高考數學復習心態指導

現在距高考還有兩個多月時間，復習已經進入最后沖刺階段。此時正

是數學科目備考“量變到質變”的關鍵時刻，量是指考生已復習了10

個月時間，通過系統復習與專題復習已經系統掌握了高中數學的知

識；而且，10個月里做了大量的練習題，積累了豐富的解題經驗。

量的積累必產生質變，這里的“質”是指數學素質與數學能力，“變”是

指比過去有了進步，提高了解決問題的素質和能力。

在此階段，考生要面對的問題是，在量變到質變的過程中能否加

進你的主觀能動性，使這個“變”向更高層次邁進，使你的能力和應試

心理素質完全達到迎戰高考的要求。筆者就最后階段的數學復習給考

生兒點建議。

1.回顧并系統地整理高中數學的基礎知識和基本方法，在自己的

頭腦中應形成明晰的知識體系。

俄國教育家烏申斯基有句名言“智慧不是別的，而是組織得好的

知識體系”。高考的要求是：“系統地掌握知識的內在聯系，對所列的

知識內容有較深刻的理性認識”（摘自高考《考試說明》）o

需要注意的是，建立知識體系并不只是羅列1、2、3、4……而

是在系統的內部結構中，認識它們的內在聯系并提煉理性的認識。

2.檢查自己解答“選擇題與填空題”的能力是否達到了高考的要

求。

高考時，解答選擇題與填空題應當在45分鐘內完成，“能分析條

件，尋求與設計合理、簡捷的運算路徑”（摘自高考《考試說明》），成

功率應達到85%（以本科線為標準）。選擇題和填空題是得分的基礎，

如果你還達不到高考要求，現在就要進行有針對性的訓練。

3.檢查自己應對“中等解答題”的能力是否達到了高考要求。高考

試卷的解答題由6個題目組成，其中中等難度的題目至少有3道，真

正的難題一般是兩個，另外1個題目介于中等難題與難題之間，這個

題目對水平較好的考生來說問題不大，一般考生會感到有難度。另外,

一些解答題設有兒個小問題，前面的兒問是中等難度水平，最后一問

屬于難題。

我們講的“中等解答題”是指難度為中等水平的大題或一個題目

中的某幾個小問題，對于這類題目，考生應在40分鐘內完成，成功

率要達到85%至90%o

在最后階段，考生應該認真總結自己在解答中等題上是否達到了

高考要求，對哪些題有把握，在哪個知識點上有困難，要做到“心中

有數”?？偨Y之后，就要對自己感到薄弱的知識點及相關題目進行有

選擇的、有針對性的訓練，力爭達到或超越高考要求。

4.從數學思想的指導作用和能力結構的角度總結解答綜合性難

題的經驗，找到自己的不足，制訂進一步訓練的計劃。

5.總結臨場考試時的審題答題順序、技巧，書寫表述、檢驗等各

個環節的成與敗，總結臨考前與考場上心理調節的做法與經驗，力爭

找到適合自身特點的心理調節方式與臨場審題、答題的具體方法及細

節處理的要點。

總之，在這兩個月中，考生若能積極主動地促進量變到質變的進

程，會提高效率，適應高考的要求，取得好成績。反之，若在忙亂中

度過這兩個月，則這個轉變的過程會不完整，達不到高考要求。

提分要點

高考在即，高考生們都比較關心高考的分數，下面給大家分享高考

數學如何提分。

高三，大部分的時間都是在復習，老師們每天每一節課都會復習

一個知識點，在復習中如何提高自己，獲得高分呢？

第一："簡單計劃"：緊跟老師步伐

提高數學分數，突破的策略很簡單：就是盡量緊跟老師的步伐走。

把復習課當"新課"。這么做，是促使你在上復習課的時候也能夠像上

新課一樣積極思考，并且大膽地把想法和思路說出來。尤其是針對自

己薄弱的學科，更應如此。說錯了不要緊，如果說對了，得到老師的

肯定，反而能夠增強信心。

從"例題"中淘金。從例題中著手，掌握好每一種題型的解題方法。

復習中就緊扣例題，掌握的題目一次過目，碰到難題就多研習幾遍，

直到弄懂為止。把整理筆記當復習。課堂上的筆記往往比較零亂，需

要整理。而其實，整理筆記的過程也正是一次很好的復習過程。

第二：巧用錯題：三思助延成功

