習(xí)題十二1．寫出下列級數(shù)的一般項(xiàng)：(1)；(2)；(3)；解：(1)； (2)； (3)；2．求下列級數(shù)的和：(1)；(2)；(3)；解：(1)從而因此，故級數(shù)的和為(2)因?yàn)閺亩裕醇墧?shù)的和為．(3)因?yàn)閺亩醇墧?shù)的和為．3．判定下列級數(shù)的斂散性：(1)；(2)；(3)；(4)；解：(1)從而，故級數(shù)發(fā)散．(2)從而，故原級數(shù)收斂，其和為．(3)此級數(shù)為的等比級數(shù)，且|q|<1，故級數(shù)收斂．(4)∵，而，故級數(shù)發(fā)散．4．利用柯西審斂原理判別下列級數(shù)的斂散性：(1)； (2)；(3)．解：(1)當(dāng)P為偶數(shù)時，當(dāng)P為奇數(shù)時，因而，對于任何自然數(shù)P，都有，ε>0，取，則當(dāng)n>N時，對任何自然數(shù)P恒有成立，由柯西審斂原理知，級數(shù)收斂．(2)對于任意自然數(shù)P，都有于是，ε>0(0<ε<1)，N=，當(dāng)n>N時，對任意的自然數(shù)P都有成立，由柯西審斂原理知，該級數(shù)收斂．(3)取P=n，則從而取，則對任意的n∈N，都存在P=n所得，由柯西審斂原理知，原級數(shù)發(fā)散．5．用比較審斂法判別下列級數(shù)的斂散性．(1)；(2)(3)； (4)；(5)； (6)．解：(1)∵而收斂，由比較審斂法知收斂．(2)∵而發(fā)散，由比較審斂法知，原級數(shù)發(fā)散．(3)∵而收斂，故也收斂．(4)∵而收斂，故收斂．(5)當(dāng)a>1時，，而收斂，故也收斂．當(dāng)a=1時，，級數(shù)發(fā)散．當(dāng)0<a<1時，，級數(shù)發(fā)散．綜上所述，當(dāng)a>1時，原級數(shù)收斂，當(dāng)0<a≤1時，原級數(shù)發(fā)散．(6)由知而發(fā)散，由比較審斂法知發(fā)散．6．用比值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：(1)； (2)；(3)；(1)解：(1)，，由比值審斂法知，級數(shù)收斂．(2)所以原級數(shù)發(fā)散．(3)所以原級數(shù)發(fā)散．(4)故原級數(shù)收斂．7．用根值判別法判別下列級數(shù)的斂散性：(1)； (2)；(3)；(4)，其中an→a（n→∞），an，b，a均為正數(shù)．解：(1)，故原級數(shù)發(fā)散．(2)，故原級數(shù)收斂．(3)，故原級數(shù)收斂．(4)，當(dāng)b<a時，<1，原級數(shù)收斂；當(dāng)b>a時，>1，原級數(shù)發(fā)散；當(dāng)b=a時，=1，無法判定其斂散性．8．判定下列級數(shù)是否收斂？若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？(1)； (2)；(3)；(4)； (5)；(6)．解：(1)，級數(shù)是交錯級數(shù)，且滿足，，由萊布尼茨判別法級數(shù)收斂，又是P<1的P級數(shù)，所以發(fā)散，故原級數(shù)條件收斂．(2)，為交錯級數(shù)，且，，由萊布尼茨判別法知原級數(shù)收斂，但由于所以，發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂．(3)民，顯然，而是收斂的等比級數(shù)，故收斂，所以原級數(shù)絕對收斂．(4)因?yàn)椋士傻茫茫啵墧?shù)發(fā)散．(5)當(dāng)α>1時，由級數(shù)收斂得原級數(shù)絕對收斂．當(dāng)0<α≤1時，交錯級數(shù)滿足條件：；，由萊布尼茨判別法知級數(shù)收斂，但這時發(fā)散，所以原級數(shù)條件收斂．當(dāng)α≤0時，，所以原級數(shù)發(fā)散．(6)由于而發(fā)散，由此較審斂法知級數(shù)發(fā)散．記，則即又由知，由萊布尼茨判別法，原級數(shù)收斂，而且是條件收斂．9．判別下列函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在所示區(qū)間上的一致收斂性．(1)，x∈[-3,3]； (2)，x∈[0,1]；(3)，x∈(-∞,+∞)； (4)，|x|<5；(5)，x∈(-∞,+∞)解：(1)∵，x∈[-3,3]，而由比值審斂法可知收斂，所以原級數(shù)在[-3,3]上一致收斂．(2)∵，x∈[0,1]，而收斂，所以原級數(shù)在[0,1]上一致收斂．