wordword/word1.2導數的運算常見函數的導數1.2.2函數的和、差、積、商的導數5分鐘訓練（預習類訓練，可用于課前）1.f(x)=0的導數是（）A.0B.1C.不存在D.不確定答案：A解析：f(x)=0是常數,常數的導數是0.2.函數y=sinx的導數為（）A.sinxB.cosxC.-cosxD.-sinx答案：B解析：由常用函數的導數公式可知(sinx)′=cosx.3.函數y=3x-4的導數是（）A.3B.-4C.-1D.12答案：A解析：由函數導數的運算法則知y′=3.4.函數y=x-(2x-1)2的導數是_____________.解析：y=x-4x2+4x-1=-4x2+5x-1.∴y′=-8x+5.答案：5-8x10分鐘訓練（強化類訓練，可用于課中）1.y=的導數是（）A.3x2B.13x2C.D.答案：D解析：∵y==，∴y′=()′==.2.y=cosx在x=處切線的斜率為（）A.B.C.-12D.12答案：C解析：y′=-sin=.3.函數y=sinxcosx的導數是（）A.sin2xB.cos2xC.sin2xD.cos2x答案：D解析：y′=(sinxcosx)′=(sinx)′cosx+sinx(cosx)′=cos2x-sin2x=cos2x.4.函數y=x2·cosx的導數為___________.解析：y′=(x2·cosx)′=(x2)′·cosx+x2·（cosx）′=2x·cosx-x2·sinx.答案：2x·cosx-x2·sinx5.過原點作曲線y=ex的切線，則切點的坐標為___________，切線的斜率為___________.解析：將ex求導知(ex)′=ex.設切點坐標為(x0,),則過該切點的直線的斜率為.∴直線方程為y-=(x-x0).∴y-=·x-x0·.∵直線過原點,∴(0,0)符合上述方程.∴x0·=.∴x0=1.∴切點為(1,e),斜率為e.答案:(1,e)e6.求下列函數的導數.(1)y=x4-3x2-5x+6;(2)y=x·tanx;(3)y=;(4)y=(x+1)(x+2)(x+3).解：(1)y′=(x4-3x2-5x+6)′=(x4)′-3(x2)′-5x′+6′=4x3-6x-5.(2)y′=(x·tanx)′=()′=====.(3)解法一：y′=()′===.解法二：y=1,y′=(1)′=()′==.(4)解法一：y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.解法二：y=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.30分鐘訓練（鞏固類訓練，可用于課后）1.若y=sint,則y′|t=6π等于（）A.1B.-1C.0D.cost答案：A解析：y′|t=6π=cos6π=1.2.曲線y=2x3-6x上切線平行于x軸的點的坐標是…（）A.（-1，4）B.（1，-4）C.（-1，-4）或（1，4）D.（-1，4）或（1，-4）答案：D解析：y′=(2x3-6x)′=6x2-6,由y′=0,得x=1或x=-1.代入y=2x3-6x,得y=-4或y=4.即所求點的坐標為(1,-4)或(-1,4).3.曲線f(x)=x3+x-2在P0點處的切線平行于直線y=4x-1,則P0點的坐標為()A.(1,0)或(-1,-4)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,4)答案：A4.設y=-2exsinx,則y′等于()A.-2excosxB.-2exsinxC.2exsinxD.-2ex(sinx+cosx)答案：D解析：y′=-2(exsinx+excosx)=-2ex(sinx+cosx).5.設f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),則f′(0)等于…()A.100B.0C.100×99×98×…×3×2×1D.1答案：C解析：∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-100),∴f′(x)=(x-1)(x-2)…(x-100)+x·［(x-1)·(x-2)…(x-100)］′.∴f′(0)=(-1)(-2)…(-100)=100×99×98×…×3×2×1.6.曲線y=x3在點(a,a3)(a≠0)處的切線與x軸、直線x=a所圍成的三角形的面積為,則a=_______________.解析：∵y=x3,∴y′=3x2.∴y=x3在(a,a3)點的切線斜率k為3a2.∴切線方程為y-a3=3a2(x-a),y=3a2x-2a3.令3a2x-2a3=0,得x=a,即y=3a2x-2a3與x軸交點橫坐標為a.令x=a,得y=3a2×a-2a3=a3,即y=3a2x-2a3與x=a交點縱坐標為a3.∴S△=×(aa)×a3=.∴a=±1.答案：±17.已知直線l是曲線y=x3+x的切線中傾斜角最小的切線，則l的方程是_______________.解析：∵y′=x2+1≥1，∴過點（0，0）且斜率為1的切線傾斜角最小.∴直線l的方程是y=x.答案：y=x8.已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f′(x)=g′(x),f(5)=30,求g(4).解：由f(2x+1)=4g(x),得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.于是有由f′(x)=g′(x),得2x+a=2x+c,∴a=c.③由f(5)=30,得25+5a+b=30.④∴由①③可得a=c=2.由④得b=-5,再由②得d=.∴g(x)=x2+2x.故g(4)=16+8=.9.設直線l1與曲線y=相切于P,直線l2過P且垂直于l1,若l2交x軸于Q點,又作PK垂直于x軸于K,求KQ的長.解：先確定l2的斜率,再寫出方程,設P(x0,y0),則=y′|x=x0=.由l2和l1垂直,故=-2,于是l2:y-y0=-2(x-x0),令y=0,則-y0=-2(xQ-x0),即-=-2(xQ-x0).解得xQ=+x0.易得xK=x0.∴|KQ|=|xQ-xK|=.10.已知拋物線C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a.如果直線l同時是C1和C2的切線,稱l是C1和C2的公切線,公切線上兩個切點之間的線段稱為公切線段.(1)a取什么值時,C1和C2有且僅有一條公切線?寫出此公切線的方程.(2)若C1和C2有兩條公切線,證明相應的兩條公切線段互相平分.答案：(1)解:函數y=x2+2x的導數y′=2x+2,曲線C1在點P(x1,x12+2x1)的切線方程是y-(x12+2x1)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x12.①函數y=-x2+a的導數y′=-2x,曲線C2在點Q(x2,-x22+a)的切線方程是y-(-x22+a)=-2x2(x-x2),即y=-2x2x+x22+a.②如果直線l是過P和Q的公切線,則①式和②式都是l的方程，消去x2得方程2x12+2x1+1+a=0,此方程Δ=4-4×2(1+a).由Δ=0,得a=,解得x1=,此時P與Q重合,即當a=時,C1和C2有且僅有一條公切線.由①得公切線方程為y=x-.(2)證明:由(1)可知當a<時,