專題透析一：基本不等式技巧和應用高分必刷題一、單選題1．（2020·南京市燕子磯中學高一月考）已知，，若，則的最小值為（）A．14 B．16 C．18 D．202．（2021·浙江師范大學附屬東陽花園外國語學校高二月考）若實數，則的最小值為（）A． B．1 C． D．23．（2020·曲靖市關工委麒麟希望學校高一期中）若正實數a，b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是（）A． B． C． D．4．（2020·江蘇泰州·高一期中）設，，，若不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．5．（2018·福建省泉州第一中學高一期中）已知不等式對一切恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．6．（2021·四川省綿陽南山中學高一期中）若實數，，不等式恒成立，則正實數的最大值為（）A． B． C． D．7．（2020·武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）高一期中）是不同時為0的實數，則的最大值為（）A． B． C． D．8．（2021·貴州省思南中學高一期中）已知正實數，滿足，則的最小值為（）A．15 B． C．16 D．9．（2020·玉龍納西族自治縣田家炳民族中學）若，則下列不等式成立的是（）．A． B．C． D．10．（2020·重慶市第二十九中學校）下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．若，，則11．（2020·石家莊市第十九中學高一期中）已知，若恒成立，則實數的取值范圍是（）A．或 B．或C． D．12．（2020·合肥市第八中學）已知，且，，則的最小值是（）A． B． C． D．二、多選題13．（2020·廣東實驗中學高一期中）若，，，則下列不等式中對一切滿足條件的，恒成立的是（）A． B．C． D．14．（2021·黃石市有色第一中學）下列選項中正確的是（）A．不等式恒成立B．存在實數a，使得不等式成立C．若a?b為正實數，則D．若正實數x，y滿足，則15．（2020·山東）若，則下列不等式中正確的是（）A． B．C． D．16．（2020·江蘇南京師大附中）已知，，且，那么下列結論正確的有（）A．有最大值 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值17．（2020·武漢市鋼城第四中學高一期中）下列結論正確的是（）A．當時，B．當時，的最小值是2C．當時，的最小值為5D．當，時，18．（2020·青島市黃島區教育發展研究中心）若，則下列選項成立的是（）A． B．若，則C．的最小值為 D．若，則三、填空題19．（2020·河北正定中學高一月考）已知正實數，滿足，則的最小值是______．20．（2020·淮北市樹人高級中學高一月考）已知，，且滿足，則的最小值為_________21．（2021·浙江學軍中學高一競賽）已知，且，則最小值為__________．22．（2021·浙江學軍中學高一競賽）若，則的取值范圍是_________．23．（2020·浙江）已知實數，，滿足，那么的最小值為_____．24．（2020·江蘇泰州·高一期中）中國南宋大數學家秦九韶提出了“三斜求積術”，即已知三角形的三條邊長分別為、、，則三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長的一半，這個公式也被稱為海倫—秦九韶公式，現有一個三角形的邊長滿足，，則此三角形面積的最大值為______．25．（2021·全國高一課時練習）一批貨物隨列火車從市均以千米/時的速度勻速直達市，已知兩地鐵路線長千米，為了安全，每兩列火車的間距不得小于千米（火車的長度忽略不計），那么這批貨物全部運到市，最快需要_______小時.26．（2021·全國高一課時練習）若對任意滿足的正數，都有成立，則實數的取值范圍是__________27．（2021·全國高一課時練習）已知對任意，且，恒成立，則的取值范圍_______________四、解答題28．（2021·全國高一課時練習）泰州市民小王新購置了一套住房，擬對新房進行裝修.在裝修中需滿足如下要求：①窗戶面積應小于地板面積，②窗戶面積不小于地板面積的，③窗戶面積與地板面積的比值越大，采光效果越好.設窗戶面積為m平方米，地板面積為n平方米，已知，其中k為常數.已知當窗戶和地板的總面積為22平方米時，窗戶面積恰好是地板面積的.（1）求實數k的值；（2）在滿足裝修的要求下，求窗戶面積可以取到的范圍；（3）當采光效果最好時，求窗戶的面積.29．（2021·鐘祥市實驗中學高一期中）已知正實數x，y滿足.（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求實數a的取值范圍.30．（2020·江蘇高一單元測試）某地政府指導本地建扶貧車間?搭建就業平臺，幫助貧困群眾實現精準脫貧，實現困難群眾就地就近就業.已知扶貧車間生產某種產品的年固定成本為8萬元，每生產()萬件，該產品需另投入流動成本萬元.在年產量不足6萬件時，；在年產量不小于6萬件時，.