2024初中數學競賽七年級競賽輔導講義專題4初識非負數閱讀與思考絕對值是初中代數中的一個重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數、相反數以及后續要學習的算術根可以有進一步的理解；絕對值又是初中代數中的一個基本概念，在求代數式的值、代數式的化簡、解方程與解不等式時，常常遇到含有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值概念應注意以下幾個方面：1.去絕對值符號法則2.絕對值的幾何意義從數軸上看，即表示數的點到原點的距離，即代表的是一個長度，故表示一個非負數，表示數軸上數、數的兩點間的距離.3.絕對值常用的性質①②③④⑤⑥例題與求解【例1】已知，且，那么.（祖沖之杯邀請賽試題）解題思路：由已知求出、的值，但要注意條件的制約，這是解本題的關鍵.【例2】已知、、均為整數，且滿足，則（）A.1B.2C.3D.4（全國初中數學聯賽試題）解題思路：≥0，≥0，又根據題中條件可推出，中一個為0，一個為1.【例3】已知＋＋＋…＋＋＝0，求代數式…－的值.解題思路：運用絕對值、非負數的概念與性質，先求出…，的值，注意的化簡規律.【例4】設、、是非零有理數，求的值.解題思路：根據、、的符號的所有可能情況討論，化去絕對值符號，這是解本例的關鍵.（希望杯邀請賽試題）【例5】設是六個不同的正整數，取值于1，2，3，4，5，6.記，求S的最小值.（四川省競賽試題）解題思路：利用絕對值的幾何意義建立數軸模型.【例6】已知，且，求的值.（北京市迎春杯競賽試題）解題思路：由知，即，代入原式中，得，再對的取值，分情況進行討論.A級1.若為有理數，那么，下列判斷中：（1）若，則一定有；（2）若，則一定有；（3）若，則一定有；（4）若，則一定有；正確的是.（填序號）2.若有理數滿足，則.3.若有理數在數軸上的對應的位置如下圖所示，則化簡后的結果是.4.已知正整數滿足，，且，則的值是.（四川省競賽試題）5.已知且，那么.6.如圖，有理數在數軸上的位置如圖所示：則在中，負數共有（）A．3個B．1個C．4個D．2個（湖北省荊州市競賽試題）7.若，且，那么的值是（）A．3或13B．13或－13C．3或－3D．－3或－138.若是有理數，則一定是（）A．零B．非負數C．正數D．負數9.如果，那么的取值范圍是（）A．B．C．D．10.是有理數，如果，那么對于結論（1）一定不是負數；（2）可能是負數，其中（）A．只有（1）正確B．只有（2）正確C．（1）（2）都正確D．（1）（2）都不正確（江蘇省競賽試題）11.已知是非零有理數，且，求的值.12.已知是有理數，，且，求的值.（希望杯邀請賽試題）B級1.若，則代數式的值為.2.已知，那么的值為.3.數在數軸上的位置如圖所示，且，則.（重慶市競賽試題）4.若，則的值等于（五城市聯賽試題）5.已知，則.（希望杯邀請賽試題）6.如果，那么代數式在≤≤15的最小值（）A.30B.0C.15D.一個與有關的代數式7.設k是自然數，且，則等于（）A.3B.2C.D.（創新杯邀請賽試題）8.已知，那么的最大值等于（）A．1B．5C．8D．9（希望杯邀請賽試題）9.已知都不等于零，且，根據的不同取值，有（）A．唯一確定的值B．3種不同的值C．4種不同的值D．8種不同的值10.滿足成立的條件是（）A．B．C．D．（湖北省黃岡市競賽試題）11.有理數均不為0，且，設，試求代數式的值.（希望杯邀請賽訓練題）專題04初識非負數例1－2或－8例2B提示：｜a－b｜，｜a－c｜中必有一個為0，一個為1，不妨設｜a－b｜＝0，｜a－c｜＝1，則a＝b，｜b－c｜＝1，原式＝0＋1＋1＝2．例36提示：由題意得x1＝1，x2＝1，…，x2003＝2003，原式＝2－22－23－…－22002－22003＝22003－22002－…－23－22＋2＝22002（2－1）－22001－…－22＋2＝22002－22001－…－22＋2＝…＝24－23－22＋2＝23（2－1）－22＋2＝23－22＋2＝6．例4－1或7提示：分下列四種情形討論：（1）若a，b，c均為正數，則ab>0，ac>0，bc>0，原式＝＝7；（2）若a，b，c中恰有兩個正數，不失一般性，可設a>0，b>0，c<0，則ab>0，ac<0，bc<0，abc<0，則原式＝－1；（3）若a，b，c中只有一個正數，不失一般性，可設a>0，b<0，c<0，則ab<0，ac<0，bc>0，abc>0，則原式＝－1；（4）若a，b，c均為負數，則ab>0，bc>0，ac>0，abc<0，原式＝－1．