湖南省衡陽市耒陽市龍形中學高三數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某一棱錐的三視圖如右圖，則其側面積為(

)

(A)．

(B)．(C)．

(D)．參考答案：C2.已知函數f（x）=x2+bx，則“b＜0”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】求出f（x）的最小值及極小值點，分別把“b＜0”和“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”當做條件，看能否推出另一結論即可判斷．【解答】解：f（x）的對稱軸為x=﹣，fmin（x）=﹣．（1）若b＜0，則﹣＞﹣，∴當f（x）=﹣時，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，即f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的充分條件．（2）若f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等，則fmin（x）≤﹣，即﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的必要條件．故選A．【點評】本題考查了二次函數的性質，簡易邏輯關系的推導，屬于基礎題．3.已知函數f（x）=，則f（2016）=（）A．2016 B． C．2017 D．參考答案：D【考點】分段函數的應用．【專題】計算題；規(guī)律型；函數思想；方程思想；轉化思想；函數的性質及應用．【分析】利用x＞0時函數的遞推關系式，通過分段函數求解函數值即可．【解答】解：函數f（x）=，則f（2016）=f（2015）+1=f（2014）+2=…=f（0）+2016=f（﹣1）+2017=．故選：D．【點評】本題考查分段函數的應用，函數值的求法，考查計算能力．4.已知不等式組，表示平面區(qū)域，現在往拋物線與兩坐標軸正半軸圍成的封閉區(qū)域內隨機地拋擲一粒小顆粒，則該顆粒落到區(qū)域內的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D5.已知角α終邊上一點P的坐標是（2sin2，﹣2cos2），則sinα等于（） A．sin2 B．﹣sin2 C．cos2 D．﹣cos2參考答案：D【考點】任意角的三角函數的定義． 【專題】三角函數的求值． 【分析】由條件利用任意角的三角函數的定義，求得sinα的值． 【解答】解：∵角α終邊上一點P的坐標是（2sin2，﹣2cos2）， ∴x=2sin2，y=﹣2cos2，r=|OP|=2，∴sinα===﹣cos2， 故選：D． 【點評】本題主要考查任意角的三角函數的定義，屬于基礎題． 6.曲線f（x）=++1在（1，6）處的切線經過過點A（﹣1，y1），B（3，y2），則y1與y2的等差中項為（）A．﹣6 B．﹣4 C．4 D．6參考答案：D【考點】等差數列的通項公式；利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】計算題；綜合法；導數的概念及應用；等差數列與等比數列．【分析】由導數的幾何意義求出曲線f（x）=++1在（1，6）處的切線為y=﹣，由此求出y1，y2，從而能求出y1與y2的等差中項．【解答】解：∵f（x）=++1，∴，∴f′（1）==﹣，∴曲線f（x）=++1在（1，6）處的切線為：y﹣6=﹣，即y=﹣，∵切線經過過點A（﹣1，y1），B（3，y2），∴，=﹣1，∴y1與y2的等差中項：A===6．故選：D．【點評】本題考查等差中項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數的幾何意義的合理運用．7.已知A、B、P是雙曲線上不同的三點，且A、B連線經過坐標原點，若直線PA、PB的斜率乘積，則該雙曲線的離心率為A.

B.

C.2

D.3參考答案：C由題意，設A（x1，y1），P（x2，y2），則B（﹣x1，﹣y1）∴kPA?kPB=∵∴兩式相減可得,∵kPA?kPB=3，∴∴∴e=2故選：C．

8.程大位是明代著名數學家，他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國歷史上一部影響巨大的著作.它問世后不久便風行宇內，成為明清之際研習數學者必讀的教材，而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū)，對推動漢字文化圈的數學發(fā)展了重要的作用.卷八中第33問是：“今有三角果一垛，底闊每面七個.問該若干？”如圖是解決該問題的程序框圖.執(zhí)行該程序配圖，求得該垛果子的總數S為（

）A.120 B.84 C.56 D.28參考答案：B運行程序：i=1,n=1,s=1,1＜7，i=2,n=3,s=4,2＜7，i=3,n=6,s=10,3＜7，i=4,n=10,s=20,4＜7，i=5.n=15,s=35,5＜7，i=6,n=21,s=56,6＜7，i=7,n=28,s=84,7≮7,s=84.故選C.9.以下是某樣本數據，則該樣本的中位數、極差分別是（）數據31，12，22，15，20，45，47，32，34，23，28A．23、32 B．34、35 C．28、32 D．28、35參考答案：D【考點】BC：極差、方差與標準差；BB：眾數、中位數、平均數．【分析】將數據從小到大按順序排成一列，結合中位線和極差的定義進行求解即可．【解答】解：將數據從小到大按順序排成一列為12，15，20，22，23，28，31，32，34，45，47，共11個數據，則中位數為第6個數28，最大值為47，最小值為12，則極差47﹣12=35，故選：D．10.若是函數的兩個不同的零點，且這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則的值等于A．1

B．5

C．9

D．4

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為，，則的取值范圍是

。參考答案：12.若a，b是函數f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的兩個不同的零點，且a，b，﹣2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則p+q的值等于．參考答案：9【考點】等比數列的性質；等差數列的性質．【分析】由一元二次方程根與系數的關系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列列關于a，b的方程組，求得a，b后得答案．【解答】解：由題意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，則p+q=9．故答案為：9．13.設x=，則tan（π+x）等于

