專題強化訓練(四)萬有引力與航天一、選擇題(1～7為單選題，8～16為多選題)1．(2017·吉林省普通高中高三調研)地球赤道上的物體隨地球自轉的向心加速度為a1，地球的同步衛星繞地球做勻速圓周運動的軌道半徑為r，向心加速度為a2.已知萬有引力常量為G，地球半徑為R，地球赤道表面的重力加速度為g.下列說法正確的是()A．地球質量M＝eq\f(gr2,G) B．地球質量M＝eq\f(a1r2,G)C．a1、a2、g的關系是g＞a2＞a1 D．加速度之比eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,R2)解析：根據萬有引力定律可得，對地球的同步衛星：Geq\f(Mm,r2)＝ma2，解得地球的質量M＝eq\f(a2r2,G)，故A、B錯誤．地球赤道上的物體和地球同步衛星的角速度相等，根據a＝ω2r知，a1＜a2；對于地球近地衛星有，Geq\f(Mm,R2)＝mg，得g＝Geq\f(M,R2)，對于地球同步衛星，Geq\f(Mm,r2)＝ma2，即a2＝Geq\f(M,r2)，a2＜g，綜合得a1＜a2＜g，故C正確；根據a＝ω2r，地球赤道上的物體a1＝ω2R，地球同步衛星的向心加速度a2＝ω2r，故eq\f(a1,a2)＝eq\f(R,r)，故D錯誤．答案：C2．(2017·濟寧市高三模擬)假設地球為質量均勻分布的球體．已知地球表面的重力加速度在兩極處的大小為g0、在赤道處的大小為g，地球半徑為R，則地球自轉的周期T為()A．2πeq\r(\f(R,g0＋g)) B．2πeq\r(\f(R,g0－g))C．2πeq\r(\f(g0＋g,R)) D．2πeq\r(\f(g0－g,R))解析：在兩極處物體不隨地球自轉，所以Geq\f(Mm,R2)＝mg0；在赤道處物體隨地球自轉，可得Geq\f(Mm,R2)＝mg＋meq\f(4π2,T2)R，聯立解得T＝2πeq\r(\f(R,g0－g))，所以B正確；A、C、D錯誤．答案：B3．(2017·棗莊市高三模擬)2016年12月17日是我國發射“悟空”探測衛星二周年紀念日，一年來的觀測使人類對暗物質的研究又進了一步．宇宙空間中兩顆質量相等的星球繞其連線中心轉動時，理論計算的周期與實際觀測周期不符，且eq\f(T理論,T觀測)＝k(k＞1)；因此，科學家認為，在兩星球之間存在暗物質．假設以兩星球球心連線為直徑的球體空間中均勻分布著暗物質，兩星球的質量均為m；那么，暗物質質量為()A．eq\f(k2－1,4)m B．eq\f(k2－2,8)mC．(k2－1)m D．(2k2－1)m解析：設兩星球間距為L，則根據萬有引力定律：eq\f(Gm2,L2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,理))·eq\f(L,2)；若有暗物質，因均勻分布，故可認為集中在兩星連線中點，根據萬有引力定律：eq\f(Gm2,L2)＋eq\f(GMm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2)))2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,觀))·eq\f(L,2)；其中eq\f(T理論,T觀測)＝k，聯立解得：M＝eq\f(k2－1,4)m，故選A．答案：A4．(2017·樂山市高三調研)有a、b、c、d四顆地球衛星，a還未發射，在地球赤道上隨地球表面一起轉動，b處于地面附近近地軌道上正常運行，c是地球同步衛星，d是高空探測衛星．各衛星排列位置如圖，則有()A．a的向心加速度等于重力加速度g B．在相同時間內b轉過的弧長最短C．在4h內c轉過的圓心角是π/3 D．d的運動周期一定是30h解析：同步衛星的周期與地球自轉周期相同，角速度也相同，則知a與c的角速度相同，由a＝w2·r可知，c的向心加速度比a的大．根據Geq\f(Mm,r2)＝ma可得：a＝Geq\f(M,r2)，可知衛星的軌道半徑越大，向心加速度越小，c同步衛星的軌道半徑高于b衛星的軌道半徑，則c同步衛星的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度約為g，故知a的向心加速度小于重力加速度g，故A錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得：v＝eq\r(\f(Gm,r))，衛星的半徑越大，線速度越小，所以b的線速度最大，在相同時間內轉過的弧長最長，故B錯誤；c是地球同步衛星，周期是24h，則c在4h內轉過的圓心角是eq\f(π,3)，故C正確；由開普勒第三定律：eq\f(R3,T2)＝k可知，衛星的半徑越大，周期越大，所以d的運動周期大于c的周期24h，但不一定是30h，故D錯誤．