例5根據絕對值的幾何意義，題意可理解為“從數軸上點1出發，每次走一個整點，分別到達點2，點3，點4，點5，點6，最后回到點1，最少路程為多少?”為避免重復，從左到右走到6，再從右到左走到1為最短路線，取x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5，x6＝6，則S＝1＋1＋1＋1＋1＋5＝10，（也可以取x1＝1，x2＝4，x3＝6，x4＝5，x5＝3，x3＝2）．例6根據｜2a－b－1｜＝0知2a－b－1＝0，即b＝2a－1．代人原式中，得（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4．對3a－1的取值分情況討論為：（1）當3a－1＞0，即a＞時，∵（3a－1）2＞0，｜2a＋4｜＞0，2a＋4＞0．∴（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．（2）當3a－1＜0，即a＜時，①若2a＋4≤0，而（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞0，矛盾．②若2a＋4＞0，則（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．（3）當3a－1＝0，即時，（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4成立，得b＝－．綜上可知a＝，b＝－，ab＝－．A級1．（4）2．－3．1－2c＋b提示：－1<c<0<a<b∴c－1<0，a－c>0，a－b<0．∴原式＝1－c＋a－c＋b－a＝1－2c＋b．4．2提示：原式變形為｜b－2｜＝2－b，｜a－b｜＝b－a．∴b－2≤0，a－b≤0．又∵a≠b，∴a<b≤2．又∵a，b為正整數，故a＝1，b＝2．5．46．A7．A8．B9．D10．A11．－1提示：a，b，c中不能全為正值，也不能全為負數，只能是一正二負或二正一負，原式值都為－1．12．∵｜a－b｜<9，｜c－d｜≤16，故｜a－b｜＋｜c－d｜<25．又∵25＝｜a－b－c＋d｜＝｜(a－b)＋(d－c)｜≤｜a－b｜＋｜c－d｜<25，∴｜a－b｜＝9，｜c－d｜＝16，故原式＝9－16＝－7．B級1．12．3．24．1或－35．－946．C提示：利用絕對值的幾何意義，結合數軸進行分析，當x取15時，原式有最小值15．7．A提示：b＝－ka且k>0．故｜b｜＝k｜a｜，代人原式中，原式＝．當a＞0時，原式＝；當a＜0時，原式＝．故原式＝3．8．B提示：分0≤a≤2，2<a≤3，3<a≤4三種情況討論．9．B10．C11．提示：a，b，c中不能全同號，必一正二負或二正一負，得a＝－(b＋c)，b＝－(c＋a)，c＝－(a＋b)，即，，，∴，，中必有兩個同號，另一個符號與其相反，即其值為兩個＋1，一個－1或兩個－1，一個＋1，1＝1，原式＝1902．專題5數與形的第一次聯姻閱讀與思考數學是研究數和形的學科，在數學里數和形是有密切聯系的，我們常用代數的方法來處理幾何問題；反過來，也借助與幾何圖形來處理代數問題，尋找解題思路，這種數與形之間的相互作用叫數形結合，是一種重要的數學思想．運用數形結合思想解題的關鍵是建立數與形之間的聯系，現階段數軸是數形結合的有力工具，主要體現在一下幾個方面：1．利用數軸能形象地表示有理數；2．利用數軸能直觀地解釋相反數；3．利用數軸比較有理數的大小；4．利用數軸解決與絕對值相關的問題．例題與求解【例1】已知數軸上有A，B兩點，A，B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3，那么所有滿足條件的點B與原點O的距離之和等于_____________．（北京市“迎春杯”競賽試題）解題思路：確定A，B在數軸上的位置，求出A，B兩點所表示的有理數．【例2】在數軸上和有理數對應的點的位置如圖所示．有下面四個結論：①，②，③，④，其中，正確的結論有（）個．A．4B．3C．2D．1（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：從數軸上得到，再對代數式進行逐以一判斷．【例3】如圖所示，已知數軸上點所對應的數都不為0，且是的中點．如果，試確定原點的大致位置．解題思路：從化簡等式入手，而是解題的關鍵．【例4】（1）閱讀下面材料：點在數軸上分別表示實數兩點之間的距離表示為．當兩點中有一點在原點時，當A、B兩點都不在原點時，

