第01講

集合中的常用數學思想

窗（鮑⑥⑥⑥

對于集合，我們應從內心深處把集合當作一個鍛煉的工具，集合從高中開始一直滲透到

高中結束，甚至在有些過程中，我們都沒有意識到.

集合是數學的語言，是一個對話的平臺，語言的作用是為了溝通，集合的問題不在于基

本的運算什么的你不會，而是給你一道集合相關的問題你根本讀不明白題意，或者當你試圖

表達一個條件時，你沒有辦法用一套很嚴格的數學語言把它表達出來.

集合的中還滲透著很多數學思想，比如要想確定一個由描述法表示的集合，可能需要對

參數進行分類討論；理解一些集合的關系與運算需要借助韋恩圖與數軸，這便是集合中的數

形結合；還有些集合問題直接解決比較困難，我們選擇看它的反面，正難則反.這些數學思

想在以后的高中數學學習中，還會常常遇到，也會貫穿我們這一講.

“給你一道集合相關的問題，你根本讀不明白題意”，不信請看：

已知集合M=｛《，生，4J，1Wq<a2c…，若對于任意iWiWjWn,,

義中至少有1個在"中，則稱集合M具有性質P.判斷｛1,2,3,4｝、｛1,2,4,8｝、

[2,4,6,12｝是否具有性質尸.

元素與集合

知識點睛

第01講

1.集合的概念：

一些能夠確定的不同的對象所構成的整體叫做集合.構成集合的每個對象叫做這個集合的

元素.集合一般用英文大寫字母A,8,C,…表示.元素一般用英文小寫字母a,。,c,…表示;

不含任何元素的集合叫做空集，記作.

2.元素與集合的關系：、；

3.常見的數集的寫法：

自然數集正整數集整數集有理數集實數集

N

4.元素的性質：、、無序性.

5.集合的表示法

⑴列舉法.

⑵描述法(又稱特征性質描述法)：

形如{xeA|p(x)},p(x)稱為集合的特征性質，x稱為集合的代表元素.A為x的范

圍，有時也寫為{x|p(x),A}.

⑶圖示法，又叫韋恩(Venn)圖.

(4)區間表示法：用來表示連續的數集.

深入剖析

⑴元素的性質：元素的性質中最本質的屬性是確定性，集合是有邊界的，邊界確定了，

才能判斷一個元素在還是不在集合中.正是因為有確定性，所以可以定義空集，因為所

有元素都不在這個集合中，所以這也能構成一個集合，就是空集.

⑵集合的表示法:

2

第01講

①列舉法一定要會用，當遇到陌生集合時，要會寫出其中的元素.比如要想了解集合

A={x|x=2%+4,ZeZ},3={x|x=4A+2,%eZ}的關系，可以用列舉法把一個個元素

寫出來：A={…，-4,-2,0,2,4,.?■},8={…，-2,2,6,10,???},就知道8是A的

真子集；

②描述法是集合的一個重點與難點：{xwA|/?(x)},xeA表達x的外延，即x的最大討

論范圍，以及集合中元素的形式，到底是數還是點，x并不一定能取到A中的所有，只

是x一定是A中的元素，p(x)表示x的內涵，是對x的精確描述.

如：集合S3={(%,x2,覆)|苦w{0,1,2},i=l,2,3},則(2,1,2)eS3,(2,3,4)g.

③Venn圖是表達集合中的各種關系與運算的；

④當一個連續數集寫成區間時，默認左端點是小于等于右端點的，如區間(2。-1,3a),

就表示2?-1<3。，即a>-l.這與{x|2a-l<x<3a}是有區別的，這個集合可以出現

2?-133a的情況，此時這個集合是空集.

.等、假知識回顧|

1.由實數“，-。，同所組成的集合里,所含元素個數里冬有()

A.0個B.1個C.2個D.3個

2.下列集合中恰有2個元素的集合是()

A.{x2-%=0}B.{y|/_y=0}C.{x\y=x2-x]D.3y--x}

3.若4={一2,1,2,3},B={x\x=t2,reA},則集合5中的元素共有()

A.3個B.4個C.7個D.8個

3

第01講

Q經典精講

一重點元素與集合的關系

【例1】⑴**已知A={1，0,2x-l},且/《A，求實數x及集合A.

