湖北省荊州市石首博雅高級中學高三數學理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若，，則復數的模是(

)A．2

B．3

C．4

D．5參考答案：D2.已知α、β是三次函數f(x)＝x3＋ax2＋2bx的兩個極值點，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，則的取值范圍是()A．

B．

C．

D．參考答案：A3.為考察A、B兩種藥物預防某疾病的效果，進行動物試驗，分別得到如下等高條形圖：根據圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是A.藥物A、B對該疾病均沒有預防效果B.藥物A、B對該疾病均有顯著的預防效果C.藥物A的預防效果優于藥物B的預防效果D.藥物B的預防效果優于藥物A的預防效果參考答案：C4.函數的最小正周期為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C5.已知函數的部分圖象如圖所示，則下面結論錯誤的是(

)A.函數的最小正周期為B.函數的圖象可由的圖象向左平移個單位得到C.函數的圖象關于直線對稱D.函數在區間上單調遞增參考答案：C6.i是虛數單位，若復數z滿足zi=﹣1+i，則復數z的實部與虛部的和是（）A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C【考點】復數的基本概念；復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的乘法求出復數z，然后求解結果即可．【解答】解：復數z滿足zi=﹣1+i，可得z===1+i．復數z的實部與虛部的和是：1+1=2．故選：C．【點評】本題考查復數的基本運算以及基本概念，考查計算能力．7.設向量和的長度分別為4和3，夾角為60°，則|+|的值為（

）

A.37

B.

C.13

D.參考答案：B略8.頂點在同一球面上的正四棱柱中，，面距離為(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：B9.函數圖象的對稱軸方程可能是（

）A． B．

C．

D．參考答案：D略10.一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度（的單位：，的單位：）行駛至停止。在此期間汽車繼續行駛的距離（單位;）是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C令，則。汽車剎車的距離是，故選C?！鞠嚓P知識點】定積分在實際問題中的應用二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.汽車的最佳使用年限是使年均消耗費用最低的年限（年均消耗費用＝年均成本費用＋年均維修費），設某種汽車的購車的總費用為50000元;使用中每年的保險費、養路費及汽油費合計為6000元；前年的總維修費滿足,已知第一年的總維修費為1000元,前兩年的總維修費為3000元,則這種汽車的最佳使用年限為

年.參考答案：10略12.若從一副52張的撲克牌中隨機抽取2張，則在放回抽取的情形下，兩張牌都是K的概率為（結果用最簡分數表示）．參考答案：【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】先求出基本事件總數n=52×52，再求出兩張牌都是K包含的基本事件個數m=13×13，由此能求出兩張牌都是K的概率．【解答】解：從一副52張的撲克牌中隨機抽取2張，在放回抽取的情形下，基本事件總數n=52×52，兩張牌都是K包含的基本事件個數m=13×13，∴兩張牌都是K的概率為p===．故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型及應用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸轉化思想，是基礎題．13.一副撲克牌(有四色，同一色有13張不同牌)共52張．現隨機抽取3張牌，則抽出的3張牌有且僅有2張花色相同的概率為(用數值作答)．參考答案：14.設集合，則=_________.參考答案：15.圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，為底面中心，為的中點，動點在圓錐底面內（包括圓周），若，則點形成的軌跡的長度為

．參考答案：以所在直線為軸，以為軸建立空間直角坐標系，則，，，，設，于是有，，因為，所以，即，此為點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內的長度為．16.在正四棱錐P﹣ABCD中，PA=2，直線PA與平面ABCD所成角為60°，E為PC的中點，則異面直線PA與BE所成角的大小為

．參考答案：45°【考點】LM：異面直線及其所成的角．【分析】連接AC，BD交于點O，連接OE，OP，先證明∠PAO即為PA與面ABCD所成的角，即可得出結論．【解答】解：連接AC，BD交于點O，連接OE，OP因為E為PC中點，所以OE∥PA，所以∠OEB即為異面直線PA與BE所成的角．因為四棱錐P﹣ABCD為正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，所以AO為PA在面ABCD內的射影，所以∠PAO即為PA與面ABCD所成的角，即∠PAO=60°，因為PA=2，所以OA=OB=1，OE=1．△PBC中，PB=PC=2，BC=，∴2（4+2）=4+4BE2，∴BE=，∴OE2+OB2=BE2，所以在直角三角形EOB中∠OEB=45°，即面直線PA與BE所成的角為45°．故答案為為45°．17.在平面直角坐標系中，曲線和的參數方程分別為是參數，）和是參數），它們的交點坐標為_______.參考答案：它們的交點坐標為_______

