第四章對數運算與對數函數

4.2.2換底公式

?教學目標

1.通過實例推導換底公式，準確地運用對數運算性質進行運算.

2.運用對數運算性質解決有關問題.

?教學重難點

重點：對數運算的性質與換底公式的應用.

難點：靈活運用對數的換底公式和運算性質化簡求值.

?教學過程

一、新課導入

有些計算器上只有常用對數鍵“LOG”（即“1g”）和自然對數鍵“LN"（即“In”）.對一般的底

數a>l,且a羊1和b>0,要計算logab,必須將它轉換成常用對數或自然對數.如何轉換呢？

LNI^LOG-

自

常

然

用

對

對

數

數

鍵

鍵

二、新知探究

問題1：用計算器求logz5的值.

操作步驟：設log25=x,則2*=5,

在2%=5的兩邊取常用對數，得％lg2=lg5,所以％=翳

這樣就可以用計算器中的常用對數鍵“LOG”算出log25的值：

1g5

log52.32192809489.

21g2

因為計算器顯示的數位是有限的，所以得到的結果一般是近似值.

同理可得x=空.

這就同樣可以用計算器中的自然對數鍵“LN”算出log25的值.

問題2：通過操作計算器的過程，你能總結出什么規律？

答案：一般地，若a>0,b>0,c>0,且c1,則

log5

logab

logca

這個結論稱為對數的換底公式.

總結：(1)換底公式成立的條件是公式中的每一個對數式都有意義；

(2)換底公式的意義在于改變對數式的底數，把不同底數的問題轉化為同底數的問題進行化簡、

計算及證明；

(3)常見的有：logab=氏或logab=器?

(4)常用結論：

①logab-log/,a=l(a>0且a*1,b>0且b*1).

②logabTogbcTogcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a#l,b#1,cH1).

n

@logamb—^logab(。>0且。*1,b>0).

問題3：你能用其他方法證明對數的換底公式嗎？

證明：可令m=logab，n=logca,

貝Ua7n=b,cn=a,

貝！］a="Vb=cn,b=cnm,

則nm=logcb=logab-logca,

所以此5=黯?

三、應用舉例

例1計算：(1)log2781；(2)log1625-log58；

(3)logab-logba(a>0,b>0,且Q。1,b豐1).

解：根據對數的換底公式，得

(1)log81=^°g381=-；

6227

log3273

(2)喝625.晦8=瞥.譬=等.警=。；

85lgl6lg541g2lg52

/一、iiiInbIna4

(3)logah-log,a=—?—=1.

例2計算：(1)log4+log23-log0o51；(2)(log32+log23)-方一圖言

yb>ogz3I°g3N

解：根據對數的換底公式，得

（1）log4V+l°g23-logo.55=+log23-=log21+10g23-log25

=log2（IX3+5

=log21=0

⑵(晦2+晦3)。窿一器1=(腎斷T.黑點+巖

曙。信)山-喘『-曙)1

總結：在對數運算中，要特別注意觀察對數的特點，若是同底數對數的加減運算，通常運用對

數的運算性質，先將對數之間的加減運算轉化為真數之間的乘除運算，然后再進行對數運算；若不是

同底數對數，則要考慮使用換底公式化為同底數對數再計算.

例3⑴已知3g189=a,18b=5,試用a,b表示log3645.

(2)設3a=4b=36,求2+”的值.

ab

解：⑴由18b=5,Wlogl85=6.

又10。9=Q則10。45=logi845=Iogi8(5x9)=Iogi85+logi89=Iogi85+logi89=Iogi85+logi89二

218'、836log1836log18(18x2)l+log182l+log18y2-log189

a+b

2^a,

b

(2)由3。=4=36,得a=log336,b-log436,

由換底公式得：=log363,3=log364,

2I

2131041036

B=°g36+§36=§36=L

總結：(1)用已知對數表示其他對數的思路：

①統一底數：巧用換底公式，靈活“換底”是解決這種問題的關鍵；

②分拆代換：結合對數運算法則，把所求向已知條件靠攏，巧妙代換求值.

(2)指數式的連等式求值方法：

第一步：可令連等式等于％(Q0),然后將指數式用對數式表示；

第二步：由換底公式可將指數的倒數化為同底的對數；

第三步：運用對數的運算性質化簡求值.

四、課堂練習

1.計算：⑴log98-log3227；(2)log2-log3-log51；

(3)210gl83+(4)log48-logi3-logV54.

2.分別計算下列各式，你能得出什么結論？

(1)log25-log516；(2)log36-log69-log94；(3)log^7-log71-logi5-log5V2.

3.求證：log264=31og864.

4.設Q>0,b>0,aHO且QHl,b手1,利用對數的換底公式證明:

(1)logaab=(2)loga。/=￡logab.

5.設a,b是正數,且4=b。，b=3a,求a的值.

參考答案：1.(1)Iog98?log3227=產?警亙=等/?等甘=2

898"log29log33221og23510g3210

(2)log—■log—,log-=(-31og5).(-：10gz2)--(-log23)_

622633655622

125323log23log25

g9

(3)21og183+囂=210g183+翳=210gl83+log182=log18(9x2)=1；

(4)log48-logi3-logV24=|^1-^log33-flog22=|+1-4=-2.

2.(1)log25-log516=log25-^^=4；

1°g25

(2))log36-log69-log94=log36-=log34；

iog3oiog3y

log2g2‘

(3)lo5g7夜27,log7--logi5,log5V2=^_,?】：=1；

6735_55|og2V2log27log21log25

通過觀察得出結論：10gab?10gb<=10gaC.

3.原式左邊=log264=6,右邊=3logg64=3x2=6,所以原式成立.

4.(1)logaab=產.ab=------;

3alogbaalogba

(2)唳心朋=X=『=4ogab.

aou

Iogaaalogaaa

ba

5.因為a>0,b>0,a=