．參考答案：14.從如圖所示的長方形區(qū)域內任取一個點，則點取自陰影部分的概率為______.------參考答案：15.如圖，已知與圓相切于點，半徑，交點，若圓的半徑為3，，則的長度____________．參考答案：

略16.一個幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積為．參考答案：15+【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】空間位置關系與距離．【分析】由已知中的三視圖可得該幾何體為以正視圖為底面的棱柱，棱柱的高為1，進而根據柱體的表面積公式得到答案．【解答】解：由已知中的三視圖可得該幾何體為：以正視圖為底面的棱柱；高為1，∴幾何體的表面積為：2（1+1+1+）+（8+）=15+．故答案為：15+．【點評】本題考查的知識點為：由三視圖求表面積，其中根據已知分析出幾何體的形狀是解答的關鍵．17.下面四個命題：①函數的圖象必經過定點（0,1）；②已知命題：，則：；③過點且與直線垂直的直線方程為；④在區(qū)間上隨機抽取一個數，則的概率為。其中所有正確命題的序號是：_____________。參考答案：①③當時，，所以恒過定點，所以①正確；命題的否定為：，所以②錯誤；直線的斜率為，所以和垂直的直線斜率為，因為直線過點，所以所求直線方程為，即，所以③正確；由得，，所以相應的概率為，所以④錯誤，所以正確的命題有①③。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=﹣x2+2lnx．（Ⅰ）求函數f（x）的最大值；（Ⅱ）若函數f（x）與g（x）=x+有相同極值點，（i）求實數a的值；（ii）若對于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，求實數k的取值范圍．參考答案：【考點】導數在最大值、最小值問題中的應用；函數恒成立問題．【專題】綜合題；壓軸題；導數的綜合應用．【分析】（Ⅰ）求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數f（x）的最大值；（Ⅱ）（ⅰ）求導函數，利用函數f（x）與g（x）=x+有相同極值點，可得x=1是函數g（x）的極值點，從而可求a的值；（ⅱ）先求出x1∈[[，3]時，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1；x2∈[[，3]時，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=，再將對于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等價變形，分類討論，即可求得實數k的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）求導函數可得：f′（x）=﹣2x+=﹣（x＞0）由f′（x）＞0且x＞0得，0＜x＜1；由f′（x）＜0且x＞0得，x＞1．∴f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數．∴函數f（x）的最大值為f（1）=﹣1．（Ⅱ）∵g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．（ⅰ）由（Ⅰ）知，x=1是函數f（x）的極值點，又∵函數f（x）與g（x）=x+有相同極值點，∴x=1是函數g（x）的極值點，∴g′（1）=1﹣a=0，解得a=1．（ⅱ）∵f（）=﹣﹣2，f（1）=﹣1，f（3）=﹣9+2ln3，∵﹣9+2ln3＜﹣﹣2＜﹣1，即f（3）＜f（）＜f（1），∴x1∈[[，3]時，f（x1）min=f（3）=﹣9+2ln3，f（x1）max=f（1）=﹣1由（ⅰ）知g（x）=x+，∴g′（x）=1﹣．當x∈[，1）時，g′（x）＜0；當x∈（1，3]時，g′（x）＞0．故g（x）在[，1）為減函數，在（1，3]上為增函數．∵，g（1）=2，g（3）=，而2＜＜，∴g（1）＜g（）＜g（3）∴x2∈[[，3]時，g（x2）min=g（1）=2，g（x2）max=g（3）=①當k﹣1＞0，即k＞1時，對于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等價于k≥[f（x1）﹣g（x2）]max+1∵f（x1）﹣g（x2）≤f（1）﹣g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴k≥﹣2，又∵k＞1，∴k＞1．②當k﹣1＜0，即k＜1時，對于“x1，x2∈[，3]，不等式≤1恒成立，等價于k≤[f（x1）﹣g（x2）]min+1∵f（x1）﹣g（x2）≥f（3）﹣g（3）=﹣，∴k≤．又∵k＜1，∴k≤．綜上，所求的實數k的取值范圍為（﹣∞，]∪（1，+∞）．【點評】本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．19.已知點是橢圓上一點，分別為的左、右焦點，的面積為。（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓相交于兩點,點,記直線的斜率分別為,當最大時,求直線的方程。參考答案：（1）易知，由，由余弦定理及橢圓定義有：又，從而。（2）解法一：①當直線的斜率為0時，則；②當直線的斜率不為0時，設，直線的方程為，將代入，整理得，

則，又，

所以，，令，則，當即時，；當時，，或。當且僅當，即時，取得最大值。由①②得直線的方程為。解法二：①當直線垂直于軸時，則；②當直線與軸不垂直時，設，直線的方程為，將代入，整理得，則，又，所以，令，由得，所以當且僅當時最大，所以直線的方程為。20.已知向量，(1)當時，求函數的值域；(2)不等式≤，當時恒成立，求的取值范圍。參考答案：解：（1），所以即當時，，，所以當時，函數