寶雞市重點中學2023-2024學年高三第一次調(diào)研測試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

寶雞市重點中學2023-2024學年高三第一次調(diào)研測試數(shù)學試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知奇函數(shù)是上的減函數(shù),若滿足不等式組,則的最小值為()A.-4 B.-2 C.0 D.42.在正方體中,點,,分別為棱,,的中點,給出下列命題:①;②;③平面;④和成角為.正確命題的個數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.33.已知集合,,則()A. B.C. D.4.已知函數(shù),則()A.2 B.3 C.4 D.55.當時,函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.6.的展開式中的項的系數(shù)為()A.120 B.80 C.60 D.407.設函數(shù)恰有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.8.已知,則的大小關系為()A. B. C. D.9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,,則輸出的()A.4 B.5 C.6 D.710.函數(shù)在上單調(diào)遞減,且是偶函數(shù),若,則的取值范圍是()A.(2,+∞) B.(﹣∞,1)∪(2,+∞)C.(1,2) D.(﹣∞,1)11.已知是邊長為的正三角形,若,則A. B.C. D.12.對某兩名高三學生在連續(xù)9次數(shù)學測試中的成績(單位:分)進行統(tǒng)計得到折線圖,下面是關于這兩位同學的數(shù)學成績分析.①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性,故平均成績?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,估計該同學平均成績在區(qū)間110,120內(nèi);③乙同學的數(shù)學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性,且為正相關;④乙同學連續(xù)九次測驗成績每一次均有明顯進步.其中正確的個數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,,則_____________.14.過直線上一動點向圓引兩條切線MA,MB,切點為A,B,若,則四邊形MACB的最小面積的概率為________.15.已知雙曲線:(,),直線:與雙曲線的兩條漸近線分別交于,兩點.若(點為坐標原點)的面積為32,且雙曲線的焦距為,則雙曲線的離心率為________.16.在長方體中,,,,為的中點,則點到平面的距離是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)萬眾矚目的第14屆全國冬季運動運會(簡稱“十四冬”)于2020年2月16日在呼倫貝爾市盛大開幕,期間正值我市學校放寒假,寒假結(jié)束后,某校工會對全校100名教職工在“十四冬”期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查,得到如圖頻數(shù)分布直方圖:(1)若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“冰雪迷”,否則定義為“非冰雪迷”,請根據(jù)頻率分布直方圖補全列聯(lián)表;并判斷能否有的把握認為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關;(2)在全校“冰雪迷”中按性別分層抽樣抽取6名,再從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座.記其中女職工的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828,18.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求的單調(diào)區(qū)間.(2)設直線是曲線的切線,若的斜率存在最小值-2,求的值,并求取得最小斜率時切線的方程.(3)已知分別在,處取得極值,求證:.19.(12分)如圖,點是以為直徑的圓上異于、的一點,直角梯形所在平面與圓所在平面垂直,且,.(1)證明:平面;(2)求點到平面的距離.20.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的值域;(2)的角的對邊分別為且,,求邊上的高的最大值.21.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù)),在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2是圓心為(2,),半徑為1的圓.(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程;(2)設M為曲線C1上的點,N為曲線C2上的點,求|MN|的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點,且,求的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域,畫出可行域和目標函數(shù),根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù),則,且,畫出可行域和目標函數(shù),,即,表示直線與軸截距的相反數(shù),根據(jù)平移得到:當直線過點,即時,有最小值為.故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,線性規(guī)劃問題,意在考查學生的綜合應用能力,畫出圖像是解題的關鍵.2、C【解析】

建立空間直角坐標系,利用向量的方法對四個命題逐一分析,由此得出正確命題的個數(shù).【詳解】設正方體邊長為,建立空間直角坐標系如下圖所示,,.①,,所以,故①正確.②,,不存在實數(shù)使,故不成立,故②錯誤.③,,,故平面不成立,故③錯誤.④,,設和成角為,則,由于,所以,故④正確.綜上所述,正確的命題有個.故選:C【點睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關系的向量判斷方法,考查運算求解能力,屬于中檔題.3、A【解析】

