大學物理學教案大學物理學授課章節第13章光的衍射教學目的1.了解產生光波衍射現象的條件，理解菲涅耳衍射與夫瑯禾費衍射的區別；2.掌握單縫夫瑯禾費衍射條紋的分布規律，能用半波帶法對此分布規律進行解釋；3.了解光柵衍射圖樣的特點及其成因，掌握光柵公式的應用及光柵光譜的缺級現象。4.了解衍射對光學儀器分辨率的影響；5.了解X光的衍射現象和布拉格公式的物理意義。教學重點、難點1.理解半波帶法解釋單縫衍射條紋的分布；2.熟悉光的干涉與光的衍射的區別；3.掌握光柵衍射的缺級現象并能具體解題；4.掌握光柵衍射時屏上最多能見到的條紋級數分析，且注意如果平行光傾斜地入射到光柵上，則屏上實際呈現的衍射級k正、負值可能是不對稱。教學內容備注§13.1光的衍射惠更斯-菲涅耳原理一、光的衍射現象1.光的衍射：光在傳播中遇到障礙物，使波面受到限制時，光線繞過障礙物繼續前進的現象。2.衍射現象：光遇到障礙物后，光不再是直線傳播，而是有光進入障礙物后的陰影區。光所達到的區域，光的強度分布也不均勻(即強度有一定的分布)。例如，平行單色光照到一圓孔上，在孔板后不同處的面上觀察光的不同特點：①在直線傳播區P1處觀察：離孔很近，屏上為邊緣銳利的光斑。基本上是圓孔的大小。這時光的傳播可看作直線傳播。②在近場衍射區P2處和P3處觀察：P2處屏上為邊緣模糊的光斑、光斑內有亮暗紋，中心為一亮點；P3處屏上環較大，且亮暗紋情況有變化，中心為一暗點。(在此范圍中的衍射情況稱近場衍射。屏在此范圍內移動時，條紋的亮暗會有變化。)③在遠場衍射區P4處和P5處觀察：P4處較遠、此時屏上中間有一較大光斑，邊緣外有條紋；P5處（沒畫）只是光斑比P4處大，樣子基本不變。（在此范圍中的衍射情況稱遠場衍射。屏在此范圍內移動時，圖樣不變，只是隨距離增大而圖樣范圍增大。中心總是亮斑。）由下可見，在衍射孔后，觀察的距離不同，衍射圖樣是不同的。再如，由點光源發出的光照到一狹縫上，在點光源、縫、屏幕三者固定的情況下，屏幕上光斑寬度決定于縫的寬度：縫寬較大時，有邊緣清晰的光斑，且縫寬縮小時光斑寬度也隨之縮小；但縫寬小到一定程度時，光斑寬度不但不縮小反而增大，并且光的強度分布也不再均勻，形成明暗條紋。即產生了光的衍射。P1P1P2P3P4=1\*ROMANI=2\*ROMANII=3\*ROMANIII直線傳播近場衍射區遠場衍射區二、菲涅爾衍射與夫朗和費衍射衍射系統：光源，衍射屏和接收屏。圖：光的衍射現象實驗通常按光學元件之間的距離將衍射分為兩類：1.菲涅爾衍射(近場衍射)：光源S和接收屏C都(或二者之一)距衍射屏有限遠。2.夫朗禾費衍射(遠場衍射)：光源S和接收屏C都距衍射屏無限遠。如，光源距孔，則觀察點離孔有限遠時，即為菲涅爾衍射；觀察點離孔無限遠時，即為夫朗和費衍射。如，光源距孔很近，則孔后各處均為菲涅爾衍射(此時入射光不是平面波，而是發散的球面波)。注意：這種分類上從理論計算上考慮的。菲涅爾衍射是普遍的，而夫朗和費衍射僅是它的一個特例。由于夫朗和費衍射的計算要簡單的多，因此把它單歸為一類。①衍射孔徑D及波長的相對大小影響衍射現象：若當遠小于D時(<<D)，衍射現象不很突出；(在孔后相當長的距離內，光仍是直線傳播。)