⑵總已知aeZ,集合A={(x,y)卬—yW3},且(2,l)wA,(1,一4)eA,求滿足條件

的a的值.

2

(3)在已知A是數集，且滿足：若xeA,則3-±￡4,則當戶時，A中僅有1個

x

元素.若集合A中有且僅有兩個元素，集合A=.

【選做】設A是非空數集，0￡A,1￡A,且滿足條件：若則一匚eA.

\-a

證明：(1)若2eA,則A中必還有另外兩個元素；

(2)集合A不可能是單元素集；

(3)集合A中至少有三個不同的元素.

4

第01講

【點睛之筆】集合離不開元素，元素是集合的核心，所以解決有關集合中的探索性問題，

可以先從元素入手，作為解題的切入點.解此題關鍵在于由已知aeA,awl,得到

—匚€4,——eA,然后逐步探索，再根據集合中元素的互異性，從而將問題加以

1-?1L

\-a

解決.（2）中用到反證法的解題思想.下面的例3中會進一步提到正難則反的思想.

二重點兩個集合相等

【例2］（1）**設〃，人€11,集合｛1，。｝=｛0,3，則6—。=

beR,集合{1,a+b,a}={o,,,b,,則b-a=

(2)玄若a,

5

第01講

(3)在由三個實數構成的集合，既可以表示為{〃，,，，，也可表示為M，a+人o},則

產3+產3=---------------------

點評：根據兩集合的元素是相同的，可以列方程組分類討論，但顯然復雜又繁瑣，這時

從特殊元素出發，如發現0這個特殊元素和2中的4不為0的隱含信息，就能得到簡便

a

解法.

一I難點集合中涉及到的數學思想

本講的例題很多都涉及到數學思想，如例1與例2都涉及到了分類討論的思想，例5與

例6會涉及到數形結合的思想.例3是對集合的思想的集中體現，可以在這里對集合中

常用的教學思想作一個介紹與說明.例3不同的方法對應不同的思考方式，直接解決需

要分類討論，間接解決就是考慮問題的反面.遇到至少有、至多有的問題，需要注意問

題的反面的形式.

【例3】在已知集合A={x|/+3x+2=0}中至多有一個元素，則實數。的取值范圍

是.

6

第01講

【拓展】已知A={x|f+x+a<（）},/={x|f一五+加一1<0},C={x|〃Wx<4〃-9},且

A,8,C中至少有一個不是空集，求實數〃的取值范圍.

L2集合之間的關系與運算

知識點睛

1.子集：

如果集合A中的任意一個元素都是集合3的元素，則A是3的子集，記作或

;規定：0是任意集合的,如果集合A中存在著不是集合3中的元

素，那么集合A不包含于5,記作或.

2.真子集：如果集合A=5,且存在XGB,但xeA,我們稱集合A是集合8的,

記作（或___________）,讀作A真包含于3（8真包含A）.

規定：0是任意非空集合的真子集.

7

第01講

3.集合相等：如果A=且8=我們說集合A與集合8相等，記作月=3.

4.交集：AP|B={x|xeA且xe8}；

5.并集：A|JB={尤|x€A弧e8}；

6.補集：

①全集：如果所研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個給定的集合為全集，常

用U表示.

②補集：4在。中的補集的數學表達式是.

7.AqBo4nB=A=AU8=8.

暑假知識回顧

1.集合之間的關系

（1）下列各個關系式中，正確的是（）

A.0={0}B.夜eQC.{3,5}"5,3}D.{1}G{X|X2=X}

（2）若集合M={x|x>-1},則下列關系成立的是（）

A.OcMB.{0}cMC.0eMD.{0}sM

(3)已知兩個集合用={xwR|y=：N==卜這兩個集合的關系是（）

A.M=NB.MGNC.MuND.MnN

第01講

(4)設5={龍|尤=2〃，/eZ},P={x|x=4n+2,neZ),則下歹I」關系正確的是()

A.S^PB.S=PC.S衛尸D.PaS

2.集合之間的運算

(1)設集合M={〃?eZ|-3<，"2},N={〃eZ|-lW〃W3},則MC|N=.