(3)∵，x∈(-∞,+∞)，而是收斂的等比級數(shù)，所以原級數(shù)在(-∞,+∞)上一致收斂．(4)因?yàn)椋瑇∈(-5,5)，由比值審斂法可知收斂，故原級數(shù)在(-5,5)上一致收斂．(5)∵，x∈(-∞,+∞)，而是收斂的P-級數(shù)，所以原級數(shù)在(-∞,+∞)上一致收斂．10．若在區(qū)間Ⅰ上，對任何自然數(shù)n．都有|Un(x)|≤Vn(x)，則當(dāng)在Ⅰ上一致收斂時，級數(shù)在這區(qū)間Ⅰ上也一致收斂．證：由在Ⅰ上一致收斂知，ε>0，N(ε)>0，使得當(dāng)n>N時，x∈Ⅰ有|Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)|<ε，于是，ε>0，N(ε)>0，使得當(dāng)n>N時，x∈Ⅰ有|Un+1(x)+Un+2(x)+…+Un+p(x)|≤Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)≤|Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)|<ε，因此，級數(shù)在區(qū)間Ⅰ上處處收斂，由x的任意性和與x的無關(guān)性，可知在Ⅰ上一致收斂．11．求下列冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域：(1)x+2x2+3x3+…+nxn+…； (2)；(3)； (4)；解：(1)因?yàn)椋允諗堪霃绞諗繀^(qū)間為(-1,1)，而當(dāng)x=±1時，級數(shù)變?yōu)椋芍墧?shù)發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1)．(2)因?yàn)樗允諗堪霃剑諗繀^(qū)間為(-e,e)．當(dāng)x=e時，級數(shù)變?yōu)椋粦?yīng)用洛必達(dá)法則求得，故有由拉阿伯判別法知，級數(shù)發(fā)散；易知x=-e時，級數(shù)也發(fā)散，故收斂域?yàn)?-e,e)．(3)級數(shù)缺少偶次冪項(xiàng)．根據(jù)比值審斂法求收斂半徑．所以當(dāng)x2<1即|x|<1時，級數(shù)收斂，x2>1即|x|>1時，級數(shù)發(fā)散，故收斂半徑R=1．當(dāng)x=1時，級數(shù)變?yōu)椋?dāng)x=-1時，級數(shù)變?yōu)椋芍l(fā)散，從而也發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1)．(4)令t=x-1，則級數(shù)變?yōu)椋驗(yàn)樗允諗堪霃綖镽=1．收斂區(qū)間為-1<x-1<1即0<x<2.當(dāng)t=1時，級數(shù)收斂，當(dāng)t=-1時，級數(shù)為交錯級數(shù)，由萊布尼茨判別法知其收斂．所以，原級數(shù)收斂域?yàn)?≤x≤2，即[0,2]12．利用冪級數(shù)的性質(zhì)，求下列級數(shù)的和函數(shù)：(1)； (2)；解：(1)由知，當(dāng)|x|=<1時，原級數(shù)收斂，而當(dāng)|x|=1時，的通項(xiàng)不趨于0，從而發(fā)散，故級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1)．記易知的收斂域?yàn)?-1,1)，記則于是，所以(2)由知，原級數(shù)當(dāng)|x|<1時收斂，而當(dāng)|x|=1時，原級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)的收斂域?yàn)?-1,1)，記，易知級數(shù)收斂域?yàn)?-1,1)，記，則，故即，，所以13．將下列函數(shù)展開成x的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間：(1)f(x)=ln(2+x)； (2)f(x)=cos2x；(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)； (4)；(5)； (6)；(7)f(x)=excosx； (8)．解：(1)由于，(-1<x≤1)故，(-2≤x≤2)因此，(-2≤x≤2)(2)由，(-∞<x<+∞)得所以，(-∞<x<+∞)(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)由，(-1≤x≤1)所以(-1≤x≤1)(4)由于(-1≤x≤1)故 (-1≤x≤1)(5)(6)由，x∈(-∞,+∞)得，x∈(-∞,+∞)所以(7)因?yàn)闉榈膶?shí)部，而取上式的實(shí)部．