第02講實(shí)數(shù)的運(yùn)算（核心考點(diǎn)講與練）一、用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)1.實(shí)數(shù)的絕對(duì)值、相反數(shù)（1）一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．實(shí)數(shù)的絕對(duì)值記作．（2）絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)；零的相反數(shù)是零．非零實(shí)數(shù)的相反數(shù)是．2、兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小比較兩個(gè)實(shí)數(shù)也可以比較大小，其大小順序的規(guī)定同有理數(shù)一樣．負(fù)數(shù)小于零；零小于正數(shù)．兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較小．從數(shù)軸上看，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)大．比較兩數(shù)大小是中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本類型和基本技能，以下介紹幾種常用的方法：1．近似值法：借用兩個(gè)數(shù)的不足和過剩近似值來判別兩個(gè)數(shù)大小的方法；2．平方法：將兩個(gè)數(shù)平方，再來判定兩個(gè)數(shù)大小的方法；3．求差法：先求兩個(gè)數(shù)的差，用差與0作比較來判定兩個(gè)數(shù)大小的方法．4．求商法：先求兩個(gè)數(shù)的商，用商與1作比較判定兩個(gè)數(shù)大小的方法．5．求倒數(shù)法：先求兩個(gè)數(shù)的倒數(shù)，用倒數(shù)的大小來判定兩個(gè)數(shù)大小的方法．即對(duì)于符號(hào)相同的，兩數(shù)，若，則；若，則．3、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A、點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b，那么A、B兩點(diǎn)之間的距離為．實(shí)數(shù)的運(yùn)算在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加減乘除乘方等運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立．實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與有理數(shù)運(yùn)算順序基本相同，先乘方、開方、再乘除，最后算加減，同級(jí)按從左到右順序進(jìn)行，有括號(hào)先算括號(hào)里的．實(shí)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果是唯一的．實(shí)數(shù)運(yùn)算常用到的公式有：第一組：；；第二組：；．考點(diǎn)一：實(shí)數(shù)與數(shù)軸【例題1】（2021春?奉賢區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)x、y滿足（x﹣2）2+＝0．（1）x＝，y＝；（2）在數(shù)軸上，若點(diǎn)A、點(diǎn)B分別表示實(shí)數(shù)x，y，①在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的大致位置；②數(shù)軸上，若點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離為1.5，則點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為：．【變式訓(xùn)練1】（2021春?青浦區(qū)期中）數(shù)軸上A、B、C、D依次表示四個(gè)實(shí)數(shù)：、、、0．（1）在數(shù)軸上描出點(diǎn)A、B、C、D的大致位置；（2）求AD兩點(diǎn)之間的距離．【變式訓(xùn)練2】．（2021春?閔行區(qū)期末）點(diǎn)A和點(diǎn)B是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，那么A、B兩點(diǎn)間的距離為．【變式訓(xùn)練3】．（2019?寶山區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，數(shù)軸上從左到右依次有A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為a，b，c，d，如果存在實(shí)數(shù)λ，滿足：對(duì)線段AB和CD上的任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)N仍然在線段AB或CD上，則稱（a，b，c，d，λ）為“完美數(shù)組”．例如：（1，2，3，6，6）就是一組“完美數(shù)組”，已知|AB|＝1，|BC|＝5，|CD|＝4，求此時(shí)所有的“完美數(shù)組”，寫出你的結(jié)論和推算過程．【變式訓(xùn)練4】．（2018春?青浦區(qū)期中）已知點(diǎn)A是6的算術(shù)平方根，點(diǎn)B的立方是，在數(shù)軸上描出點(diǎn)A和點(diǎn)B，并求出A與B兩點(diǎn)的距離．【變式訓(xùn)練5】．（2017春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）數(shù)軸上與1，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)B，點(diǎn)A的距離與點(diǎn)A，點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)）之間的距離相等，設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，求代數(shù)式|x﹣2|的值．考點(diǎn)二：實(shí)數(shù)大小比較【例題2】（2021?陜西模擬）比較大小：．【變式訓(xùn)練1】（2019秋?