(2)設集合M={x||x|<2,xeZ},N={-2,-1,0},則MUN=.

(3)已知全集。={1,2,3,4,5},集合A={X|X2-3X+2=0},B={x\x=2a,aeA},

則集合孰(AU8)中元素的個數為()

A.1B.2C.3D.4

經典精講

:酉重點集口的關系

【例4】⑴由設集合用={x|x=6&+l,ZeZ},N={x|x=6%+4,ZwZ},

P={x\x=3k-2,keZ},則下列說法正確的有.

①M=N=P②(MUN)qP

③〃皿=0④CpM=N

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第01講

(2)1rtt設集合M={x[x=g+；,無ez},N={x|x=；+1,kezj,貝Ij()

A.M=NB.MuN

C.MnND.Mp|N=0

(3)腎集合M={x|x=m+3，〃zwZ

?/=<x|x=-ziGZ>,P=<x\x=—+—,psZ

[23JI26

則M、N、尸滿足的關系是.

五重點集合的關系與運算

例5是具體的集合的關系與運算，其中⑴涉及一元二次方程的解集，是有限集問題；從

⑵一⑷是連續數集問題，借助韋恩圖會更容易解決.對于一般的集合問題，這里有個易

錯點，即空集是任何集合的子集，考慮子集問題先想空集！

【例5】⑴由已知4={4?+?=0},B={x|x2+2(?+l)x+a2-l=0},其中awR,如果

AQB=B,則實數。的取值范圍是

(2)內已知集合A={x|-2<尤<5},8={x|a+lWxW2a-l},若=則實數。的取

值范圍是.

⑶自已知集合A={x|x>4或x<0},B={x\ax-l>0},若AU8=A,則實數。的取值范

圍是.

10

第01講

(4)由設集合A={x||x-a|<l,xeR},B={x[l<x<5,xeR},若AD8=0,則實數〃的

取值范圍是___________

【拓展】設集合A={x|aWxW2a+l},B={x|2a-l〈xW5a+l},若4=8,則實數“的

取值范圍是；若A衛B,則實數。的取值范圍是.

〈點睛之筆〉對于具體集合的子集問題例5已經講得很明白，對于抽象的集合，要理解

AcB,需要從元素角度出發：即對任意的xeA,有xeB;這在證明抽象的集合的關系時

很有用，見下面的德摩根律的證明.

集合運算滿足德摩根律：

①(QA)n(CuB)(C(7A)n(CuB)；②G,(An5)=(CuA)U(Q8).

對于德摩根律，可以使用兩個集合相等的定義進行抽象的證明，如下：

證明：①對任意的xeC“(AU5),則xeAUB,從而xeA且n任3:

因為xwA,所以xeC°A；因為xeB,所以xe,從而xe(CuAinCuB)；

從而有Cu(AUB)工(C")n(G")：

ll

第01講

對任意的XG（GyAirKCuB）,則xeCqA且xe從而xeA,且x走8.

故x任（AUB）,即xeQ（AUB）,故（QA）n（C*）qQ（AU8）.

綜上有（QA）n（CuB）；

②嘗試證明德摩根律②吧：

證明：

<￡>（重點偉恩圖

【例6】（1）由設A、B、/均為非空集合，且AaBq/,則下列各式中錯誤的是（）

A.（GA）UB=/B.（GA）US）=/

C.An（G5）=0D.（GA）n（GB）=G8

（2）上若全集。={1，2,3,4,5,6,7,8,9）,A、8為U的子集，且（QA）n8={1,9},

ACB={2},（C"）n（C*）={4,6,8},求A、B和CuB.

12

七易錯］子集個數問題

若集合A中有〃個元素，則集合A的子集有2"個,真子集有2--}個,非空真子集有2"-2

個.

〈點睛之筆〉這個結論可以歸納得到：當A中有兩個元素時，記為&={4，為}，4的

子集有4個；

當A中有三個元素時，記為A3,A3=4U&},4的四個子集仍然為&的子集，且這些

子集中加入元素生后會得到四個新的互不相同的子集，且人的每個子集都可以歸在這

兩類中，從而4的子集個數是&的兩倍，從而&有8個子集，可以歸納得到4（含有，2

個元素的集合）有2"個子集.