得(-∞<x<+∞)(8)由于|x|<1而，所以(|x|<2)14．將展開成(x+4)的冪級數(shù)．解：而又所以15．將函數(shù)展開成(x-1)的冪級數(shù)．解：因?yàn)樗?-1<x-1<1)即16．利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式，求下列各數(shù)的近似值：(1)ln3（誤差不超過0.0001）； (2)cos20（誤差不超過0.0001）解：(1)，x∈(-1,1)令，可得，故又故 ．因而取n=6則(2)∵；故17．利用被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式，求定積分（誤差不超過0.001）的近似值．解：由于，（-1≤x≤1）故而，，．因此18．判別下列級數(shù)的斂散性：(1)； (2)；(3)．解：(1)∵而故級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法知原級數(shù)發(fā)散．(2)∵由比值審斂法知級數(shù)收斂，由比較審斂法知，原級數(shù)收斂．(3)∵由知級數(shù)收斂，由比較審斂法知，原級數(shù)收斂．19．若存在，證明：級數(shù)收斂．證：∵存在，∴M>0，使|n2Un|≤M，即n2|Un|≤M，|Un|≤而收斂，故絕對收斂．20．證明，若收斂，則絕對收斂．證：∵而由收斂，收斂，知收斂，故收斂，因而絕對收斂．21．若級數(shù)與都絕對收斂，則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在R上一致收斂．證：Un(x)=ancosnx+bnsinnx，x∈R有由于與都絕對收斂，故級數(shù)收斂．由魏爾斯特拉斯判別法知，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在R上一致收斂．22．計(jì)算下列級數(shù)的收斂半徑及收斂域：(1)； (2)；(3)解：(1)∴，又當(dāng)時，級數(shù)變?yōu)椋驗(yàn)樗援?dāng)，級數(shù)發(fā)散，故原級數(shù)的收斂半徑，收斂域(-,)．(2)故，又∵．所以當(dāng)(x+1)=±2時，級數(shù)發(fā)散，從而原級數(shù)的收斂域?yàn)?2<x+1<2，即-3<x<1，即(-3,1)(3)∴，收斂區(qū)間-2<x-1<2，即-1<x<3．當(dāng)x=-1時，級數(shù)變?yōu)椋浣^對收斂，當(dāng)x=3時，級數(shù)變?yōu)椋諗浚虼嗽墧?shù)的收斂域?yàn)閇-1,3]．23．將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)．解：由于所以 （|x|≤1）24．判別下列級數(shù)在指定區(qū)間上的一致收斂性：(1)，x∈[-3,+∞)； (2)，x∈(2,+∞)；(3)，x∈(-∞,+∞)；解：(1)考慮n≥2時，當(dāng)x≥-3時，有而收斂，由魏爾斯特拉斯判別法知，級數(shù)在[-3,+∞)上一致收斂．(2)當(dāng)x>2時，有由知級數(shù)收斂，由魏爾斯特拉斯判別法知，級數(shù)在(2,+∞)上一致收斂．(3)x∈R有而收斂，由魏爾斯特拉斯判別法知，級數(shù)在(-∞,+∞)上一致收斂．25．求下列級數(shù)的和函數(shù)：(1)； (2)；(3)； (4)．解：(1)可求得原級數(shù)的收斂半徑R=1，且當(dāng)|x|=1時，級數(shù)是收斂的交錯級數(shù)，故收斂域?yàn)閇-1,1]記則S1(0)=0,所以即S1(x)=arctanx，所以S(x)=xarctanx，x∈[-1,1]．(2)可求得原級數(shù)的收斂半徑R=1，且當(dāng)|x|=1時，原級數(shù)發(fā)散．記則，即，S(0)=0所以，(|x|<1)(3)由知收斂域?yàn)?-∞,+∞)．記則，所以，(-∞<x<+∞)(4)由知收斂半徑R=1，當(dāng)x=1時，級數(shù)變?yōu)椋芍墧?shù)收斂，當(dāng)x=-1時，級數(shù)變?yōu)槭鞘諗康慕诲e級數(shù)，故收斂域?yàn)閇-1,1]．記則S(0)=0，，（x≠1）所以即即當(dāng)x≠0時，，又當(dāng)x=1時，可求得S(1)=1（∵）綜上所述26．設(shè)f(x)是周期為2π的周期函數(shù)，它在(-π,π]上的表達(dá)式為試問f(x)的傅里葉級數(shù)在x=-π處收斂于何值？