答案：C5．(2017·黃岡市高三質量檢測)衛星發射進入預定軌道往往需要進行多次軌道調整．如圖所示，某次發射任務中先將衛星送至近地軌道，然后再控制衛星進入橢圓軌道．圖中O點為地心，A點是近地軌道和橢圓軌道的交點，遠地點B離地面高度為6R(R為地球半徑)．設衛星在近地軌道運動的周期為T，下列對衛星在橢圓軌道上運動的分析，其中正確的是()A．控制衛星從圖中低軌道進入橢圓軌道需要使衛星減速B．衛星通過A點時的速度是通過B點時速度的6倍C．衛星通過A點時的加速度是通過B點時加速度的6倍D．衛星從A點經4T的時間剛好能到達B點解析：控制衛星從圖中低軌道進入橢圓軌道需要使衛星加速，選項A錯誤；根據開普勒行星運動第二定律可得：vA·R＝vB·(6R＋R)，則衛星通過A點時的速度是通過B點時速度的7倍，選項B錯誤；根據a＝eq\f(GM,r2)，則eq\f(aA,aB)＝eq\f(r\o\al(2,B),r\o\al(2,A))＝eq\f(7R2,R2)＝49，則衛星通過A點時的加速度是通過B點時加速度的49倍，選項C錯誤；根據開普勒第三定律，eq\f(R3,T2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2R＋6R,2)))3,T′2)，解得T′＝8T，則衛星從A點經4T的時間剛好能到達B點，選項D正確；故選D．答案：D6．(2017·日照市高三模擬)2016年11月24日，我國成功發射了天鏈一號04星．天鏈一號04星是我國發射的第4顆地球同步衛星，它與天鏈一號02星、03星實現組網運行，為我國神舟飛船、空間實驗室天宮二號提供數據中繼與測控服務．如圖，1是天宮二號繞地球穩定運行的軌道，2是天鏈一號繞地球穩定運行的軌道．下列說法正確的是()A．天鏈一號04星的最小發射速度是11.2B．天鏈一號04星的運行速度小于天宮二號的運行速度C．為了便于測控，天鏈一號04星相對于地面靜止于北京飛控中心的正上方D．由于技術進步，天鏈一號04星的運行速度可能大于天鏈一號02星的運行速度解析：由于第一宇宙速度是人造地球衛星飛船環繞地球做勻速圓周運動時的最大速度，同時又是最小的發射速度，可知飛船的發射速度大于第一宇宙速度7.9km/s.飛船的發射速度大于第二宇宙速度11.2km/s時，就脫離地球束縛．所以飛船的發射速度要小于第二宇宙速度，同時要大于第一宇宙速度，介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之間，故A錯誤；由萬有引力提供向心力得：eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)可得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知軌道半徑比較大的天鏈一號04星的運行速度小于天宮二號的運行速度．故B正確；天鏈一號04星位于赤道正上方，不可能位于北京飛控中心的正上方，故C錯誤；根據題意，天鏈一號04星與天鏈一號02星都是地球同步軌道數據中繼衛星，軌道半徑相同，所以天鏈一號04星與天鏈一號02星具有相同的速度，故D錯誤．答案：B7．(2017·湖北省高三聯合)“嫦娥三號”攜帶“玉兔號”月球車首次實現月球軟著陸和月面巡視勘察，并開展月表形貌與地質構造調查等科學探測．“玉兔號”在地球表面的重力為G1，在月球表面的重力為G2；地球與月球均視為球體，其半徑分別為R1、R2；地球表面重力加速度為g.則()A．月球表面的重力加速度為eq\f(G1g,G2)B．地球與月球的質量之比為eq\f(G2R\o\al(2,2),G1R\o\al(2,1))C．月球與地球的第一宇宙速度之比為eq\r(\f(G1R1,G2R2))D．“嫦娥三號”環繞月球表面做勻速圓周運動的周期為2πeq\r(\f(G1R2,G2g))解析：“玉兔號”的質量為m＝eq\f(G1,g)，所以月球表面的重力加速度為g′＝eq\f(G2,m)＝eq\f(gG2,G1)，所以A錯誤；根據黃金公式GM＝gR2，可得eq\f(M地,M月)＝eq\f(g,g′)eq\f(R\o\al(2,1),R\o\al(2,2))＝eq\f(G1R\o\al(2,1),G2R\o\al(2,2))，所以B錯誤；第一宇宙速度v＝eq\r(gR)，所以月球與地球的第一宇宙速度之比為eq\f(v2,v1)＝eq\r(\f(G2,G1)\f(R2,R1))，所以C錯誤；根據萬有引力Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，“嫦娥三號”環繞月球表面做勻速圓周運動，所以軌道半徑等于月球半徑R2，代入可求周期T＝2πeq\r(\f(G1R2,G2g))，所以D正確．