計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

第3章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

的數(shù)學(xué)描述與性能分析

信息學(xué)院?周瑋

zhouwei@

二。一。年四月

本章內(nèi)容：

?線性常系數(shù)差分方程

?脈沖傳遞函數(shù)

?計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

?計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

?計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)過(guò)程分析

?計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)暫態(tài)過(guò)程分析

?計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的頻域特性分析

3.2線性常系數(shù)差分方程

1、離散系統(tǒng)

離散時(shí)間系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱離散系統(tǒng)）就是輸入和輸出均

為離散信號(hào)的物理系統(tǒng)。在數(shù)學(xué)上，離散系統(tǒng)可以

抽象為一種系統(tǒng)的離散輸入信號(hào)和系統(tǒng)的離散輸出

信號(hào)之間的數(shù)學(xué)變換或映射。

Q

1?虱￡)--------〃(的

I?------------D--------

O

___——,L_

0123tQI

圖3.1離散系統(tǒng)

線性離散系統(tǒng)：變換函數(shù)刀滿足疊加原理。

輸入為：

。爾）=ag（左）+64（左）

則輸出為:

u（k）=D［e（k）］=4）］+5［電（左）］

線性常系數(shù)離散系統(tǒng)：D的參數(shù)不隨時(shí)間變化，或

變化范圍很小，可以忽略不計(jì)。

u(k一n)=D[e(k-")]

線性常系數(shù)離散系統(tǒng)一般采用差分方程來(lái)描述。

2、差分方程

〃階后向非齊次差分方程:

〃(左)十%〃(左一1)+%“(攵—2)+??,一n)

=bQe(k)+bxe(k-1)+62e(^-2)+???〃，、-m)

或?

nm

u(k)=%u(k-，)+ZbjC(k—j)

i=lj=0

其中：%wO

〃階前向非齊次差分方程:

u{k+n)+a[u(k+n-1)+a2u(k+M-2)+??,)

=be(k+m)+b、e(k+m-1)+be(k+m-2)+,??、：）

Q2/ri

其中：m<n（滿足因果關(guān)系的需要）

前向差分方程:后向差分方程:

初始條件為零

3、差分方程求解

迭代法求解

適合于計(jì)算機(jī)求解，可以編制程序。

例3?1一階差分方程的迭代公式

〃(4+1)=au(k)+be(k)

求差分方程的解。

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°1MlM.WMMoaamo??MMVMB

解：設(shè)u(0)是給定的邊界條件，則

k=0i/(l)=QM(O)+be(O)

k=1"(2)=Q"(l)+be(l)=a2u(0)+abe(O)+be(l)

k—2t/(3)=a〃(2)+be(2)=a3u(O)+a2be(0)+abe(V)+be(2)

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°1MlM.WMMoaamo??MMVMB

"(k)=a%(0)+ak~lbe(O)+ak~2be(1)+ak~3be(2)+…-1)

k-\

"(0)+2>ibe(j)

j=o

通解或自由變量特解或強(qiáng)制分量

其中X-a為齊次方程+1）=（左）的特征根。

練習(xí)題：

用迭代法求解如下差分方程

tt（k）—8〃（左一1）+12〃（后一2）=0

已知初始條件為

〃⑴=1〃（2）=3

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經(jīng)典法求解

適合于齊次差分方程,不適合非齊次差分方程。

〃階線性齊次差分方程為：

n

u(k)=au{k-i)

Z=1

即〃（左）+4〃（左一1）+%〃（左一2）+…-n）=0

（1）

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設(shè)其通解形式為u（k）=cAkw0

代入方程（1）,得到

cAk+acAk^]+acAk~2+,,,=0

}1Z?it

即…）（2）

方程（2）稱為齊次方程（1）的特征方程，其

根稱為差分方程的特征根。

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當(dāng)A無(wú)重根時(shí)：

n

通解為：〃(4)=臼4,+3；+…〃〃=工C0：

Z=1

當(dāng)人有重根時(shí)：M1有加重根)