【例7】（1）**已知AqB,AcC,8={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},則滿足上述條件

的集合A的個數是（）

A.8B.32C.16D.4

⑵內已知A={1,2,3,....10},B={1,2,3,4.5},若C是A的子集，且80。/。，

則子集C共有個.

（3）甘若集合A滿足：對任意xeA,都有就稱A是"和諧”集合.則在集合

X

M={-l，0，d，l，2,3,4,5,61的所有非空子集中，"和諧"集合有一個.

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第01講

》思維風暴

己知數集A=｛《，生，4〃｝(1Wq〈a2〈…〈4，〃22)具有性質尸:對任意的i，j

(1WiWjWn),與豆兩數中至少有一個屬于A.

a,

⑴分別判斷數集｛1,3,4｝與｛1,2,3,6｝是否具有性質尸，并說明理由;

⑵證明：4=1,且：°

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第01講

實戰演練

【演練1】設集合A={-1,1.3},B=[a+2,a2+4},AnB={3},則實數a=

【演練2]⑴已知U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},則（）

A.〃口'={4,6}B.=U

C.（CUAQUMMUD.（CUM）CN=N

⑵已知集合M={yly=x+1},N={（x,y）|y=2x+3},則集合"QN中的子集個數

為（）

A.0B.1C.2D.4

⑶集合4={_1,0,1},A的子集中含有元素0的子集共有（）

A.2個B.4C.6個D.8個

【演練3】已知集合4=口|-2?犬45},8={x|,〃+lWxW2m-l},若A|J3=A,求實數

m的取值范圍.

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第01講

【演練4】已知集合A={xeR|ox：2+2X+]=0},其中a^R.

⑴1是A中的一個元素，用列舉法表示A;

⑵若A中有且僅有一個元素，求。的值組成的集合5；

⑶若A中至多有一個元素，試求a的取值范圍.

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第01講

【演練5】設A,8是兩個非空集合，定義A與8的差集A-8={x|xwA且》任㈤，

(1)已知集合人={1,2,3,4},3={2,3,4,5),求它們的差集4一8與8-A；

⑵已知A={x|x>4},B={x||x|<6),求A-(A-B)及8-(B-A),并猜測它們之間的關

系；

⑶若差集A-B與B-A是同一集合，證明A=8.

⑤極限挑戰

己知集合A={q,%,生，%}，3={a；,a；,片，a：},GN(z=1,2,3,4),其中

且4門8={%,〃4},4+4=10,4U8的所有元素之和為124,

求⑴4,4；⑵A.

17

第01講

第02講

函數概念的深入理解

函數貫穿整個高中的數學學習，高中函數的本質是一種對應關系，無論你用什么形式表

達，只要對任何一個確定的自變量，存在唯一的函數值與之對應的就是函數關系，

最常見也是最實用的是解析式表示.如：/(》)=*2,表示/把任意一個東西對應到它的

平方；而/(f+l)=f+2則表示一把任意一個東西對應到它加1;/(2x+l)=-2x-l,表示

/把任何一個東西對應到它的相反數；這種對應是更本質的，而且不依賴于字母的選擇.

也可以通過圖象給出對應關系，它的最大好處是可以直觀地看出一個函數長什么樣，后

面我們會有一個很重要的任務，就是一點點教大家怎么去畫一些你并不認識的函數圖象,

]1e”

如.f(x)=x+-,f(x)=X——，f(x)=-一-.......

xx-\

2.1函數符號/(%)的理解

知識點睛

1.函數的定義

設A、3是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系/,使對于集合A中的任意一個數

x,在集合3中都有唯一確定的數/(幻和它對應，那么就稱f8為從集合A到集合

8的一個函數.記作：y=f(x),xeA.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的

定義域；與X的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合｛/(x)|xeA｝叫做函數的值域.

要點詮釋:

(1)A、8集合的非空性；

(2)對應關系的存在性、唯一性、確定性；

(3)A中元素的無剩余性；

(4)8中元素的可剩余性。

2.構成函數的三要素：定義域、對應關系和值域

①構成函數的三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決

定的，所以，如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數相等(或為

同一函數):

②兩個函數相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數值

的字母無關.

