湖南省衡陽市市第三中學高二數學文上學期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知橢圓上有三點（，）（1，2，3），它們到同一個焦點的距離分別是，，，則，，成等差數列的充要條件是（

）

A.，，成等差數列

B.，，成等差數列

C.上述（A）、（B）同時成立

D.（A）、（B）以外的條件參考答案：B2.直線的傾斜角為

（

）A.30

B.60

C.120

D.150參考答案：C略3.已知向量=(1，2)，

=(x，1)，若//，則x＝（

）A、－2

B、－

C、

D、2參考答案：C4.某程序的框圖如圖所示，則運行該程序后輸出的的值是（

）A．B．C．D．參考答案：A5.下列說法正確的是（）A．若a＜b，則am2＜bm2．B．命題“p或q”為真，且“p”為真，則q可真可假．C．原命題“若x=2，則x2=4”，此命題的否命題為真命題．D．命題“?x∈R使得2x＜1“的否定是：“?x∈R均有2x＞1”．參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】A，當m2=0時，則am2=bm2．B，命題“p或q”為真，且“p”為真，則q可真可假．C，原命題“若x=2，則x2=4”，此命題的否命題為：若x≠2，則x2≠4，此命題為假命題．D，命題“?x∈R使得2x＜1“的否定是：“?x∈R均有2x≥1”．【解答】解：對于A，當m2=0時，則am2=bm2．故錯．對于B，命題“p或q”為真，且“p”為真，則q可真可假．正確．對于C，原命題“若x=2，則x2=4”，此命題的否命題為：若x≠2，則x2≠4，此命題為假命題．故錯對于D，命題“?x∈R使得2x＜1“的否定是：“?x∈R均有2x≥1”故錯．故選：B6.設橢圓()的離心率，右焦點，方程的兩個根分別為，，則點在(

)A．圓內

B．圓上

C．圓外

D．以上都有可能參考答案：A略7.已知f(x)＝x2－cosx，x∈[－1,1]，則導函數f′(x)是()A．僅有最小值的奇函數B．既有最大值，又有最小值的偶函數C．僅有最大值的偶函數D．既有最大值，又有最小值的奇函數參考答案：D8.已知隨機變量X滿足D(X)＝2，則D(3X＋2)＝()A．2

B．8C．18

D．20參考答案：C略9.已知等差數列中，，，則前項的和等于

參考答案：C設等差數列的公差為，則，，所以，故選.

10.某校對高一新生的體重進行了抽樣調查，如圖是根據抽樣調查后的數據繪制的頻率分布直方圖，其中體重（單位：kg）的范圍是，樣本數據分組為，，，，，已知被調查的學生中體重不足55kg的有36人，則被調查的高一新生體重在kg的人數是（

）A.90 B.75 C.60 D.45參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1，AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于．參考答案：【考點】異面直線及其所成的角．【分析】取BC的中點G．連接GC1，則GC1∥FD1，再取GC的中點H，連接HE、OH，則∠OEH為異面直線所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得結論．【解答】解：取BC的中點G．連接GC1，則GC1∥FD1，再取GC的中點H，連接HE、OH，則∵E是CC1的中點，∴GC1∥EH∴∠OEH為異面直線所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH===．故答案為：12.只用1,2,3三個數字組成一個四位數，規定這三個數必須都用上，且相同數字不能相鄰，這樣的四位數有__________個.參考答案：1813.如圖，是水平放置的直觀圖，O'A'=3,O'B'=2,則三角形OAB的面積是

。參考答案：614.如圖，ABCD－A1B1C1D1為正方體，下面結論中正確的是________．(把你認為正確的結論都填上)①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1與底面ABCD所成角的正切值是；④二面角C—B1D1－C1的正切值是；⑤過點A1與異面直線AD與CB1成70°角的直線有2條．參考答案：①②④15.從棱長為3的正四面體的各頂點截去四個棱長為1的小正四面體（使截面平行于底面），所得幾何體的表面積是

.參考答案：16.已知函數，則的值為_________。參考答案：217.一個四棱錐的側棱長都相等，底面是正方形，其正視圖如圖所示，則該四棱錐的側面積是_________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（16分）已知函數f（x）=lnx+ax2（x＞0），g（x）=bx，其中a，b是實數．（1）若a=﹣，求f（x）的最大值；（2）若b=2，且直線y=g(x)﹣是曲線y=f（x）的一條切線，求實數a的值；（3）若a＜0，且b﹣a=，函數h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間，從而求出函數的最值問題；（2）設出切點坐標，表示出切線方程，得到lnx0﹣x0+1=0，設t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，根據函數的單調性求出a的值即可；（3）通過討論a的范圍，求出函數的單調性，結合函數h（x）=f（x）﹣g（2x）有且只有兩個不同的零點，求出a的范圍即可．【解答】解：（1）由題意，，x＞0，∴，令f'（x）=0，x=1，…（2分）x（0，1）1（1，+∞）f'（x）+0﹣f（x）↗↘從上表可知，當x=1時，f（x）取得極大值，且是最大值，∴f（x）的最大值是．…（2）由題意，直線是曲線y=lnx+ax2的一條切線，設切點，∴切線的斜率為，∴切線的方程為，即，∴…（6分）∴lnx0﹣x0+1=0，設t（x）=lnx﹣x+1，x＞0，∴，當x∈（0，1）時，t'（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，t'（x）＜0，∴t（x）在x=1處取得極大值，且是最大值，∴t（x）max=t（1）=0，∵t（x0）=0，∴x0=1，此時．

