基本不等式（第2課時）教學目標能利用基本不等式求最值【知識點框架】一、利用基本不等式求最值(1)已知都是正數,則:①如果積是定值,那么當時,和x+y有最小值；②如果和是定值,那么當時，積xy有最大值.(可簡記為：積定和最小，和定積最大).(2)利用此公式求最值，必須同時滿足以下三個條件：①各項均為正數；②其和或積為常數；③等號必須成立.即“一正，二定，三相等”.思考：兩個正數的積為定值，它們的和一定有最小值嗎?【例題練習】題型一：含一個變量的代數式的最值例1.(1)對于代數式；①當時，求其最小值；②當時，求其最大值.(2)已知,求的最小值.(3)已知,求的最大值.(4)已知,求的最大值.(5)已知,求的最小值.總結：利用基本不等式求最值的關鍵是獲得定值條件.解題時應對照已知條件和欲求的式子，運用適當的“拆項、添項、配湊、變形”等方法創設使用基本不等式的條件，具體可以歸納為：一不正，用其相反數，改變不等號方向；二不定，應湊出定和或定積；三不等，一般需用其他方法，如嘗試利用函數的單調性.練習：1.設,則的最大值是()B.C.2.設,求的最小值.3.設,求的最大值.題型二：含兩個變量的代數式的最值例2(1)已知,且,求的最大值.(2)已知,且,求的最小值.(3)若正數滿足,則的最小值是()A.B.C.5

總結：(1)拼湊法的實質在于代數式的靈活變形，拼系數、湊常數是關鍵，利用拼湊法求解最值應注意以下幾個方面的問題：①拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數的變化以及等式中常數的調整，做到等價變形.②代數式的變形以拼湊出和或積的定值為目標。③拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提。(2)常數代換法求最值的方法步驟：常數代換法適用于求解條件最值問題.應用此種方法求解最值的基本步驟為：①根據已知條件或其變形確定定值(常數).②把確定的定值(常數)變形為1.③把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘或相除，進而構造和或積的形式.④利用基本不等式求解最值.(3)對含有多個變量的條件最值問題.若無法直接利用基本不等式求解，可嘗試減少變量的個數，即用其中一個變量表示另一個，再代入代數式中轉化為只含有一個變量的最值問題.練習：1.已知,且.求的最大值.2.已知均為正數,且,則的最小值為.3.若是正數,則的最小值是（）A.3

B.

D.4.已知,則的最小值為.【課后鞏固】,則函數（）A.有最大值4

C.有最大值—2

,且,則的最大值為（）.A.80

C.81

在處取得最小值，則等于（）

B.72

C.4

,且,則的最大值為（）A.16

B.25

C.9

,則的最小值是（）A.

C.【課外拓展】基本不等式的變形技巧技巧一：裂項例1.設,求的最小值.【分析】先盡可能地讓分子的變量項和分母相同(常用于分子所含變量因子的次數比分母所含變量因子的次數大或相等)，然后裂項轉化為求和的最值，進而湊定積(即使得含變量的因子x+1的次數和為零，同時取到等號).技巧二：添項例2.求函數的最小值.【分析】當求和的最小值時，盡可能湊定積，本題需添6，再減6.技巧三：放入根號內或兩邊平方例