第1章解直角三角形（基礎、典型、易錯、壓軸）分類專項訓練【基礎】一、單選題1．（2022·浙江·金華市南苑中學九年級階段練習）已知在中，，，，則（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江湖州·九年級期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，則tanB的值是（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江麗水·一模）如圖，點A為邊上的任意一點，作于點C，于點D，下列用線段比表示的值，錯誤的是（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江寧波·二模）如圖，在Rt中，為上一點且于，連結，則（

）A． B． C． D．5．（2022·浙江溫州·一模）如圖，小羽利用儀器測量一電線桿AB的拉線AC的長度，測得拉線AC與水平地面BC的夾角為，并測得C點到電線桿的距離BC為5米，則拉線AC的長度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米6．（2022·浙江·溫州市第十四中學三模）“兒童放學歸來早，忙趁東風放紙鳶”，小明周末在龍潭公園草坪上放風箏，已知風箏拉線長100米且拉線與地面夾角為（如圖所示，假設拉線是直的，小明身高忽略不計），則風箏離地面的高度可以表示為（）A． B． C． D．7．（2022·浙江·九年級專題練習）如圖，小慧的眼睛離地面的距離為，她用三角尺測量廣場上的旗桿高度，仰角恰與三角板角的邊重合，量得小慧與旗桿之間的距離為，則旗桿的高度（單位：）為（

）A．6.6 B．11.6 C． D．二、填空題8．（2022·浙江·九年級專題練習）計算：sin30°＝____．9．（2022·浙江寧波·九年級專題練習）比較與的大小，結果為：______．10．（2022·浙江湖州·模擬預測）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，則cosB=___．三、解答題11．（2022·浙江金華·三模）計算：12．（2022·浙江金華·九年級期中）計算：．13．（2022·浙江·九年級專題練習）計算：14．（2022·浙江金華·一模）計算：15．（2022·浙江寧波·九年級期末）如圖，某漁船向正東方向以14海里/時的速度航行，在處測得小島在北偏東方向，2小時后漁船到達處，測得小島在北偏東方向，已知該島周圍20海里范圍內有暗礁．（參考數據：）(1)求處距離小島的距離（精確到海里）；(2)為安全起見，漁船在處向東偏南轉了繼續航行，通過計算說明船是否安全？【典型】一、單選題1．（2022·浙江紹興·一模）如圖，A，B，C，三點在正方形網格線的交點處，若將繞著點A逆時針旋轉得到，則的值為（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2021·浙江溫州·三模）如圖，在直角坐標系中有一直角三角板的直角頂點C落在x軸的負半軸上，點A，B分別落在反比例函數y＝的兩個分支上，∠CAB＝30°，若AC邊與y軸相交于AC的中點D，點A的縱坐標為2，則k的值為_____．三、解答題3．（2022·浙江衢州·模擬預測）在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分線，過點M作MN⊥AC于點N，∠EMF=135°．將∠EMF繞點M旋轉，使∠EMF的兩邊交直線AB于點E，交直線AC于點F，請解答下列問題：（1）當∠EMF繞點M旋轉到如圖①的位置時，求證：BE+CF=BM；（2）當∠EMF繞點M旋轉到如圖②，圖③的位置時，請分別寫出線段BE，CF，BM之間的數量關系，不需要證明；（3）在（1）和（2）的條件下，tan∠BEM=，AN=+1，則BM=，CF=．4．（2021·浙江杭州·九年級期末）如圖，在中，，垂足為D，．（1）求的值；（2）過點B作，若，求的長．5．（2020·浙江臺州·二模）某校組織數學興趣探究活動，愛思考的小實同學在探究兩條直線的位置關系查閱資料時發現，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖1、圖2、圖3中，、是的中線，于點，像這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．【特例探究】（1）如圖1，當，時，_____，______；如圖2，當，時，_____，______；【歸納證明】（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想、、三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結論；【拓展證明】（3）如圖4，在中，，，、、分別是邊、的中點，連結并延長至，使得，連結，當于點時，求的長．