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高級中學名校試卷PAGEPAGE2福建省漳州市部分學校2024屆高三下學期普通高考模擬測試數學試題一、選擇題1.已知各項均不為0的數列的前項和為,若,則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為,則,兩式相減可得:,即,令,可得,且,所以.故選:A.2.在平面直角坐標系中,,,射線逆時針旋轉最小角,使得與重合,則()A.3 B.2 C.4 D.5〖答案〗A〖解析〗設角終邊上的點分別為,,,則,射線逆時針旋轉最小角,使得與重合,所以,所以.故選:A.3.的展開式中的系數為()A.48 B.30 C.60 D.120〖答案〗C〖解析〗因為的展開式的通項公式為,令,解得,可得的系數為.故選:C4.已知拋物線:的焦點為,A,是拋物線上關于其對稱軸對稱的兩點,若,為坐標原點,則點A的橫坐標為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知:,設,則,可得,因為,則,解得,即點A的橫坐標為.故選:C.5.如圖,石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿一種機械,通常由兩個圓石做成.磨是平面的兩層,兩層的接合處都有紋理,糧食從上方的孔進入兩層中間,沿著紋理向外運移,在滾動過兩層面時被磨碎,形成粉末.如果一個石磨近似看作兩個完全相同的圓柱體拼合而成,每個圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍,若石磨的側面積為,則圓柱底面圓的半徑為()A.4 B.2 C.8 D.6〖答案〗A〖解析〗設圓柱底面圓的半徑為,則圓柱的高為,則石磨的側面積為,解得.故選:A.6.若曲線在點處的切線方程為,則()A.3 B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗因為,則,由題意可得:,解得,所以.故選:C.7.已知函數在上單調遞減,則實數的最大值為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為,則,由題意可得,解得,即實數的最大值為.故選:C.8.已知可導函數的定義域為,為奇函數,設是的導函數,若為奇函數,且,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為為奇函數,則,即,兩邊求導得,則,可知關于直線對稱,又因為為奇函數,則,即,可知關于點對稱,令,可得,即,由可得,由,可得,即,可得,即,令,可得;令,可得;且,可知8為的周期,可知,所以.故選:D.二、選擇題9.若,,,則()A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意可得:,則,解得,可得,故BCD正確,A錯誤.故選:BCD.10.某學校舉行消防安全意識培訓,并在培訓前后對培訓人員進行消防安全意識問卷測試,所得分數(滿分:100分)的頻率分布直方圖如圖所示,則()A.培訓前得分的中位數小于培訓后得分的中位數B.培訓前得分的中位數大于培訓后得分的中位數C.培訓前得分的平均數小于培訓后得分的平均數D.培訓前得分的平均數大于培訓后得分的平均數〖答案〗AC〖解析〗由頻率分布直方圖可知:兩個頻率直方圖均為單峰。且培訓前直方圖在右側拖尾,培訓后直方圖在左側拖尾,可知培訓前的中位數小于75,培訓后的中位數大于75,所以培訓前得分的中位數小于培訓后得分的中位數,故A正確,B錯誤;設培訓前每組的頻率依次為,則培訓后每組的頻率依次為,則培訓前平均數估計為,培訓后平均數估計為,則,可得,即培訓前得分的平均數小于培訓后得分的平均數,故C正確,D錯誤;故選:AC.11.已知雙曲線:()的左、右焦點分別為,,直線:與雙曲線的右支相交于A,兩點(點A在第一象限),若,則()A.雙曲線的離心率為 B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由題意可知:,因為直線:,可知直線過右焦點,斜率,設直線的傾斜角為,則,可得,設,由,可得,,,故B正確;在中,可知,由余弦定理可得:,即,解得或(舍去),可得雙曲線的離心率為,,故A正確,D錯誤;在中,可知,由余弦定理,即,解得,故C錯誤;故選:AB.三、填空題12.若集合,,則______.〖答案〗〖解析〗由題意可得:.故〖答案〗為:.13.在直三棱柱中,,,過作該直三棱柱外接球的截面,所得截面的面積的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由直三棱柱可知,平面,又,所以兩兩垂直,設直三棱柱外接球的半徑為R,通過構造長方體可知該三棱柱的外接球與以為邊長的長方體外接球相同;過作該直三棱柱外接球的截面,當為所截圓的直徑時截面面積最小,因為,則所求截面面積最小值為.故〖答案〗為:.14.