一思：我為什么會做錯

一般老師們都會讓學生集錯題集，高三就派上用場了，復習時就

要先想自己為什么會犯錯，錯誤原因是什么。事實上，所有的錯題都

離不開三類：第一類是題目非常簡單，而我們在那一刻表現得特別愚

蠢，這是粗心大意。第二類是拿到題目，兩眼茫然，一點思路都沒有,

這是學藝不精，或者題目本身較難。第三類就是題目難度適中，論道

理有能力完全能夠做對，但是卻做錯了。

掌握自己所犯錯的類型，"對癥下藥"。每個經歷過高考的人都知

道，審題多么重要。因此在復習中遇到所犯的錯誤，首先要分析是否

由于審題不清造成的，如果是，就要找出這種誘使你犯錯誤的"陷阱"。

二思：怎么才能不出錯

對待錯題的態度和方法不同，學習效果也會有天壤之別。如果只

是把錯題在試卷上標注，復習中偶然想起，隨手翻看，這種方法看似

節省時間，但是注意力極易被分散，復習效果反而大打折扣。

毫無疑問，整理錯題，做錯題集是行之有效的好方法。一方面便

于集中查閱自己犯過的錯誤，另一方面便于翻看。把錯題集中記錄到

一個本子上，看到曾經出現過的問題，再比照課本里面相應的內容，

邊記邊看，這樣復習效果非常顯著。

錯題集的另一妙用是能夠幫助你分析學科狀況，哪個學科，記載

下來的錯誤越多，就說明我對這門科目的掌握還有很大的不足，意味

著需要調整策略，投入更多的精力。

三思：第一時間改錯

不繞過，不拖沓，第一時間改錯，然后迅速分析總結。不繞過，

就是正視自己的錯誤，不諱疾忌醫，不為自己的錯誤尋找借口。不拖

沓，就是遇到錯題，當場解決，不隔一段時間再吃"回頭草"，因為經

過一段時間的間隔，很可能遺忘，即使記得，也很難記起當初是怎樣

犯的錯。如此對待錯題，事倍功半。而迅速分析總結，就是趁熱打鐵,

對每一道錯題都認真分析，研究出錯原因，找準致錯癥結，避免再次

犯錯。

第三：庖丁解牛步步贏

當你見到某種你從未見過的題目時，先不要感到恐慌，你必須先

多讀幾次題目，把題意弄明白，聯想你學過的知識、方法，然后運用

到題目中去。你要發現題目的特點，一些設置條件的規律，發現解題

最適合的方法，這是長期做題培養出來的"題感"。

有的時候一道題有很多種解法，要尋求最有效，最快速的解法。

這樣你就可以省下很多時間解其他題目（高考，這一點很重要）。

如果遇到很難考的數學試卷的時候怎么辦?先不要慌。然后步步

為營，能得分的一定要確保得分，特別是對數學來說，計算一類的題

目一定要一次做對，因為高考的時間很短，許多人根本沒有時間檢查,

遇到實在不會做的題目，就先放棄，先做后面的題，沒準，后面的題

目會給你之前的那道題提供解題思路。

如果遇到那種難得你一個字都寫不出來的題目，你就根據題目條

件，把你可以得出的結論，能想到的公式都抄上去，能夠得一些分數

（考試時間足夠時建議這么做）。

高考復習一定要充滿信心，要學會自我肯定。不要輕言放棄。復

習中，難啃的骨頭一定要啃下來。而當你做出一道難題時，那種成功

的愉悅是無法形容的。你甚至可以夸自己是天才，這絕非是驕傲，而

是應對高考一種無往不勝的自信。

無論有再多的提分方法，都抵不過你的信心，世上無難事，只怕

有心人，高考數學你一定行。

高考數學知識速記

根據多年的實踐，總結規律繁化簡；概括知識難變易，高中數學巧記

憶。

言簡意賅易上口，結合課本勝一籌。始生之物形必丑，拋磚引得白玉

出。

一、《集合與函數》

內容子交并補集，還有森指對函數。性質奇偶與增減，觀察圖象最明

顯。

復合函數式出現，性質乘法法則辨，若要詳細證明它，還須將那定義

抓。

指數與對數函數，兩者互為反函數。底數非1的正數，1兩邊增減變

故。

函數定義域好求。分母不能等于0,偶次方根須非負，零和負數無對

數；

正切函數角不直，余切函數角不平；其余函數實數集,多種情況求交

集。

兩個互為反函數，單調性質都相同；圖象互為軸對稱，Y=x是對稱

軸;