松江區(qū)期末）從甲地到乙地有A，B兩條路線，這兩條路線經(jīng)過的路程相比較（）A．路線A遠(yuǎn) B．路線B遠(yuǎn) C．同樣遠(yuǎn) D．無法確定【變式訓(xùn)練2】（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）比較大小：．（填“＞”“＝”“＜”）【變式訓(xùn)練3】（2021?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）比較大小：﹣2﹣3（填“＜”或“＝”或“＞”）考點(diǎn)三：估算無理數(shù)的大小【例題3】（2021春?黃浦區(qū)期末）已知面積為10的正方形的邊長(zhǎng)為x，那么x的取值范圍是（）A．1＜x＜3 B．2＜x＜3 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5【變式訓(xùn)練1】（2021春?涪城區(qū)校級(jí)期中）已知a，b分別是6﹣的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那么2a﹣b的值是（）A．3﹣ B．4﹣ C． D．2【變式訓(xùn)練2】（2020?安徽模擬）設(shè)a為正整數(shù)，且a＜＜a+1，則a的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式訓(xùn)練3】（2021春?靜安區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)可能是（）A．﹣ B． C．﹣3.7 D．﹣【變式訓(xùn)練4】（2021?浦東新區(qū)模擬）無理數(shù)的值在（）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間【變式訓(xùn)練5】（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）數(shù)軸上表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離為．【變式訓(xùn)練6】（2021春?上海期中）對(duì)于實(shí)數(shù)a，我們規(guī)定用{}表示不小于的最小整數(shù)，稱{}為a的根整數(shù)，如{}＝4．（1）計(jì)算：{}＝．（2）現(xiàn)對(duì)a進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果是2為止，例如對(duì)12進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，第一次{}＝4，再進(jìn)行第二次求根整數(shù){}＝2，表示對(duì)12連續(xù)求根整數(shù)2次可得結(jié)果為2，請(qǐng)問對(duì)100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，次后結(jié)果為2．（3）若{}＝2，寫出滿足題意的m的整數(shù)值：．【變式訓(xùn)練7】（2020秋?浦東新區(qū)期中）已知：a＝，b＝．（1）求a+b和ab的值；（2）求a2+b2和a4+b4的值；（3）求a8的整數(shù)部分．【變式訓(xùn)練8】（2019秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求﹣2a的值．【變式訓(xùn)練9】（2019秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）已知a、b為有理數(shù)，x、y分別表示的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且滿足axy+by2＝1，求a+b的值．考點(diǎn)四：實(shí)數(shù)的運(yùn)算【例題4】（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）計(jì)算：﹣|﹣3|＝．【變式訓(xùn)練1】（2021春?閔行區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：+（）﹣1﹣﹣（﹣2）0．【變式訓(xùn)練2】（2021春?靜安區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：．【變式訓(xùn)練3】（2021春?普陀區(qū)期中）計(jì)算：．【變式訓(xùn)練4】（2019春?溫江區(qū)期中）閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來就叫做復(fù)數(shù)，表示為a+bi（a，b為實(shí)數(shù)），a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．（1）填空：i3＝，i4＝．（2）計(jì)算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；（3）若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，完成下面問題：已知：（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y為實(shí)數(shù)），求x，y的值．如圖，一輛小車從點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸向右直爬2個(gè)單位到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)A表示，設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為m（1）求的值；（2）求的值.已知、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對(duì)值是2，求的值．計(jì)算：（1）；（2）．計(jì)算：（1）；（2）；（3）．已知，求的算術(shù)平方根．已知，求的值．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共6小題）1．（2021春?靜安區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)可能是（）A．﹣ B． C．﹣3.7 D．﹣2．（2021?