6．（2021·浙江杭州·一模）已知在平面直角坐標系中，點，以線段為直徑作圓，圓心為，直線交于點，連接.（1）求證：直線是的切線；（2）點為軸上任意一動點，連接交于點，連接：①當時，求所有點的坐標（直接寫出）；②求的最大值.【易錯】一．選擇題（共6小題）1．（2022春?鄞州區校級月考）如圖，先鋒村準備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（）A．5cosα B． C．5sinα D．2．（2022春?蘭溪市月考）若∠A是銳角，且sinA＝，則（）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°3．（2022?鹿城區校級三模）鐵路道口的欄桿如圖．已知欄桿長為3米，當欄桿末端從水平位置上升到點C處時，欄桿前端從水平位置下降到點A處，下降的垂直距離AD為0.5米（欄桿的粗細忽略不計），上升前后欄桿的夾角為α，則欄桿末端上升的垂直距離CE的長為（）A．米 B．米 C．（3tanα﹣0.5）米 D．（3sinα﹣0.5）米4．（2022?西湖區模擬）如圖，邊長為1的小正方形網格中，點A、B、C、E在格點上，連接AE、BC，點D在BC上且滿足AD⊥BC，則∠AED的正切值是（）A． B．2 C． D．5．（2022?瑞安市二模）某村計劃挖一條引水渠，渠道的橫斷面ABCD是一個軸對稱圖形（如圖所示）．若渠底寬BC為2m，渠道深BH為3m，渠壁CD的傾角為α，則渠口寬AD為（）A．（2+3?tanα）m B．（2+6?tanα）m C．（2+）m D．（2+）m6．（2022春?杭州月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E為AC邊的中點，線段BE的垂直平分線交邊BC于點D．設BD＝x，tan∠ACB＝y，則x與y滿足關系式為（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12二．填空題（共7小題）7．（2022秋?鄞州區校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，則cosB＝．8．（2022?長興縣開學）計算tan45°的正確結果是．9．（2022春?定海區期末）公元前240年前后，在希臘的亞歷山大城圖書館當館長的埃拉托色尼通過測得有關數據，求得了地球圓周的長度，他是如何測量的呢？如圖所示，由于太陽距離地球很遠，太陽射來的光線可以看作平行線，在同時刻，光線與A城和地心的連線OP所夾的銳角記為∠1，光線與B城和地心的連線OQ重合，通過測量A，B兩城間的路程（即弧AB）和∠1的度數，利用圓的有關知識，地球圓周的長度就可以大致算出來了．已知弧AB的長度約為800km，若∠1≈7.2°，則地球的周長約為km．10．（2022?麗水一模）如圖1的一湯碗，其截面為軸對稱圖形，碗體ECDF呈半圓形狀（碗體厚度不計），直徑EF＝26cm，碗底AB＝10cm，∠A＝∠B＝90°，AC＝BD＝3cm．（1）如圖1，當湯碗平放在桌面MN上時，碗的高度是cm．（2）如圖2，將碗放在桌面MN上，繞點B緩緩傾斜倒出部分湯，當碗內湯的深度最小時，tan∠ABM的值是．11．（2022?蕭山區校級一模）如圖，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝4，則AC的長為．12．（2022秋?鄞州區校級月考）在△ABC中，如果∠A、∠B滿足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，那么∠C＝．13．（2022?富陽區二模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，∠OAB＝45°，∠ABO＝60°，BD＝8．點P從B點出發沿著BD方向運動，到達點O停止運動．連接AP，點B關于直線AP的對稱點為Q．當點Q落在AC上時，則OQ＝，在運動過程中，點Q到直線BD的距離的最大值為．三．解答題（共8小題）14．（2022?嘉興一模）倡導“低碳環保”讓“綠色出行”成為一種生活常態．嘉嘉買了一輛自行車作為代步工具，各部件的名稱如圖1所示，該自行車的車輪半徑為30cm，圖2是該自行車的車架示意圖，立管AB＝27cm，上管AC＝36cm，且它們互相垂直，座管AE可以伸縮，點A，B，E在同一條直線上，且∠ABD＝75°．（1）求下管BC的長；（2）若后下叉BD與地面平行，座管AE伸長到18cm，求座墊E離地面的距離．