答案：D8．(2017·江蘇卷)“天舟一號”貨運飛船于2017年4月20日在文昌航天發射中心成功發射升空．與“天宮二號”空間實驗室對接前，“天舟一號”在距地面約380km的圓軌道上飛行，A．角速度小于地球自轉角速度B．線速度小于第一宇宙速度C．周期小于地球自轉周期D．向心加速度小于地面的重力加速度解析：本題考查萬有引力定律、人造衛星的運行規律．由于地球自轉的角速度、周期等物理量與地球同步衛星一致，故“天舟一號”可與地球同步衛星比較．由于“天舟一號”的軌道半徑小于同步衛星的軌道半徑，所以，角速度是“天舟一號”大，周期是同步衛星大，選項A錯，C對；第一宇宙速度是近地衛星的環繞速度，故“天舟一號”的線速度小于第一宇宙速度，B對；對“天舟一號”有Geq\f(M地m,R地＋h2)＝ma向，所以a向＝Geq\f(M地,R地＋h2)，而地面重力加速度g＝Geq\f(M地,R\o\al(2,地))，故a向<g，D選項正確．答案：BCD9．(2017·邵陽市高三聯考)2017年1月5日，我國在西昌衛星發射中心用長征三號乙運載火箭成功將通信技術試驗衛星發射升空．若該衛星在發射過程中質量保持不變，則在該衛星發射升空遠離地球的過程中，其所受地球的萬有引力F及重力勢能Ep的變化情況分別為()A．F變大 B．F變小C．Ep變大 D．Ep變小解析：根據萬有引力公式F＝Geq\f(Mm,r2)，遠離地球過程中，與地球間的距離在增大，故F減小，上升過程中需要克服引力做功，故重力勢能增大，故B、C正確．答案：BC10．(2017·蘇錫常鎮四市調研)2016年8月歐洲南方天文臺宣布：在離地球最近的恒星“比鄰星”周圍發現了一顆位于宜居帶內的行星，并將其命名為“比鄰星b”，這是一顆可能孕育生命的系外行星．據相關資料表明：“比鄰星b”的質量約為地球的1.3倍，直徑約為地球的2.2倍，繞“比鄰星”公轉周期約為11.2天，與“比鄰星”的距離約為日地距離的5%，若不考慮星球的自轉效應，則()A．“比鄰星”的質量大于太陽質量B．“比鄰星”的質量小于太陽質量C．“比鄰星b”表面的重力加速度大于地球表面的D．“比鄰星b”表面的重力加速度小于地球表面的解析：根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可得：M＝eq\f(4π2r3,GT2)，則eq\f(M比,M太)＝eq\f(r\o\al(3,比),T\o\al(2,比))∶eq\f(r\o\al(3,地),T\o\al(2,地))＝(eq\f(5,100))3×(eq\f(365,11.2))2≈0.133，故“比鄰星”的質量小于太陽質量，選項A錯誤，B正確；根據g＝eq\f(Gm,R2)，則eq\f(g比,g地)＝eq\f(m比R\o\al(2,地),m地R\o\al(2,比))＝1.3×(eq\f(1,2.2))2≈0.27，即“比鄰星b”表面的重力加速度小于地球表面的，選項C錯誤，D正確．答案：BD11．(2017·株洲市高三質檢)2016年10月19日凌晨“神舟十一號”飛船與“天宮二號”成功實施自動交會對接．如圖所示，已知“神舟十一號”“天宮二號”對接后，組合體在時間t內沿圓周軌道繞地球轉過的角度為θ，組合體軌道半徑為r，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮地球自轉．則()A．可求出地球的質量B．可求出地球的平均密度C．可求出組合體的做圓周運動的線速度D．可求出組合體受到地球的萬有引力解析：根據題意可得組合體繞地球運動的角速度為ω＝eq\f(θ,t)，根據公式Geq\f(Mm,r2)＝mω2r可得M＝eq\f(ω2r3,G)，A正確；忽略地球自轉，在地球表面萬有引力等于重力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg，即可求得地球半徑，根據ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)可求得地球密度，B正確；根據v＝ωr可得組合體的做圓周運動的線速度，C正確；由于不知道組合體質量，所以無法求解受到地球的萬有引力大小，D錯誤．答案：ABC12．(2017·山西省高三測試)2016年12月28日中午，我國首顆中學生科普衛星在太原衛星發射中心發射升空．這顆被命名為“八一·少年行”的小衛星計劃在軌運行時間將不少于180天．