專題01二次根式的概念與性質【典例分析】【考點1】二次根式的概念和性質1．下列式子一定是二次根式的是（

C

）A． B． C． D．【考點】二次根式的概念【專題】二次根式【分析】直接利用二次根式的定義，一般地，形如的代數式叫做二次根式進行判斷即可．【解答】解：∵，∴，∴一定是二次根式，而、和中的被開方數均不能保證大于等于0，故不一定是二次根式，故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式的定義，正確把握定義是解題關鍵．2．若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍為（

D

）A．且 B． C． D．且【考點】二次根式的意義【專題】二次根式【分析】根據二次根式和分式有意義的條件，即可求解．【解答】解：根據題意得：且，解得：且．故選：D【點評】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件：被開方數為非負數；分式有意義的條件：分式的分母不等于0是解題的關鍵．3．已知，則x的取值范圍是（

A

）A． B． C． D．【考點】二次根式的意義【專題】二次根式【分析】根據二次根式的性質可得，，，求解即可．【解答】解：由二次根式的雙重非負性可得，，解得且∴故選：A【點評】此題考查了二次根式的雙重非負性，解題的關鍵是掌握二次根式的雙重非負性，正確列出不等式．4．等式成立的條件是___________．【考點】二次根式的意義【專題】二次根式【分析】根據分式和二次根式有意義的條件進行求解即可．【解答】解：∵等式成立，∴，∴，故答案為：．【點評】本題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，熟知二次根式有意義的條件是被開方數大于等于零，分式有意義的條件是分母不為零是解題的關鍵．【考點2】最簡二次根式和同類二次根式1．下列二次根式中，最簡二次根式是（

C

）A． B．C． D．【考點】二次根式的化簡．【專題】最簡二次根式【分析】根據最簡二次根式的定義逐項分析判斷即可求解．【解答】A.不是最簡二次根式，故該選項不正確，不符合題意；

B.，不是最簡二次根式，故該選項不正確，不符合題意；C.，是最簡二次根式，故該選項正確，符合題意；

D.，含有分母，故不是最簡二次根式．故選：C．【點評】本題考查最簡二次根式的定義．根據最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數不含能開得盡方的因數或因式．2．下列二次根式中，不需要化簡的是（

D

）A． B． C． D．【考點】二次根式的化簡．【專題】最簡二次根式【分析】根據最簡二次根式是滿足下列兩個條件的二次根式：1、被開方數的每一個因式的指數都小于根指數2；2、被開方數不含分母，據此判斷即可．【解答】解：A、，需要化簡，不符合題意；B、，需要化簡，不符合題意；C、，需要化簡，不符合題意；D、不需要化簡，符合題意；故選：D．【點評】本題考查了最簡二次根式以及根據二次根式的性質化簡，熟練掌握最簡二次根式的定義以及二次根式的性質是解本題的關鍵．3．下列根式中與是同類二次根式的是（

C

）A． B． C． D．【考點】二次根式的化簡．【專題】最簡二次根式【分析】先把每個二次根式進行化簡，化成最簡二次根式，后比較被開方數即可．【解答】解：A.，與不是同類二次根式，不符合題意；B.，與不是同類二次根式，不符合題意；C.，與是同類二次根式，符合題意；D.，與不是同類二次根式，不符合題意．故選：C．【點評】本題主要考查了二次根式的化簡以及同類二次根式的知識，熟練掌握二次根式化簡的基本方法，靈活運用同類二次根式的定義判斷解題是求解的關鍵．4．如果最簡根式與是同類二次根式，那么使有意義的x的取值范圍是（

D

）A． B． C． D．【考點】二次根式的化簡．【專題】同類二次根式【分析】先根據同類二次根式的定義，列方程求出a的值，代入，再根據二次根式的定義列出不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵最簡根式與是同類二次根式，∴，∴，使有意義，∴，∴，∴，故選：D．【點評】本題考查了同類二次根式的概念及二次根式的性質：5．若兩最簡根式和是同類二次根式，則的值的平方根是______．【考點】二次根式的化簡．【專題】同類二次根式、最簡二次根式【分析】根據同類二次根式的定義，列出方程，求解即可，【解答】解：由題意可得：，解得的平方根為故答案為：【點評】本題考查了同類二次根式的定義，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關鍵．6．整數a的取值范圍是，若與是同類二次根式，則a＝8或18.【考點】二次根式的化簡．【專題】、最簡二次根式【分析】根據同類二次根式的定義，列出方程，求解即可，【解答】解：若與是同類二次根式，∴或者∵∴a=8或18故答案為：8或18【點評】本題考查了同類二次根式的定義，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關鍵．【考點3】二次根式的非負性1．已知點的坐標為，且，則點關于軸的對稱點坐標為（

