專題18數列（解答題壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①數列求通項，求和 1②數列中的恒成立（能成立）問題 11③數列與函數 18④數列與概率 28更多資料添加微信號：DEM2008淘寶搜索店鋪：優尖升教育網址：①數列求通項，求和1．（2023·江蘇徐州·校考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)集合SKIPIF1<0，將集合SKIPIF1<0的所有非空子集中最小的元素相加，其和記為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．綜上，SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0都成立．（2）SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0的非空子集有SKIPIF1<0個，其中最小元素為1的集合中，含1個元素的集合有1個，含2個元素的集合有SKIPIF1<0個，含3個元素的集合有SKIPIF1<0個，……，含SKIPIF1<0個元素的集合有SKIPIF1<0個，所以最小元素為1的子集個數為SKIPIF1<0個，同理，最小元素為2的子集個數為SKIPIF1<0個，……，最小元素為SKIPIF1<0的子集個數為1個，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．2．（2023·云南昭通·校聯考模擬預測）已知各項均為正數的數列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，從①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中任選一個條件作為已知，并解答下列問題.(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設SKIPIF1<0，設數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）.【答案】(1)條件選擇見解析，SKIPIF1<0(2)證明見解析.【詳解】（1）選擇①：因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此數列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，2為公差的等差數列，所以SKIPIF1<0.選擇②：因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即數列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，2為公差的等差數列，所以SKIPIF1<0.選擇③：因為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以1為首項，1為公差的等差數列，從而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然數列SKIPIF1<0單調遞減，于是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.3．（2023·海南海口·海南華僑中學校考一模）已知各項均為正數的數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是數列SKIPIF1<0的前n項和.(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若對任意SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，總有SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴數列SKIPIF1<0是以1為首項，2為公差的等差數列，∴SKIPIF1<0.（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴實數SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.4．（2023·湖南郴州·安仁縣第一中學校聯考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0（取整函數SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的整數，如SKIPIF1<0），求數列SKIPIF1<0的前100項的和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0適合上式，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合上式，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.5．（2023·湖南郴州·統考模擬預測）已知正項等比數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）設數列SKIPIF1<0的公比為q，由已知得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，對于數列SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0

①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0

②，由①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，也適合上式，故SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．6．（2023·湖南長沙·長郡中學校聯考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0(1)設SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，求使得不等式SKIPIF1<0成立的n的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)20【詳解】（1）因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0是以2為首項，2為公比的等比數列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是一個增數列，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以滿足題意的n的最小值是20．7．（2023·山西運城·山西省運城中學校校考二模）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)記數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）解：由題意，數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，適合上式，所以數列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0.（2）解：令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.8．（2023·福建三明·統考三模）已知數列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等差數列，首項為SKIPIF1<0，公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）證明：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.9．（2023·湖北武漢·統考模擬預測）已知SKIPIF1<0是數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，也滿足上式．故SKIPIF1<0．（2）由（1）可知：SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0，設數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0綜上：SKIPIF1<010．（2023·福建福州·福建省福州第一中學校考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0的首項SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)設SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）之間插入SKIPIF1<0個3，使它們和原數列的項構成一個新的數列SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的前n項和，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取倒得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的等比數列，所以SKIPIF1<0.（2）在SKIPIF1<0之間有2個3，SKIPIF1<0之間有SKIPIF1<0個3，SKIPIF1<0之間有SKIPIF1<0個3，SKIPIF1<0之間有SKIPIF1<0個3，合計SKIPIF1<0個3，所以SKIPIF1<0.11．（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0是遞增的等差數列，SKIPIF1<0是公比為SKIPIF1<0的等比數列，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數列．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的通項公式；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）設等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0成等比數列，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0SKIPIF1<0成等差數列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）證明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0為偶數，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為遞減數列，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最大值，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0為奇數，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為遞增數列，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最小值，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0．12．（2023·河北·統考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)證明：數列SKIPIF1<0是等差數列；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數列.從下面三個條件中選擇一個，求數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時上述式子恒成立，當SKIPIF1<0時兩邊同除SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為常數數列，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時上述SKIPIF1<0也成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公差的等差數列.（2）設SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若選①SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.若選②SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.若選③SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.②數列中的恒成立（能成立）問題1．（2023·吉林·長春吉大附中實驗學校校考模擬預測）圖中的數陣滿足：每一行從左到右成等差數列，每一列從上到下成等比數列，且公比均為實數SKIPIF1<0．SKIPIF1<0(1)設SKIPIF1<0，求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設SKIPIF1<0，是否存在實數SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0恒成立，若存在，求出SKIPIF1<0的所有值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在，SKIPIF1<0.【詳解】（1）設SKIPIF1<0，第一行從左到右成等差數列的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）由（1）知，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為奇數時，不等式等價于SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0為偶數時，不等式等價于SKIPIF1<0恒成立，而SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恒成立．2．（2023·河北·統考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上.(1)證明：數列SKIPIF1<0為等差數列；(2)若SKIPIF1<0，數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0對一切正整數SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的值.