…（10分）（3）∵，∴，x＞0，∴，（ⅰ）當﹣1≤a≤0時，當0＜x＜1時，h'（x）＞0，當x＞1時，h'（x）＜0，∴函數h（x）在x=1處取得極大值，且是最大值，∴h（x）≤h（1）=﹣1，函數h（x）在區間（0，+∞）上無零點，…（12分）（ⅱ）當a＜﹣1時，令h'（x）=0，得，x2=1，由（2）可知，t（x）≤0，即lnx≤x﹣1，∴，其中，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函數h（x）在（0，1）上不間斷，∴函數h（x）在（0，1）上存在零點，另外，當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，故函數h（x）在（0，1）上是單調減函數，∴函數h（x）在（0，1）上只有一個零點，∵h（2）=ln2+a×22﹣（2a+1）×2=ln2﹣2＜0，又h（1）=﹣a﹣1＞0，且函數h（x）在（1，+∞）上不間斷，∴函數h（x）在（1，+∞）上存在零點，另外，當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，故函數h（x）在（1，+∞）上是單調增函數，∴函數h（x）在（1，+∞）上只有一個零點，∴當﹣1≤a≤0時，h（x）在區間（0，+∞）上無零點，當a＜﹣1時，h（x）在區間（0，+∞）上恰有2個不同的零點，綜上所述，實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣1）．

…（16分）【點評】本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道綜合題．19.在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，,∥,，，底面，與底面成30°角.（1）若于點，求證：；（2）求平面PAB與平面PCD夾角的正切值.參考答案：（1）如圖建立空間直角坐標系，則,，，，，，∴，，∴，∴

…………5分（2）易知，則平面，∴是平面的一個法向量，∴，又設平面的一個法向量為，則,，而，∴由，得，解得，令,∴，設平面PAB與平面PCD夾角為，則，∴.∴平面PAB與平面PCD夾角的正切值為2.…………12分略20.拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線C上點M的橫坐標為1，且|MF|=．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）過焦點F作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點，求四邊形MPNQ面積的最小值．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【分析】（Ⅰ）利用拋物線的定義直接求拋物線C的方程；（Ⅱ）過焦點F作兩條相互垂直的直線，設MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0），聯立直線與拋物線方程組成方程組，利用弦長公式，求出MN，PQ，推出四邊形MPNQ的面積的表達式，利用基本不等式求四邊形MPNQ面積的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知：1+=，∴p=故拋物線C的方程為：y2=x…（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（，0）設MN：x=my+，PQ：x=﹣y+（m≠0）…由得：y2﹣my﹣=0∵△=m2+1＞0∴|MN|==m2+1…同理：|PQ|=+1…．∴四邊形MPNQ的面積：S=（m2+1）（+1）=（2++m2）≥2（當且僅當m=±1時等號成立）∴四邊形MPNQ的面積的最小值為2．…21.如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD是正方形，AB=2EF=2，，EF⊥FB，∠BFC=，BF=FC，H為BC的中點.（1）求證：平面EDB；（2）求證：AC⊥平面EDB；（3）求四面體B—DEF的體積.

參考答案：略22.設函數f（x）=lnx﹣ax，a∈R．（1）當x=1時，函數f（x）取得極值，求a的值；（2）當a＞0時，求函數f（x）在區間[1，2]的最大值；（3）當a=﹣1時，關于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一實數解，求實數m的值．參考答案：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），所以f′（x）=﹣a=．

因為當x=1時，函數f（x）取得極值，所以f′（1）=1﹣a=0，所以a=1．經檢驗，a=1符合題意．（不檢驗不扣分）

（2）f′（x）=﹣a=，x＞0．令f′（x）=0得x=．因為x∈（0，）時，f′（x）＞0，x∈（，+∞）時，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，①當0＜≤1，即a≥1時，f（x）在（1，2）上遞減，所以x=1時，f（x）取最大值f（1）=﹣a；②當1＜＜2，即＜a＜1時，f（x）在（1，）上遞增，在（，2）上遞減，所以x=時，f（x）取最大值f（）=﹣lna﹣1；③當≥2，即0＜a≤時，f（x）在（1，2）上遞增，所以x=2時，f（x）取最大值f（2）=ln2﹣2a．綜上，①當0＜a≤時，f（x）最大值為ln2﹣2a；②當＜a＜1時，f（x）最大值為﹣lna﹣1；③當a≥1時，f（x）最大值為﹣a．

（3）因為方程2mf（x）=x2有唯一實數解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一實數解，設g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，則g′（x）=，令g′（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因為m＞0，x＞0，所以x1=＜0（舍去），x2=，當x