§3.1

函數的單調性與極值

§3.2

極值的幾何應用

§3.3

邊際與彈性

學習目標

教學建議

第三章導數的應用

§3.4

極值的經濟應用

§3.5

曲線凹凸與拐點

一.函數的單調性

二.函數的極值§3.1函數的單調性與極值

一.函數的單調性復習單調性的定義設函數在區間上有定義，若對于中的任意兩點和,當時，總有則稱在上單調增加.

(1)若,由知,傾角為銳角,在處,曲線是上升的,函數隨增加而增加.在§1.1中

在§2.1中,導數的幾何意義

復習單調性的定義在§1.1中

在§2.1中，導數的幾何意義

設函數在區間上有定義，若對于中的任意兩點和,當時，總有則稱在上單調減少.

(2)若,由知,傾角為鈍角,在處,曲線是下降的,函數隨增加而減少.

函數單調性的判定法則由單調性的判定法則

定理3.1在函數可導的區間內:(1)若,則函數單調增加;(2)若,則函數單調減少.解練習1確定函數的單調性.函數的定義域是因可知在內,故函數在其定義域內是單調增加的.說明在函數可導的區間內,是函數在區間內單調增加(減少)的充分條件,而非必要條件.例如,函數在區間內是單調增加的,而

此例說明,函數在區間內單調增加(減少)時,在個別點處,可以有結論

在函數

的可導區間

內,若或

,而等號僅在一些點處成立,則函數在區間

內單調增加或單調減少.(1)確定函數的定義域;(2)求導數由確定函數的駐點.駐點將定義域分成部分區間;討論函數的增減區間的程序(3)判定函數的增減區間:考察導數在各個部分區間內的正負號,便知函數在各個部分區間內的增減性.解(1)函數的定義域是(2)求導數并確定函數的駐點:

(3)判定函數的增減區間:駐點將函數的定由得義域分成三個部分區間:在區間內,

,函數單調增加;練習2討論函數的單調增減區間.在區間內,

,函數單調減少;在區間內,

,函數單調增加.

二.函數的極值

極值的定義定義3.1設函數在點及其左右鄰近有定義,

是其中的任一點,但(1)若有

則稱是函數的極大值點,極大值點

極小值點

極大值點

不是極值點

函數的極大值點與極小值點統稱為函數的極值點;函數的極大值與極小值統稱為函數的極值.是函數的極大值;稱是函數的極小值.稱均為駐點

(2)若有

則稱是函數的極小值點,

極值存在的必要條件若函數在可導,且有極值,則一定有

注意:函數的駐點卻不一定是其極值點.有,即是該函數的駐點,但卻不是其極值點.

即對可導函數而言,它的極值點一定是其駐點.如,對函數也只是駐點,但非極值點.上頁圖中的那么,究竟哪些點一定是極值點呢?

極值存在的充分條件定理3.2設函數在及其左右鄰近可導:

則是函數的極大值點.而在的右側鄰近,而在的右側鄰近,則是函數的極小值點.(2)若在的左側鄰近,(1)若在的左側鄰近,(1)確定函數的定義域;(2)求導數由確定函數的駐點.駐點將定義域分成部分區間;求函數的極值的程序(3)判定:考察駐點左右兩側導數的符號:若由正變負,則是極大值點;若由負變正,則是極小值點;若不變號,則不是極值點.(4)求出極值:若函數有極值點,求出相應的函數值,這就是函數的極值.

對可導函數解(1)函數的定義域是(2)求導數并確定函數的駐點:

由得(3)判定:駐點將函數的定義域分成三個部分區間:練習3求函數的極值.極大值

極小值

解