根據(jù)對數(shù)性質(zhì)可知,再根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運算可得.故選:A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質(zhì)比較大小,集合交集的簡單運算,屬于基礎題.4、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.【詳解】因為所以.故選:.【點睛】本題考查了分段函數(shù)計算,意在考查學生的計算能力.5、B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個零點,,不正確,設,則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個極大值點,不成立,排除,故選B.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導數(shù)的應用以及數(shù)學化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢,利用排除法,將不合題意選項一一排除.6、A【解析】

化簡得到,再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選:【點睛】本題考查了二項式定理,意在考查學生的計算能力.7、C【解析】

恰有兩個極值點,則恰有兩個不同的解,求出可確定是它的一個解,另一個解由方程確定,令通過導數(shù)判斷函數(shù)值域求出方程有一個不是1的解時t應滿足的條件.【詳解】由題意知函數(shù)的定義域為,.因為恰有兩個極值點,所以恰有兩個不同的解,顯然是它的一個解,另一個解由方程確定,且這個解不等于1.令,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,從而,且.所以,當且時,恰有兩個極值點,即實數(shù)的取值范圍是.故選:C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,函數(shù)與方程的應用,屬于中檔題.8、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將與對比,即可求出結(jié)論.【詳解】由題知,,則.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小,注意與特殊數(shù)的對比,屬于基礎題..9、C【解析】

根據(jù)程序框圖程序運算即可得.【詳解】依程序運算可得:,故選:C【點睛】本題主要考查了程序框圖的計算,解題的關鍵是理解程序框圖運行的過程.10、B【解析】

根據(jù)題意分析的圖像關于直線對稱,即可得到的單調(diào)區(qū)間,利用對稱性以及單調(diào)性即可得到的取值范圍。【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)滿足是偶函數(shù),則函數(shù)的圖像關于直線對稱,若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則在上遞增,所以要使,則有,變形可得,解可得:或,即的取值范圍為;故選:B.【點睛】本題考查偶函數(shù)的性質(zhì),以及函數(shù)單調(diào)性的應用,有一定綜合性,屬于中檔題。11、A【解析】

由可得,因為是邊長為的正三角形,所以,故選A.12、C【解析】

利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關性,成績的比較,說明正誤即可.【詳解】①甲同學的成績折線圖具有較好的對稱性,最高130分,平均成績?yōu)榈陀?30分,①錯誤;②根據(jù)甲同學成績折線圖提供的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,估計該同學平均成績在區(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學的數(shù)學成績與測試次號具有比較明顯的線性相關性,且為正相關,③正確;④乙同學在這連續(xù)九次測驗中第四次、第七次成績較上一次成績有退步,故④不正確.故選:C.【點睛】本題考查折線圖的應用,線性相關以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由集合和集合求出交集即可.【詳解】解:集合,,.故答案為:.【點睛】本題考查了交集及其運算,屬于基礎題.14、.【解析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為,求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率.【詳解】由圓的方程得,所以圓心為,半徑為,四邊形的面積,若四邊形的最小面積,所以的最小值為,而,即的最小值,此時最小為圓心到直線的距離,此時,因為,所以,所以的概率為.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系,及與長度有關的幾何概型,考查了學生分析問題的能力,難度一般.15、或【解析】

用表示出的面積,求得等量關系,聯(lián)立焦距的大小,以及,即可容易求得,則離心率得解.【詳解】聯(lián)立解得.所以的面積,所以.而由雙曲線的焦距為知,,所以.聯(lián)立解得或故雙曲線的離心率為或.故答案為:或.【點睛】本題考查雙曲線的方程與性質(zhì),考查運算求解能力以及函數(shù)與方程思想,屬中檔題.16、【解析】

