-2024學年上海市延安中學高一數學下學期考試卷2024.4一、填空題(本大題共有12小題，滿分42分)考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，1-6題每個空格填對得3分，7-12題每個空格填對得4分，否則一律得0分.1．是第象限角，2．已知角的終邊經過點，則的值為.3．已知扇形的弧長為，周長為，則這個扇形的面積為．4．已知，則.5．函數的嚴格增區間是.6．若，則.7．已知，均為銳角，，則＝．8．已知是第三象限角，，則.9．若，則．10．在中，的角平分線長為，則．11．設函數在區間上是增函數，則的取值范圍為．12．銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a＝3且b2＋c2-bc＝9，則b的取值范圍是．二、選擇題（本大題共有5題，滿分15分，每題3分）每題有且只有一個正確選項．考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑．13．下列函數中，最小正周期為的是（

）.A． B． C． D．14．已知函數，，則，及的大小關系是（

）A． B．C． D．15．已知關于的方程在有兩個不等的實根,則的一個值是A． B． C． D．16．若，，，，則的值等于（

）A． B． C． D．17．已知，直線與函數的交點分別為A，B，則線段長度的最大值為（

）A．1 B． C． D．2三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟18．在中，角，，的對邊分別為，，，，求的值19．已知，且，求的值20．如圖所示，一艘海輪在海面上的處發現兩座小島，，測得小島在的北偏東的方向上，小島在的北偏東的方向上，海輪從處向正東方向航行100海里后到達處，測得小島在的北偏西的方向上，小島在的北偏東的方向上．(1)求處與小島之間的距離；(2)求，兩座小島之間的距離．21．已知函數(1)求函數的最小正周期(2)當時，求函數的最大值和最小值(3)已知函數，若對任意的，當時，恒成立，求實數的取值范圍22．給出集合對任意，都有成立．(1)若，求證：函數；(2)由于（1）中函數既是周期函數又是偶函數，于是張同學猜想了兩個結論：命題甲：集合中的元素都是周期為6的函數；命題乙：集合中的元素都是偶函數；請對兩個命題給出判斷，如果正確，請證明；如果不正確，請舉反例1．三【分析】利用終邊相同角的概念可知，與的終邊相同可得結論.【詳解】易知，因此與的終邊相同，因為在第三象限，所以是第三象限角.故答案為：三2．【分析】由三角函數的定義求解即可.【詳解】由角的終邊經過點，得，所以.故答案為：.3．【分析】求出扇形的半徑，利用扇形的面積公式可求得結果.【詳解】由題意可知，扇形的半徑為，因此，該扇形的面積為.故答案為：.4．##【分析】由商數關系與平方關系聯立求解即可.【詳解】因為，所以即，結合，所以或，又，所以，所以.故答案為：5．【分析】由余弦函數的單調遞增區間出發，用整體代換后，反解可得結果.【詳解】由于余弦函數的單調遞增區間為：，只需，解得：，所以函數的嚴格增區間是：，故答案是：.6．【分析】用兩角和的正切公式化簡即可得出的值.【詳解】因為，所以，則，所以.故答案為：7．【分析】由，都是銳角，得出的范圍，由和的值，利用同角三角函數間的基本關系分別求出和的值，然后把所求式子的角變為，利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，把各自的值代入即可求出值．【詳解】，都是銳角，，又，，所以，，則．故答案為：.8．【分析】結合同角三角函數的基本關系和誘導公式求解即可.【詳解】因為是第三象限角，，所以，所以，故答案為：.9．【分析】求出的值，再利用二倍角公式展開，結合弦化切可得結果.【詳解】因為，則，所以，.故答案為：.10．【分析】由，求得，進而得到A，再利用求解.【詳解】如圖所示：因為，所以，則，所以，因為，所以，故答案為：11．【分析】根據三角函數的性質可得，即得.【詳解】因為函數在區間上是增函數，∴，解得，所以的取值范圍是.故答案為：.12．【分析】首先根據余弦定理可得，由為銳角三角形，可得，所以，再由正弦定理，所以即可得解.【詳解】因為且，，故，因為為銳角三角形，則，，由正弦定理，因為，所以由可得，故的取值范圍是.故答案為：13．C【分析】由正余弦函數的最小正周期公式計算求解判斷即可.【詳解】由題意知周期為，周期為，周期為，周期為.故選：C14．C【分析】先利用定義判斷函數的奇偶性，再求導判斷函數的單調性，即可比較大小.【詳解】因為，，所以是偶函數，所以，又時，得，所以此時函數是增函數，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查了利用函數的奇偶性和單調性比較大小的問題.屬于中檔題.15．D【分析】方程在有兩個不等的實根等價于函數與的圖象在上有兩個不同的交點，觀察圖象可得的范圍，由此確定正確選項.【詳解】由題設可得，因為方程在有兩個不等的實根，所以函數與的圖象在上有兩個不同的交點，所以函數與的圖象在上有兩個不同的交點，作函數在上的圖象如下：所以，所以時，方程在有兩個不等的實根，故選：D．16．B【分析】結合同角三角函數基本關系，兩角差的余弦公式與二倍角公式計算即可得.【詳解】，，，，，，，.故選：B.17．A【分析】先由題中條件，得到；進而得出，結合三角恒等變換，將該式化簡整理，利用三角函數的性質，即可得出結果.【詳解】因為，，又直線與函數的交點分別為A，B，所以，又，所以，因此線段長度的最大值為.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：求解本題的關鍵在于由題中條件將線段的長度轉化為，利用三角函數的性質即可求解.18．或【分析】由正弦定理解三角形.【詳解】在中，由，利用正弦定理得，由于，所以或．①當時，利用三角形內角和定理，②當時，利用三角形內角和定理.19．【分析】由誘導公式化簡，求出，然后利用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】，又，..20．(1)(2)【分析】（1）結合圖形求出相關角，利用正弦定理即可求得；（2）根據題設條件計算得到，在中利用余弦定理求得，接著在中利用余弦定理，即可求得結果.【詳解】（1）由題可知在中：，，所以，由正弦定理可得：，所以（海里）．（2）由題可知在中：，，所以．所以（海里），由余弦定理可得：，所以（海里），由題意可知，在中，，由余弦定理可得：，所以（海里）.21．(1)(2)最大值為，最小值為(3)【分析】（1）先由降冪公式，倍角公式，輔助角公式化簡，再代入周期公式求解即可；（2）由已知結合的范圍，利用正弦函數的性質求解即可；（3）由已知不等式結合輔助角公式進行化簡可得，然后結合正弦函數的單調性求解即可.【詳解】（1），則最小正周期為.（2）；則函數的最大值為，最小值為.（3），因為，，因為對任意的，當時，恒成立，則對任意的，當時，恒成立，，不妨設，則問題轉化成在上單調遞減，所以，其中，解得，所