A

）A． B． C． D．【考點】二次根式的非負性．【專題】二次根式【分析】根據二次根式的非負性和完全平方公式求出m，n的值，進而即可求解．【解答】解：∵，∴，∴，解得：，∴的坐標為，∴點關于軸的對稱點坐標為．故選：A．【點評】本題主要考查二次根式與平方的非負性，點的坐標，軸對稱變換，根據非負數的性質，求出m，n的值是關鍵．2．若，則b的取值范圍是（

D

）A． B． C． D．【考點】二次根式的非負性．【專題】二次根式【分析】直接利用二次根式的性質求解即可．【解答】解：∵，∴，∴，解得，，故選：D【點評】本題主要考查了二次根式的性質，熟練掌握是解答本題的關鍵．3．若，則的取值范圍為（

B

）A．0 B． C． D．【考點】二次根式的非負性．【專題】二次根式【分析】根據二次根式的性質，，由此即可求解．【解答】解：原式變形，得，根據化簡二次根式的方法，∴，故選：．【點評】本題主要考查二次根式的性質，掌握二次根式的性質化簡的方法是解題的關鍵．4．已知為一等腰三角形的兩邊長，且滿足等式，則此等腰三角形的周長是_____10______．【考點】二次根式的非負性．【專題】二次根式【分析】根據被開方數大于等于0列式求出a的值，然后代入求出b的值，再根據三角形的周長公式分情況討論求解．【解答】解：根據題意得，且，解得且，所以，，，解得，①當腰為2，底為4時不能構成三角形；②當腰為4，底為2時，周長為．故答案為：10．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件、三角形的三邊關系以及等腰三角形的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．【考點4】二次根式的化簡1．已知，則二次根式化簡后的結果為（

D

）．A． B． C． D．【考點】二次根式的化簡．【專題】二次根式的性質【分析】由題意可得，再根據二次根式的性質化簡即可．【解答】解：由題意可得：∴∵∴∴故選：D【點評】此題考查了二次根式的化簡，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的性質．2．實數、在軸上的位置如圖所示，且，則化簡的結果為(

B

)A． B． C． D．【考點】二次根式的化簡．【專題】二次根式的性質【分析】利用數軸得出的符號，進而利用絕對值和二次根式的性質得出即可．【解答】∵由數軸可知，，且，∴，∴．故選：B．【點評】本題考查了二次根式的化簡和性質、實數與數軸，解題的關鍵是注意開方結果是非負數、以及絕對值結果的非負性．3．把式子根號外的移到根號內，所得結果正確的是（

D

）A． B． C． D．【考點】二次根式的化簡．【專題】二次根式的性質【分析】根據題意可得，按照二次根式的性質，求解即可．【解答】解：由題意可得：，則則故選：D【點評】此題考查了二次根式的性質，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的有關性質．【課后練習】1．下列各式中，二次根式的個數為（

C

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點】二次根式的概念．【專題】二次根式【分析】根據二次根式的定義，形如（其中的式子就是二次根式．【解答】解：，，故二次根式有：、、、①③⑤⑦共4個．故選：C．【點評】本題考查了二次根式的定義，理解定義是關鍵．2．下列二次根式中最簡二次根式的是（C

）A． B． C． D．【考點】二次根式的化簡．【專題】最簡二次根式【分析】根據最簡二次根式的條件進行判斷即可．【解答】解：A.被開方數是小數，不是最簡二次根式，不符合題意；

B.被開方數含可開方的因數，不是最簡二次根式，不符合題意；

C.，符合最簡條件，是最簡二次根式，符合題意正確；

D.被開方數是分數，不是最簡二次根式，不符合題意；故選：C．【點評】本題主要考查了最簡二次根式的定義，最簡二次根式的條件是①被開方數不含分母；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；③在二次根式的被開方數中，只要含有分數或小數就不是最簡二次根式．3．下列結論正確的是（A