衛星長約12厘米，寬約11厘米，高約27厘米，入軌后可執行對地拍攝、無線電通訊、對地傳輸文件以及快速離軌試驗等任務．假設根據實驗需要將衛星由距地面高280km的圓軌道Ⅰ調整進入距地面高330km的圓軌道A．衛星在軌道Ⅰ上運行的速度小于7.9B．為實現這種變軌，衛星需要向前噴氣，減小其速度即可C．衛星在軌道Ⅱ上比在軌道Ⅰ上運行的向心加速度大，周期小D．忽略衛星質量的變化，衛星在軌道Ⅱ上比在軌道Ⅰ上動能小，引力勢能大解析：根據v＝eq\r(\f(GM,r))知軌道半徑越大，運行的線速度越小，選項A正確．衛星由低軌道變為高軌道需要向后噴氣加速，從而使萬有引力小于向心力而做離心運動，選項B錯誤．由a＝eq\f(GM,r2)，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))知軌道Ⅱ的半徑大，加速度小，周期大，選項C錯誤．軌道Ⅱ的線速度小，而高度高，故動能小時引力勢能大，選項D正確．答案：AD13．(2017·泰安市高三質檢)我國計劃在2017年發射“嫦娥四號”，它是嫦娥探月工程計劃中嫦娥系列的第四顆人造探月衛星，主要任務是更深層次、更加全面的科學探測月球地貌、資源等方面的信息，完善月球檔案資料．已知月球的半徑為R，月球表面的重力加速度為g，引力常量為G，嫦娥四號離月球中心的距離為r，繞月周期為T.根據以上信息可求出()A．“嫦娥四號”繞月運行的速度eq\r(\f(r2g,R))B．“嫦娥四號”繞月運行的速度為eq\r(\f(R2g,r))C．月球的平均密度為eq\f(3π,GT2)D．月球的平均密度為eq\f(3πr3,GT2R3)解析：月球表面任意一物體重力等于萬有引力：Geq\f(Mm,R2)＝mg，則有GM＝R2g，“嫦娥四號”繞月運行時，萬有引力提供向心力：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得：v＝eq\r(\f(GM,r))，聯立解得v＝eq\r(\f(gR2,r))，故A錯誤，B正確；“嫦娥四號”繞月運行時，根據萬有引力提供向心力有：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得：M＝eq\f(4π2r3,GT2)，月球的平均密度為：ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(4π2r3,GT2),\f(4π,3)R3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)，故C錯誤，D正確．答案：BD14．(2017·湖北省八校高三聯考)1772年，法籍意大利數學家拉格朗日在論文《三體問題》指出：兩個質量相差懸殊的天體(如太陽和地球)所在同一平面上有5個特殊點，如圖中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人們稱為拉格朗日點．若飛行器位于這些點上，會在太陽與地球共同引力作用下，可以幾乎不消耗燃料而保持與地球同步繞太陽做圓周運動．若發射一顆衛星定位于拉格朗日L2點，下列說法正確的是()A．該衛星繞太陽運動周期和地球自轉周期相等B．該衛星在L2點處于平衡狀態C．該衛星繞太陽運動的向心加速度大于地球繞太陽運動的向心加速度D．該衛星在L2處所受太陽和地球引力的合力比在L1處大解析：該衛星與地球同步繞太陽做圓周運動，則該衛星繞太陽運動周期和地球繞太陽運動周期相等，但與地球自轉周期沒有關系，故A錯誤；該衛星所受的合力為地球和太陽對它引力的合力，這兩個引力方向相同，合力不為零，處于非平衡狀態，故B錯誤；由于該衛星與地球繞太陽做圓周運動的周期相同，該衛星的軌道半徑大，根據公式a＝eq\f(4π2,T2)r分析可知，該衛星繞太陽運動的向心加速度大于地球繞太陽運動的向心加速度，故C正確；因為這些點上的周期相同，根據a＝eq\f(4π2,T2)r可得半徑越大，向心加速度越大，所以根據F＝ma可得半徑越大受到的合力越大，故D正確．答案：CD15．(2017·肇慶市高三模擬)美國國家科學基金會2010年9月29日宣布，天文學家發現一顆迄今為止與地球最類似的太陽系外的行星，如圖所示，這顆行星距離地球約20億光年(189.21萬億公里)，公轉周期約為37年，這顆名叫Gliese581g的行星位于天枰座星群，它的半徑大約是地球的2倍，重力加速度與地球相近．則下列說法正確的是()A．飛船在Gliese581g表面附近運行時的速度小于7.9B．該行星的平均密度約是地球平均密度的1/2C．該行星的質量約為地球質量的2倍D．在地球上發射航天器到達該星球，航天器的發射速度至少要達到第三宇宙速度解析