微專題：有關充要條件的證明【主題】有關充要條件的證明，要從充分性和必要性兩個方面分別證明，首先分清哪個是條件，哪個是結論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件”?“結論”，必要性需要證明“結論”?“條件”；【典例】例1、設x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0；例2、若實數a，b滿足，，且，則稱a與b互補記，那么“”是“a與b互補”的條件；（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）例3、求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0；【即時練習】1、求證：ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0。2、已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R，且a≠0)．證明方程f(x)＝0有兩個不相等的實數根的充要條件是：存在x0∈R，使af(x0)＜0．3、探求：關于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有兩個大于1的實數根的充要條件。【教師版】微專題：有關充要條件的證明【主題】有關充要條件的證明，要從充分性和必要性兩個方面分別證明，首先分清哪個是條件，哪個是結論，然后確定推出方向，即充分性需要證明“條件”?“結論”，必要性需要證明“結論”?“條件”；【典例】例1、設x，y∈R，求證：|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件是xy≥0；【提示】注意認真審題；在本題中“條件”是：xy≥0；“結論”是：|x＋y|＝|x|＋|y|；【證明】①充分性：如果xy≥0，則有xy＝0和xy>0兩種情況，當xy＝0時，不妨設x＝0，得|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，所以，等式成立；當xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0時，又當x>0，y>0時，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，所以，等式成立；當x<0，y<0時，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，所以，等式成立；總之，當xy≥0時，|x＋y|＝|x|＋|y|成立；②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，所以，|xy|＝xy，即xy≥0；綜上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要條件；【說明】充要條件的證明關鍵是根據定義確定哪是已知條件，哪是結論，然后搞清楚充分性是證明哪一個命題，必要性是證明哪一個命題；判斷命題的充要關系有三種方法：（1）定義法；（2）等價法，即利用與；與；與的等價關系，對于條件或結論是不等關系（否定式）的命題，一般運用等價法；（3）利用集合間的包含關系判斷，若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件。例2、若實數a，b滿足，，且，則稱a與b互補記，那么“”是“a與b互補”的條件；（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【提示】緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚；判斷“a與b互補”和“a與b互補”的真假；【答案】充要；【解析】若，則，平方得，當時，，所以；當時，，所以，故a與b互補；若a與b互補，易得，故“”是“a與b互補”的充要條件；故答案為：充要條件；【說明】本題屬于新定義問題；考查充分必要條件的判斷，在確定了和的真假后可給出正確選擇．例3、求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0；【提示】注意審題“一元二次”隱含條件“a≠0”；【證明】充分性：(由ac<0推證方程有一正根和一負根)因為ac<0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac>0，所以方程一定有兩不等實根，設兩根為x1，x2，則x1x2＝eq\f(c,a)<0，所以方程的兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根；必要性：(由方程有一正根和一負根推證ac<0)因為方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根，設為x1，x2，則由根與系數的關系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，即ac<0，綜上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac＜0；【說明】充要條件的證明策略（1）要證明一個條件p是否是q的充要條件，需要從充分性和必要性兩個方向進行，即證明兩個命題“若p，則q”為真且“若q，則p”為真；（2）在證明的過程中也可以轉化為集合的思想來證明，證明p與q的解集是相同的，證明前必須分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結論；【歸納】充要條件的證明：要證明命題的條件是結論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）；要點解讀：對于命題“若，則”①如果是的充分條件，則原命題“若，則”與其逆否命題“若，則”為真命題；②如果是的必要條件，則其逆命題“若，則”與其否命題“若，則”為真命題；③如果是的充要條件，則四種命題均為真命題.拓展到：探求充要條件的兩種方法：①先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明；②將原命題進行等價變形或轉換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探求過程的每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證。【即時練習】1、求證：ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0。【證明】①充分性：由a＋b＋c＝0得a＝－b－c，代入ax2＋bx＋c＝0，得(－b－c)x2＋bx＋c＝0，即(1－x)(bx＋cx＋c)＝0，所以，ax2＋bx＋c＝0有一根為1；②必要性：由ax2＋bx＋c＝0有一個根為1，把它代入方程即有a＋b＋c＝0，綜上可知，ax2＋bx＋c＝0有一個根為1的充要條件是a＋b＋c＝0；2、已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R，且a≠0)．證明方程f(x)＝0有兩個不相等的實數根的充要條件是：存在x0∈R，使af(x0)＜0．【證明】①充分性：若存在x0∈R，使af(x0)＜0，則b2－4ac＝b2－4a[f(x0)－axeq\o\al(2,0)－bx0]＝b2＋4abx0＋4a2xeq\o\al(2,0)－4af(x0)＝(b＋2ax0)2－4af(x0)＞0，所以方程f(x)＝0有兩個不等實數根；②必要性：若方程f(x)＝0有兩個不等實數根，則b2－4ac＞0，設x0＝－eq\f(b,2a)，a·f(x0)＝aeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))\s\up12(2)＋b\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))＋c))＝eq\f(b2,4)－eq\f(b2,2)＋ac＝eq\f(4ac－b2,4)＜0，所以存在x0∈R，使af(x0)＜0。3、探求：關于x的方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有兩個大于1的實數根的充要條件。【解析】方法1：利用一元二次方程根與系數的關系．設方程的兩根為x1，x2，使x1，x2都大于1的充要條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＞1，,x2＞1.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2m－1）2－4m2≥0，,（x1－1）＋（x2－1）＞0，,（x1－1）（x2－1）＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2m－1）2－4m2≥0，,（x1＋x2）－2＞0，,x1x2－（x1＋x2）＋1＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2m－1）2－4m2≥0，,－（2m－1）－2＞0，,m2＋（2m－1）＋1＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≤\f(1,4)，,m＜－\f(1,2)，,m＜－2或m＞0，))解得m＜－2為所求；所以，充要條件為：（—∞，－2）方法2：利用函數思想．令f(x)＝x2＋(2m－1)x＋m2，依題意，函數的兩個零點都大于1的充要條件為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(2m－1,2)＞1，,f（1）＞0))?eq\b