）A．是最簡二次根式 B．的有理化因式可以是C． D．【考點】二次根式的化簡、有理化因式、分母有理化【專題】最簡二次根式、有理化因式【分析】根據二次根式的性質、最簡二次根式的概念逐項判斷即可．【解答】解：A．是最簡二次根式，故本選項正確；B．的有理化因式是，故本選項錯誤；C．，故本選項錯誤；D．，故本選項錯誤．故選：A．【點評】本題考查了二次根式，熟練掌握二次根式的性質和運算法則是關鍵．4．下列二次根式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中是最簡二次根式的是（

D

）A．②③④⑦ B．②⑤⑥ C．③④⑤⑥ D．③⑤⑦【考點】二次根式的化簡．【專題】最簡二次根式【分析】根據最簡二次根式的定義即可進行解答．【解答】解：①，不是最簡二次根式；②，不是最簡二次根式；③是最簡二次根式；④，不是最簡二次根式；⑤是最簡二次根式；⑥，不是最簡二次根式；⑦，是最簡二次根式；⑧，不是最簡二次根式；綜上，是最簡二次根式的有：③⑤⑦．故選：D．【點評】本題主要考查了最簡二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式要求根號下不含有可開方的數，根號下不含有分母，分母也不能含有根號．5．下列化簡錯誤的是（B）A.B.C.D.【考點】二次根式的化簡．【專題】最簡二次根式【分析】根據最簡二次根式的定義即可進行解答．∵故選：B【點評】本題主要考查了最簡二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握最簡二次根式的定義，最簡二次根式要求根號下不含有可開方的數，根號下不含有分母，分母也不能含有根號．6．在中，若分別為所對的邊，則化簡的結果為（

A

）A． B． C． D．0【考點】二次根式的化簡．【專題】二次根式【分析】根據三角形三邊的關系和二次根式的性質進行化簡求解即可．【解答】解：∵分別為所對的邊，∴，∴原式，故選A．【點評】本題考查了三角形三邊的關系和二次根式的性質，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．6．當x___>-3_______時，代數式有意義．【考點】二次根式的化簡．【專題】最簡二次根式【分析】根據二次根式的被開方數大于等于0，分式的分母不等于0，進行解答即可．【解答】解：由題意得：，解得：，故答案為：．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，分式有意義的條件，解題的關鍵是要注意x應同時滿足這兩個條件．7．若是整數，則滿足條件的最小正整數n的值為__6___．【考點】二次根式的化簡．【專題】最簡二次根式【分析】把24分解因數，分解出平方數，再根據二次根式的定義判斷出n的最小值即可．【解答】解：，∵是整數，∴滿足條件的最小正整數．故答案為：6．【點評】本題考查了二次根式的定義，熟練把24分解成平方數與另一個數相乘的形式是解題的關鍵．8．把中根號外因式適當變形后移至根號內得______．【考點】二次根式的化簡．【專題】最簡二次根式【分析】根據二次根式的性質可得，則，據此即可求解．【解答】解：∵，有意義，∴，則，∴，故答案為：．【點評】本題考查了二次根式的性質化簡，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．9．若最簡二次根式與是同類根式，則=___0____．【考點】二次根式的化簡．【專題】同類二次根式、最簡二次根式【分析】結合同類二次根式的定義：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式，進行求解即可．【解答】解：∵最簡二次根式與是同類根式，∴，解得：，．∴．故答案為：0．【點評】此題考查了同類二次根式的定義，熟記定義是解題的關鍵．10．若，則___2024___．【考點】二次根式的非負性．【專題】二次根式【分析】利用二次根式有意義的條件，即被開方數是非負數，進行求解即可．【解答】解：∵，∴，，∴，則，∴．故答案為：2024．【點評】本題考查二次根式有意義的條件、代數式求值，熟練掌握這些知識是解題的關鍵．二次根式有意義的條件是：被開方數大于等于零．11．若三角形的三邊長為、、，化簡_______．【考點】二次根式的化簡．【專題】二次根式【分析】根據二次根式的性質化簡即可求解．【解答】解：∵、、為三角形的三邊長，∴，即，∴，，∴，故答案是：．【點評】本題主要考查的運用二次根式的性質化簡，理解二次根式的性質是解題的關鍵．12．點是第二象限的點，則____3______．【考點】二次根式的化簡．【專題】二次根式【分析】根據點是第二象限，則有，，即可判斷的大小，再根據二次根式的性質與絕對值的性質即可求解．【解答】解：根據題意得，且，∴，∵，∴，則；，則，∴，故答案是：．【點評】本題主要考查二次根式的性質，絕對值的性質，掌握二次根式的性質和絕對值的性質是解題的關鍵．13．設實數a，b在數軸上對應的位