2025屆新高考數學精準突破復習切線放縮切線放縮思想一直是導數中重要的思想之一，某些求函數的最小值或證明不等式的問題，巧用切線放縮，會有意想不到的效果.一般試題難度較大.考情分析思維導圖內容索引典型例題熱點突破典例1

已知函數f(x)＝lnx－xex＋ax(a∈R).(1)若f(x)在[1，＋∞)上單調遞減，求實數a的取值范圍；考點一利用切線放縮求最值所以g(x)在[1，＋∞)上單調遞增，故g(x)min＝g(1)＝2e－1，因為a≤g(x)恒成立，所以a≤2e－1，故實數a的取值范圍為(－∞，2e－1].(2)若a＝1，求f(x)的最大值.方法一設φ(x)＝ex－x－1，則φ′(x)＝ex－1，令φ′(x)>0，則x>0，令φ′(x)<0，則x<0，所以φ(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，故φ(x)min＝φ(0)＝0，所以φ(x)≥0，故ex≥x＋1.當a＝1時，f(x)＝lnx－xex＋x＝lnx－elnx·ex＋x＝lnx－ex＋lnx＋x≤lnx－(x＋lnx＋1)＋x＝－1，當且僅當x＋lnx＝0時等號成立，即方程x＋lnx＝0有實根，所以f(x)max＝－1.所以h(x)在(0，＋∞)上單調遞減，所以h(x)在(0，＋∞)上有唯一的零點x0，當x∈(0，x0)時，h(x)>0，所以f′(x)>0，故f(x)在(0，x0)上單調遞增，當x∈(x0，＋∞)時，h(x)<0，所以f′(x)<0，故f(x)在(x0，＋∞)上單調遞減，從而f(x)max＝f(x0)＝lnx0－

＋x0，即f(x)的最大值為－1.跟蹤訓練1

已知函數

f(x)＝ax＋lnx＋1，若對任意的

x>0，f(x)≤xe2x

恒成立，求實數a的取值范圍.方法一(切線放縮，利用ex≥x＋1)對任意的x>0，f(x)≤xe2x

恒成立，因為xe2x－(lnx＋1)＝e2x＋lnx－(lnx＋1)≥(2x＋lnx＋1)－(lnx＋1)＝2x，當且僅當2x＋lnx＝0時等號成立(方程顯然有解)，所以a≤2.方法二(隱零點)因為f(x)＝ax＋lnx＋1，所以對任意的x>0，f(x)≤xe2x恒成立，等價于則只需a≤m(x)min

即可，再令g(x)＝2x2e2x＋lnx(x>0)，所以當0<x<x0

時，m′(x)<0，當x>x0時，m′(x)>0，所以m(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增，因為

＋lnx0＝0，所以ln2＋2lnx0＋2x0＝ln(－lnx0)，即ln(2x0)＋2x0＝ln(－lnx0)＋(－lnx0)，因為s(2x0)＝s(－lnx0)，所以2x0＝－lnx0，所以實數a的取值范圍為(－∞，2].典例2

已知函數f(x)＝ex－ln(x＋m).(1)設x＝0是f(x)的極值點，求m的值，并討論f(x)的單調性；考點二利用切線放縮證明不等式因為x＝0是f(x)的極值點，令u(x)＝(x＋1)ex－1(x>－1)，則u′(x)＝(x＋2)ex>0，所以u(x)在(－1，＋∞)上單調遞增，又u(0)＝0，所以當－1<x<0時，u(x)<0，故f′(x)<0；當x>0時，u(x)>0，故f′(x)>0，從而f(x)在(－1,0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增.(2)當m≤2時，證明：f(x)>0.方法一當m≤2時，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)，下面先證ex≥x＋1，令g(x)＝ex－x－1(x∈R)，則g′(x)＝ex－1，所以g′(x)<0?x<0，g′(x)>0?x>0，從而g(x)在(－∞，0)上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，故g(x)min＝g(0)＝0，所以g(x)≥0，從而ex≥x＋1，當且僅當x＝0時等號成立，再證ln(x＋2)≤x＋1，令h(x)＝ln(x＋2)－x－1(x>－2)，所以h′(x)>0?－2<x<－1，h′(x)<0?x>－1，從而h(x)在(－2，－1)上單調遞增，在(－1，＋∞)上單調遞減，故h(x)max＝h(－1)＝0，所以h(x)≤0，故ln(x＋2)≤x＋1，當且僅當x＝－1時等號成立，綜上所述，有ln(x＋2)≤x＋1≤ex，且兩個等號不能同時成立，所以ln(x＋2)<ex，故ex－ln(x＋2)>0，因為當m≤2時，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)，所以f(x)>0.方法二當m≤2時，f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2)，令g(x)＝ex－ln(x＋2)，x>－2，令h(x)＝(x＋2)ex－1(x>－2)，則h′(x)＝(x＋3)ex>0，所以h(x)在(－2，＋∞)上單調遞增，當－2<x<x0時，h(x)<0，所以g′(x)<0，當x>x0時，h(x)>0，所以g′(x)>0，從而g(x)在(－2，x0)上單調遞減，在(x0，＋∞)上單調遞增，故g(x)min＝g(x0)＝