若較大(D)，則衍射現象突出。②觀察衍射現象一般都是在遠處，且使D。當/D0時，波動光學幾何光學(衍射現象特不突出，衍射效應可以忽略)三、惠更斯—菲涅爾原理：波動有兩個基本性質：（1）振動的傳播；（2）時空周期性，能相互疊加。惠更斯原理中“子波”的概念不能說明在不同方向上波的強度分布。惠更斯——菲涅爾原理=子波+子波相干疊加 （研究衍射現象的理論基礎）1.惠更斯—菲涅爾原理記S:點光源：球面波在某一時刻達到的波面P：波場中的某一點2.惠更斯—菲涅爾原理為(1)上任一面元,都是發光的子波源。(2)P點的振動是各子波傳到P點的振動的相干疊加。處理問題的關鍵：計算波源到各面元之間及各面元到場點之間的光程差。3.菲涅爾衍射公式：設：上任一面元所發出的子波在P點引起的振動為：其中，C為比例系數，為隨增大而緩慢減小的函數，稱為傾斜因子；(它表示向各個方向發射的子波的振幅不同)。當=0，最大；當90o，=0(即無后退的子波)P點總振動為上各面元對P點貢獻的疊加：菲涅爾衍射公式幾點說明：①P點的振動為無限多個子波引起的振動的相干疊加的結果，所以變成了一個無限多光束的干涉問題。②利用菲涅爾衍射公式討論問題時，積分只要對未被障礙物遮住的那部分波前即可。③原則上，菲涅爾衍射公式可以討論一般衍射問題。但只對某些簡單情況，才能精確求解。（例，對夫朗和費衍射積分較易，而對菲涅爾衍射則很困難。）由于直接積分很復雜，所以還常常利用“半波帶法”（代數加法）和“振幅矢量加法”（圖解法）求解。§13.2單縫夫朗和費衍射一、夫朗和費單縫衍射的實驗裝置：如圖，單縫線光源S，單逢K縫寬為a(0.1~0.001mm)，透鏡L1，L2；S在透鏡L1的主焦點上，使穿過透鏡L1的光線形成平行光并垂直射向單逢K。穿過單逢K的光線經過透鏡L2會聚在屏幕E上出現衍射圖樣。具有相等衍射角的一束衍射光會聚在屏幕某觀察點P。P點所在的平行于狹縫的直線上各點有相同的光強。因而，在幕上的衍射圖樣中，條紋的軌跡平行于狹縫。二、用“半波帶法”分析衍射條紋1、半波帶法：設平行光垂直入射單逢K，如上圖：=0的一束衍射光會聚在屏幕上的P0點是中央亮紋的中心，亮度最大。0的其他點衍射光會聚在屏幕上的其他點。考慮衍射角為的一束平行光，經透鏡后會聚P點。這束光兩邊緣的光線的光程差BC為可見，光程差與有關。而P點的明暗情況與此光程差有密切關系。利用“半波帶法”來分波面。2、設BC等于半波長的偶數倍(AB被分為偶數個半波帶)，設BC=2(/2)作平行于AC的平面，使相鄰平面的間距為/2。此平面把BC分成兩段，同時將AB分成面積相等的兩個半波帶AA1，A1B。由于兩波帶上對應兩點的位相差為(/2)。兩光線到達P點時正好抵消，所以，P點將出現暗紋。同理，當BC=2K(/2),K=1,2,3,...則將AC分成面積相等的2K個半波帶。相鄰兩波帶發出的光到達P點時正好抵消，P點是暗紋。故形成暗紋條件為；（K=1,2,3,...）注意:上式中K0。K=0為中央亮紋。如a=(即a很小)，則第一極小在＝90o處。即，中央亮紋充滿縫前方整個屏幕，屏上各處亮度相同。3、設BC等于半波長的奇數倍(AB被分為奇數個半波帶)，設BC=3(/2)同理，把BC分成間距均為/2三段。