求解非常有規律，反解換元定義域；反函數的定義域，原來函數的值

域。

基函數性質易記，指數化既約分數；函數性質看指數，奇母奇子奇函

數，

奇母偶子偶函數，偶母非奇偶函數；圖象第一象限內，函數增減看正

負。

二、《三角函數》

三角函數是函數，象限符號坐標注。函數圖象單位圓，周期奇偶增減

現。

同角關系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切

割；

中心記上數字1,連結頂點三角形；向下三角平方和，倒數關系是對

角，

頂點任意一函數，等于后面兩根除。誘導公式就是好，負化正后大化

小，

變成稅角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數倍，奇數化余偶不

變，

將其后者視銳角，符號原來函數判。兩角和的余弦值，化為單角好求

值，

余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名

稱。

計算證明角先行，注意結構函數名，保持基本量不變，繁難向著簡易

變。

逆反原則作指導，升累降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路

明。

萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧

用；

1加余弦想余弦，1減余弦想正弦，累升一次角減半，升塞降次它為

范；

三角函數反函數，實質就是求角度，先求三角函數值，再判角取值范

圍；

利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解

集；

三、《不等式》

解不等式的途徑，利用函數的性質。對指無理不等式，化為有理不等

式。

高次向著低次代，步步轉化要等價。數形之間互轉化，幫助解答作用

大。

證不等式的方法，實數性質威力大。求差與0比大小，作商和1爭高

To

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面難則反證

法。

還有重要不等式，以及數學歸納法。圖形函數來幫助，畫圖建模構造

法。

四、《數列》

等差等比兩數列,通項公式N項和。兩個有限求極限,四則運算順序

換。

數列問題多變幻，方程化歸整體算。數列求和比較難，錯位相消巧轉

換，

取長補短高斯法，裂項求和公式算。歸納思想非常好，編個程序好思

考：

一算二看三聯想，猜測證明不可少。還有數學歸納法，證明步驟程序

化：

首先驗證再假定，從K向著K加1,推論過程須詳盡，歸納原理來

_Lfc=.^

月7Eo

五、《復數》

虛數單位i一出,數集擴大到復數。一個復數一對數,橫縱坐標實虛

部。

對應復平面上點,原點與它連成箭。箭桿與X軸正向,所成便是輻角

度。

箭桿的長即是模,常將數形來結合。代數幾何三角式,相互轉化試一

試。

代數運算的實質,有i多項式運算。i的正整數次慕,四個數值周期

現。

一些重要的結論,熟記巧用得結果。虛實互化本領大,復數相等來轉

化。

利用方程思想解，注意整體代換術。幾何運算圖上看，加法平行四邊

形,

減法三角法則判；乘法除法的運算，逆向順向做旋轉，伸縮全年模長

短。

三角形式的運算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開方極方

便。

輻角運算很奇特，和差是由積商得。四條性質離不得，相等和模與共

舔

兩個不會為實數，比較大小要不得。復數實數很密切，須注意本質區

別。

六、《排列、組合、二項式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關是組合，要求有序是排

列。

兩個公式兩性質，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應用問題須轉

化。

排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考

慮。

不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模

試。

關于二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質兩公式，函數賦值變換

式。

七、《立體幾何》

點線面三位一體，柱錐臺球為代表。距離都從點出發，角度皆為線線

成。

垂直平行是重點，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對之間循環

現。

方程思想整體求，化歸意識動割補。計算之前須證明，畫好移出的圖

形。

立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對于解題最關

鍵。

異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質三垂線，解決問題一大

片。

八、《平面解析幾何》

有向線段直線圓,橢圓雙曲拋物線，參數方程極坐標,數形結合稱典

范。

笛卡爾的觀點對，點和有序實數對，兩者一一來對應，開創幾何新途

徑。

兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都說待定系數法，實為方程組思

木目

心、o

三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線,曲線位置關系

判。

四件工具是法寶，坐標思想參數好；平面幾何不能丟，旋轉變換復數

求。

解析幾何是幾何，得意忘形學不活。圖形直觀數入微，數學本是數形

學。

最新高考數學考點

1、已知集合A、B,當時:你是否注意到“極端”情況：或；求集

合的子集時是否忘記？

2、對于含有n個元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、

非空真子集的個數依次為

3、反演律：，。

4、“p且q”的否定是“非p或非q"；“p或q”的否定是“非p

且非q”。

5、命題的否定只否定結論；否命題是條件和結論都否定。

6、函數的幾個重要性質：

①如果函數對于一切，都有，那么函數的圖象關

于直線對稱。是偶函數；

②若都有，那么函數的圖象關于直線對稱；函

數與函數的圖象關于直線對稱；

③函數與函數的圖象關于直線對稱；函數與函

數的圖象關于直線對稱；函數與函數的圖象關于坐

標原點對稱；

④若奇函數在區間上是增函數，則在區間上也是增函

數；若偶函數在區間上是增函數，則在區間上是減函數；

⑤函數的圖象是把的圖象沿x軸向左平移a個單位得到

的；函數（的圖象是把的圖象沿X軸向右平移個單位得到

的；

⑥函數+a的圖象是把助圖象沿y軸向上平移a個單位得到的；函

數+a的圖象是把助圖象沿y軸向下平移個單位得到的。

7、函數與其反函數之間的一個有用的結論：原函數與反函

數圖象的交點不全在y=x上（例如：）；只能理解為在

x+a處的函數值。

8、求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，你標注了該函數

的定義域了嗎？

9.原函數在區間上單調遞增，則一定存在反函數，且反

函數也單調遞增；但一個函數存在反函數，此函數不一定單調.判斷

一個函數的奇偶性時，你注意到函數的定義域是否關于原點對稱這個

必要非充分條件了嗎？

10.一定要注意“>0（或<0）是該函數在給定區間上單調遞增

（減）的必要條件。

注意抓關鍵詞：關鍵詞很重要，往往說明了題眼，是解題的把柄。

11.你知道函數的單調區間嗎？（該函數在或上

單調遞增；在或上單調遞減）這可是一個應用廣泛的函數!