①如圖2，點A、B都在原點的右邊|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；

②如圖3，點A、B都在原點的左邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；③如圖4，點A、B在原點的兩邊，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；

綜上，數軸上A、B兩點之間的距離|AB|＝|a－b|．

（2）回答下列問題：

①數軸上表示2和5的兩點之間的距離是_________，數軸上表示－2和－5的兩點之間的距離是______________，數軸上表示1和－3的兩點之間的距離是________________；

②數軸上表示x和－1的兩點A和B之間的距離是______________，如果|AB|＝2，那么x為_________；

③當代數式|x＋1|十|x－2|取最小值時________，相應的x的取值范圍是___________．④求的最小值．（江蘇省南京市中考試題）解題思路：通過觀察圖形，閱讀理解代數式所表示的意義，來回答所提出的具體問題．【例5】某城市沿環形路有五所小學，依次為一小、二小、三小、四小、五小，它們分別有電腦15，7，11，3，14臺，現在為使各校電腦臺數相等，各調幾臺給鄰校，現規定一小給二小，二小給三小，三小給四小，四小給五小，五小給一小，要使電腦調動臺數最小，應該做怎樣的安排？（湖北省荊州市競賽試題）解題思路：通過設未知數，把調動的電腦臺數用相關代數式表示出來．解題的關鍵是怎樣將實際問題轉化為求的最小值．【例6】如圖，是數軸上表示－30的點，是數軸上表示10的點，是數軸上表示18的點，點在數軸上同時向正方向運動．點運動的速度是6個單位長度/秒，點和點運動的速度是3個單位長度/秒．設三個點運動的時間為t（秒）．

（1）當t為何值時，線段AC＝6（單位長度）？

（2）t≠5時，設線段OA的中點為P，線段OB的中點為M，線段OC的中點為N，求2PM－PN＝2時t的值．（湖北省荊州市競賽試題）解題思路：（1）三點在數軸上同時向正方向運動，分別當點運動到點左側和右側兩種情況來分析求解．（2）先將三個點在數軸上表示的數分別寫出來，因點M始終在點左側，則分為“點在左邊”，“點在之間”，“點在右邊”三種情況來求解．能力訓練A級1．已知數軸上表示負數有理數的點是點，那么在數軸上與點相距個單位的點中，與原點距離較遠的點對應的數是______________．（江蘇省競賽試題）2．如果數軸上點到原點的距離為3，點到原點的距離為5，那么兩點的距離為______________．3．點分別是數，在數軸上對應的點，使線段沿數軸向右移動到的中點對應數3，則點對應的數是________________，點移動的距離是____________．（“希望杯”邀請賽試題）4．已知，且，那么有理數的大小關系是_________________________．（用“＜”號連接）（北京市“迎春杯”競賽試題）5．在數軸上任取一條長度為的線段，則此線段在數軸上最多能蓋住的整數點的個數是（）．A．1998B．1999C．2000D．2001（重慶市競賽試題）6．如圖，為數軸上的兩點表示的有理數，在中，負數的個數有（）A．1B．2C．3D．4（“祖沖之”邀請賽試題）7．有理數在數軸上的位置如圖所示，式子化簡結果為（）．A．B．C．D．8．如圖所示，在數軸上有六個，且，則與點所表示的數最接近的整數是（ ）．A．－1B．0C．1D．2（“希望杯”邀請賽試題）9．已知為有理數，在數軸上的位置如圖所示：且，求的值．10．電子跳蚤落在數軸上的某點，第一步從向左挑一個單位到，第二步由向右跳2個單位到，第三步由向左跳3個單位到，第四步由向右跳4個單位到，…，按以上規律跳了100步時，電子跳蚤落在數軸上的點所表示的數恰是19.94．則電子跳蚤的初始位置點所表示的數是_________________．11．如圖，已知分別為數軸上兩點，點對應的數為－20，點對應的數為100．（1）求過中點對應的數．（2）現有一只電子螞蟻從點出發，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻恰好從點出發，以4個單位/秒的速度向右運動，設兩只電子螞蟻在數軸上的點相遇，求點對應的數．