全國卷Ⅰ，5分)sin20°·cos10°－cos160°sin10°＝()A.－eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C.－eq\f(1,2)D．eq\f(1,2)(必修4P132練習T5(6))求值.sin20°cos110°＋cos160°sin70°條件結論相互轉換是高考試題命制的途徑之一，平常學習時，注重這種思想鍛煉會收到極佳的學習效果.[教材變式訓練]一、選擇題[變式1](必修4P69T8(3)改編)已知tanα＝3，則(sinα－cosα)2等于()A.eq\f(3,5) B．eq\f(2,5)C.eq\f(7,5) D．eq\f(8,5)解析：選B.∵tanα＝3，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝1－eq\f(2tanα,tan2α＋1)＝1－eq\f(6,10)＝eq\f(2,5).[變式2](必修4P146T8(3)改編)化簡eq\f(sin3α,sinα)－2cos2α等于()A．sinα B．cosαC．1 D．0解析：選C.eq\f(sin3α,sinα)－2cos2α＝eq\f(sin2αcosα＋cos2αsinα,sinα)－2cos2α＝2cos2α＋cos2α－2cos2α＝2cos2α－(2cos2α－1)＝1.[變式3](必修4P143T2改編)已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，若tanα＝mtanβ，則m的值為()A．3 B．4C．5 D．6解析：選C.由sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，∴sinαcosβ＝eq\f(5,12)，cosαsinβ＝eq\f(1,12)，∴tanα＝5tanβ，∴m＝5，故選C.[變式4](必修4P135T3改編)已知sin2α＝－sinα，α是第二象限角，則tan2α的值為()A．－eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\r(3) D．eq\r(3)解析：選D.∵sin2α＝－sinα，∴cosα＝－eq\f(1,2)，因α為第二象限角，∴sinα＝eq\f(\r(3),2)，∴tanα＝－eq\r(3)，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×（－\r(3)）,1－（－\r(3)）2)＝eq\r(3)，故選D.[變式5](必修4P135練習T2改編)已知sin(α－π)＝eq\f(3,5)，α是第四象限角，則tan(α＋eq\f(π,4))的值為()A．7 B．－7C.eq\f(1,7) D．－eq\f(1,7)解析：選C.∵sin(α－π)＝eq\f(3,5)，∴sinα＝－eq\f(3,5)，又∵α為第四象限角，∴cosα＝eq\f(4,5)，∴tanα＝－eq\f(3,4)，∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(tanα＋1,1－tanα)＝eq\f(（－\f(3,4)）＋1,1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7)，故選C.[變式6](必修4P146T5(2)改編)cos50°(eq\r(3)－tan10°)的值為()A．1 B．－1C.eq\r(3) D．－eq\r(3)解析：選A.cos50°(eq\r(3)－tan10°)＝cos50°·eq\f(\r(3)cos10°－sin10°,cos10°)＝cos50°·eq\f(2（sin60°cos10°－cos60°sin10°）,cos10°)＝eq\f(2sin50°cos50°,cos10°)＝eq\f(sin100°,cos10°)＝eq\f(cos10°,cos10°)＝1.故選A.二、填空題[變式7](必修4P137A組T5改編)已知sin(30°＋α)＝eq\f(3,5)且60°<α<150°，則cos(2α＋150°)＝________．解析：設30°＋α＝t，∴90°<t<180°，∵sint＝eq\f(3,5)，∴cost＝－eq\f(4,5)，∴cos(2α＋150°)＝cos[2(t－30°)＋150°]＝cos(2t＋90°)＝－sin2t＝－2sintcost＝eq\f(24,25).答案：eq\f(24,25)[變式8](必修4P146A組T6(3)(4)改編)已知cos2θ＝eq\f(4,5)，則sin4θ＋cos4θ＝________．解析：法一：∵cos2θ＝eq\f(4,5)，∴2cos2θ－1＝eq\f(4,5)，1－2sin2θ＝eq\f(4,5)，∴cos2θ＝eq\f(9,10)，sin2θ＝eq\f(1,10)，∴sin4θ＋cos4θ＝eq\f(41,50).法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－eq\f(1,2)sin22θ＝1－eq\f(1,2)(1－cos22θ)＝1－eq\f(1,2)×eq\f(9,25)＝eq\f(41,50).答案：eq\f(41,50)[變式9](必修4P147B組T8改編)已知直線l的傾斜角為α，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，當直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為6時，原點到直線l的距離為________．解析：∵α為直線l的傾斜角，∴0≤α<π又∵sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，∴cosα＝eq\f(1,5)－sinα，由sin2α＋cos2α＝1，∴25sin2α－5sinα－12＝0，∴sinα＝eq\f(4,5)或sinα＝－eq\f(3,5)(舍去)，∴cosα＝－eq\f(3,5)，∴tanα＝－eq\f(4,3)，設直線l在y軸上的截距為b，∴直線l的方程為y＝－eq\f(4,3)x＋b，令y＝0，l在x軸上的截距為eq\f(3b,4)，∴eq\f(1,2)|b|×|eq\f(3,4)b|＝6，∴|b|＝4，∴原點到直線l的距離d＝eq\f(3|b|,\r(42＋32))＝eq\f(12,5).答案：eq\f(12,5)[變式10](必修4P147B組T5改編)已知sinθ，cosθ是關于x的一元二次方程x2－(2sinα)x＋sin2β＝0的兩實根，則eq\f(cos2α,cos2β)＝________．解析：由題意得sinθ＋cosθ＝2sinα，①s