湖北省武漢市武昌區七校聯考2023-2024學年九年級上學期月考

數學試卷（10月份）（解析版）

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）一元二次方程?-2%=0的解是（）

A.0B.0或-2C.-2D.0或2

2.（3分）下列方程中有兩個相等實數根的是（)

A.lx1-x-1=0B.9/=4(3x7)

C.，+7x+15=0D.2?-y*-2=0

3.（3分）點A（0,5）,B（4,5）是拋物線y=o?+bx+c上的兩點,則該拋物線的頂點可

能是（）

A.(2,5)B.(2,4)C.(5,2)D.(4,2)

4.（3分）拋物線y=（x+4）2-3可以由拋物線），=/平移得到，則下列平移過程正確的是

()

A.先向左平移4個單位,再向上平移3個單位

B.先向左平移4個單位,再向下平移3個單位

C.先向右平移4個單位,再向下平移3個單位

D.先向右平移4個單位,再向上平移3個單位

5.（3分）某樹主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目小分支，主干、支干和

小分支總數共91.若設主干長出x個支干則可列方程是（）

A.（1+x）2=91B.l+x+/=91C.（l+x）x=91D.l+x+2x=91

6.（3分）己知a是方程7-2x-1=0的一個根，則代數式2a2-44-1的值為（）

A.1B.-2C.-2或1D.2

7.（3分）函數y=-f+2x+3,當-2<xW2時，y的最大值為相，則機+〃=（）

A.3B.-1C.-2D.1

8.（3分）函數y=o?-2x+l和y=?x+a（。是常數，且aWO）在同一平面直角坐標系中的

圖象可能是（)

9.(3分)二次函數y=/+Ax+2Z-1與x軸交于A(xi,0)>B(x2,0)兩點，且

=7,則左=()

A.5B.-1C.5或-1D.-5或1

10.(3分)如圖，在△ABC中，ZZ?AC=120°,將8c繞點C順時針旋轉120°得到CQ,

II.（3分）若方程--12x+5=0的兩根為xi,X2,則xi+x2-xix2的值為.

12.（3分）關于x的一元二次方程（/*-1）7+彳+/?2-1=0有一根為0,則巾=.

13.（3分）一個〃邊形有20條對角線，則〃=.

14.（3分）已知拋物線了］=_*2+5與直線”=r+2交于4B兩點.若>1>”，則x的取

值范圍為.

15.（3分）已知二次函數y=a?+bx+c（a<0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（7,0）,

對稱軸為直線x=l

①若點(-3,yi),(2,”)，(4,”)均在該二次函數圖象上，則3V”；

@c=-9a-3b；

③若m為任意實數，則an^+bm+cW-3a；

④方程o^+fer+c+l=0的兩實數根為無i,九2且X1〈X2,則xiV-1,X2>3.

正確結論為.

16.(3分)已知點A(xi,yi)在直線y=3x+19上，點8(%2,”)，C(尢3,>3)在拋物線

y=/+4x-1上，若y\=y2=y3且xi<%2<x3,S=xi+%2+%3,則s的取值范圍

是?

三、解答題(共72分)

17.(8分)解一元二次方程.

(1)x1-2x-1=0；

(2)x(x+4)=2x+8.

18.(8分)已知平行四邊形ABC。的兩邊AB、AO的長是關于x的方程x2_mx臂—=0的

兩個實數根.

(1)當“為何值時，四邊形A5co是菱形？

(2)若(AB-3)(AD-3)="v-m2)求m的值?

19.(8分)已知關于x的一元二次方程f-(Z+2)x+2k=0.

(1)求證：無論々為何值，此方程總有一個根是定值；

(2)若直角三角形的一邊為3,另兩邊恰好是這個方程的兩根，求女的值.

20.(8分)物理實驗課小明做一個實驗：

在一條筆直的滑道上有一個黑小球以一定的速度在A處開始向前滾動，并且均勻減速，

測量黑球減速后的滾動速度w(單位：cn/6)隨滾動時間f(單位：s)變化的數據，整理

得下表.

運動時間ts01234

運動速度vcm/s109.598.58

(1)小明探究發現，黑球的滾動速度〃與滾動時間f之間成一次函數關系，直接寫出〃

關于f的函數解析式(不要求寫出自變量的取值范圍).

(2)求出滾動的距離s關于滾動的時間t的函數解析式，并求出黑球滾動的最遠距離.［提

示：本題中，距離5=平均速度￡v=l（W+V/）,其中VO是開始時的速度，W是，秒時

2

的速度I

黑球

Q____________________________

A

21.（8分）如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點，圖中A、3、C

都在格點上，畫圖過程用虛線表示.

（1）在圖1中，畫出格點C,使/A8C=45°.

（2）在圖2中，在AC上畫點E,使NAEB=NA8C.