過點作圓:的兩條切線,切點分別為A,,若直線與圓:相切,則______.〖答案〗81〖解析〗圓:的圓心為,半徑;圓:的圓心為,半徑;由題意可知:,可知點在以為直徑的圓上,以為直徑的圓為,整理得,結合圓:,兩圓方程作差,可得直線的方程為,即,若直線與圓:相切,則,整理得.故〖答案〗為:81.四、解答題15.已知函數,且.(1)證明:曲線在點處的切線方程過坐標原點.(2)討論函數的單調性.(1)證明:因為,所以,則,,所以在處的切線方程為:,當時,,故,所以曲線在點處切線的方程過坐標原點.(2)解:由(1)得,當時,,則,故單調遞減;當時,令則,當時,,單調遞增;當時,,單調遞減;綜上:當時,在上單調遞減;當時,在上單調遞增,在上單調遞減.16.如圖,為圓錐的頂點,是底面圓的一條直徑,,是底面圓弧的三等分點,,分別為,的中點.(1)證明:點在平面內.(2)若,求平面與平面夾角的余弦值.(1)證明:連接,如圖,因為,是底面圓弧的三等分點,,,均為等邊三角形,,則四邊形為菱形,,因為,分別為,的中點,,,故點在平面內.(2)解:作,以分別為軸建立空間直角坐標系,如圖,因為,則,故,設平面的法向量,則,令,得,所以,易知平面的一個法向量為設平面與平面的夾角為,則,故平面與平面夾角的余弦值為17.在數字通信中,信號是由數字0和1組成的序列,發送每個信號數字之間相互獨立.由于隨機因素的干擾,發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.(1)記發送信號變量為,接收信號變量為,且滿足,,,求;(2)當發送信號0時,接收為0概率為,定義隨機變量的“有效值”為(其中是的所有可能的取值,),發送信號“000”的接收信號為“”,記為,,三個數字之和,求的“有效值”.(,)解:(1)由題意可知:,,所以.(2)由題意可知:當發送信號0時,接收為0的概率為,接收為1的概率為,可知:的可能取值有0,1,2,3,則,,可得的“有效值”,即的“有效值”約為0.45.18.已知正項數列的前項和為,且滿足.(1)求數列的通項公式;(2)若,為數列的前項和,證明:.(1)解:因為,則,且,令,則,可得;又因為,則,整理得,可知數列是以首項為4,公差為4的等差數列,則,且,可得,當時,;當時,;可知符合上式,所以.(2)證明:由(1)可得:,當時,,可得;且,綜上所述:.19.已知過點的直線與圓:相交于,兩點,的中點為,過的中點且平行于的直線交于點,記點的軌跡為.(1)求軌跡的方程.(2)若為軌跡上的兩個動點且均不在軸上,點滿足(,),其中為坐標原點,從下面①②③中選取兩個作為條件,證明另外一個成立.①點在軌跡上;②直線與的斜率之積為;③.注:若選擇不同的組合分別解答,則按第一個解答計分.解:(1)由題意可知:圓:的圓心為,半徑,由題意可知:不為x軸,即不在x軸上,因為為的中點,則,又因為∥,則,即為線段的中垂線,則,可得,可知:點的軌跡是以為焦點的橢圓,且不為長軸頂點,則,可得,所以軌跡的方程為.(2)設,可知,因為,則,即,若選①②證明③:因為直線與的斜率之積為,即,可得,又因為點在軌跡上,則,可得,即;若選①③證明②:因為點在軌跡上,則,可得,即,且,結合的任意性可知,可得,即直線與的斜率之積為;若選②③證明①:因為直線與的斜率之積為,即,可得,且,則,,即,可知點在軌跡上.福建省漳州市部分學校2024屆高三下學期普通高考模擬測試數學試題一、選擇題1.已知各項均不為0的數列的前項和為,若,則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為,則,兩式相減可得:,即,令,可得,且,所以.故選:A.2.在平面直角坐標系中,,,射線逆時針旋轉最小角,使得與重合,則()A.3 B.2 C.4 D.5〖答案〗A〖解析〗設角終邊上的點分別為,,,則,射線逆時針旋轉最小角,使得與重合,所以,所以.故選:A.3.的展開式中的系數為()A.48 B.30 C.60 D.120〖答案〗C〖解析〗因為的展開式的通項公式為,令,解得,可得的系數為.故選:C4.已知拋物線:的焦點為,A,是拋物線上關于其對稱軸對稱的兩點,若,為坐標原點,則點A的橫坐標為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知:,設,則,可得,因為,則,解得,即點A的橫坐標為.故選:C.5.如圖,石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿一種機械,通常由兩個圓石做成.磨是平面的兩層,兩層的接合處都有紋理,糧食從上方的孔進入兩層中間,沿著紋理向外運移,在滾動過兩層面時被磨碎,形成粉末.如果一個石磨近似看作兩個完全相同的圓柱體拼合而成,每個圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍,若石磨的側面積為,則圓柱底面圓的半徑為()A.4 B.2 C.8 D.6〖答案〗A〖解析〗設圓柱底面圓的半徑為,則圓柱的高為,則石磨的側面積為,解得.