3.函數的三種表示方法:

解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.優點:簡明，給自變量求函數值.

圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系.優點:直觀形象，反應變化趨勢.

列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.優點:不需計算就可看出函數值.

4.映射定義:

設A、8是兩個非空集合，如果按照某個對應法則/,對于集合A中的任何一個元素，在

集合6中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應叫做從A到B的映射；記為8.

象與原象：如果給定一個從集合A到集合6的映射，那么A中的元素。對應的3中的元素

人叫做人的象，a叫做b的原象.

第02講

要點詮釋：

(I)A中的每一個元素都有象，且唯一；

(2)8中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；

(3)。的象記為/(a).

5.函數與映射的區別與聯系：

設4、6是兩個非空數集，若/:4-3是從集合A到集合5的映射，這個映射叫做從集

合A到集合B的函數，記為y=/(x).

要點詮釋：

(1)函數一定是映射，映射不一定是函數；

⑵函數三要素：定義域、值域、對應法則；

(3)8中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；

(4)原象集合=定義域，值域=象集合.

—重點考點1：具體函數的求值問題

暑假知識回顧

已知函數f(x)=x2+2ax一3,

(1)如果+-/(〃)=9,求。的值；

(2)當。為何值時，函數的最小值是T?

21

第02講

警^經典精講

【例1】（1）★★設/（幻=|%-1|一|劃，則//[I]=

（2）自設函數/（X）=F',則4（〃+。）一（4一/?）/（4一切（4工。）的值為（）

I—1,x<02

a,a>baya<b

A.aB.hD.

hfa<bhya>h

(3)*★已知/(J+lj=2x+3且“,")=6,則根=.

⑷總設小)=普，則《未卜《￡^+八2。⑵+/(2。13)=

〈點睛之筆〉考點1是具體函數的求值問題，即給出/"）的解析式，求出具體的某個

f（a）.考點2是具體函數的求解析式問題，即給出函數滿足的某些條件或形式，求出

/（x）.暑期時我們學習了求函數解析式的代入法、配湊法、換元法與待定系數法，這里

介紹一種新的方法---方程組法，解決/'（X）滿足形如/（X）+紗（a-x）=g（x）與

/（x）+"=g（x）的函數方程求解析式的問題.

22

第02講

二難點：求函數解析式的方法總結

〈知識總結〉解析式給法分兩種，一種是明著給的，一種是暗著給的.

⑴明著給的規則，如：已知/(%)=x2+1,求/(X+1).直接代入即可得f(x+l)=(x+l)2+1：

對于這個問題需要理解清楚：

①/的作用是把括號里的整體變成平方加1,不管括號里面的是什么，都對應到它整體

的平方加1；

②/(X)中的X與/(X+1)中的X不一樣，如它們很可能對應不同的取值范圍；

③/(x)與/(X+1)不是同一個函數，解析式就不一■樣，但它們都有一個作用叫/.

⑵暗著給的規則，如：若/(X+l)=d+l,求/(X).此時，/對應的規則是不直接給出

的.

關鍵要看/對X+1進行了什么操作，所以要把Y+1變成與X+1相關的：

X2+1=(X+1)2-2(X+1)+2,于是f(x)=f—2x+2,這就是配湊的方法.

也可以令t=x+l,于是x=f—1,代入得到/(f)=(f-iy+1,即換元法.

⑶暗著給的對應法則還要注意定義域的限制，如：若/，+2)=/-3召+1,求/(x).

可以用配湊法或換元法得到/(x)=x2-7x+ll.于是我們得到/(1)=5.

但如何由/(%2+2)=\-3江+1得到了⑴呢,這不可能，因為f+222,

f(x)=x2-7x+1l(x>2).

暑假知識回顧

1.已知函數/。一1)="2一3x+2,求/(x+l).

23

第02講

2.已知/(x)是一次函數,且/[/(x)]=9x+4,求/*).

經典精講

【例2】(1)**已知二次函數y=〃x)的圖象經過原點，且〃x-l)=〃x)+x-l,求“X)

的表達式.

(2)自已知/(工)一2/(5=3%+2,求/(x).