由于兩波帶上對應兩點的位相差為，相鄰兩光線到達P點時正好抵消。所以，總效果是只有一個波帶起作用。因此P點是亮紋。因起作用的帶是整個面積的1/3,所以，P點的亮度小于中央亮紋的亮度。當BC=(2K+1)/2,K=1,2,3,...,時則將AC分成面積相等的2K+1個半波帶。相鄰兩波帶發出的光到達P點時正好抵消，總效果是只有一個波帶起作用。所以，P點是亮紋，但亮度更小。所以，各級明紋中心條件為，角越大，可分成的波帶數越多，波帶的面積越小。所以，級次越高的亮紋亮度越小。4、若BC不為半波長的整數倍，則P點的亮度比各級亮紋中心的亮度低而比暗紋亮。三、衍射條紋的特點1、中央明紋中心出現在=0的地方。只有一個主極大。它具有一定的寬度，在其寬度范圍內，最大強度。2、暗紋的位置暗紋將出現在角滿足的位置上；因角很小，sin，所以暗紋是等間距的。3、其它級（K1）明條紋位置在兩相鄰的暗紋之間是其它級明條紋，在明條紋范圍內有一個相對光強最大的位置、它并不在兩相鄰暗紋的正中間，而是偏向中央明紋方向。其它各級明條紋相對光強最大的位置：第一級第二級第三級其它級明條紋并不是等間距的。級次越高越趨于等間距。以上結果是從菲涅耳原理積分得到的。利用半波帶法只能得到（K1）的各級明條紋相對光強最大的位置在明條紋中心。即第一級第二級第三級另外其它級明條紋的亮度<<中央明條紋的亮度。(經衍射后，絕大部分光集中于中央主極大)4、條紋寬度中央明條紋:條紋寬度即相鄰兩暗紋間所夾的范圍。由第一暗紋位置，即中央明條紋角寬度,線寬度;其它級明條紋角寬度,線寬度。可見，（1）中央條紋寬度是其他次極大條紋寬度的兩倍。(光能量主要在此條紋內)（2）a或條紋寬度加大，且各次極大向大角方向移動。當a>>時，條紋寬度0。其結果與幾何光學一致。當白光照射時，除中央明條紋中心外，其它級明條紋形成彩色條紋。由屏幕中心向兩邊按由紫到紅的順序排列、形成所謂衍射光譜。（實際上，中央亮紋邊緣也有彩色。因為，寬度和波長相對有關。)夫朗和費單縫衍射圖樣是一組平行與狹縫的明暗相間的條紋，其中中央條紋最亮最寬。例1：波長為λ的單色光垂直投射在縫寬a=4λ的單縫上，對應于衍射角φ=30o，單縫處的波面可分為幾個半波帶？解：由可知，能分為4個半波帶。例2：在單縫衍射中，對于給定的入射單色光，當縫寬變小時，除中央亮紋的中心位置不變外，各級衍射條紋（A）對應的衍射角變小；（B）對應的衍射角變大；（C）對應的衍射角也不變；（D）光強也不變。提示：由求解。§13.3衍射光柵一、光柵：概念：狹義--平行，等寬，等間隔的狹縫；廣義--任何具有空間周期性的衍射屏。分類：d反射光柵d反射光柵d透射光柵光柵常數，其中：透光部分的寬度，：不透光部分的寬度。光柵上一般600--1200條/mm；電子束刻制可達幾萬條/mm(d)；光柵是現代科技中常用的重要光學元件。二、光柵衍射是夫朗和費衍射；是單縫衍射與多縫干涉的總效果光柵衍射是單縫衍射與多縫干涉的綜合：N縫衍射是N條單縫衍射光的干涉。（1）Young氏雙縫干涉是不考慮每個縫衍射,雙光束干涉的光強分布是等強度的，如下圖：I0I0設雙縫的每個縫寬均為a。