棱錐同步練習一、選擇題1.下列命題中正確的是（）A.底面為正三角形的三棱錐是正三棱錐B.正三棱錐相對棱中點的連線是相對棱的公垂線C.正三棱錐的側面是三個全等的等邊三角形D.正三棱錐的相對棱互相垂直2.一個棱錐的各條棱都相等，那么這個棱錐必不是（）A.三棱錐 B.四棱錐 C.五棱錐 D.六棱錐3.若棱錐的底面積等于64，則它的中截面面積等于（）A.32 B.16 C.8 D.44.已知正三棱錐的一個側面積與底面積的比是，則此正三棱錐的高與斜高之比是（）A. B. C. D.15.已知三棱錐S－ABC中，面SAB與面SBC都是邊長為的正三角形，另外兩個面都是等腰直角三角形，則此三棱錐的體積是（）A. B. C.3 D.66.若一個正三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則底面上任一點P到三個側面距離之和等于這個正三棱錐的（）A.高 B.斜高的長C.側棱的長 D.底面各頂點與點P的距離之和二、填空題7.若正三棱錐底面的邊長為a，且兩個側面所成的角均為90°，則底面中心到側面的距離為_____.8.正四棱錐S—ABCD的側棱長為，底面邊長為，E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成的角等于_____.9.將一個棱長為1的正方體木塊鋸成最大的一個正四面體木塊，則正四面體木塊的體積為_____.10.一個正n棱錐和一個正n棱柱的底面邊長、高和側面積都分別相等，則這個棱錐的側面與底面所成二面角的度數為_____.三、解答題11.如圖9－8－35，已知四棱錐S—ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，SA⊥底面ABCD，且SA=a，E、F分別是側棱SC和底邊CD的中點.（1）求證：平面BDE⊥平面ABCD；（2）設平面SAB∩平面SCD=l，證明:l∥AB∥CD;（3）求二面角E—AF—B的大小（用反正弦表示）.圖9－8－3512.如圖9－8－36，平面α內有半徑為2的圓O，過直徑AB的端點A作PA⊥α且PA=2，C是圓O上一點，且∠CAB=60°，求三棱錐P—OBC的側面積.圖9－8－3613.已知正三棱錐S—ABC的底面邊長為a,側面與底面所成的角為60°，求它的高、側棱長及兩相鄰側面所成二面角的余弦值.14.如圖9－8－37所示，一個四棱錐P—ABCD的底面是面積為1的矩形，有兩個側面PAD與PAB都垂直于底面，另兩個側面分別和底面成30°和60°的二面角.圖9－8－37（1）求這個棱錐的側面積；（2）求點A到平面PBD的距離.參考答案一、1.D2.D3.B4.A5.A6.C二、7.a8.60°9.10.30°三、11.（1）連結AC交BD于O，證明OE⊥平面ABCD即可.（2）∵CD∥AB，∴CD∥平面SAB，∴CD∥l,故l∥AB∥CD.（3）過O作OG⊥AF于G，連結EG.可證∠EGO為二面角的平面角，易得∠EGO=arcsin.12.S△POB=PA·OB=2，可證PC⊥BC，且可得BC=2，PC=PO=2，∴S△PBC=PC·BC=2，S△POC=.∴S側=2+2+.13.解：如圖9－8－38所示，在正三棱錐S—ABC中，設O是底面中心，D是AB中點，再作BE⊥SC于E，連結AE.圖9－8－38∵S—ABC是正三棱錐，∴SO⊥底面ABC，CD⊥AB.∴SD⊥AB.∴∠SDO為側面SAB與底面ABC所成二面角的平面角，∠SDO=60°.在正△ABC中，AB=a,DO=a,CO=a.在Rt△SDO中，SO=DO·tanSDO=atan60°=.在Rt△SOC中，SC===a.∵BC=AC,∠ACE=∠BCE,CE是公共邊，∴△BCE≌△ACE.又∵∠BEC=90°，∴∠AEC=90°，即AE⊥EC.∴∠AEB是二面角A－SC－B的平面角.∵∠SBD=∠BCE,∠SDB=∠BEC=90°,∴△SDB∽△BEC.∴.而SD==a,∴BE=a.∴在△ABE中，cosAEB==.故該棱錐的高為，側棱長為a,相鄰側面所成二面角的余弦值為.14.解：如圖9－8－39所示，在四棱錐P—ABCD中，圖9－8－39∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD.又∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥PB，DC⊥PD.∴∠PBA、∠PDA分別是另兩個側面和底面所成二面角的平面角.不妨設∠PBA=30°，∠PDA=60°.（1）令PA=a,則AB=PA·cot30°=a,AD=PA·cot60°=a.PB===2a,PD=.∴S側=（AB+AD）·PA+BC·PB+DC·PD=（a+a）·a+·a·2a+·a·a=（+1）·a2.又∵S矩形ABCD=1，∴AB·AD=1，即a·a=1.∴a=1.∴S側=+1.