24

(3)內已知f(x)+2f(2-x)=3x2-8x+8,求/(x).

〈總結歸納〉對于法則只有一個描述，而不直接給出對應法則，反過來要求對應法則相關的

問題，在教學中統稱為函數方程問題(是以函數的解析式為未知量，給出一些相關條件，去

求解函數).也叫抽象函數問題，這是與給出解析式的具體函數對應的.

通過函數方程求值、通過函數方程求解析式(僅目標班)、判斷單調性與奇偶性的問題，都

是我們后面要研究的函數方程問題.這類問題的主要方法是賦值法.

難點抽象函數的求值問題

【鋪墊】已知/(x)的定義域為R,對任意的x,yeR,有/(x+y)=/(x)+/(y),則/(0)=

第02講

【例3】（1）禹定義在R+上的函數f（R滿足函》）=f（x）+/（y）（x，y」R、），已知〃8）=3,

則/⑴=,/（V2）=.

(2)由定義在R上的函數/(x)滿足f(x+y)=/(x)+/(y)+2個(x.yeR),/⑴=2,

則〃3)=，,/(-3)=

【拓展】已知定義域為R的函數〃x）滿足；〃x+y）=〃x）〃y），且〃3）＞1.

（1）求〃0）；

（2）求證：/（-4）＜1.

【拓展】已知/g+b）=〃4）"（b）,/（i）=2,則

/（2）+/（3）+/（4）/（2010）/（2011）/（2012）/（2013）_

/（1）〃2）/⑶/（2009）/（2010）/（2011）/（2012）--------------

（2）當xeN且x\2時，函數〃x）的表達式為.

26

第02講

2.2函數定義域與值域

知識點睛

圖象變換有四種基本的形式，包含九種具體的變換方式，如下:

函數.f（x）的圖象經過對應的變換后的對應解析式如下（4>0）：

四種基本九種具體的

針對圖象的具體操作變換后對應的解析式

變換形式變換方式

f(x-a)

水平平移向右（左）平移a個單位

(/(x+a))

平移變換

fM+a

垂直平移向上（下）平移a個單位

(f(x)-a')

X軸上方的圖象不變，將X軸下方的圖象

上下翻折|/?l

翻折到X軸上方來

翻折變換

y軸右邊的圖象不變，將y軸右邊的圖

左右翻折象翻折到y軸的左邊覆蓋原來左邊的圖/(|x|)

象

按X軸對稱將/（X）的圖象作關于X軸的對稱一

對稱變換按y軸對稱將/5）的圖象作關于y軸的對稱f(-x)

按原點對稱將f（x）的圖象作關于原點的對稱

伸縮變換橫向伸縮縱坐標不變，橫坐標變為原來的,f(ax)

a

27

第02講

(倍)

橫坐標不變，縱坐標變為到原來的a

縱向伸縮af{x}

(倍)

一個函數經過圖象變換變成一個新的函數，變化過程有兩個基本原則:

①所有的變換都只針對X或y本體;

②x的變化只影響橫方向，y的變化只影響縱方向.

由此我們可以得到：函數圖象縱方向的變換，如上下平移不會改變函數定義域：而橫方向的

變換，如左右平移不會改變函數的值域.

雷:難點函數圖象的三大變換

【鋪墊】試用圖象變換的知識畫出下列函數的草圖：

Y-4-1

(1)/“)=上；；?/(x)=|2x+l|；(3)/(x)=2|x|+l.

28

第02講

【例4］由試用圖象變換的知識畫出下列函數的草圖:

(1)f(x)=(2)/(X)=|X2-2X-3|；(3)f(x)=x2-2\x\-3.

0重點函數的定義域

知識點睛

求函數定義域問題：

⑴具體函數的自然定義域：

目前的限制條件有分母不為零，零的零次方無意義，偶次根式下非負；

(自然定義域以后還會增加對數函數的真數不為零，指數函數的底數大于零且不等于1等，

一個函數不標注定義域，則指得就是它的自然定義域，如〃x)=」一，不需要再注明XK1).