（3）若當電子螞蟻從點出發時，以6個單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻恰好從點出發，以4單位/秒的速度也向左運動，設兩只電子螞蟻在數軸上的點相遇，求點對應的數．B級1．有理數在數軸上的位置如圖所示：則化簡的結果為_____________________．2．電影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墻進入“”的鏡頭（如示意圖中站臺），構思奇妙，給觀眾留下深刻的印象．若站臺分別位于－2，－1處，，則站臺用類似電影里的方法稱為“_________________站臺”（《時代學習報》數學文化節試題）3．在數軸上，若點與原點的距離是點與三〇若對應的點之間的距離的4倍，則點表示的數是_________________．（河南省競賽試題）4．若，則使成立的的取值范圍是__________________．（武漢市選拔賽試題）5．如圖，直線上有三個不同的點，且，那么，到三點距離的和最小的點為（ ）．A．點外B．線段的中點C．線段外一點D．無窮多個（“希望杯”邀請賽試題）6．點都在數軸上，點在原點的左邊，且，點在點的右邊，且，點在點的左邊，且，點在點的右邊，且，，依照上述規律，點所表示的數分別為（ ）．A．2008，－2009B．－2008，2009C．1004，－1005D．1004，－1004（福建省泉州市中考試題）7．設，則下列四個結論中正確的是（ ）．A．沒有最小值B．只有一個使去最小值C．有限個（不止一個）使去最小值D．有無窮多個使取最小值（全國初中數學聯賽試題）8．如圖，數軸上標出若干個點，每相鄰兩個點相距1個單位，點對應的數分別是整數，且，那么數軸的原點對應點是（ ）．A．B．C．D．（“新世紀杯”廣西初中數學競賽試題）9．已知，求的最大值和最小值．（江蘇省競賽試題）10．如圖，在環形運輸線路上有六個倉庫，現有某種貨物的庫存量分別是50噸、84噸、80噸、70噸、55噸和45噸．要對各倉庫的存貨進行調整，使得每個倉庫的存貨量相等，但每個倉庫只能相相鄰的倉庫調運，并使調運的總量最小．求各倉庫向其他倉庫的調運量．11．如圖，數軸上標有個點，它們對應的整數是．為了確保從這些點中可以取出2006個，使任何兩個點之間的距離都不等于4．求的最小值．（“華羅庚金杯”少年邀請賽試題）專題05數與形的第一次聯姻例112提示：點A表示數為3或－3，滿足條件的點B共有4個．例2B提示：由數軸知a＜－1＜0＜b＜c＜1．∴abc＜0，故①正確；由絕對值的幾何意義知②正確；a－b＜0，b－c＜0，c－a＞0，故（a－b）（b－c）(c－a）＞0，③正確；|a|＞1，1－bc＜1，|a|＞1－bc，④不正確．例3原點O在線段AC上．例4①3，3，4②|x＋1|1或－3③－1≤x≤2④997002例5如圖，用A，B，C，D，E點順時針排列依次表示一至五所小學，且順次向鄰校調給，，，，臺電腦．依題意得：7＋－＝11＋－＝3＋－＝14＋－＝15＋－＝10．得＝－3，＝－2，＝－9，＝－5．本題要求y＝||＋||＋||＋||＋||的最小值，依次代入，可得y＝||＋|－3|＋|－2|＋|－9|＋|－5|．由絕對值幾何意義可知，當＝3時，y有最小值12．此時有＝0，＝1，＝－6，＝－2．所以，一小向二小調出3臺，三小向四小調出1臺，五小向四小調出6臺，一小向五小調出2臺，這樣調動的電腦總臺數最小為12臺．例6（1）A，B，C三點在數軸上同時向正方向運動．當點A運動到點C左側時，∵線段AC＝6，∴6＋6t＝30＋18＋3t，解得t＝14．當點A運動到點C右側時，∵線段AC－6，∴6t－6＝30＋18＋3t，解得t＝18．綜上可知，t為14或18時，線段AC＝6．當點A，B，C三個點在數軸上同時向正方向運動t秒后，點A，B，C在數軸上表示的數分別為：6t－30，10＋3t，18＋3t．∵P，M，N分別為OA，OB，OC的中點．∴P，M，N三個點在數軸上表示的數分別為：，，．且點M始終在點N左側．①若點P在M，N左邊，則PM＝－＝20－1．5t，PN＝－＝24－1．5t．∵2PM－PN＝2，∴2（20－1．5t）－（24－1．5t）＝2，∴t＝．②若點P在M，N之間，則PM＝－＝－20＋1．5t，PN＝－＝24－1．5t．∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（24－1．