（結果精確到1cm，參考數據sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）15．（2022春?磐安縣期中）某數學興趣小組通過調查研究把“如何測量嵩岳寺塔的高度”作為一項課題活動，他們制訂了測量方案，并利用課余時間實地測量．課題測量嵩岳寺塔的高度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量方案在點C處放置高為1.3米的測角儀CD，此時測得塔頂端A的仰角為45°，再沿BC方向走22米到達點E處，此時測得塔頂端A的仰角為32°．說明：E、C、B三點在同一水平線上請你根據表中信息結合示意圖幫助該數學興趣小組求嵩岳寺塔AB的高度．（精確到0.1米，參考數據：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）16．（2022?溫嶺市一模）如圖所示是國際標準的籃球架，某興趣小組想知道籃筐中心A到地面的高度，現測得如下數據：CD垂直于地面，CD＝255cm，BC＝90cm，AB平行于地面，∠ABC＝145°，請你利用學過的知識幫他們求出該高度．（結果精確到1cm，參考數據：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）17．（2022?金東區三模）如圖，一個書架上放著8個完全一樣的長方體檔案盒，其中左邊7個檔案盒緊貼書架內側豎放，右邊一個檔案盒自然向左斜放，檔案盒的頂點D在書架底部，頂點F靠在書架右側，頂點C靠在檔案盒上，若書架內側長為60cm，∠CDE＝53°，檔案盒長度AB＝35cm．（參考數據：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）求點C到書架底部距離CE的長度；（2）求ED的長度；（3）求出該書架中最多能放幾個這樣的檔案盒．18．（2022?鹿城區校級三模）如圖1是某路燈，圖2是此路燈在鉛垂面內的示意圖，燈芯A在地面上的照射區域BC長為7米，從B，C兩處測得燈芯A的仰角分別為α和β，且tanα＝6，tanβ＝1．（1）求燈芯A到地面的高度．（2）立柱DE的高為6米，燈桿DF與立柱DE的夾角∠D＝120°，燈芯A到頂部F的距離為1米，且DF⊥AF，求燈桿DF的長度．19．（2022?諸暨市模擬）圖1是一種可折疊臺燈，它放置在水平桌面上，將其抽象成圖2，其中點B，E，D均為可轉動點，現測得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，經多次調試發現當點B，E都在CD的垂直平分線上時（如圖3所示）放置最平穩．（1）求放置最平穩時燈座DC與燈桿DE的夾角的大小；（2）當A點到水平桌面（CD所在直線）的距離為42cm﹣43cm時，臺燈光線最佳，能更好的保護視力．若臺燈放置最平穩時，將∠ABE調節到105°，試通過計算說明此時光線是否為最佳．（參考數據：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）20．（2022?北侖區一模）某鎮為創建特色小鎮，助力鄉村振興，決定在轄區的一條河上修建一座步行觀光橋．如圖，該河旁有一座小山，山高BC＝100m，坡面AB的坡比為1：0.7（注：坡比是指坡面的鉛垂高度與水平寬度的比），點C、A與河岸E，F在同一水平線上，從山頂B處測得河岸E和對岸F的俯角∠DBE，∠DBF分別為45°，28°．（1）求山腳A到河岸E的距離；（2）若在此處建橋，試求河寬EF的長度．（結果精確到0.1m）（參考數據：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）21．（2022?柯城區二模）圖①是某小區折疊道閘的實景圖，圖②是其工作示意圖，道閘由垂直于地面的立柱AB，CD和折疊桿“AE﹣EF”組成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之間的水平距離BD＝2.5m，AE＝1.5m．道閘工作時，折疊桿“AE﹣EF”可繞點A在一定范圍內轉動，張角為∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同時桿EF始終與地面BD保持平行．（參考數據：≈1.414，≈1.732）（1）當張角∠BAE為135°時，求桿EF與地面BD之間的距離（結果精確到0.01m）；（2）試通過計算判斷寬度為1.8m，高度為2.45m的小型廂式貨車能否正常通過此道閘？

【壓軸】一、單選題1．（2021·浙江·溫州市第二中學三模）如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形內放一個Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角頂點D在半徑OB上，OD＝2DB，點E在半徑OA上，點F在弧上．則半徑OA的長為（

