2024年高考數學復習專題練習★★球的切接問題（2大考點+強化訓練）空間幾何體的外接球、內切球是高中數學的重點、難點，也是高考命題的熱點，一般是通過對幾何體的割補或尋找幾何體外接球的球心求解外接球問題，利用等體積法求內切球半徑等，一般出現在壓軸小題位置．知識導圖考點分類講解考點一：空間幾何體的外接球規律方法求解空間幾何體的外接球問題的策略(1)定球心：球心到接點的距離相等且為半徑．(2)作截面：選準最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素的關系)，達到空間問題平面化的目的．(3)求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解．【例1】（2024·遼寧撫順·一模）在三棱錐中，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高三下·內蒙古赤峰·開學考試）已知正四面體的棱長為，則該四面體的外接球與以點為球心，為半徑的球面的交線的周長為（

）A． B． C． D．【變式2】(2023·昆明模擬)故宮太和殿是中國形制最高的宮殿，其建筑采用了重檐廡殿頂的屋頂樣式，廡殿頂是“四出水”的五脊四坡式，由一條正脊和四條垂脊組成，因此又稱五脊殿．由于屋頂有四面斜坡，故又稱四阿頂．如圖，某幾何體ABCDEF有五個面，其形狀與四阿頂相類似．已知底面ABCD為矩形，AB＝4，AD＝EF＝2，EF∥底面ABCD，且EA＝ED＝FB＝FC＝BC，則幾何體ABCDEF外接球的表面積為()A．22π B．28πC．32π D．38π【變式3】(2023·全國乙卷)已知點S，A，B，C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA⊥平面ABC，則SA＝________.考點二：空間幾何體的內切球規律方法空間幾何題的內切球問題，一是找球心，球心到切點的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是利用等體積法直接求內切球的半徑．【例2】（2024·湖南·二模）一個正四棱錐底面邊長為2，高為，則該四棱錐的內切球表面積為.【變式1】(2023·沈陽模擬)如圖，圓臺內有一個球，該球與圓臺的側面和底面均相切．已知圓臺的下底面圓心為O1，半徑為r1，圓臺的上底面圓心為O2，半徑為r2(r1>r2)，球的球心為O，半徑為R，記圓臺的表面積為S1，球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)的可能的取值為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(3,2)C.eq\f(π,3)D.eq\f(4,3)【變式2】（2024·河北滄州·模擬預測）某包裝設計部門為一球形塑料玩具設計一種正四面體形狀的外包裝盒（盒子厚度忽略不計），已知該球形玩具的直徑為2，每盒需放入10個塑料球，則該種外包裝盒的棱長的最小值為（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·四川宜賓·二模）所有棱長均為6的三棱錐，其外接球和內切球球面上各有一個動點，則線段長度的最大值為.強化訓練一、單選題1．（2023·浙江紹興·模擬預測）已知某正六棱柱的所有棱長均為2，則該正六棱柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東梅州·一模）某圓錐的底面直徑和高均是2，則其內切球（與圓錐的底面和側面均相切）的半徑為（

）A． B．C． D．3．（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業方面具有廣泛用途．六氟化硫結構為正八面體結構，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則該正八面體結構的內切球表面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·廣東·模擬預測）將邊長為2的正三角形沿某條線折疊，使得折疊后的立體圖形有外接球，則當此立體圖形體積最大時，其外接球表面積為（

）A． B． C． D．5．（2024·河北邯鄲·三模）已知在四面體中，，二面角的大小為，且點A，B，C，D都在球的球面上，為棱上一點，為棱的中點．若，則（

）A． B． C． D．6．（2024·湖北·模擬預測）已知四棱錐的底面為矩形，，，側面為正三角形且垂直于底面，M為四棱錐內切球表面上一點，則點M到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2024·河南開封·二模）已知經過圓錐的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是（

）A． B． C． D．8．（2024·吉林長春·模擬預測）已知四點均在半徑為（為常數）的球的球面上運動，且，若四面體的體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題1．（23-24高三下·重慶·階段練習）如圖，在直三棱柱中，若分別是的中點，則下列結論正確的是（

）A．平面B．平面C．點到平面的距離為D．三棱錐外接球的半徑為2．（2024·新疆·一模）如圖，兩個共底面的正四棱錐組成一個八面體E-ABCD-F，且該八面體的各棱長均相等，則（

）A．異面直線AE與BF所成的角為60°B．BD⊥CE.C．此八面體內切球與外接球的表面積之比為D．直線AE與平面BDE所成的角為60°3.（2024·江西上饒·一模）空間中存在四個球，它們半徑分別是2，2，4，4，每個球都與其他三個球外切，下面結論正確的是（

）A．以四個球球心為頂點的四面體體積為B．以四個球球心為頂點的四面體體積為C．若另一小球與這四個球都外切，則該小球半徑為D．若另一小球與這四個球都內切，則該小球半徑為三、填空題1．（2024·貴州·三模）已知一個圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，其頂點為，底面圓心為，點是線段上的一點，是底面內接正三角形，且平面，則；三棱錐的外接球的表面積是.2．（2024·廣東·一模）已知表面積為的球O的內接正四棱臺，，，動點P在內部及其邊界上運動，則直線BP與平面所成角的正弦值的最大值為．3．（23-24高三下·陜西安康·階段練習）如圖為某三棱錐的三視圖，其正視圖的面積為，則該三棱錐外接球表面積的最小值為．四、解答題1．（2023高三·全國·專題練習）將個半徑為的球和個半徑為的球疊為兩層放在桌面上，上層只放個較小的球，個球兩兩相切，求上層小球的最高點到桌面的距離.

2．（2023高三·全國·專題練習）如圖：長為3的線段與邊長為2的正方形垂直相交于其中心．(1)若二面角的正切值為，試確定在線段的位置；(2)在（1）的前提下，以，，，，，為頂點的幾何體是否存在內切球？若存在，試確定其內切球心的具體位置；若不存在，請說明理由．3．（23-24高三上·寧夏吳忠·階段練習）如圖，已知圓錐的軸截面是邊長為正三角形，是底面圓的直徑，點在上，且.

(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求能放置在該圓錐內半徑最大的球的體積.4．（23-24高三上·上海普陀·期末）對于一個三維空間，如果一個平面與一個球只有一個交點，則稱這個平面是這個球的切平面.已知在空間直角坐標系中，球的半徑為，記平面、平面、平面分別為、、.(1)若棱長為的正方體、棱長為的正四面體的內切球均為球，求的值；(2)若球在處有一切平面為，求與的交線方程，