第一章常用邏輯用語1.2充分條件與必要條件充分條件與必要條件2互動探究學案3課時作業學案1自主預習學案自主預習學案古代有一次考畫師的題目是“深山藏古寺”，考生的畫面上有的是崇山峻嶺，松柏深處有座寺廟；有的是山巒之間露出寺廟的一角……而有一個考生的畫面上只有起伏的山巒，密密的松林，一個和尚正從山腳下沿著一股小道擔水上山，卻沒有寺廟．最后，這幅畫被評為第一名．和尚擔水上山與深山古寺之間有什么邏輯關系呢？(如果有和尚擔水上山，那么山里就有廟……)p?q充分條件

必要條件

充要條件

p?q既不充分也不必要條件

充分不必要

必要不充分

1．對任意實數a、b、c，在下列命題中，真命題是(

)A．“ac>bc”是“a>b”的必要條件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要條件C．“ac>bc”是“a>b”的充分條件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分條件[解析]

a＝b?ac＝bc.即ac＝bc是a＝b的必要條件，故選B．B

2．在下列橫線上填上“充分”或“必要”.(1)a>1是a>2的_________條件．(2)a<1是a<2的_________條件．3．(2016·四川文)設p：實數x、y滿足x>1且y>1，q:實數x、y滿足x＋y>2，則p是q的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]

若x>1且y>1，則有x＋y>2成立，所以p?q；反之由x＋y>2不能得到x>1且y>1.所以p是q的充分不必要條件．必要

充分

A4．(2016·北京昌平區高二檢測)設點P(x，y)，則“x＝－3，y＝1”是“點P在直線l：x－y＋4＝0上”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A5．(2015·湖南文)設x∈R，則“x>1”是“x3>1”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]

∵x>1，∴x3>1；又x3>1，則x3－1>0，(x－1)(x2＋x＋1)>0，∴x>1，∴“x>1”是“x3>1”的充要條件，選C．C

互動探究學案命題方向1?充分條件的判斷典例1[思路分析]

判斷命題“若p，則q”的真假，從而判定p是否是q的充分條件．『規律方法』1.判斷p是q的充分條件，就是判斷命題“若p，則q”為真命題．2．p是q的充分條件說明：有了條件p成立，就一定能得出結論q成立．但條件p不成立時，結論q未必不成立．例如，當x＝2時，x2＝4成立，但當x≠2時，x2＝4也可能成立，即當x＝－2時，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分條件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分條件．〔跟蹤練習1〕“a＋b>2c”的一個充分條件是(

)A．a>c或b>c B．a>c或b<cC．a>c且b<c D．a>c且b>cD

下列命題中是真命題的是(

)①“x>3”是“x>4”的必要條件；②“x＝1”是“x2＝1”的必要條件；③“a＝0”是“ab＝0”的必要條件；④“函數f(x)的定義域關于坐標原點對稱”是“函數f(x)為奇函數”的必要條件．A．①②

B．②③C．②④

D．①④[思路分析]

根據必要條件的定義進行判斷．命題方向2?必要條件典例2D

因此只有一個命題“若p，則q”是真命題時，才能說p是q的充分條件，q是p的必要條件．3．推出符號“?”只有當命題“若p，則q”為真命題時，才能記作“p?q”．a＝1

函數f(x)＝x2＋mx＋1的圖象關于直線x＝1對稱的充要條件是(

)A．m＝－2 B．m＝1C．m＝－1 D．m＝1命題方向3?充要條件典例3A

〔跟蹤練習3〕在平面直角坐標系xOy中，直線x＋(m＋1)y＝2－m與直線mx＋2y＝－8互相垂直的充要條件是m＝_________.

求證：關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.[思路分析]

第一步，審題，分清條件與結論：“p是q的充要條件”中p是條件，q是結論；“p的充要條件是q”中，p是結論，q是條件．本題中條件是“a＋b＋c＝0”，結論是“關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1”．第二步，建聯系確定解題步驟．分別證明“充分性”與“必要性”先證充分性：“條件?結論”；再證必要性：“結論?條件”．第三步，規范解答．命題方向4?充要條件的證明典例4[解析]

必要性：∵關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1，∴x＝1滿足方程ax2＋bx＋c＝0.∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.因此，方程有一個根為x＝1.故關于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0.〔跟蹤練習4〕(2016·山東濟南高二檢測)已知ab≠0，證明：a＋b＝1成立的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.必要性：若a＋b＝1，則由以上對充分性的證明知a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，故必要性得證．綜上可知，a＋b＝1成立的充要條件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.

在△ABC中，A、B、C分別為三角形三邊所對的角，則“A>B”是“sinA>sinB”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件忽視隱含條件致誤典例5[錯解分析]

錯解的原因是忽視了A、B是△ABC的內角這一條件.[正解分析]

A＋B<180°且A，B是△ABC的內角．[正解]

在△ABC中，設角A、B所對的邊分別為a、b，則A>B?a>b?2RsinA>2RsinB(其中R為△ABC外接圓的半徑)?sinA>sinB，故選C．〔跟蹤練習5〕(2015·北京高考)設a，b是非零向量，“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(

)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件[解析]

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉∴cos<a·b>＝1，∴<a·b>＝0，∴a∥b.而當a∥b時，〈a，b〉還可能是π，此時a·b＝－|a|·|b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要條件．A先合理轉化條件，常通過有關性質、定理、圖象將恒成立問題和有解問題轉化為最值問題等，得到關于參數的方程或不等式(組)，再通過解方程或不等式(組)求出參數的值或取值范圍．

已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍.典例6求參數的值或取值范圍的關鍵『規律方法』先把p，q等價轉化，利用充分條件、必要條件與集合間的包含關系，建立關于參數的不等式(組)進行求解．注意：把充分條件或必要條件轉化為集合間的關系后，集合端點處的等號易錯．A2．若a∈R，則“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(

)A．充分條件B．必要條件C．既不是充分條件，也不是必要條件D．無法判斷3．設向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，則“x＝3”是“a∥b”的(

)A．充分條件B．必要條件C．既不是充分條件，又不是必要條件D．無法判斷AA4．從“充分條件”“必要條件”中選出適當的一種填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根”是“ac<0”的________________.(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′