通解為：

u(k)=(cK'-i+C#"L2+…+cJ；+c%",

、，、12m-1m+12nn-m+l

其中系數(shù)5由初始條件確定。

例3.3用經(jīng)典法求解如下差分方程

n(k)—8〃(后—1)+12〃(a—2)=0

已知初始條件為〃⑴=1〃(2)=3

解：特征方程為：

22-82+12=0

解得特征根為：

4=64=2

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°1MlM.WMMoaamo??MMVMB

于是齊次方程通解為：

u(k)=+q%；=G6，+c22，

由初始條件確定5和C2：

1/(1)=+02月

>

〃⑵=q/l；+02丸；

13

從而得到：［五c=-

2o

13

所以差分方程的通解為：〃(左)=(6，+卜2%)

724T8

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Z變換法求解

步驟：

(1)對(duì)差分方程求z變換，得到函數(shù)的z變換表達(dá)式

如歹(Z)；

(2)通過(guò)z反變換求出采樣函數(shù)/⑺。

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例3.4求解齊次差分方程

/(左+2)+3/(左+1)+2/(左)=0

初始條件：/(0)=0"1)=1

解：由Z變換超前定理得到

Z[f(k)]=F(z)

Z[f(k+l)]=zF(z)-zf(O)

Z[f(k+2)]=Z2F(Z)-Z2/(0)~zf(l)

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°1MlM.WMMOMamo??MMVMB

于是得到：

Z2F(Z)-z2/(0)-zf(l)+3zF(z)-3zf(0)+2F(z)=0

代入初始條件得：

Z2F(Z)—z+3zF(z)+2F(z)=0

整理后得：

z

F(z)=-------------------

(z+l)(z+2)

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利用部分分式法可化成:

zz

土）二第一不

查z變換表得：

/（左）=（一1，一（—2,(k=0,1,2,…,

00

/*?)=ZKTy_(_2了曾("左T)

左=0

例3.5求解下列非齊次差分方程

/(左+2)-3/(左+1)+2/(左)=叫)

初始條件：/(0)=。41)=1

00t=0

輸入條件：%)=0“0

解：Z[6(k)]=1求z變換并代入初始條件得到:

Z2F(Z)-3zF(z)+2F(z)=1

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整理得到：

1-11

F(z)=-------------------=----1----

(z-l)(z-2)z-1z-2

應(yīng)用留數(shù)法直接進(jìn)行Z反變換，得到

(2—2)-------------Z(z—1)

(z—2)(Z—1)(z-2)(z-l)

=2A1—1,k-1,2,3,…

于是得到：f⑺=Z—kT)

例3.6用z變換求解如下差分方程

tt（k）—8〃（左一1）+12〃（左一2）=0

已知初始條件為

〃⑴=1〃（2）=3

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Z變換滯后定理：

如果tvo時(shí)，f(t)=O,貝ljZ"?-〃T)]=z-*(z)

如果tvo時(shí)，/?)。0，則

一〃

Z[/?")]=z-〃F(z)+z-〃Z/(/"

j=T

解：由Z變換滯后定理得到:

Z[〃(左)]=U(z)

Z[u(k-1)]=z-1t/(z)+

Z[u(k-2)]=z-2U(z)+1)+1/(-2)

式中的u(-l),u(-2)可由原式和初始條件解出。

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k=2=(2)-8〃⑴+12〃(0)=0

8K⑴一K(2)8X1-35

u(0)=--------------=----------=——

121212

k=1"(1)-8〃(0)+12i/(-l)=0

/八8〃(0)—M⑴7

"(—1)=---------------二—

1236

k=0〃(0)—8〃(—1)+12〃(—2)=0

8K(—1)—〃(0)41

u(—2)=---------------=-----

12432

于是得到：

U(z)-8[z-1t/(z)+w(-l)]+12[z-2t/(z)+z-1w(-l)+w(-2)]=0

代入初始條件整理得：

15/36-21/9z-1

U(z)=----------；------------

利用部分分式法進(jìn)行z反變換，最終得到：

813

》*?)=Z［一⑹)+—(2與》。一仃)

k=o248

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練習(xí)題：

用Z變換方法求解下列差分方程：

（1）/（左）—6/（左一1）+107（左一2）二0

已知/⑴=1/（2）=3

（2）/（左+1）—0.8/（左）=1,/（0）=2

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3-3脈沖傳遞函數(shù)

1、脈沖傳遞函數(shù)的定義

線性離散控制系統(tǒng)，在零初始條件下，一個(gè)系統(tǒng)（或

環(huán)節(jié)）輸出脈沖序列的變換與輸入脈沖序列的變換之

比，被定義為該系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的脈沖傳遞函數(shù)。

用公式表示：

叩，、y（z）輸出脈沖序列的z變換

W（Z）=---------=-------------------------------------------

X（z）輸入脈沖序列的z變換

2、脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)

脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)的方法：

?由單位脈沖響應(yīng)推出脈沖傳遞函數(shù)W(z)

?由拉氏變換求出W⑵

?由差分方程求出W(z)

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由單位脈沖響應(yīng)推出脈沖傳遞函數(shù)

由單位脈沖響應(yīng)推出脈沖傳遞函數(shù)，可以從概念上

掌握脈沖傳遞函數(shù)的物理意義。

當(dāng)輸入信號(hào)X”)被采樣后脈沖序列為/?),

它可表示為：

X*(0=x(0)^(0+x(T}8(t_/)+???+x(kT)3(t—kT)+…

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這一系列脈沖作用于連續(xù)系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）W⑸時(shí)，該

系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）輸出等于各脈沖響應(yīng)之和，如圖：

（a）輸入脈沖序列（b）傳遞函數(shù)（c）輸出各脈沖響應(yīng)

圖3.3脈沖響應(yīng)

如在0＜，＜T時(shí)間間隔內(nèi)，作用于少(s)的輸

入脈沖為x(OT),則用⑸的輸出響應(yīng)為：

y(t)=%(or)g(o

式中：g?)為系統(tǒng)(或環(huán)節(jié))的單位脈沖響應(yīng)滿

足如下關(guān)系：

g(0t>o

g?)=1

ot<0

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在T＜，＜27時(shí)間間隔內(nèi)，系統(tǒng)是在兩個(gè)輸入脈

沖作用下：一個(gè)是，=。時(shí)的脈沖作用，它產(chǎn)生的

脈沖響應(yīng)依然存在；另一個(gè)是,=7時(shí)的脈沖作用，

所以在此區(qū)間的脈沖響應(yīng)為：

y⑺=x(0T)g⑺+x(T)g(f)

式中:g⑺t>T

g(一丁)=<

0t<T

所以當(dāng)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入為一系列脈沖時(shí)，輸出應(yīng)為

各個(gè)脈沖響應(yīng)之和。

在"打時(shí)亥IJ，輸出的脈沖值是kT時(shí)刻和kT時(shí)刻

以前的所有輸入脈沖在該時(shí)刻脈沖響應(yīng)的總和，故：

k

y(kT)=^sKk-i)T]x(iT)

z=0

由卷積定理可得：

整理y(z)

"z)=葉(z)X(z)w(z)=

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由拉氏變換求出印（Z）

y（s）=少（s）x*（s）

y*（s）=吟s）x*（s）

y（z）=，（z）x（z）

y（z）

即:FF（z）=—

x（z）

z變換的部分分式法

%(z)

留數(shù)計(jì)算法

由差分方程求出印⑵

.y(左)+qy(左一1)十?一“、：一〃)

[=4%(左)+4%(左一1)+-,，一一m)

]/y(z)+a/Ty(z)+…，，Y(z)

x

=b0X(z)+bxz~X{z}+???,〃X(z)

Y(z)b()+bz~}+,?,

%(z)=△―H-----------

X(z)1+a}z~+…〃

練習(xí)題：

求下列系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)印U)：

(1)取⑸:——--

s(4s+a)

_e~sTk

(2)W(s)----------------

ss(s+a)

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3、離散系統(tǒng)的方框圖分析

(-)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

串聯(lián)各環(huán)節(jié)間有采樣開(kāi)關(guān)的情況：

求法：中間有采樣開(kāi)關(guān)的串聯(lián)環(huán)節(jié)，其脈沖傳遞函

數(shù)等于各環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)的乘積。

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°1MlM.WMMoaamo??MMVMB

了②

員(s)

y（s）綸）

y（z）

%(z)=%(z)%(z)

R(z)

串聯(lián)各環(huán)節(jié)間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)的情況:

求法：中間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)時(shí)，其總的傳遞函數(shù)等于各

環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘后再取Z變換。

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____/

R3

%(z)=Z[%(s)%(s)]=所％(z)