12.切記定義在R上的奇函數y=f（x）必定過原點。

13.抽象函數的單調性、奇偶性一定要緊扣函數性質利用單調性、

奇偶性的定義求解。同時，要領會借助函數單調性利用不等關系證明

等式的重要方法：￡5）213且方2）在1）亞1）=1）。

14.對數函數問題時，你注意到真數與底數的限制條件了嗎？（真

數大于零，底數大于零且不等于1）字母底數還需討論。

15.數的換底公式及它的變形，你掌握了嗎？（）

16.你還記得對數恒等式嗎？（）

17.“實系數一元二次方程有實數解"轉化為“”，

你是否注意到必須；若原題中沒有指出是“二次”方程、函數

或不等式，你是否考慮到二次項系數可能為零的情形？例如：對

一切恒成立，求a的取值范圍，你討論了a=2的情況了嗎？

18.等差數列中的重要性質：；若，則；成

等差。

19.等比數列中的重要性質：；若，則；成等比。

20.你是否注意到在應用等比數列求前n項和時，需要分類討

論.（ET寸，；時:）

21.等差數列的一個性質：設是數列的前n項和，為

等差數列的充要條件是（a,b為常數），其公差是2a。

22.你知道怎樣的數列求和時要用“錯位相減”法嗎？（若

其中是等差數列，是等比數列，求的前n項的和）

23.用求數列的通項公式時，an一般是分段形式對嗎？你注

意到了嗎？

24.你還記得裂項求和嗎？（如）

疊加法：

疊乘法：

25.在解三角問題時，你注意到正切函數、余切函數的定義域了嗎？

你注意到正弦函數、余弦函數的有界性了嗎？在AABC中，

sinA>sinBUA>B對嗎？

26.一般說來，周期函數加絕對值或平方，其周期減半.（如的

周期都是，但及的周期為,）

27.函數是周期函數嗎？（都不是）

28.正弦曲線、余弦曲線、正切曲線的對稱軸、對稱中心你知道嗎？

29.在三角中，你知道1等于什么嗎？（

這些統稱為1的代換），常數“1”的種種代換有著廣泛的應

用.

30.在三角的恒等變形中，要特別注意角的各種變

換.（如等）

31.你還記得三角化簡題的要求是什么嗎？項數最少、函數種類最

少、分母不含三角函數、且能求出值的式子，一定要算出值來）

32.你還記得三角化簡的通性通法嗎？（從函數名、角、運算三方

面進行差異分析，常用的技巧有：切割化弦、降基公式、用三角公式

轉化出現特殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次）

33.你還記得某些特殊角的三角函數值嗎？（）

34.你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？（）

35.輔助角公式：（其中角所在的象限由a,b的符號

確定，角的值由確定）在求最值、化簡時起著重要作用.

36.在用反三角函數表示直線的傾斜角、兩向量的夾角、兩條異面

直線所成的角等時，你是否注意到它們各自的取值范圍及意

義？①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值

范圍依次是；②直線的傾斜角、到的角、與的

夾角的取值范圍依次是；③向量的夾角的取值范圍是[0,

n]

37.若，，則，的充要條件是什么？

38.如何求向量的模？在方向上的投影為什么？

39.若與的夾角0,且0為鈍角，則cos0<0對嗎？（必須去掉

反向的情況）

40.你還記得平移公式是什么？（這可是平移問題最基本的方法）;

還可以用結論：把y=f（x）圖象向左移動|h|個單位，向上移動|k|個

單位，則平移向量。

42.分式不等式的一般解題思路是什么？（移項通分）

43.含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？（兩邊平方或分類討

論）

44.利用重要不等式以及變式等求函數的最值時，你

是否注意到a,b（或a,b非負），且“等號成立”時的條件？

45.在解含有參數的不等式時，怎樣進行討論？（特別是指數和對

數的底或）討論完之后，要寫出：綜上所述，原不等式的

解是…….

46.解含參數的不等式的通法是“定義域為前提，函數增減性為基

礎，分類討論是關鍵."