－ln(x0＋2)，

①因為h(x0)＝(x0＋2)－1＝0，兩邊取對數得x0＝－ln(x0＋2)，所以g(x)>0，即ex－ln(x＋2)>0，因為當m≤2時，f(x)≥ex－ln(x＋2)，所以f(x)>0.跟蹤訓練2

已知函數f(x)＝lnx－a2x2＋ax.(1)試討論f(x)的單調性；f(x)的定義域為(0，＋∞)，當a＝0時，f(x)＝lnx在(0，＋∞)上單調遞增；(2)若a＝1，求證：當x>0時，f(x)<e2x－x2－2.當a＝1時，f(x)＝lnx－x2＋x，要證當x>0時，f(x)<e2x－x2－2，只需證lnx<e2x－x－2.令g(x)＝e2x－2x－1，則g′(x)＝2e2x－2＝2(e2x－1)，當x>0時，g′(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增，所以g(x)>g(0)＝0，所以當x>0時，e2x>2x＋1，所以e2x－x－2>x－1.所以h(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，＋∞)上單調遞增，所以h(x)min＝h(1)＝0，所以當x>0時，h(x)≥h(1)＝0，即當x>0時，x－1≥lnx，所以當x>0時，e2x－x－2>x－1≥lnx，即lnx<e2x－x－2，所以當x>0時，f(x)<e2x－x2－2.當要證明的不等式中既含有ex，又含有lnx時，一般我們形象地稱之為指對共生式，這類問題直接構造差函數進行研究可能會較為困難，突破這一困難一般采用指對放縮、分離雙函數、同構等技巧.常用的切線放縮有：總結提升在證明不等式的過程中，可通過上述常見的切線放縮，將ex或lnx放縮掉，再來證明不等式，這是指對共生式一種可以考慮的方向.注意：解題中若要用不等式ex≥x＋1，ex≥ex,1－

≤lnx≤x－1等進行放縮，需要先給出證明.總結提升1231.(2023·武漢模擬)已知函數f(x)＝ex－1－a(x＋1)(x≥1)，g(x)＝(x－1)lnx，其中e為自然對數的底數.(1)若f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍；123易證ex≥x＋1，所以ex－1≥x，當且僅當x＝1時取等號，123123(2)若a取(1)中的最大值，證明：f(x)≥g(x).易證lnx≤x－1，所以當x≥1時，(x－1)lnx≤(x－1)2，123123因為(x－1)2≥(x－1)lnx，123故f(x)≥g(x)成立.2.已知函數f(x)＝ex＋2x2－3x.(1)求函數f′(x)在區間[0,1]上的零點個數；(其中f′(x)為f(x)的導數)123函數f(x)＝ex＋2x2－3x的導數f′(x)＝ex＋4x－3，則f′(x)＝ex＋4x－3在區間(0,1)單調遞增，又f′(0)＝1－3＝－2<0，f′(1)＝e＋4－3＝e＋1>0，則函數f′(x)在區間[0,1]上只有一個零點.123由y＝ex－x－1，得y′＝ex－1，可得當x>0時，y′>0，函數y＝ex－x－1單調遞增，當x<0時，函數y＝ex－x－1單調遞減，則ex－x－1≥0，即ex≥x＋1，1231233.設函數f(x)＝aex－xlnx，其中a∈R.(1)若f(x)在定義域上是增函數，求實數a的取值范圍；123方法一由題意知，f′(x)＝aex－lnx－1(x>0)，且f′(x)≥0恒成立，123故g(x)在(0,1)上單調遞增，故g(x)在(1，＋∞)上單調遞減，123方法二由題意，f′(x)＝aex－lnx－1(x>0)，且f′(x)≥0恒成立，易證lnx≤x－1，ex≥ex，123123123下面證明當x>1時該不等式也成立，123令r(x