例3.7已知匕（s）=L%（s）=上一,試求中間有采樣

ss+a

開(kāi)關(guān)和沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)時(shí)的甲Q）

解：中間有采樣開(kāi)關(guān)時(shí)：

11

/(z)=Z-%(z)=Z------

1—1

s1-Z一s+a

印(z)=%(z)%(z)=

(1——

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中間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)時(shí)：

1a

彳(z)=Z[W(s)%2(s)]=Z[--]-

]ss+

（二）并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

兩個(gè)并聯(lián)環(huán)節(jié)的情況：

少（Z）=Z\WX（5）］+Z［W2（5）］=%（z）+%（z）

(三)反饋連接環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)

當(dāng)系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)通過(guò)反饋形成閉環(huán)連接時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)脈

沖傳遞函數(shù)的求取，同樣也必須注意到在閉環(huán)的各個(gè)通

道，以及各環(huán)節(jié)之間是否有采樣開(kāi)關(guān)。

幾種典型閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)：

(1)誤差離散系統(tǒng)

(2)具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng)

(3)具有干擾的離散系統(tǒng)

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(■MN*WCNMMQ*A9

誤差離散系統(tǒng)

具有負(fù)反饋的線性離散系統(tǒng)。沙⑸與H(s)

分別表示正向通道與反饋通道的傳遞函數(shù)。

輸出函數(shù)的拉氏變換為：

*z變換

”>)=石(s)印G)口□叁次y(z)=￡(z)沙(z)

誤差信號(hào)的拉氏變換為：

￡(s)=E(s)-E(s)FF(s)H(s)z變換E(z)=R(z)—E(Z)WH(Z)

［熹)。便例如叟退

誤差脈沖傳遞函數(shù)為:

E(z)_11

匕（Z）=

R(z)l+%H(z)l+%z)

閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為:

y(z)_乎(z)

%（Z）=

R(z)l+WH(z)

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具有數(shù)字校正裝置的閉環(huán)離散系統(tǒng)

該系統(tǒng)的正向通道中，有脈沖傳遞函數(shù)為D(z)的數(shù)字

校正裝置，可由計(jì)算機(jī)軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)，其作用與連續(xù)系

統(tǒng)中的串聯(lián)校正裝置相同。如下圖所示：

輸出函數(shù)的拉氏變換為：

y(s)=石*(s)O*(s)少(s)、y(z)=E(z)D(z)W(z)

誤差信號(hào)的拉氏變換為：

**Z變換

E⑹=R(s)—E⑻D(s)底(s)"(s)E(z)=R(z)—E(z)D(z)印H(z)

［熹）。便例如叟退

誤差脈沖傳遞函數(shù)為：

E(z)11

W(z)=----=-------------=--------

eR⑺l+D(z)^EH(z)l+^(z)

閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：

y(z)_D(z)少(z)_D-z)

匕(Z)=

R(z)—1+D(z)WH(z)~1+WK(z)

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具有干擾的離散系統(tǒng)

該系統(tǒng)連續(xù)部分的擾動(dòng)輸入信號(hào)N⑸，對(duì)輸出量的

影響常是衡量系統(tǒng)性能的一個(gè)重要指標(biāo)。分析方法與

連續(xù)系統(tǒng)一樣。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖：

圖3.9擾動(dòng)輸入時(shí)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

為了求輸出與擾動(dòng)之間的關(guān)系，首先將圖3.9變換為圖3.10

(認(rèn)為R(s)=O)o

圖3.10擾動(dòng)輸入時(shí)的等效結(jié)構(gòu)圖

由圖3.10得到輸出信號(hào)的拉氏變換式為:

**

y(s)=[N(s)—y(s)/(s)]%(s)=N(s)%(s)—y(s)/(s)%(s)

Z變換式為:

y（z）=N%（Z）—y（z/7F2（z）

所以

Z注意采樣開(kāi)關(guān)的位

NW2()

%)=置，位置不同，所

1+/%(Z)得閉環(huán)脈沖傳遞函

數(shù)就不相同。

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表3.1幾種采樣系統(tǒng)z變換

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_?/QJE曲，??yipKVKS—Iri.?ll

練習(xí)題：

P1073.4(1)(2)(3)(4)

4、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)是由數(shù)字計(jì)算機(jī)部分和連續(xù)對(duì)象部分

構(gòu)成的閉環(huán)控制系統(tǒng)，典型的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)通常如