5t）＝2，∴t＝．③若點P在M，N右邊，則PM＝－＝－20＋1．5t，PN＝－＝－24＋1．5t．∵2PM－PN＝2，∴2（－20＋1．5t）－（－24＋1．5t）＝2，∴t＝12．但此時PM＝－20＋1．5t＜0，所以此情況不成立．綜上可知，t＝或時符合題意．A級1．2m2．2或8 ，提示：AB的長為＝，對應的數為3－＝，點A移動的距離為－（－3）＝．4．b＜－a＜a＜|b|5．C6．B7．C8．C9．510．－30．06提示：設點表示的有理數為x，則，，…，點所表示的有理數分別為x－1，x－1＋2，x－1＋2－3，…，x－1＋2－3＋4－…－99＋100．由題意得x－1＋2－3＋4－…－99＋100＝19．94．11．（1）M點對應的數為＝40．（2）相遇時間為＝12秒，C點對應的數為100－12×6＝28．（3）追擊時間為60秒，D點對應的數為－260．B級1．－22．3．24或40．提示：設N點對應的數為x．根據絕對值的幾何意義可知|x|＝4|x－30|．對x分情況討論得出x＝24或x＝40．b≤x≤a5．A6．C7．D8．C9．原式化為|x＋2|＋|1－x|＋|y－5|＋|1＋y|＝9．∵|x＋2|＋|1－x|≥3，當－2≤x≤1時等號成立；|y－5|＋|1＋y|≥6，當－1≤y≤5時等號成立．∴x＋y的最大值＝1＋5＝6；x＋y的最小值＝－2－1＝－3．10．調運后各倉庫的存貨量都相等，應為×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64噸．設A庫運往B庫噸，B庫運往C庫噸，C庫運往D庫噸，D庫運往E庫噸，E庫運往F庫噸，F庫運往A庫噸，故有:50＋－＝84＋－＝80＋－＝70＋－＝55＋－＝45＋－＝64．所以，＝－14，＝＋20＝＋6，＝＋16＝＋22，＝＋6＝＋28，＝－9＝＋19．若使調運量最小，則有y＝||＋||＋||＋||＋||＋||＝||＋|－14|＋|＋6|＋|＋22|＋|＋28|＋|＋19|取最小值．而－28＜－22＜－19＜－6＜0＜14，所以，當－19≤-6時，y有最小值，此時，-33-20，-130，316，922，013.當=-19時，=-33,=-13，=3,=9,=0.即A庫運往B庫-33噸，亦即B庫運往A庫33噸.B庫運往C庫-13噸，亦即C庫運往B庫13噸.C庫運往D庫3噸，D庫運往E庫9噸，E庫運往F庫0噸，F庫運往A庫19噸，總調運量為77噸.11.首先注意8個連續的點，例如0，1，2，3，4，5，6，7.從中可取前4個點0，1，2，3，其中任何兩個點的距離為4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一組只能選一個點，8個點中只能選出4個點，任何兩個點之間的距離都不等于4.因為2006=4×501+2，8×501=4010.故當n=2005時，2n+1=4011.從左到右，每8個連續的點中取前4個點，剩下的3個點中取2個點，共取2006個點，任何兩點間的距離都不等于4.另一方面，如果n≤2004，那么2n+1≤4009.從左到右，第8個連續點一組，至多502組，其中最后一組只有1個點.因此不論怎么取2006個點，前501組中總有一組取的點多于4個，從而有兩個點的距離為4.綜上所述，n的最小值是2005.專題06有理數的計算閱讀與思考在小學我們已經學會根據四則運算法則對整數和分數進行計算，當引進負數概念后，數集擴大到了有理數范圍，我們又學習了有理數的計算，有理數的計算與算術數的計算有很大的不同：首先，有理數計算每一步要確定符號；其次，代數與算術不同的是“字母代數”，所以有理數的計算很多是字母運算，也就是通常說的符號演算．數學競賽中的計算通常與推理相結合，這不但要求我們能正確地算出結果，而且要善于觀察問題的結構特點，將推理與計算相結合，靈活選用算法和技巧，提高計算的速度．有理數的計算常用的技巧與方法有：1．利用運算律．2．以符代數．3．裂項相消．4．分解相約．5．巧用公式等．例題與求解【例1】已知m，n互為相反數，a，b互為負倒數，x的絕對值等于3，則的值等于______________．（湖北省黃岡市競賽試題）解題思路：利用互為相反數、互為倒數的兩個有理數的特征計算．【例2】已知整數滿足，且，那么等于（ ）A．0B．10C．2D．12（江蘇省競賽試題）解題思路：解題的關鍵是把25表示成4個不同的整數的積的形式．【例3】計算：（1）（“祖沖之杯”邀請賽試題）（2）；（江蘇省泰州市奧校競賽試題）（3）．