奉賢區(qū)三模）點(diǎn)A是數(shù)軸上的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)A表示的數(shù)一定是整數(shù) B．點(diǎn)A表示的數(shù)一定是分?jǐn)?shù) C．點(diǎn)A表示的數(shù)一定是有理數(shù) D．點(diǎn)A表示的數(shù)可能是無理數(shù)3．（2021?浦東新區(qū)模擬）無理數(shù)的值在（）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間4．（2021春?涪城區(qū)校級(jí)期中）已知a，b分別是6﹣的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那么2a﹣b的值是（）A．3﹣ B．4﹣ C． D．25．（2020秋?泰興市期末）下列整數(shù)中，與最接近的是（）A．2 B．3 C．6 D．86．（2021春?定州市期末）已知面積為8的正方形的邊長(zhǎng)為x，那么下列對(duì)x的大小的估計(jì)正確的是（）A．1＜x＜3 B．2＜x＜3 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5二．填空題（共7小題）7．（2021秋?大埔縣期末）的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，計(jì)算a﹣2b的值是．8．（2021春?普陀區(qū)校級(jí)月考）若a表示任意實(shí)數(shù)，則＝．9．（2021春?浦東新區(qū)期末）比較大小：﹣4（填“＞”、“＝”或“＜”）．10．（2021春?靜安區(qū)期末）已知實(shí)數(shù)a≤0≤b，化簡(jiǎn)：＝．11．（2021春?楊浦區(qū)期末）在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A、點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是﹣1、，那么線段AB的長(zhǎng)度是．12．（2021春?浦東新區(qū)月考）計(jì)算：（﹣3）﹣1+×＝．13．（2021春?青浦區(qū)期中）點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)A所表示的數(shù)為．三．解答題（共6小題）14．（2021?曲阜市模擬）計(jì)算：（）﹣1+﹣|﹣2|﹣（π﹣2021）0．15．（2021春?浦東新區(qū)期末）計(jì)算：（2+）0+（﹣1）2021﹣（）﹣2．16．（2021春?浦東新區(qū)月考）計(jì)算：﹣12021﹣+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣2．17．（2021春?青浦區(qū)期中）數(shù)軸上A、B、C、D依次表示四個(gè)實(shí)數(shù)：、、、0．（1）在數(shù)軸上描出點(diǎn)A、B、C、D的大致位置；（2）求AD兩點(diǎn)之間的距離．18．（2021春?上海期中）計(jì)算：．19．（2021春?奉賢區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)x、y滿足（x﹣2）2+＝0．（1）x＝，y＝；（2）在數(shù)軸上，若點(diǎn)A、點(diǎn)B分別表示實(shí)數(shù)x，y，①在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的大致位置；②數(shù)軸上，若點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離為1.5，則點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為：．題組B能力提升練一．選擇題（共6小題）1．（2021春?浦東新區(qū)期末）估計(jì)的值在（）A．3和4之間 B．5和6之間 C．7和8之間 D．14和15之間2．（2019秋?虹口區(qū)期末）如圖1和2，兩個(gè)圓的半徑相等，O1、O2分別是兩圓的圓心，圖1中的陰影部分面積為S1，圖2中的陰影部分面積為S2，那么S1與S2之間的大小關(guān)系是（）A．S1＜S2 B．S1＝S2 C．S1＞S2 D．不能確定3．（2019春?普陀區(qū)期中）學(xué)校里有一個(gè)正方形的花壇，它的面積是30平方米，請(qǐng)你估計(jì)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)約為（）A．3米和4米之間 B．4米和5米之間 C．5米和6米之間 D．6米和7米之間4．（2018春?嘉定區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)|a﹣1|+1的結(jié)果為（）A．1.5 B．a(chǎn) C．2+a D．2﹣a5．（2016秋?鄞州區(qū)期末）我們規(guī)定：a*b＝，則下列等式中對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c都成立的是（）①a+（b*c）＝（a+b）*（a+c）②a*（b+c）＝（a+b）*c③a*（b+c）＝（a*b）+（a*c）④（a*b）+c＝+（b*2c）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④6．（2019?佛山模擬）如圖，已知數(shù)軸上的點(diǎn)A、B表示的實(shí)數(shù)分別為a，b，那么下列等式成立的是（）A．|a+b|＝a﹣b B．|a+b|＝﹣a﹣b C．|a+b|＝b﹣a D．|a+b|＝a+b二．填空題（共5小題）7．（2021?榆陽區(qū)模擬）比較大小：π（填“＜”“＞”或“＝”）．8．（2021春?紅谷灘區(qū)校級(jí)期中）﹣2的小數(shù)部分是9．（2021春?封開縣期末）比較大小：．10．（2021春?上海期中）已知a，b是有理數(shù)，且2（a+1）+b＝3﹣2，則ab＝．11．（2021春?松江區(qū)期中）數(shù)軸上點(diǎn)A、B所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是、﹣1，那么A、B兩點(diǎn)的距離AB＝．三．解答題（共5小題）12．（2021春?浦東新區(qū)期中）已知a、b為有理數(shù)，且（a+）2＝b﹣8，求a﹣b的值．13．