利用等體積法求解點到平面的距離【詳解】由題在長方體中,,,所以,所以,設點到平面的距離為,解得故答案為:【點睛】此題考查求點到平面的距離,通過在三棱錐中利用等體積法求解,關鍵在于合理變換三棱錐的頂點.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)列聯(lián)表見解析,有把握;(2)分布列見解析,.【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖補全列聯(lián)表,求出,從而有的把握認為該校教職工是否為“冰雪迷”與“性別”有關.(2)在全校“冰雪迷”中按性別分層抽樣抽取6名,則抽中男教工:人,抽中女教工:人,從這6名“冰雪迷”中選取2名作冰雪運動知識講座.記其中女職工的人數(shù)為,則的可能取值為0,1,2,分別求出相應的概率,由此能求出的分布列和數(shù)學期望.【詳解】解:(1)由題意得下表:男女合計冰雪迷402060非冰雪迷202040合計6040100的觀測值為所以有的把握認為該校教職工是“冰雪迷”與“性別”有關.(2)由題意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男職工,2名女職工,所以的可能取值為0,1,2.且,,,所以的分布列為012【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用,考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法,考查古典概型、排列組合、頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎知識,考查運算求解能力,屬于中檔題.18、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;(2),;(3)證明見解析.【解析】

(1)由的正負可確定的單調(diào)區(qū)間;(2)利用基本不等式可求得時,取得最小值,由導數(shù)的幾何意義可知,從而求得,求得切點坐標后,可得到切線方程;(3)由極值點的定義可知是的兩個不等正根,由判別式大于零得到的取值范圍,同時得到韋達定理的形式;化簡為,結(jié)合的范圍可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題意得:的定義域為,當時,,,當和時,;當時,,的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.(2),所以(當且僅當,即時取等號),切線的斜率存在最小值,,解得:,,即切點為,從而切線方程,即:.(3),分別在,處取得極值,,是方程,即的兩個不等正根.則,解得:,且,.,,,即不等式成立.【點睛】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用,涉及到利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導數(shù)幾何意義的應用、利用導數(shù)證明不等式等知識;本題中證明不等式的關鍵是能夠通過極值點的定義將問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉畏匠谈姆植紗栴}.19、(1)見解析;(2)【解析】

(1)取的中點,證明,則平面平面,則可證平面.(2)利用,是平面的高,容易求.,再求,則點到平面的距離可求.【詳解】解:(1)如圖:取的中點,連接、.在中,是的中點,是的中點,平面平面,故平面在直角梯形中,,且,∴四邊形是平行四邊形,,同理平面又,故平面平面,又平面平面.(2)是圓的直徑,點是圓上異于、的一點,又∵平面平面,平面平面平面,可得是三棱錐的高線.在直角梯形中,.設到平面的距離為,則,即由已知得,由余弦定理易知:,則解得,即點到平面的距離為故答案為:.【點睛】考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法,是中檔題.20、(1).(2)【解析】

(1)由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的定義域和值域,得出結(jié)論.(2)由題意利用余弦定理?三角形的面積公式?基本不等式求得的最大值,可得邊上的高的最大值.【詳解】解:(1)∵函數(shù),當時,,.(2)中,,∴.由余弦定理可得,當且僅當時,取等號,即的最大值為3.再根據(jù),故當取得最大值3時,取得最大值為.【點睛】本題考查降冪公式、兩角和的正弦公式,考查正弦函數(shù)的性質(zhì),余弦定理,三角形面積公式,所用公式較多,選用恰當?shù)墓绞墙忸}關鍵,本題屬于中檔題.21、(1)C1:y2=1,C2:x2+(y﹣2)2=1;(2)[0,1]【解析】

(Ⅰ)消去參數(shù)φ可得C1的直角坐標方程,易得曲線C2的圓心的直角坐標為(0,2),可得C2的直角坐標方程;(Ⅱ)設M(3cosφ,sinφ),由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得|MC2|的取值范圍,結(jié)合圓的知識可得答案.【詳解】(1)消去參數(shù)φ

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