在夫瑯和費衍射下，各縫的圖樣的位置是重疊的。aadλθf透鏡Iθθ衍射光相干疊加（3）兩束衍射光相干疊加的結果：a、主極大的位置仍由雙縫間距d決定，因而沒有變化。b、雙縫干涉條紋各級主極大的強度不再相等，而是受到了衍射的調制。c、出現了明紋缺級現象I3級0級I3級0級1級-1級-3級缺2級缺-2級單縫衍射光強0d、縫寬度a變化對衍射圖樣的影響：時，且很小時，衍射中央亮紋范圍寬，這就過渡到了不考慮衍射時的雙縫干涉情形。總之，光柵衍射是多光束衍射光(正入射)的干涉問題。三、光柵衍射的光強公式：確定各級主級大的位置1、對同一點P，各縫衍射光束在P點引起光振動的振幅近似相同，均為AP2、相鄰兩光束的位相差：3、光柵公式：當,時為主極大位置。四、光柵衍射的特點1、主極大位置：=0,1,2,——正入射光柵公式為主極大的級次。以光柵法線為起點、逆時針為正級次；順時針為負級次。各主極大角位置為，，，…主極大位置與縫數N無關（，d一定）。2、主極大亮度主極大處是各衍射光束同相加強，所以，合振幅是每一個單縫發光振幅的N倍，即，；因此，此處光強為。所以，光柵縫數越多、條紋越亮；因為，||90o，。由知：主極大的最大數目可見，越大，視場中主極大的總數越少。當d時，除0級外，無其他主極大。3、暗區位置：在相鄰兩主極大之間還有次極大、其亮度遠小于主極大，兩相鄰次極大之間是暗紋。次極大和暗紋的數目很多，加上次極大很暗，N很大時，次極大完全觀察不到。所以，在相鄰兩主極大之間實際上是一片暗區。4、單縫衍射的調制作用：（1）只影響各主極大的強度分布，但不改變主極大和極小的位置。（2）缺級現象的條件：主極大位置，單縫衍射的暗紋位置，則，，當有簡單的整數比關系，將看到缺級現象。5、條紋情況及其和,的關系：（1）不變(單縫輪廓不變)，主極大變密；（包在單縫中央亮紋輪廓線中的主極大數目越大，缺級的級次變高。）主極大變疏。（單縫中央亮紋范圍內的主極大個數減小，缺級的級次變低。）（2）不變(主極大的位置、間距不變)，單縫中央亮紋輪廓線變扁寬。（其內主極大數目增大。缺級級次變高。）單縫中央亮紋輪廓線變窄。（其內主極大數目減少。缺級級次變低。）五、斜入射的光柵方程1、光線斜入射時的光柵方程：總光程差為：；斜入射的光柵方程：。和的符號規定：和在光柵平面法線同側時取正號，異側時取負號。光線斜入射可以獲得更高級次的條紋(高級次條紋分辨率高)。、光柵光譜當復色光入射到光柵上時，光柵可以將不同波長的光分開。與透鏡一樣，光柵也有分光作用或色散作用。與透鏡不同之處，光柵對第0級主極大不分開。1.光柵光譜：當單色光入射時，有，(即角位置與有關)當復色光入射時，除0級主極大外，其他各級，不同波長的同一級主極大的位置()將錯開。短波的靠近中央一點；長波的遠離中央一點。錯開的距離隨級次的增高而增大。例：白光(40007600埃)的光柵光譜(連續)：0級1級2級0級1級2級-2級-1級(白)3級-3級2.光柵光譜的特點：有許多級光譜，但無0級光譜。0級光譜是一條白色亮線。光柵光譜是均勻光譜或正比光譜——在不太大時，譜線的位置和波長成正比。如，增大一倍時，譜線距0級主極大的距離也增加一倍。