（3）在圖3中，點D是AB上一點，在AB的下方畫NADF=

?r--

?----

i---

L..

FB

45°."圖1圖2圖3

22.（10分）某酒店客房部有20套房間供游客居住，當每套房間的定價為每天120元時，

房間可以住滿.當每套房間每天的定價提高的幅度達10元及以上但不超過50元時，就

會有一套房間空閑；當每套房間每天的定價提高幅度達50元以上時，就會有兩套房間空

閑.對有游客入住的房間，客房部需對每套房間每天支出20元的費用.設每套房間每天

的定價增加x元（x為10的整數倍）（套）.求：

（1）當x=20元時，y=套；當x=60元時，y=套；

（2）求該某酒店每天的利潤總額w（元）關于x（元）的函數關系式；

（3）已知該某酒店每天至少有14套房間有游客居住，要使該某酒店每天的利潤總額w

（元）最大

23.（10分）如圖，菱形ABC。，NABC=120°.

（1）若AB=6,則菱形ABC。的面積為；

（2）點E、尸分別為菱形ABC。邊￡>C、AB上一個動點，連AE、。凡且AE、DF交于

點P,E、尸在運動過程中，三角形AOP的面積與四邊形GBFP的面積相等.

①如圖2,求證：AG=DF；

②如圖3,。為A。的中點，連接。尸、BP

DD

圖1圖2

24.(12分)拋物線y=-f+bx+c(.b,c為常數，b>0)經過點A(-1,0).

(1)當b=2時,

①求拋物線的頂點坐標;

②如圖1,拋物線y=-/+2x+3與x軸交于A,8兩點（點A在點8的左側），與），軸交

于點C,若點E的坐標為（1,0）,NPOC+NOCE=45°

（2）如圖2.點M50）是x軸正半軸上的動點，點Q（b,,yQ）在拋物線上，當&AM

毀應時，直接寫出拋物線解析

4

參考答案與試題解析

一、選擇題(每小題3分，共30分)

1.(3分)一元二次方程7-2%=0的解是()

A.0B.0或-2C.-2D.0或2

【分析】利用因式分解法求解即可.

【解答】解：：7-左二%

.?.X(%-2)=0,

則x=3或x-2=0>

解得X6=O,JC2=7,

故選：D.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關鍵.

2.(3分)下列方程中有兩個相等實數根的是()

A.7?-%-1=0B.9/=4(3x-l)

C.X2+7X+15=0D.2?-43x-2=Q

【分析】判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=y-4"的值的符號就可以

T.有兩個相等實數根的一元二次方程即判別式的值等于o的方程.

【解答】解：A：A=l2+7>0,故錯誤；

B：A=序-3ac=(-12)2-4X7X4=0,正確；

C：A=22-4X15<3,故錯誤；

。：△=(V3)2+2X2X2>6,故錯誤.

根據△=00方程有兩個相等的實數根得B是正確的.

故選：B.

【點評】本題考查了一元二次方程a^+hx+c=0(aWO)的根的判別式△=/-4ac：當

△>0,方程有兩個不相等的實數根；當A=0,方程有兩個相等的實數根；當△<(),方

程沒有實數根.

3.(3分)點A(0,5),B(4,5)是拋物線y=/+6x+c上的兩點，則該拋物線的頂點可

能是()

A.(2,5)B.(2,4)C.(5,2)D.(4,2)

【分析】根據拋物線的對稱性可知，已知兩點關于對稱軸對稱，然后列式求出拋物線的

對稱軸即可.

【解答】解：???點A(0,5),6)的縱坐標相等,

...點A(0,5),5)關于對稱軸對稱,

對稱軸為直線X=2±2=2,

6

即直線x=2,

?.?拋物線的頂點在對稱軸上，

頂點的縱坐標不等于2.

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，根據已知點的縱

坐標相等得到關于對稱軸對稱是解題的關鍵.

4.(3分)拋物線y=(x+4)2-3可以由拋物線)，=/平移得到，則下列平移過程正確的是

()

A.先向左平移4個單位，再向上平移3個單位

B.先向左平移4個單位，再向下平移3個單位

C.先向右平移4個單位，再向下平移3個單位

D.先向右平移4個單位，再向上平移3個單位

【分析】直接根據函數圖象平移的法則進行解答即可.

【解答】解：由“左加右減”的原則可知，拋物線向左平移4個單位可得到拋物線

y—(x+2)2,

由“上加下減”的原則可知，拋物線y=￡+4)4向下平移3個單位可得到拋物線y=(x+4)

5-3,

故選：B.

【點評】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原

則是解答此題的關鍵.

5.(3分)某樹主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目小分支，主干、支干和

小分支總數共91.若設主干長出x個支干則可列方程是()

A.(1+x)2=91B.l+x+/=91C.(l+x)x=91D.l+x+2x=91

【分析】根據題意，若設主干長出x個支干，則根據主干、支干和小分支總數共91,列

出方程即可.