故選:A.6.若曲線在點處的切線方程為,則()A.3 B. C.0 D.1〖答案〗C〖解析〗因為,則,由題意可得:,解得,所以.故選:C.7.已知函數在上單調遞減,則實數的最大值為()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為,則,由題意可得,解得,即實數的最大值為.故選:C.8.已知可導函數的定義域為,為奇函數,設是的導函數,若為奇函數,且,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為為奇函數,則,即,兩邊求導得,則,可知關于直線對稱,又因為為奇函數,則,即,可知關于點對稱,令,可得,即,由可得,由,可得,即,可得,即,令,可得;令,可得;且,可知8為的周期,可知,所以.故選:D.二、選擇題9.若,,,則()A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由題意可得:,則,解得,可得,故BCD正確,A錯誤.故選:BCD.10.某學校舉行消防安全意識培訓,并在培訓前后對培訓人員進行消防安全意識問卷測試,所得分數(滿分:100分)的頻率分布直方圖如圖所示,則()A.培訓前得分的中位數小于培訓后得分的中位數B.培訓前得分的中位數大于培訓后得分的中位數C.培訓前得分的平均數小于培訓后得分的平均數D.培訓前得分的平均數大于培訓后得分的平均數〖答案〗AC〖解析〗由頻率分布直方圖可知:兩個頻率直方圖均為單峰。且培訓前直方圖在右側拖尾,培訓后直方圖在左側拖尾,可知培訓前的中位數小于75,培訓后的中位數大于75,所以培訓前得分的中位數小于培訓后得分的中位數,故A正確,B錯誤;設培訓前每組的頻率依次為,則培訓后每組的頻率依次為,則培訓前平均數估計為,培訓后平均數估計為,則,可得,即培訓前得分的平均數小于培訓后得分的平均數,故C正確,D錯誤;故選:AC.11.已知雙曲線:()的左、右焦點分別為,,直線:與雙曲線的右支相交于A,兩點(點A在第一象限),若,則()A.雙曲線的離心率為 B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗由題意可知:,因為直線:,可知直線過右焦點,斜率,設直線的傾斜角為,則,可得,設,由,可得,,,故B正確;在中,可知,由余弦定理可得:,即,解得或(舍去),可得雙曲線的離心率為,,故A正確,D錯誤;在中,可知,由余弦定理,即,解得,故C錯誤;故選:AB.三、填空題12.若集合,,則______.〖答案〗〖解析〗由題意可得:.故〖答案〗為:.13.在直三棱柱中,,,過作該直三棱柱外接球的截面,所得截面的面積的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由直三棱柱可知,平面,又,所以兩兩垂直,設直三棱柱外接球的半徑為R,通過構造長方體可知該三棱柱的外接球與以為邊長的長方體外接球相同;過作該直三棱柱外接球的截面,當為所截圓的直徑時截面面積最小,因為,則所求截面面積最小值為.故〖答案〗為:.14.過點作圓:的兩條切線,切點分別為A,,若直線與圓:相切,則______.〖答案〗81〖解析〗圓:的圓心為,半徑;圓:的圓心為,半徑;由題意可知:,可知點在以為直徑的圓上,以為直徑的圓為,整理得,結合圓:,兩圓方程作差,可得直線的方程為,即,若直線與圓:相切,則,整理得.故〖答案〗為:81.四、解答題15.已知函數,且.(1)證明:曲線在點處的切線方程過坐標原點.(2)討論函數的單調性.(1)證明:因為,所以,則,,所以在處的切線方程為:,當時,,故,所以曲線在點處切線的方程過坐標原點.(2)解:由(1)得,當時,,則,故單調遞減;當時,令則,當時,,單調遞增;當時,,單調遞減;綜上:當時,在上單調遞減;當時,在上單調遞增,在上單調遞減.16.如圖,為圓錐的頂點,是底面圓的一條直徑,,是底面圓弧的三等分點,,分別為,的中點.(1)證明:點在平面內.(2)若,求平面與平面夾角的余弦值.(1)證明:連接,如圖,因為,是底面圓弧的三等分點,,,均為等邊三角形,,則四邊形為菱形,,因為,分別為,的中點,,,故點在平面內.(2)解:作,以分別為軸建立空間直角坐標系,如圖,因為,則,故,設平面的法向量,則,令,得,所以,易知平面的一個法向量為設平面與平面的夾角為,則,故平面與平面夾角的余弦值為17.在數字通信中,信號是由數字0和1組成的序列,發送每個信號數字之間相互獨立.由于隨機因素的干擾,發送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0.(1)記發送信號變量為,接收信號變量為,且滿足,,,求;(2)當發送信號0時,接收為0概率為,定義隨機變量的“有效值”為(其中是的所有可能的取值,),發送信號“000”的接收信號為“”,記為,,三個數字之和,求的“有效值”.(,)

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