圖3.11所示，為單位反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)。

圖3.11計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

數(shù)字部分的脈沖傳遞函數(shù)：

b(y+3-1+?,

Q(z)=III

1+a[z+,,

連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)：

1-sT

%(s)=%o(s?F(s)=---W(s)

s

1-ST

艮口：[叫1—e-11

Wd(z)=3=Z°(s)%(s)]=Z-----匹(s)=(1-Z)Z-W(s)

ss

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)脈沖傳遞函數(shù):

畋(z)=O(z)%(z)

閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為:

川，、y(z)D(z)%(z)U(z)

WR(z)=----=--------------

R(z)l+Q(z)K(z)l+%(z)

特征方程

匕(z)=l-匕(z)

閉環(huán)系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為：

磯Z)_11

匕(Z)=K(z)—1+O(z)%(z)

1+以仁)

3.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

分析策略：

映射

S平面上穩(wěn)定性分析匚二＞Z平面上穩(wěn)定性分析

1、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件

連續(xù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

y(s)bsm+bsm~x+b

0x，，4—1

R(s)s"+6Z]S"T+…

，，-JL

假設(shè)r(/)=1(/)

7m.Tm—1

bs+b,s+…+b1

y(s)=a---------1~~；----------m

、/sn+asn—\+…s

x卜an

A

2+4+2+…,-

S+

SS+S+02Pn

P2t

Jy(、t),=4U+416一"+Az?e~+…

=4+Zi

i=l

n

若系統(tǒng)穩(wěn)定tfg,limyA.e~Pitf0

00

i=l

結(jié)論：

極點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部，即極點(diǎn)均分布在平面的左半平面。

離散系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

Y(z)b.zm+bn"—+…+b

'J(O1〃4一JLm

+…4-

JC(\z)/z+a,1zn—Lan

彳段設(shè)r(/)=1(/)

7m.Tm-\

bz+Z7[Z+…+bz

y(N)=a---------~~；--------一±7%

-F

z+axz+…anz—\

A^zA.zA^zA?

-------1------!-----1------------F…-

N—1N+〃iN+〃2Z+pn

/z￡zn

心Ww似左)=4i(B+Z4z：

/=1

n

若系統(tǒng)穩(wěn)定kf8)limZ//：-0

結(jié)論：Iz.|<1

即：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)位于Z平面上以原點(diǎn)

為圓心的單位圓內(nèi)。

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2、s平面與z平面的映射分析

復(fù)變量s與z的關(guān)系為：z-e"，T為采樣周期。

當(dāng)5=0+/刃時(shí)，z_c"_09+汝"_/7/畫，其幅

值為|z|=e"，當(dāng)S位于S平面虛軸的左半部時(shí)，0為負(fù)

數(shù)，這時(shí)H<1,反之，若S位于虛軸的右半部時(shí)，b

為正數(shù)，z>1o

圖3.12s平面到z平面的映射

圖3.13s平面上的極點(diǎn)與z平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系

S平面上的極點(diǎn)與Z平面的對(duì)應(yīng)關(guān)系演示

27r

cos

j①

_;Is

JT

8765

xxMX

xz\Z、/

/X/、7x/X、/—

3214a

xx):x

8765

——

109

S平面

圖3.14s平面上的極點(diǎn)至近平面的映射

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根據(jù)s平面和Z平面的映射關(guān)系，標(biāo)出S平面極點(diǎn)在Z平面的大致位置

例3.9分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性T=ls

1010z(l-e~r)

解:%(z)=Z

s(s+1)(z-l)(z-e-r)

閉環(huán)特征方程1+%(z)=0

(z-l)(z-e-r)+lOz(l-e-r)=0

解方程4=-0.076,z2=-4.87

由于馬＞1所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

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3、采樣周期與系統(tǒng)穩(wěn)定性關(guān)系

采樣周期t閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)分布

零階保持器

越小越好1

閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

例3?10判斷圖3.16所示系統(tǒng)在采樣周期T=ls和T=4s時(shí)

的穩(wěn)定性，圖中取K=L

圖3.16計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

解：考慮零階保持器時(shí)對(duì)象的傳遞函數(shù)模型為:

l-e~sr1

%(s)=---------

Ss(s+1)

其脈沖傳遞函數(shù)模型為:

1-L1]_L+T-l)z+(l-「-

%(z)=Z---------

2TT

Ss(s+l)z-(1+e~)z+e~

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則系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：