每件產品的售價為6元.由于該扶貨車間利用了扶貧政策及企業產業鏈優勢，因此該種產品能在當年全部售完.（1）寫出年利潤(萬元)關于年產量(萬件)的函數解析式；（2）當年產量為多少時，該扶貧車間的年利潤最大？并求出最大年利潤.31．（2021·全國）已知實數，.（1）若，求2xy的最大值與的最小值；（2）若，求的最小值.32．（2021·全國）已知正數、滿足.（1）求的最小值；（2）求的最小值；（3）求的最小值.參考答案1．B【詳解】因為，，且，所以，當且僅當時，即時等號成立.所以的最小值為16.故選：B.2．D【詳解】由條件可知，，所以，當，即，結合條件，可知時，等號成立，所以的最小值為.故選：D3．B【詳解】因為a，b是正實數，所以有，因為a，b是正實數，所以，因此有，故選：B4．B【詳解】解：由可得，所以當且僅當，即時取等號，所以的最小值為8，由不等式恒成立，可得，所以實數的取值范圍為，故選：B5．D【詳解】由參變量分離法可得，當時，，當時，，，當且僅當時，等號成立，故，解得.故選：D.6．D【詳解】由得因為，，則令則化為恒成立，由權方和不等式得當且僅當，得即時等號成立．所以故選：D7．A【詳解】因為a，b均為正實數，則，當且僅當，且取等，即取等號，即則的最大值為，故選：A．8．D正實數，滿足，則，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選：D.9．B【詳解】因為，所以，當且僅當時等號成立，由，所以，故選：B10．B【詳解】對于A中，當時，，所以A不正確；對于B中，由，當且僅當時，即時，等號成立，即，所以B正確；對于C中，由，可得，所以C不正確；對于D中，，，可得，可得，當且僅當時，即時，等號成立，即，所以D不正確.11．C【詳解】因為所以，當且僅當，即時取等號，又因為恒成立，所以，解得．故選：C.12．C【詳解】解：，，又，，，當且僅當“”時取“”，的最小值為.故選：C.13．ACD解：，，，，即，即，故正確；，故，故B錯誤；，故C正確；，故D正確；故選：ACD．14．BCD【詳解】不等式恒成立的條件是，，比如取,可知不等式不成立，故A不正確；當a為負數時，不等式成立.故B正確；若a?b為正實數，則，由基本不等式可知，當且僅當時取等號，故C正確；若正實數x，y，則，當且僅當，即時取等號，故D正確.故選：BCD.15．ACD【詳解】由基本不等式可知，當且僅當時等號成立，選項A成立；取，則，此時，選項B錯誤；由基本不等式可知：，當且僅當時等號成立，選項C成立；，當且僅當時等號成立，選項D成立；故選：ACD.16．BD【詳解】令，，由題意可得，，，由基本不等式，則，由可得，則，取等；，由可得，則，取等；故選:BD.17．AD【詳解】選項A中，時，，當且僅當，即時等號成立，故正確；選項B中，時，，當且僅當時，即時取等號，但是，取不到最小值2，故錯誤；選項C中，時，，則，故，當且僅當時，即時等號成立，取得最大值1，不存在最小值，故錯誤；選項D中，當，時，，故，當且僅當時等號成立，故正確.故選：AD.18．ABD【詳解】A.因為，故正確；B.因為，所以解得，所以，當且僅當取等號，故正確；C.因為，，則由對勾函數的性質得在上遞增，所以其最小值為，故錯誤；D.因為，則，當且僅當，即時，取等號，故正確；故選：ABD19．【詳解】，，當且僅當，時取等號．所以則的最小值是，故答案為：20．【詳解】因為，所以，當且僅當即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.21．【詳解】由于，且，所以，.當且僅當時等號成立，此時.故答案為：22．【詳解】解：，，，可得，當且僅當時取等號；可得，，可得，即有，則，可令，由在，遞減，可得，則的取值范圍是，故答案為：．23．9【詳解】因為實數，，滿足，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為9，故答案為：924．【詳解】，所以，.當且僅當時，等號成立，且此時三邊可以構成三角形.因此，該三角形面積的最大值為.故答案為：.25．.【詳解】設這批貨物從市全部運到市需要的時間為小時，則（小時），當且僅當，即時，等號成立，所以批貨物從市全部運到市需要小時.故答案為：8.26．【詳解】若對任意滿足的正數，都有成立，則，，當且僅當，即時等號成立，所以，所以，即，即，解得或，所以實數x的取值范圍是.故答案為：.27．【詳解】因為，，則，，當且僅當，即時，等號成立；因此為使恒成立，只需，故答案為：28．（1）；（2）；（3）1.【詳解】（1）由得，所以，；（2）由題意，解得；（3），當且僅當，即時等號成立．所以采光效果最好時，窗戶的面積為1平方米．29．（1）；（2）.【詳解】（1），所以，解得，當且僅當取等號，∴的最大值為.（2），當且僅當，取等號，∴，解得.即a的取值范圍是.30．（1）；（2）當年產量為9萬件時，該扶貧車間的年利潤最大，最大年利潤為14萬元.【詳解】解：（1）每件產品的售價為6元，則萬件產品的銷售收入為萬元.依題意得，當時，.當時，.所以.（2）當時，，故當時，取得最大值4.5萬元.當時，，當且僅當，即時，取得最大值14萬元.所以當年產量為9萬件時，該扶貧車間的年利潤最大，最大年利潤為14萬元.31．（1）最小值為2；（2）最小值為4.【詳解】解：（1）因為，又因為，所