解得：交點坐標為三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=lnx﹣ax2，且函數f（x）在點（2，f（2））處的切線的一個方向向量是（2，﹣3）．（1）若關于x的方程f（x）+x2=3x﹣b在區間[，2]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍；（2）證明：（）2＞（n∈N*，且n≥2）參考答案：【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；根的存在性及根的個數判斷．【專題】轉化思想；分析法；導數的概念及應用；不等式的解法及應用．【分析】（1）求出函數的導數，求得切線的斜率，解方程可得a的值，由題意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[，2]上恰有兩個不相等的實數根，即為g（x）=lnx+x2﹣3x和直線y=﹣b在[，2]上有兩個交點，求得g（x）的導數，可得單調區間，即可得到所求b的范圍；（2）可得當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有lnx﹣x2＜﹣，即為lnx＜（x2﹣1），即有＞=﹣，可令x=2，3，…，n，累加即可得證．【解答】解：（1）函數f（x）=lnx﹣ax2的導數為f′（x）=﹣2ax，由題意可得在點（2，f（2））處的切線斜率為﹣4a=﹣，解得a=，即有f（x）=lnx﹣x2，由題意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[，2]上恰有兩個不相等的實數根，即為g（x）=lnx+x2﹣3x和直線y=﹣b在[，2]上有兩個交點，由g（x）的導數為g′（x）=+2x﹣3=，當＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當1＜x＜2時，g′（x）＞0，g（x）遞增．則有g（1）＜﹣b≤g（），即為﹣2＜﹣b≤﹣ln2﹣，解得ln2+≤b＜2；（2）證明：由f（x）=lnx﹣x2的導數為f′（x）=﹣x=，當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．即有lnx﹣x2＜﹣，即為lnx＜（x2﹣1），即有＞=﹣，則有++…+＞1﹣+﹣+…+﹣+﹣=1+﹣﹣===（3+）?＞．【點評】本題考查導數的運用：求切線的斜率和單調性，考查函數方程的轉化思想和不等式的證明，注意運用函數的單調性和累加法，考查運算能力，屬于中檔題．19.已知函數f（x）=在點（e，f（e））處切線與直線e2x﹣y+e=0垂直．（注：e為自然對數的底數）（1）求a的值；（2）若函數f（x）在區間（m，m+1）上存在極值，求實數m的取值范圍；（3）求證：當x＞1時，f（x）＞恒成立．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．【分析】（1）求出，由題意得，由此得到a=1．（2）由，（x＞0），得到當x∈（0，1）時，f（x）為增函數，當x∈（1，+∞）時，f（x）為減函數，從而當x=1時，f（x）取得極大值f（1），再由函數f（x）在區間（m，m+1）上存在極值，能求出實數m的取值范圍．（3）當x＞1時，，令g（x）=，則g′（x）=，再令φ（x）=x﹣lnx，則φ′（x）=1﹣，由導數性質得g（x）在區間（1，+∞）上是增函數，由此能證明當x＞1時，f（x）＞恒成立．【解答】解：（1）∵f（x）=，∴，由題意得，∴﹣=﹣，解得a=1．（2）由（1）得，（x＞0），當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數，∴當x=1時，f（x）取得極大值f（1），∵函數f（x）在區間（m，m+1）上存在極值，∴m＜1＜m+1，解得0＜m＜1，∴實數m的取值范圍是（0，1）．（3）當x＞1時，＞，∴，令g（x）=，則=，再令φ（x）=x﹣lnx，則φ′（x）=1﹣，∵x＞1，∴φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上是增函數，∵φ（1）=1，∴當x＞1時，g′（x）＞0，∴g（x）在區間（1，+∞）上是增函數，∴當x＞1時，g（x）＞g（1），又g（1）=2，∴g（x）＞2恒成立，∴當x＞1時，f（x）＞恒成立．【點評】本題考查導數的性質及應用、考查不等式性質及證明等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．20.（本小題滿分12分）已知p：x∈R,2x＞m(x2＋1)，q：x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q為真，求實數m的取值范圍．參考答案：21.（本小題滿分14分）已知橢圓()的短軸長為2，離心率為．過點M（2,0）的直線與橢圓相交于、兩點,為坐標原點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的取值范圍；（Ⅲ）若點關于軸的對稱點是，證明：直線恒過一定點.參考答案：（Ⅰ）易知，得,故.故方程為. （3分）（Ⅱ）證明：設：，與橢圓的方程聯立,消去得.由△＞0得.設,則.∴=，∴，故所求范圍是. （8分）（Ⅲ）由對稱性可知N，定點在軸上.直線AN：，令得:,∴直線過定點. （13分）22.（本題共14分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=AB=2，，°,平面PAB平面ABC，D、E分別為AB、AC中點.（Ⅰ）求證：DE‖平面PBC;（Ⅱ）求證：ABPE；（Ⅲ）求二面角A-PB-E的大小.參考答案：解：（Ⅰ）

D、E分別為AB、AC中點，

\DE//BC．

DE?平面PBC，BCì平面PBC，

\DE//平面PBC．…………4分（Ⅱ）連結PD，

PA=PB，

PD

AB．

…………….5分

，BC

AB，

DE

AB．...........................................................................................................6分

又

，

AB平面PDE．......................................................................................................8分

PEì平面PDE，

ABPE．

..........................................................................................................9分（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD

AB，

PD平面ABC．................................................................................................10分

如圖,以D為原點建立空間直角坐標系

B(1,