KWAz)叫(z)

WR(Z)=---=—

l+KW“(z)l+%(z)

其特征方程為：l+%(z)=O

即：z2+(r-2)z+(1-TeT)=0

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(1)T=ls時(shí)，系統(tǒng)的特征方程為：

z2-z+0.6321=0

特征根為：Z1=0.5+70.6181,z2=0.5-70.6181

由于|Z]|=|z2|<1

因此采樣周期T=ls時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

(2)T=4s時(shí)，系統(tǒng)的特征方程為：

z2+2z+0.9267-0

特征根為：Z]=—0.7293,z2=-1.2707

由于|Z2|>1

因此采樣周期T=4s時(shí)，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

不考慮零階保持器的影響

對(duì)象的離散化傳遞函數(shù)模型為：

-11z(l-e-T)

特征方程為：z2-2e-Tz+e-T=0

特征根為：Z]2=e~T±je~T-1

由于lzi,2\=e~T/2<1

因此無(wú)論采樣周期取何值，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。

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3.5計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)

直接求解特征方程求解很麻煩

間接判別離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)

勞斯(Routh)穩(wěn)定性判據(jù)朱利(Jury)穩(wěn)定性判據(jù)

根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1、勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據(jù)

勞斯穩(wěn)定判據(jù)—）連續(xù)系統(tǒng)s平面的特征根位置

性質(zhì)近似

步變換

離散系統(tǒng)z平面連續(xù)系統(tǒng)W平面

的特征根位置的特征根位置

雙線性變換

勞斯穩(wěn)定判據(jù)

離散系統(tǒng)勞斯穩(wěn)定判據(jù)

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T

1H----VP

z=—^

W變換定義:

T

1w

2

2z-1

其反變換為：w=

Tz+1

頻域關(guān)系為：

2z-1_2*丁-12>"/2_/"/2.2coT

TejaT,2+e-jaT,2=J三但匚”

jcoT

Tz+1z=e.故Te+1

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圖3.17z平面與w平面的映射關(guān)系

單從考察系統(tǒng)的穩(wěn)定性角度來(lái)看，w變換也

可以定義如下：

1+Wzz-1

Z二----------|w=-----------

1—wZ+1

好處：與采樣周期T無(wú)關(guān);

缺點(diǎn)：頻率畸變?cè)龃?/p>

勞斯穩(wěn)定性判據(jù)步驟:

①根據(jù)特征方程寫出勞斯陣列：

b+b1H-----

F(w)=lVfV-1.+Z71wX+Z?n\J=0

“bb0b,

nn-2〃-4

b,b,b.…

n-\n-3n-5

n-2

w

uc?q...

3

vv"di1d)2d3???

*

*

w17;i

ok

WK1

②陣列的前兩行是由特征方程的系數(shù)得到的,

其余行計(jì)算如下：

勺-----丁―一

萬(wàn)_耳-14-4144-5

c2一：

③勞斯判據(jù)為：對(duì)于特征方程來(lái)說(shuō)，具有正實(shí)部

根的個(gè)數(shù)等于陣列中第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。

說(shuō)明：勞斯陣列的特殊情況，如陣列第1列出現(xiàn)

“0”的情況，參考《自動(dòng)控制原理》內(nèi)容。

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例3?11利用勞斯判據(jù)研究例3.10所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：由例3.10可知，T=ls時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為:

Z2-Z+0.6321=0

2

W變換后為：r"WJ+0,6321=0

—0.5w)(1—0.514//

艮人墳十

0.6582+0.3679w0.6321=0

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勞斯陣列為:

W20.6580.6321

w10.3679

w°0.6321

結(jié)論：陣列第1列，系數(shù)全部大于零，系統(tǒng)穩(wěn)定。

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同理，當(dāng)T=4s時(shí)，系統(tǒng)的特征方程為：

Z2+2Z+0.9267=0

進(jìn)行w變換后得到：

—0.2932^2+0.07330+3.9267=0

勞斯陣列為:

w2-0.29323.9267

w10.0733

w°3.9267

結(jié)論：陣列第1列系數(shù)不全大于零，有1次符號(hào)的變

化，因此特征方程的特征根有1個(gè)位于w平面的右

半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的

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練習(xí)題：

利用下述W變換的定義：

1+W

Z=----------

1—W

判斷上例系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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2、朱利（Juiy）穩(wěn)定性判據(jù)