解：所給函數(shù)滿足狄利克雷定理的條件，x=-π是它的間斷點(diǎn)，在x=-π處，f(x)的傅里葉級數(shù)收斂于27．寫出函數(shù)的傅里葉級數(shù)的和函數(shù)．解：f(x)滿足狄利克雷定理的條件，根據(jù)狄利克雷定理，在連續(xù)點(diǎn)處級數(shù)收斂于f(x)，在間斷點(diǎn)x=0，x=±π處，分別收斂于，，，綜上所述和函數(shù)．28．寫出下列以2π為周期的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)，其中f(x)在[-π,π)上的表達(dá)式為：(1)(2)；(3)(4).

解：(1)函數(shù)f(x)滿足狄利克雷定理的條件，x=nπ，n∈z是其間斷點(diǎn)，在間斷占處f(x)的傅里葉級數(shù)收斂于，在x≠nπ，有于是f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為(x≠nπ)(2)函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，故其傅里葉級數(shù)在(-∞,+∞)上收斂于f(x)，注意到f(x)為偶函數(shù)，從而f(x)cosnx為偶函數(shù)，f(x)sinnx為奇函數(shù)，于是，，(n=1,2,…)所以，f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為：(-∞<x<∞)(3)函數(shù)在x=(2n+1)π(n∈z)處間斷，在間斷點(diǎn)處，級數(shù)收斂于0，當(dāng)x≠(2n+1)π時，由f(x)為奇函數(shù)，有an=0,（n=0,1,2,…）所以(x≠(2n+1)π,n∈z)(4)因?yàn)樽鳛橐?π為周期的函數(shù)時，處處連續(xù)，故其傅里葉級數(shù)收斂于f(x)，注意到f(x)為偶函數(shù)，有bn=0(n=1,2,…)，所以f(x)的傅里葉級數(shù)展開式為：x∈[-π,π]29.將下列函數(shù)f(x)展開為傅里葉級數(shù)：(1)(2)解：(1)故(-π<x<π)(2)所給函數(shù)拓廣為周期函數(shù)時處處連續(xù)，因此其傅里葉級數(shù)在[0,2π]上收斂于f(x)，注意到f(x)為偶函數(shù)，有bn=0,所以(0≤x≤2π)30.設(shè)f(x)=x+1(0≤x≤π)，試分別將f(x)展開為正弦級數(shù)和余弦級數(shù).解：將f(x)作奇延拓，則有an=0(n=0,1,2,…)從而(0<x<π)若將f(x)作偶延拓，則有bn=0(n=1,2,…)從而(0≤x≤π)31.將f(x)=2+|x|(-1≤x≤1)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù)，并由此求級數(shù)的和.解：f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)連續(xù)，其傅里葉級數(shù)處處收斂，由f(x)是偶函數(shù)，故bn=0,(n=1,2,…)所以，x∈[-1,1]取x=0得，，故所以32.將函數(shù)f(x)=x-1(0≤x≤2)展開成周期為4的余弦級數(shù).解：將f(x)作偶延拓，作周期延拓后函數(shù)在(-∞,+∞)上連續(xù),則有bn=0(n=1,2,3,…)故(0≤x≤2)33.設(shè)，-∞<x<+∞，其中，求.解：先對f(x)作偶延拓到[-1,1]，再以2為周期延拓到(-∞,+∞)將f(x)展開成余弦級數(shù)而得到s(x)，延拓后f(x)在處間斷，所以34.設(shè)函數(shù)f(x)=x2(0≤x<1)，而，-∞<x<+∞，其中(n=1,2,3,…)，求.解：先對f(x)作奇延拓到,[-1,1]，再以2為周期延拓到(-∞,+∞)，并將f(x)展開成正弦級數(shù)得到s(x)，延拓后f(x)在處連續(xù)，故..35.將下列各周期函數(shù)展開成為傅里葉級數(shù)，它們在一個周期內(nèi)的表達(dá)式分別為：(1)f(x)=1-x2；(2)解：（1）f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)，故其傅里葉級數(shù)在每一點(diǎn)都收斂于f(x)，由于f(x)為偶函數(shù)，有bn=0(n=1,2,3,…)，所以(-∞<x<+∞)(2)，而函數(shù)f(x)在x=3(2k+1)，k=0,±1,±2,…處間斷，故(x≠3(2k+1)，k