不同級次的光譜可以重疊，如級的1的譜線和+1級的2的譜線重疊，則必有1＝(+1)。例2：（1）在單縫夫朗和費衍射中，垂直入射光有兩種波長，,。已知單縫寬度，透鏡焦距。求兩種光第一級衍射明紋中心之間的距離。（2）若用光柵常數的光柵代替單縫，其它條件和（1）相同，求兩種光第一級主極大之間的距離。解：（1）由公式：，，，，，，；（2），，，。例3：某種單色光垂直入射到每厘米有8000條刻線的光柵上，如果第一級譜線的衍射角為，那么入射光的波長是多少？能不能觀察到第二級譜線？解：,，若，則由即，說明第二級譜線在無窮遠處，所以觀察不到。例4：一束平行光垂直入射到某個光柵上，該光束有兩種波長的光，，。實驗發現，兩種波長的譜線（不計中央明紋）第二次重合于衍射角的方向上。求此光柵的光柵常數d。解：由光柵公式有，重合時，有，所以，…，第二次重合，k1=6，k2=4，則有，所以，d=3.05×10–3mm。§13.3圓孔衍射光學儀器的分辨率一、圓孔衍射在觀察夫朗和費單逢衍射的裝置中、用一直徑為D的圓孔代替單縫K，那么在透鏡L的焦平面上可得到圓孔的衍射圖樣。其中央亮斑稱為愛里斑。又公式可知：D，，從而愛里斑變小。大多數光學儀器中所用透鏡的邊緣通常都是圓形的，所以夫朗和費圓孔衍射具有重要意義，對于象的質量有直接影響。夫朗和費圓孔衍射的光強分布如下圖所示：中央亮斑─愛里斑（Airydisk）集中了約84%的衍射光能。二、光學儀器的分辨率瑞利判據：如果某一物點斑象（即愛里斑）的中心恰好落在另一物點斑象的邊緣，這樣所定出的兩物點的距離作為光學儀器所能分辨的最小距離。圖（b）和（c）是剛好能分辨的分界線。光學儀器的最小分辨角是，式中D為儀器的孔徑，是光波的波長。光學儀器的分辨率：最小分辨角的倒數。.5X射線的衍射一、X射線1895年，倫琴發現了X射線。X射線是由高速電子撞擊固體時而產生的；由于這種射線不受電場或磁場的影響，所以它在本質上和可見光一樣，是一種電磁波。基本性質：波長極短，；穿透力極強。二、X射線在晶體上的衍射1、一般分析：X射線波長極短，一般光柵D>>，因此用一般光柵看不到X射線的衍射(除了0級)。1913年，勞厄(德國)想到，X射線波長和晶體內原子的間距差不多。能否用晶體產生X射線的衍射呢？實驗果然看到了衍射現象。讓連續的X光射到單晶體上，則屏上產生了一些強度不同的斑點。稱勞厄斑。這實驗證明了兩點： (1)X射線是波長極短的電磁波； (2)晶體中原子的排列很整齊，原子間距是幾個的量級。2、衍射分析：在X射線的照射下，晶體中每個格點將成為一個散射中心。(由于各原子在空間周期性地排列著，且各原子散射光的頻率和入射光相同。)所以各散射光是相干的，它們將在空間發生干涉。與光柵衍射的對比：晶格和光柵都反映了衍射屏的空間周期性。晶體中每一個原子相當光柵的一條縫。晶格常數相當于光柵常數。衍射的分析方法：先考慮每一個原子的衍射，再考慮各原子的疊加。但由于考慮的是三維衍射，處理起來較困難。現采用另一種方法。分兩步:1.先考慮同一晶面上各原子間的干涉點間干涉。2.再考慮不同晶面之間的干涉面間干涉。(1)點間干涉：同一面上各散射光的干涉只需考慮在衍射角等于掠射角方向的0級主極大。可以證明，只有在衍射角等于入射角的