湖南省益陽市赫山中學(xué)高二數(shù)學(xué)文下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.(

)A. B.2 C. D.參考答案：A【分析】將定積分分為前后兩部分,前面部分奇函數(shù)積分為0,后面部分轉(zhuǎn)換為半圓,相加得到答案.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查了定積分計(jì)算的兩個(gè)方法,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.2.若集合，則

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D3.集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.中，角所對(duì)的邊分別為，若，則角為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：A5.若非零向量，滿足||＝||，(2＋)·＝0，則與的夾角為（

）A．150°

B．120°

C．60°

D．30°參考答案：B6.函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+2x在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增的一個(gè)充分不必要條件是（）A．a(chǎn)∈[0，6] B． C．a(chǎn)∈[﹣6，6] D．a(chǎn)∈[1，2]參考答案：D【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】先求導(dǎo)，再根據(jù)判別式即可求出a的范圍，問題得以解決，【解答】解：函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+2x是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴f′（x）=3x2﹣2ax+2≥0，∴△=4a2﹣24≤0，解得﹣≤a≤，函數(shù)f（x）=x3﹣ax2+2x在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增的一個(gè)充分不必要條件是：[1，2]．故選：D．7.如下圖在直三棱柱中，，，已知與分別為和的中點(diǎn)，與分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為（

）． A． B． C． D．參考答案：A建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．∵，∴，∴，∵，，∴，∴當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最小值是，當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值是，（因?yàn)椴话ǘ它c(diǎn)，故不能取，即長(zhǎng)度不能等于），故線段的長(zhǎng)度的取值范圍是：，故選．8.若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()A.4x－y－3＝0

B．x＋4y－5＝0

C．4x－y＋3＝0

D．x＋4y＋3＝0參考答案：A9.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是（）A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；壓軸題．【分析】若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個(gè)結(jié)論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【解答】解：已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率，∴≥，離心率e2=，∴e≥2，故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要注意挖掘隱含條件．10.“a≤0”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（

）A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若曲線y=與直線y=x+b有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是．參考答案：﹣3≤b≤1【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；直線與圓．【分析】曲線y=即（x﹣2）2+y2=4（y≥0），表示以A（2，0）為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，解得b．當(dāng)直線過點(diǎn)（4，0）時(shí)，b=﹣3，可得b的范圍．【解答】解：曲線y=即（x﹣2）2+y2=4（y≥0），表示以A（2，0）為圓心，以2為半徑的一個(gè)半圓，由圓心到直線y=x+b的距離等于半徑2，可得=2，∴b=1，或b=﹣2．當(dāng)直線過點(diǎn)（4，0）時(shí)，b=﹣3，∵曲線y=與直線y=x+b有公共點(diǎn)，∴可得﹣3≤b≤1．故答案為：﹣3≤b≤1．【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是直線與圓的位置關(guān)系，主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．12.設(shè)集合的取值區(qū)間是

.參考答案：13.設(shè)函數(shù)，則的值為

.參考答案：-414.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

．參考答案：略15.若異面直線所成的角為，且直線，則異面直線所成角的范圍是___

.

參考答案：.解析：c為和a垂直的某一平面內(nèi)的任一直線.則b和平面所成角為b和c所成的最小角,如平面內(nèi)和b在平面內(nèi)的射影垂直的直線和b所成角最大為故異面直線所成角的范圍是.16.內(nèi)角的對(duì)邊分別是，若，,則

.參考答案：17.等差數(shù)列中公差，，則通項(xiàng)公式

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.棱臺(tái)的三視圖與直觀圖如圖所示.