X-1

⑵限制定義域：

①人為規定的限制，如/(x)=/+l,2］；

②實際背景的限制，如物理中的時間f'0;再如實際問題中，一個物體的個數是非負整數

等；

⑶抽象復合函數的定義域問題.

29

第02講

暑假知識回顧

i.函數/(幻=1叱+」一的定義域是________

|x|-2

2.(1)已知函數“X)的定義域為(2,3],則/(x-1)的定義域為；

(2)已知函數〃x-l)的定義域為(2,3],則〃x)的定義域為；

(3)已知函數f(x+2)的定義域為(0,1),則/(x-5)的定義域為

【分析】以第⑴小題為例：

為什么會這樣？可以從兩個南度來理解：

一是上面所說的圖象的平移變換；/(x)向右平移1個單位得到/(x-1),所以/(x-1)的

定義域也是f(x)的定義域向右平移一個單位得到的.

第二種理解是直接從對函數的理解入手：需理解①“X)與/(x-1)是兩個不同函數；②

定義域是指X的范圍.而這兩個函數的公共點在于/是有要求的，對于/(X)而言只有當

xe(2,3]時才能被一作用，這個之外的數/就作用不了，所以f會對()內的數加以限

制，同樣的f的規則也會對/(x-l)括號中的數加以限制，這樣就得到一個基本的等價

形式，：都在/的作用下，.\()內的范圍應相同.

1

可以直接把⑴對應的函數簡單地構造出來，幫助學習理解，如“X)K+瘧I滿足

定義域為(2,3],則f(x-l)=定義域為(3,4].

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第02講

臂經典精講

二i的定義域為函數g(x)=J=的定義域為N,

【例5】(1)口若函數/(X)=JX2-2X

V龍一3

則MCICRN=

(2)心若函數/(X)="可的定義域為非空集合A，函數g(x)=J^三的定義域

為B,若AQ3=A，則”的取值范圍是.

【例6】(1)晶已知函數f(x+D的定義域為(0,3),則/(f)的定義域為

(2)由已知函數f(x)的定義域為(-1，9],則函數g(x)=f(l-x)+/(x+l)的定義域為

六難點|函數的值域

暑假知識回顧

1.求下列函數的值域：

(1)y=-3x+l,XG(L+oo)；(2)y=-x2-3x+2,x￡(-00,0]；

(3)y_L,xe[3,4-oo)；2

=(4)y-——,xe(0,1).

Xx

31

第02講

2.求下列函數的值域:

團y=3-2\/x；0y=3----,x>0；

x+1

0y=V-3+4X-X2；吁一舟TTT

經典精講

求解值域問題有兩個大致的方向，一個方向是借助于基本函數的圖象解決我們熟悉的函數

及其復合函數的值域問題，當然每個人熟悉的函數是不一樣多的，后面我們也會學習更多的

函數，比如對勾函數、指對函數，擴充我們的函數庫；另一個是借助于代數基本變形求值域，

比如配方法、換元法、分離常數法、判別式法等.當然，這兩個方向不是完全獨立的，很多

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第02講

時候，進行換元或者分離常數后，一個陌生的函數會轉化為我們熟悉的函數，從而利用圖象

解決值域問題.

⑴在高中范圍內，能借助于代數基本變形解決的值域問題通常次數差小于等于2,如：X+-,

X

x--,-V：+2x~3,-+2)+2等,再比如F三+X次數差也不超過2,這些問題都是可

XXX

以解決的，往往都是通過換元法轉化為二次函數相關的函數來求值域.如：

“+1=+2『")+1；Jl-x+x中:令/=Jl-x,則轉化為f+1-產，f20；包括

x+1都可以通過x+2>2得到它的最小值.

XXI{x>

⑵分式函數：

分式函數是高中挺常見的一類函數，形如畋的形式，其中P(x)與式外都是次數不超過2

q(x)

的多項式函數.

①一次比一次，如生工，我們通過分離常數將分子化為常數，得到3-——,這是反比例

X+\X+1

函數通過平移得到的函數；

②二次比一次，如Y+3X+4,令f=x+],得至|J+'+2=r+2+i,轉化為對勾函數；

X4-1tt

③一次比二次，如壓一，當XX0時，將分子除下來得到4—,分母即為②的形式；

X2+1%2+2