47.恒成立不等式問題通常解決的方法：借助相應函數的單調性求

解，其主要技巧有數形結合法，分離變量法，換元法。

48.教材中“直線和圓”與“圓錐曲線”兩章內容體現出解析幾何

的本質是用代數的方法研究圖形的幾何性質。（04上海高考試題）

49.直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一

般式.以及各種形式的局限性，（如點斜式不適用于斜率不存在的直

線，所以設方程的點斜式或斜截式時，就應該先考慮斜率不存在的情

形）。

50.設直線方程時，一般可設直線的斜率為k,你是否注意到直線

垂直于x軸時，斜率k不存在的情況？（例如：一條直線經過點，

且被圓截得的弦長為8,求此弦所在直線的方程。該題就要注

意,不要漏掉x+3=0這一解.）

51.簡單線性規劃問題的可行域求作時，要注意不等式表示的區域

是相應直線的上方、下方，是否包括邊界上的點。利用特殊點進行判

斷）。

52.對不重合的兩條直線，，有；.

53.直線在坐標軸上的截矩可正，可負，也可為0。

54.直線在兩坐標軸上的截距相等，直線方程可以理解為，

但不要忘記當a=0時;直線y=kx在兩條坐標軸上的截距都是0,也

是截距相等。

55.處理直線與圓的位置關系有兩種方法：（1）點到直線的距離；

（2）直線方程與圓的方程聯立，判別式法。一般來說，前者更簡捷。

56.處理圓與圓的位置關系，可用兩圓的圓心距與半徑之間的關系。

57.在圓中，注意利用半徑、半弦長、及弦心距組成的直角三角形。

58.定比分點的坐標公式是什么？（起點，中點，分點以及值

可要搞清）在利用定比分點解題時，你注意到了嗎？

59.曲線系方程你知道嗎？直線系方程？圓系方程？共焦點的橢圓

系，共漸近線的雙曲線系？

60.兩圓相交所得公共弦方程是兩圓方程相減消去二次項所得。

x0x+y0y=r2表示過圓x2+y2=r2上一點（x0,y0）的切線,若點（x0,

y0）在已知圓外，x0x+y0y=r2表示什么？（切點弦）

61.橢圓方程中三參數a、b、c的滿足a2+b2=c2對嗎？雙曲線方

程中三參數應滿足什么關系？

62.橢圓中，注意焦點、中心、短軸端點所組成的直角三角形。

63.橢圓和雙曲線的焦半徑公式你記得嗎？

64.在解析兒何中，研究兩條直線的位置關系時、有可能這兩條直

線重合，而在立體兒何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重

合。

65.在利用圓錐曲線統一定義解題時:你是否注意到定義中的定比

的分子分母的順序？

66.在用圓錐曲線與直線聯立求解時，消元后得到的方程中要注意:

二次項的系數是否為零？判別式的限制.(求交點，弦長，中

點，斜率，對稱，存在性問題都在下進行)。

67.通徑是拋物線的所有焦點弦中最短的弦。

68.過拋物線y2=2px(p〉0)焦點的弦交拋物線于

A(xl,yl),B(x2,y2),則,,焦半徑公式|AB|=xl+x2+p。

69.若A(xl,yl),B(x2,y2)是二次曲線C：F(x,y)=0的弦的兩個端

點，則F(xl,yl)=O且F(x2,y2)=00涉及弦的中點和斜率時,常用點

差法作F(xl,yl)-F(x2,y2)=0求得弦AB的中點坐標與弦AB的斜率的

關系。

70.作出二面角的平面角主要方法是什么？(定義法、三垂線定理

法、垂面法)

71.求點到面的距離的常規方法是什么？（直接法、體積變換法、

向量法）

72.求兩點間的球面距離關鍵是求出球心角。

73.立體兒何中常用一些結論：棱長為的正四面體的高

為,體積為V=O

74.面積射影定理，其中表示射影面積，表示原

面積。

75.異面直線所成角利用“平移法”求解時、一定要注意平移后所

得角是所求角或其補角。

76.平面圖形的翻折、立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折、

展開前后有關幾何元素的“不變量”與“不變性”。

77.棱體的頂點在底面的射影何時為底面的內心、外心、垂心、重

心？

78.解排列組合問題的規律是：元素分析法、位置分析法——相鄰

問題捆綁法；不鄰問題插空法；多排問題單排法；定位問題優先法；

多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法；至多至少

問題間接法。

79.二項式定理中，“系數最大的項”、“項的系數的最大值”、

“項的二項式系數的最大值”是同一個概念嗎？

80.求二項展開式各項系數代數和的有關問題中的“賦值法”、

“轉化法”，求特定項的“通項公式法”、“結構分析法”你會用

嗎？

81.注意二項式的一些特性(如；)o

82.公式P(A+B)=P(A)+P(B),P(AB)=P(A)P(B)的適用條

件是什么？

83.簡單隨機抽樣和分層抽樣的共同點是每個個體被抽到的概率相

等。

84.=0是函數y=f(x)在x=x0處有極值的必要不充分條件。

85.注意曲線上某點處的導數值就是切線的斜率。(導數的兒何意

義)