）A． B．2 C． D．二、填空題2．（2022·浙江·溫州市第二實驗中學二模）飛機導航系統的正常工作離不開人造衛星的信號傳輸（如圖1）．五顆同軌道同步衛星，其位置A，B，C，D，E如圖2所示，是它們的運行軌道，弧AC度數為120°，點B到點C和點A的距離相等，于M，AD交BE于N，交CE于H，連結CD，AE．已知一架飛機從M飛到N的直線距離為8千公里，則軌道的半徑為______千公里．當時，則線段AE，CD的長度之和為______千公里．三、解答題3．（2022·浙江·寧波外國語學校九年級階段練習）已知一個直角三角形紙片，其中，，，點、分別是、邊上的一動點，連接，將紙片的一角沿折疊．(1)若折疊后點落在邊上的點處（如圖，且，求的長；(2)若，折疊后點的對應點為點（如圖，連結．①若點恰好在邊上（如圖，求的長．②求的最小值．4．（2022·浙江·義烏市賓王中學九年級階段練習）如圖1，小明將一張直角梯形紙片沿虛線剪開，得到矩形和三角形兩張紙片，測得，．在進行如下操作時遇到了下列幾個問題，請你幫助解決．(1)如圖2，將的頂點G移到矩形的頂點B處，再將三角形繞點B順時針旋轉使E點落在邊上，此時EF恰好經過點A，請證明：；(2)如圖3，在（1）的條件下，小明先將的邊和矩形的邊重合，然后將△EFG沿直線向右平移，至F點與B重合時停止．在平移過程中，設G點平移的距離為x，兩紙片重疊部分面積為y，求在平移的整個過程中，y與x的函數關系式．(3)如圖，在（1）的條件下，小明把該圖形放在直角坐標系中，使B（G）為坐標原點為x軸，在x軸和y上分別找P，Q兩點使與相似，直接寫出P點的坐標．5．（2022·浙江寧波·一模）如圖1，在中，，于D，E為邊上的點，過A、D、E三點的交于F，連接，．(1)求證：．(2)若，求的面積．(3)如圖2，點P為上一動點，連接，，．①若P為的中點，設為x，的面積為S，求S關于x的函數表達式；②在點P運動過程中，試探索，，之間的數量關系，并證明．6．（2022·浙江麗水·一模）在菱形中，，，點E在邊上，，點P是邊上一個動點，連結，將沿翻折得到．(1)當時，求的度數；(2)若點F落在對角線上，求證：；(3)若點P在射線上運動，設直線與直線交于點H，問當為何值時，為直角三角形．7．（2022·浙江·溫州市第二實驗中學二模）如圖1，中，，，，延長BC至D，使，E為AC邊上一點，連結DE并延長交AB于點F．作的外接圓，EH為的直徑，射線AC交于點G，連結GH．(1)求證：．(2)①如圖2，當時，求GH的長及的值．②如圖3，隨著E點在CA邊上從下向上移動，的值是否發生變化，若不變，請你求出的值，若變化，求出的范圍．(3)若要使圓心O落在的內部（不包括邊上），求CE的長度范圍．8．（2022·浙江金華·三模）在四邊形中，，，．(1)如圖1，①求證：；②求的正切值；(2)如圖2，動點從點出發，以1個單位每秒速度，沿折線運動，同時，動點從點出發，以2個單位每秒速度，沿射線運動，當點到達點時，點，同時停止運動，設運動時間為秒，以為斜邊作，使點落在線段或上，在整個運動過程中，當不再連接其他線段，且圖中存在與相似的三角形時，求的值．9．（2022·浙江溫州·九年級專題練習）如圖，在矩形中，于點，交邊于點．平分交于點，并經過邊的中點．(1)求證：．(2)求的值．(3)若，試在上找一點（不與，重合），使直線經過四邊形一邊的中點，求所有滿足條件的的值．10．（2021·浙江·紹興市第一初級中學九年級階段練習）定義：如果一個四邊形能被一條直線分割成一個平行四邊形和一個等腰三角形，那么稱這個四邊形為平等四邊形，這條分割線為平等線．(1)如圖1，在四邊形ABCD中，ADBC，AD＝AB＝2，∠B＝30°，若四邊形ABCD為平等四邊形，直接寫出BC邊可能的長；(2)如圖2，AD為四邊形EBCD的平等線，且BC＝ED，求證：BD2﹣BC2＝AB?BE；(3)如圖3，在（2）的條件下，作平等四邊形EBCD的外接圓，連接AC，若∠BAC＝∠BDE，那么BD與BC有何數量關系？并說明理由．11．（2021·浙江·溫州市第二中學二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＞AB，∠A的平分線AF交BC邊于點E，交DC的廷長線于點F．取EF的中點G，連結DG(1)求證：BC＝DF．(2)當△ADE≌△FDG時，求tan∠DEC的值．(3)連結BD，BG，若S△ADE＝2S△DEG．①求S△DBG：S△DGF的值．②記BD與AE的交點為M，P是線段AM上一個動點．將△ABP沿BP翻折得到△A′BP，A′B與AG交于點Q，當與△BDG的一邊平行時，求的值．12．（2022·浙江·衢州市實驗學校教育集團（衢州學院附屬學校教育集團）九年級