（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使與平面所成的角的正弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.參考答案：（1）根據(jù)三視圖可知平面，為正方形，所以.因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)椋云矫?因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

根據(jù)三視圖可知為邊長(zhǎng)為2的正方形，為邊長(zhǎng)為1的正方形，平面，且所以，，，，.因?yàn)樵谏希钥稍O(shè).因?yàn)椋?所以，.設(shè)平面的法向量為，根據(jù)令，可得，所以.設(shè)與平面所成的角為，.所以，即點(diǎn)在的中點(diǎn)位置.19.如圖，在三棱錐中，面面，是正三角形，，．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面DAB與平面ABC的夾角的余弦值；（Ⅲ）求異面直線與所成角的余弦值．參考答案：（Ⅰ）分別取、的中點(diǎn)、，連結(jié)、．∵是正三角形，∴．∵面⊥面，且面面，∴平面．∵是的中位線，且平面，∴平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，所

在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，

，，．∴，．

……2分∴．∴，即．

…5分（Ⅱ）∵平面，

∴平面的法向量為．

設(shè)平面的法向量為，∴，．∴，即．，即．∴令，則，．

∴．

．

平面DAB與平面ABC的夾角的余弦值為

…10分（Ⅲ）∵，，∴．∴異面直線與所成角的余弦值為

…14分20.如圖，橢圓C：（a＞b＞0）的離心率是，點(diǎn)E（，）在橢圓上，設(shè)點(diǎn)A1，B1分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過點(diǎn)A1，B1引橢圓C的兩條弦A1E、B1F．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（II）若直線A1E與B1F的斜率是互為相反數(shù)．（i）直線EF的斜率是否為定值？若是求出該定值，若不是，說明理由；（ii）設(shè)△A1EF、△B1EF的面積分別為S1和S2，求S1+S2的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率是，點(diǎn)E（，）在橢圓上，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）（i）求出A1（2，0），B1（0，1），從而得到=﹣，=，進(jìn)而求出直線B1F，與橢圓聯(lián)立，求出F，由此能求出直線EF的斜率為定值．（ii）求出直線EF和方程和|EF|，再分別求出點(diǎn)A1（2，0）到直線EF的距離和點(diǎn)B1（0，1）到直線EF的距離，由此能求出S1+S2．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓C：（a＞b＞0）的離心率是，點(diǎn)E（，）在橢圓上，∴，解得a=2，b=1，∴橢圓C的方程為．（Ⅱ）（i）∵E（，）在橢圓上，點(diǎn)A1，B1分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過點(diǎn)A1，B1引橢圓C的兩條弦A1E、B1F．∴A1（2，0），B1（0，1），∴==﹣，∴=，∴直線B1F：，即y=+1，聯(lián)立，消去y，并整理，得x2+x=0，解得x=0或x=﹣1，∴或，∴F（﹣1，﹣），∴kEF==，∴直線EF的斜率為定值．（ii）直線EF：y﹣=（x﹣），即x﹣2y﹣=0，|EF|==，點(diǎn)A1（2，0）到直線x﹣2y﹣=0的距離d1==，點(diǎn)B1（0，1）到直線x﹣2y﹣=0的距離d2==，∵△A1EF、△B1EF的面積分別為S1和S2，∴S1+S2===．21.某班共有學(xué)生45人，其中女生18人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從男、女學(xué)生中各抽取若干學(xué)生進(jìn)行演講比賽，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表（單位：人）性別學(xué)生人數(shù)抽取人數(shù)女生18男生3

（1）求和；（2）若從抽取的學(xué)生中再選2人做專題演講，求這2人都是男生的概率．參考答案：（1），（2）．分析】（1）求出男生的數(shù)量，由抽樣比相同，可得的值；（2）分別求出從抽取的5人中再選2人做專題演講的基本事件數(shù)，從3名男生選中的2人都是男生的事件數(shù)，可得抽出2人都是男生的概率.【詳解】解：（1）由題意可得，，又，所以；（2）記從女生中抽取的2人為，，從男生中抽取的3人為，，，則從抽取的5人中再選2人做專題演講的基本事件有，，，，，，，，，共10種．設(shè)選中的2人都是男生的事件為，則包含的基本事件有，，共3種．因此．故2人都是男生的概率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣及由古典概率公式計(jì)算概率，相對(duì)不難.22.（本題10分）袋中有紅、白兩種顏色的小球共7個(gè)，它們除顏色外完全相同，從中任取2個(gè)，都是白色小球的概率為，甲、