86.解直答題(選擇題和填空題)的特殊方法是什么？(直接法，

數形結合法，特殊化法，推理分析法，排除法，驗證法，估算法等等)

87.解答應用型問題時，最基本要求是什么？(審題、找準題目中

的關鍵詞，設未知數、列出函數關系式、代入初始條件、注明單位、

做答)

88.求軌跡方程的常用方法有：直接法、待定系數法、定義法、轉

移法(相關點法)、參數法等。

知識點總結

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、

互異性、無序性”。

如：集合A={xly=Igx},B={yly=Igx},C={(x,y)ly=Igx},A、B、C中兀

素各表示什么？

2.進行集合的交、并、補運算時，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。

注重借助于數軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如:集合A={xlx?-2x-3=0},B={xlax=1}

若BuA,則實數a的值構成的集合為

（答:{-1.0,1}）

3.注意下列性質：

（1）集合a?,……,an}的所有子集的個數是2%

（2）若A=B=AnB=A,AUB=B；

（3）德摩根定律：

Cu（AUB）=（CuA）n（CuB）,Cu（AnB）=（CuA）U（CuB）

4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

如：已知關于x的不等式亭B<0的解集為M,若3GM且5eM,求實數a

x-a

的取值范圍。

a?3—5

（V3GM,J32'J50

=>aG1,U（9,25））

a?5—5~

V5^M,-.....>0

52-a

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”（v）,“且"（A）和“非”（r）.

若PAq為真，當且僅當p、q均為真

若pvq為真，當且僅當p、q至少有一個為真

若「P為真，當且僅當P為假

6.命題的四種形式及其相互關系是什么？

(互為逆否關系的命題是等價命題。)

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A-B,是否注意到A中元素的

任意性和B中與之對應元素的唯一性，哪幾種對應能構成映射？

(一對一，多對一，允許B中有元素無原象。)

8.函數的三要素是什么？如何比較兩個函數是否相同？

(定義域、對應法則、值域)

9.求函數的定義域有哪些常見類型？

例：函數y=鯉三2的定義域是

lg(x-3)-----------

(答：(0,2)11(2,3)U(3,4))

10.如何求復合函數的定義域？

如：函數f(x)的定義域是[a,b],b>-a>0,則函數F(x)=f(x)+f(-x)的定乂域

是

(答：[a,-a])

11.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時.，注明函數的定義

域了嗎？

如：f(jx+1)=ex+x,求f(x).

令1=4工1,則tNO

...X=t之一1

.?.f(t)=er-1+t2-l

2

.，.f(x)=exj+x-1(x>0)

12.反函數存在的條件是什么？

(---對應函數)

求反函數的步驟掌握了嗎?

(①反解x；②互換x、y；③注明定義域)

如：求函數f(x)=<

x-1(x>1)

(答：「⑶?

-V-x(x<0)

13.反函數的性質有哪些？

①互為反函數的圖象關于直線y=x對稱；

②保存了原來函數的單調性、奇函數性；

③設y=f(x)的定義域為A,值域為C,awA,beC,則f(a)=boL(b)=a

f-,[f(a)]=fT(b)=a,f[f-,(b)]=f(a)=b

14.如何用定義證明函數的單調性？

(取值、作差、判正負)

如何判斷復合函數的單調性？

(y=f(u),u=(p(x),則y=f[(p(x)]

(外層)(內層)

當內、外層函數單調性相同時f?(x)]為增函數，否則f[(p(x)]為減函數。)

如：求y=log17+2x)的單調區間

(設u=-x?+2x,由u>0則0<x<2

且logIuJ,u=-(x-1)~+1,如圖:

2

當XG(0,1]時,uT，又log1uJyJ

2

當XG[l,2)時,uJ，又log]uJ,.*.yT

2

)

15.如何利用導數判斷函數的單調性?

在區間(a,b)內，若總有f，(x)NO則f(x)為增函數。(在個別點上導數等于

零，不影響函數的單調性)，反之也對，若r(x)wo呢?

如：已知a>0,函數f(x)=-ax在［1,+8)上是單調增函數，貝必的最大

值是()

A.0B.1C.2D.3

(令f,(x)=3x2.a=3(x+J|Jx—臥0

則X“序

由已知f(x)在口，+8)上為增函數,則悔41,即a43

...a的最大值為3)

16.函數f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關于原點對稱)

若f(-x)=-f(x)總成立<=>f(x)為奇函數<=>函數圖象關于原點對稱

若f(-x)=f(x)總成立=f(x)為偶函數<=>函數圖象關于y軸對稱

注意如下結論：

(1)在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函

數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。

(2)若f(x)是奇函數且定義域中有原點，則f(0)=0。

如：若f(x)=a"：+a—2為奇函數,則實數a=

2X+1-----------

(：f(x)為奇函數，xeR,又OeR,，f(0)=0

又如：f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數，當xe(0,1)時，f(x)=-------,