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）將點SKIPIF1<0代入曲線SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為1為首項，SKIPIF1<0為公差的等差數列；（2）由（1）可知：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0單調遞增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0單調遞減，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0又SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；綜上所述，對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足不等式恒成立.3．（2023·云南·校聯考模擬預測）已知數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求數列SKIPIF1<0的通項公式；(2)設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若對任意的正整數SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求實數SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，公差為1的等差數列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0不滿足上式，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①?②得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又因為對任意的正整數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調遞增，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.4．（2023·浙江·二模）記SKIPIF1<0為正數列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0是等差數列.(1)求SKIPIF1<0；(2)求最小的正整數SKIPIF1<0，使得存在數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)1(2)3【詳解】（1）由題意SKIPIF1<0是等差數列，設其公差為d，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0，一方面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取等號，由于m為正整數，故SKIPIF1<0，另一方面，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0﹐SKIPIF1<0滿足條件，綜上所述，正整數m的最小值是3．5．（2023·上海徐匯·統考一模）對于數列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，對任意正整數SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則稱數列SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的“接近數列”.已知SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的“接近數列”，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正整數），求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正整數），是否存在SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正整數），使得SKIPIF1<0，如果存在，請求出SKIPIF1<0的最小值，如果不存在，請說明理由；(3)若SKIPIF1<0為無窮等差數列，公差為SKIPIF1<0，求證：數列SKIPIF1<0為等差數列的充要條件是SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0(3)證明見解析【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0為數列SKIPIF1<0的“接近數列”，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，只能是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）當SKIPIF1<0為奇數時，SKIPIF1<0，由函數SKIPIF1<0的單調性可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，進一步有SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為偶數時，SKIPIF1<0，由函數SKIPIF1<0的單調性可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，進一步有SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0，由前SKIPIF1<0項和公式化簡得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0為偶數時，令SKIPIF1<0無解；當SKIPIF1<0為奇數時，令SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因此，存在SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是正整數），使得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；（3）充要條件為：SKIPIF1<0.①若SKIPIF1<0時，由題意對于任意正整數SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0恒成立，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0為等差數列，且公差也為SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0為等差數列，設公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，亦即SKIPIF1<0對任意正整數SKIPIF1<0都成立，所以，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.因此，所求充要條件為SKIPIF1<0.6．（2023·四川雅安·統考模擬預測）給出以下條件：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數列；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數列；③SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項．從中任選一個，補充在下面的橫線上，再解答．已知單調遞增的等差數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，______．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)令SKIPIF1<0是以2為首項，2為公比的等比數列，數列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求實數SKIPIF1<0的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【詳解】（1）選①，設遞增等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0．選②，設遞增等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0．選③，設遞增等差數列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0是以2為首項，2為公比的等比數列，得SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0，等價于SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即數列SKIPIF1<0遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即數列SKIPIF1<0遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以實數SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．③數列與函數1．（2023·上海楊浦·復旦附中校考模擬預測）設SKIPIF1<0是定義域為SKIPIF1<0的函數，如果對任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0均成立，則稱SKIPIF1<0是“平緩函數”.(1)若SKIPIF1<0，試判斷SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是否為“平緩函數”?并說明理由;(參考公式:SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立)(2)若函數SKIPIF1<0是“平緩函數”，且SKIPIF1<0是以1為周期的周期函數，證明:對任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0;(3)設SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0上函數，且存在正常數SKIPIF1<0使得函數SKIPIF1<0為“平緩函數”.現定義數列SKIPIF1<0滿足:SKIPIF1<0，試證明:對任意的正整數SKIPIF1<0.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）對于函數SKIPIF1<0，由對任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知函數SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的“平緩函數”.對于函數SKIPIF1<0，由對任意的SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此函數SKIPIF1<0也是SKIPIF1<0上的“平緩函數”；（2）由已知可得SKIPIF1<0，由于函數SKIPIF1<0是周期函數，故不妨設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的“平緩函數”得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，不妨設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的“平緩函數”得SKIPIF1<0SKIPIF1<0綜上所述，命題得證；（3）由SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的“平緩函數”，且SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<02．（2023春·上海黃浦·高三上海市大同中學校考階段練習）設函數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．證明：數列SKIPIF1<0為等差數列；(2)設SKIPIF1<0．若對任意SKIPIF1<0均有SKIPIF1<0成立，求m的最大值；(3)是否存在正整數SKIPIF1<0使得對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立?若存在，求SKIPIF1<0的最小可能值；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見詳解；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0.【詳解】（1）由題SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩邊取倒數得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數列SKIPIF1<0為首項是SKIPIF1<0，公差是SKIPIF1<0的等差數列.（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0恒成立.SKIPIF1<0,當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增.又SKIPIF1<0，所以則SKIPIF1<0成立.故SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減；當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞增.故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0矛盾.綜上，SKIPIF1<0，所以m的最大值是SKIPIF1<0.（3）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調遞減，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0分別取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0要使存在正整數SKIPIF1<0使得對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，只需SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為正整數，故SKIPIF1<0.所以存在正整數SKIPIF1<0使得對任意SKIPI