朱利判據(jù)在Z域直接進(jìn)行

只能判斷出系統(tǒng)是否穩(wěn)定

在域直接進(jìn)行

勞斯判據(jù)|口=>s

可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

可以判斷出不穩(wěn)定極點(diǎn)的個(gè)數(shù)

朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則：

設(shè)離散系統(tǒng)的特征方程為：

F（z）=a〃z+?+axz+&=0

其中an>0

朱利陣列:

12n-1?

z。zz-

a

以0i劭?'

aa

n斯-in-2-

%瓦

k久.2k?

c

o%%售

4-2C?-3Ci*,

?

-0-

%

hb4

b，ih

注意：

(1)表中最后一行包含3個(gè)元素，因此當(dāng)特征方程的階數(shù)

n=2時(shí)，只需要1行；

(2)當(dāng)n=3時(shí)，只需要3行；

(3)前兩行不需要計(jì)算，只是將F(z)的原系數(shù)先倒排，

然后順排；

(4)從第三行開(kāi)始，第一項(xiàng)用2行2列的行列式進(jìn)行計(jì)算;

(5)陣列中偶數(shù)行的元素就是前一行元素反過(guò)來(lái)的順序,

如此計(jì)算到第2n-3行各項(xiàng)為止

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（6）奇數(shù)行元素的定義為:

0,1,2,…*T

3I

朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則：

特征方程式：

n

廠(z)=anz+%_仔1+…+/z+&=。

的根(極點(diǎn))全部位于z平面單位圓內(nèi)的充分必要條

件是(〃>0)是下列條件必須全部滿足，此時(shí)系

n

統(tǒng)穩(wěn)定。

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系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足的條件:

①F(l)>0

②(-1尸尸(-1)>0

③|%卜樂(lè)

④匐

⑤kol>h-2l

常用低階系統(tǒng)根據(jù)朱利陣列得到的穩(wěn)定條件:

（1）一階系統(tǒng)（〃=1）：/（2）=%2+。0=0,%＞。

穩(wěn)定條件：包＜1

%

2

（2）二階系統(tǒng)（〃=2）:_F（z）a?z+a1z+Q（）=0,即>0

穩(wěn)定條件：

4+%+%>0

a2-ax+aQ>0

02

2

(3)二階系統(tǒng)(/?=3):F(z)=a3z^+a2z+a^z+=0,<73>0

穩(wěn)定條件：

。3+。2+/+。0>0

Cl3—。2+—。0>0

Q3

22

例3?13設(shè)某離散閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

尸（z）=z3-3z2+2.25z-0.5=0

試用朱利穩(wěn)定性準(zhǔn)則，判定該系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

解：在上述條件下，朱利陣列為

Z1Z2Z3

0.52.25-31

1-32.25-0.5

0.751.875-0.75

最后一行計(jì)算如下:

-0.51

=-0.75

1-0.

-0.5-3

1.875

12.25

-0.52.25

-0.75

①條件F(l)>0不滿足，因?yàn)?/p>

F(l)=1-3+2.25-0.5=-0.25<0

②條件(-D"尸(-1)>。滿足，因?yàn)?/p>

(-1)3F(-1)=1+3+2.25+0.5=6.75>0

③KI<a3即0.5|<1滿足

④%〉*不滿足，因?yàn)閎0=b2=-°?75

結(jié)論：系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

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例3.14設(shè)某系統(tǒng)的特征方程為

z2—[(1+e-7)—(1—e一')(K,+Kp)]z+e"—(1—e-，)Kp=0

其中，采樣周期T=OAs/C.=1007=10

試確定出系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)與的范圍。

解：將存口可代入特征方程，得

Z2-<0.953-0.0952^)z+0.905-0.0952^=0

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(1)F(l)=1-0.953+0.0952Kp+0.905-0.0952Kp=0.952>0

條件滿足，且與與無(wú)關(guān)。

(2)(-1)2F(-1)=1+0.953—0.0952Kp+0.905—0.0952K?>0

求出K<15.01

p

(3)\a0\<6Z2,|0.905—0.0952Kp|<1

由止匕求出Kp<20.0

結(jié)論：系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，號(hào)的取值范圍為：Kp<15.01

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3.6計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)過(guò)程分析

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)