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2-x

(令x?-1,0),貝IJ-XE(0,1),f(-x)=—~-

又f(x)為奇函數，，f(x)=—=J

4+11+4

-2Xxe(-l,0)

▽一?一\一、+、

.乂f(0)—0n,??f(x)—<41x=0/

9X

-------X€(0,1)

17.你熟悉周期函數的定義嗎？

(若存在實數T(TWO),在定義域內總有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期

函數，T是一個周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),則

(答：f(x)是周期函數,T=2a為f(x)的一個周期)

又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x=a,x=b(=)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

則f(x)是周期函數，2|a-b|為一個周期

如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(-x)的圖象關于型_對稱

f(x)與-f(x)的圖象關于X軸對稱

f(x)與-f(-X)的圖象關于原點對稱

f(x)與fT(x)的圖象關于直線y=x對稱

￡汽)與￡(22-x)的圖象關于直線x=a對稱

f(x)與-f(2a-x)的圖象關于點(a,0)對稱

將y=f(x)圖象左移a(a>0)個單位>丫=m+a)

右移a(a>0)個單位y=f(x-a)

上移b(b>0)個單位)y=f(x+a)+b

下移b(b>0)個單位y=f(x+a)-b

注意如下“翻折”變換:

f(x)—>|f(x)|

f(x)——>f(lxl)

如：f(x)=log2(x+l)

作出y=Mg2(x+l)|及y=log2|x+l|的圖象

y=log2x

19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎?

(1)一次函數：y=kx+b(kwO)

(2)反比例函數:y=&(kw0)推廣為y=b+」一(k/0)是中心0，(a,b)的雙曲

線。

(3)二次函數y=ax2+bx+c(aw0)=a[x+*J+"\盧圖象為拋物線

b

頂點坐標為對稱軸x.

2a

開口方向：a>0,向上，函數ymin=

-4ac-b2

a<0，向下，y=----------

max4a

應用：①“三個二次”(二次函數、二次方程、二次不等式)的

關系一一二次方程

ax2+bx+c=0,A〉0時，兩根xrx?為二次函數y=ax?+bx+c的圖象與x軸

的兩個交點，也是二次不等式ax?+bx+c〉0(<0)解集的端點值。

②求閉區間［m,n］上的最值。

③求區間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

A>0

如：二次方程2*2+6*+?=0的兩根都大于卜01-色>1<

2a

f(k)>0

--根大于k,一根小于ku>f(k)<0

(4)指數函數：y=a*(a>0,awl)

(5)對數函數y=logax(a>0,awl)

由圖象記性質！(注意底數的限定！)

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什

20.你在基本運算上常出現錯誤嗎？

指數運算：a°=l(awO),a-p=—(a^O)

ap

m____1

a7=Va^(a>0),an=.——(a>0)

Va,n

對數運算：logaM?N=logaM+logaN(M>0,N>0)

loga萼=log；,M-logaN,logaVM=-logaM

Nn

對數恒等式：a電x=x

bn

對數換底公式：logab==>logb=—logab

a

logcam

21.如何解抽象函數問題?

（賦值法、結構變換法）

如：(l)xwR,f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),證明f(x)為奇函數。

(先令x=y=0=f(0)=0再令y=-x,...)

(2)xeR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數。

(先令x=y=-t=>f[(-t)(-t)]=f(t,t)

.\f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

???f(-t)=f(t)……)

(3)證明單調性:f(x2)=f[(x2-X])+x2]=...

22.掌握求函數值域的常用方法了嗎？

(二次函數法(配方法)，反函數法，換元法，均值定理法，判

別式法，利用函數單調性法，導數法等。)

如求下列函數的最值：

(1)y=2x-3+J13-4x

⑵y=r,

Jx+3

2

(3)x>3,y=^2x-

x-3

(4)y=x+4+j9-x2(設x=3cos6,0e[0,兀])

9

(5)y=4x+—,xG(0,1]

x

23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為a,半徑為R的弧長公

式和扇形面積公式嗎？

2

(/=|a|?R,Sf,=1/-R=l|a|-R)

24.熟記三角函數的定義，單位圓中三角函數線的定義

如：若一工<。<0,則sin。，cos。，tan。的大小順序是

8----------

又如：求函數y=-五co1]-x)的定義域和值域。

(*.*1-V2cos(T-x))=1-A/2sinx>0

歷

sinx<——，如圖：

2

2kju<x<2k兀+2(k￡Z),0<y<Jl+行

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數的圖象嗎？并由圖象寫出

單調區間、對稱點、對稱軸嗎?

|sinx|<1,|cosx|<1

對稱點為(k^，0)，keZ

rrjr

y=sinx的增區間為2k兀一,，2kju+—(kGZ)

減區間為2kjt+工，2k;r+—(kG

22'