（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：對于（1），若先計算每個分母值，則掩蓋問題的實質，不妨先從考察一般情形入手；對于（2），由于相鄰的后一項與前一項的比都是7，考慮用字母表示和式；（3）中裂項相消，簡化計算．【例4】都是正整數，并且，．(1)證明：，；(2)若，求和的值．（“華羅庚金杯”少年邀請賽試題）解題思路：（1）對題中已知式子進行變形．（2）把（1）中證明得到的式子代入，再具體分析求解．【例5】在數學活動中，小明為了求的值（結果用表示），設計了如圖①，所示的幾何圖形．（1）請你用這個幾何圖形求的值．（2）請你用圖②，在設計一個能求的值的幾何圖形．（遼寧省大連市中考試題）解題思路：求原式的值有不同的解題方法，二剖分圖形面積是構造圖形的關鍵．【例6】記，令稱為這列數的“理想數”，已知的“理想數”為2004．求的“理想數”．（安徽省中考試題）解題思路：根據題意可以理解為為各項和，為各項和的和乘以．能力訓練A級1．若互為相反數，互為倒數．，的值為____________．（湖北省武漢市調考試題）2．若，則=___________．（“希望杯”邀請賽試題）3．計算：（1）＝________________；（2）＝__________________．4．將1997減去它的，再減去余下的，再減去余下的，再減去余下的，，依次類推，直至最后減去余下的，最后的答案是_______________．（“祖沖之杯”邀請賽試題）5．右圖是一個由六個正方體組合而成的幾何體，每個小正方體的六個面上都分別寫著－1，2，3，－4，5，6六個數字，那么圖中所有看不見的面上的數字和是___________．（湖北省仙桃市中考試題）6．如果有理數滿足關系式，那么代數式的值（ ）A．必為正數B．必為負數C．可正可負D．可能為0（江蘇省競賽試題）7．已知有理數兩兩不相等，則，，中負數的個數是（ ）A．1個B．2個C．3個D．0個或2個（重慶市競賽試題）8．若與互為相反數，則＝（ ）A．0B．1C．－1D．1997（重慶市競賽試題）9．如果，，則的值是（ ）A．2B．1C．0D．-1（“希望杯”邀請賽試題）10．若是互為不相等的整數，且，則等于（ ）A．0B．4C．8D．無法確定11．把，3.7，，2.9，4.6分別填在圖中五個Ο內，再在每個□中填上和它相連的三個Ο中的數的平均數，再把三個□中的平均數填在△中．找出一種填法，使△中的數盡可能小，并求這個數．（“華羅庚金杯”少年邀請賽試題）12．已知都不等于零，且的最大值為，最小值為，求的值．B級1．計算：＝________________．（“五羊杯”競賽試題）2．計算：＝________________．（“希望杯”邀請賽試題）3．計算：＝____________________．4．據美國詹姆斯·馬丁的測算，在近十年，人類的知識總量已達到每三年翻一翻，到2020年甚至要達每73翻番空前速度，因此，基礎教育任務已不是“教會一切人一切知識，而是讓一切人學會學習”．已知2000年底，人類知識總量，假入從2000年底2009年底每3年翻一翻；從2009年底到2019年底每1年翻一番；2020年是每73天翻一翻．（1）2009年底人類知識總量是：__________________；（2）2019年底人類知識總量是：__________________；（3）2020年按365天計算，2020年底類知識總量會是____________________．（北京市順義區中考試題）5．你能比較和的大小嗎？為了解決這個問題，我們首先寫出它的一般形式，即比較與的大小（n是自然數），然后我們從分析n=1，n=2，n=3…中發現規律，經歸納、猜想得出結論（1）通過計算，比較下列各組中兩數的大小：（在橫線上填寫“＞”“=”“＜”）①，②；③；④；⑤（2）從第（1）題的結果中，經過歸納，可以猜想出與的大小關系是_____________________________________________________________________________；（3）根據以上歸納．猜想得到的一般結論，試比較下列兩數的大小_____：．（福建省龍巖市中考試題）6．有2009個數排成一列，其中任意相鄰的三個數中，中間的數總等于前后兩數的和．若第一個數是1，第二個數是－1，則這個2009個數的和是（ ）A．－2B．－1C．0D．2（全國初中數學競賽海南省試題）7．如果，那么