圖象的對稱點為(km0),對稱軸為x=k兀+5(keZ)

y=cosx的增區間為［2k兀，2k兀+兀］(kGZ)

減區間為［2k7t+7t,2k兀+2兀］(kGZ)

圖象的對稱點為,兀+5，0)，對稱軸為x=k7t(kwZ)

y=tanx的增區間為(krc一,krc+kGZ

26.正弦型函數y=Asin((ox+(p)的圖象和性質要熟記。[或y=Acos(o)x+(p)]

(1)振幅IAI,周期T='

若f(x())=土A,貝!Jx=x(＞為對稱軸。

若f(x0)=O,則(x0,0)為對稱點，反之也對。

(2)五點作圖：令(ox+＜p依次為0,—,兀，—,2兀，求出x與y,依點(X,y)

22

作圖象。

(3)根據圖象求解析式。(求A、3、q＞值)

Xi0

co(X1)+(p=0

如圖列出兀

co(x2)+(p

解條件組求3、tp值

△正切型函數y=Atan(cox+(p),T=一

27.在三角函數中求一個角時要注意兩個方面一一先求出某一個

三角函數值，再判定角的范圍。

如:cos

.7K兀5兀

>?--VXH---V---,

63

28.在解含有正、余弦函數的問題時，你注意(到)運用函數的有

界性了嗎？

如：函數y=sinx+sinlxl的值域是

(xNO時，y=2sinxe[-2,2],x<0時，y=O,Aye[-2,2])

29.熟練掌握三角函數圖象變換了嗎？

(平移變換、伸縮變換)

平移公式：

(1)點P(x,y)—=(h，k)>p,(X，，y'),則=x+h

平移至[y'=y+k

(2)曲線f(x,y)=0沿向量：=(h,k)平移后的方程為f(x-h,y-k)=O

如：函數y=2sin(2x-5|-l的圖象經過怎樣的變換才能得到y=sinx的圖

象？

(y=2sin(2x-^-1橫坐標伸長到原來的凈一”=2可2(3

2sin^x-^J-l

縱坐標縮短到原來的1倍

--------------------->y=sinx)

30.熟練掌握同角三角函數關系和誘導公式了嗎?

如：1=sin?a+cos?a=sec?a-tan2a=tana?cota=cosa,seca=tan—

4

=sin—=cosO=...稱為1的代換。

2

“k?巴士a”化為a的三角函數——“奇變，偶不變，符號看象限"，"奇"、

2

“偶”指k取奇、偶數。

如：cos與+tan（|一1）+sin（21n）

又如：函數y=‘ma+tana,則y的值為

cosa+cota

A.正值或負值B.負值C.非負值D.正值

sina

sina+」

sin2a(cosa+1)、

(丫=cosa—一---------(>0,Va^O)

cosacosa(sina+1)

cosa4-.

sina

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降塞公式及其逆向應用了嗎?

理解公式之間的聯系:

sin(a±p)=sinacosp±cosasin0——吃01邛>sin2a=2sinacosa

干邛.>

cos(a±p)=cosacospsinasin0——"aCOs2acos2a-sin2a

tana±tan。

tan(a±0)2cos2a-1=l-2sin2a=>

1+tana?tan。

21+cos2a

Vcosa=-------------

2tana2

tan2a

1-tan2a.1-cos2a

sin2a=-------------

2

b

asina4-bcosa=5/a2+b2sin(a+(p),tan(p=—

a

sina+cosa=V^sin(a+￡

sina+V3cosa=2sin[a+；

應用以上公式對三角函數式化簡。(化簡要求：項數最少、函數

種類最少，分母中不含三角函數，能求值，盡可能求值。)

具體方法：

(1)角的變換：如甲=(a+B)_a,01；P=,—馬-(可一0)......

(2)名的變換：化弦或化切

(3)次數的變換：升、降幕公式

(4)形的變換：統一函數形式，注意運用代數運算。

如：已知,竺^。?=1,tan(a-p)=-|-,求tan(p-2a)的值。

sinacosacosa,.1

（由已知得:------------=--------=1，??tana=—

2sina2sina2

_2

又tan(p-a)

-3

2_1

tan(-2a)=tan[(-a)-a]=…a=」)

WP'2P/」l+tan(p-a)-tana"2.18

32

32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎？如何實現邊、角轉

化，而解斜三角形?

h2,?2_2

余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA=>cosA=--------------

2bc

（應用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。）

a=2RsinA

正弦定理：一^―=-^-=-^-=2Ro|b=2RsinB

sinAsinBsinC

c=2RsinC

S=-a?bsinC

A△2

VA+B+C=7i,A+B=7i-C

.A+BC

：?sin(A+B)=sinC,sin--=--c--o-s-—

22

A+R

如AABC中，2sin2^^+cos2C=l

2

（1）求向c；

(2)^a2=b2+—,求cos2A-cos2B的值。

2