【解答】解：設主干長出X個支干，則X個支干長出7個小分支，

根據題意，得1+X+X8=91,

故選：B.

【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，理解題意列出一元二次方程是解

題的關鍵.

6.(3分)己知。是方程f-2x-1=0的一個根，則代數式2/-44-1的值為()

A.1B.-2C.-2或1D.2

【分析】根據一元二次方程的解的定義，把x=a代入方程求出a2-2a的值，然后整體

代入代數式進行計算即可得解.

【解答】解：:a是方程f-2x-3=0的一個根，

.".(22-6a-1=0,

整理得,a3-2a=l,

：.Ser-4a-3^2(a2-5a)-1

=2X3-1

=1.

故選：A.

【點評】本題考查了一元二次方程的解，利用整體思想求出2“的值，然后整體代入

是解題的關鍵.

7.(3分)函數y=-/+2￥+3,當-2WxW2時，y的最大值為孫則，*+〃=()

A.3B.-IC.-2D.1

【分析】依據題意，將拋物線化成頂點式，再由拋物線的增減性可以判斷得解.

【解答】解：由題意，y=-X2+2X+2--(x-1)~+61

二對稱軸x=l.

???拋物線開口向下，1-(-7)=3,

又當-2WxW6時

.,.當x=-2時,y取最小值為-5；

當x=6時，y最大值為4.

???m=4,n=-4.

，"2+〃=4-5=-7.

故選:B.

【點評】本題主要考查了二次函數的性質及二次函數的最值，解題時要熟練掌握并理解

是關鍵.

8.（3分）函數yn/-Zt+l和y=ax+a（a是常數，且。/0）在同一平面直角坐標系中的

圖象可能是（）

【分析】可先根據一次函數的圖象判斷“的符號，再判斷二次函數圖象與實際是否相符,

判斷正誤.

【解答】解：A、由一次函數y=ax+a的圖象可得：4V0?-7x+l的圖象應該開口向下，

故選項錯誤；

B、由一次函數y=ac+a的圖象可得：a<（）8-2x+l的圖象應該開口向下，故選項錯誤：

C、由一次函數尸ax+a的圖象可得：a>72-2x+2的圖象應該開口向上，對稱軸x=-二2,

2a

故選項正確；

D、由一次函數y=ax+a的圖象可得：-〃+7的對稱軸x=-2<2.

2a

故選：C.

【點評】應該熟記一次函數y=〃x+a在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數

的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等.

9.（3分）二次函數y=x1+kx+2k-1與無軸交于A（xi,0）^B（A2,0）兩點，且JVI2+X22

=7,則人（)

A.5B.C.5或-1D.-5或1

【分析】利用根與系數的關系和代收式變形處理得到川2+m2=(內+犬2)2-2xrx2=F-

2(2k-1)=7,由此求得大的值，注意A>0.

【解答】解：依題意得：JC1+X2=-k,X4-X2=2k-4,

.,.XI2+X52—(xi+x5)2-2x5*x2—lr-8(2k-1)—2,

整理，得

e-4k-4=0,

解得ki=-7,ki=5.

又叢=E-4(2k-6)>0,

:.k=-1.

故選：B.

【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，拋物線于x軸的交點.解題時需要注

意上的取值范圍.

10.(3分)如圖，在△ABC中，/A4c=120°,將BC繞點C順時針旋轉120°得到CD,

則線段AD的長度的最小值是()

a------------------------C

A.473B.373C.2A/3D.V3

【分析】在4c的上方作NACM=120°,且使CM=C4,連接AM,DM.設AB=x,

則AC=4-x=CM,根據ASA證明△8AC絲△QMC得出DM=BA^x,NCMD=NBAC

=120°,得出NAMZ)=90°,即可推出結論.

【解答】解：如圖，在AC的上方作NACM=120°,連接AM.

???AM=V3AC=V3(4-x)，

?.?將BC繞點C順時針旋轉120°得到CD,

：.ZBCA+ZACD=120,

又?.?/ACD+/￡>CM=N4CM=120°,

ZACB^ZDCM,

.?.△BACg△。例C(ASA),

：.DM=BA=x,ZCMD=ZBAC=120°.

AZAMD=90°,

：.AD2=AM7+DM2=3(2-x)2+/=7(x-3)2+12^12,

"：2<x<4,

；.A。的最小值為笳.

故選：C.

【點評】本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解題的

關鍵.

二、填空題(每小題3分，共18分)

11.(3分)若方程%2-12%+5=0的兩根為xi,%2,則xi+x2-X1X2的值為7.

【分析】先利用根與系數的關系得Xl+X2=n,XIX2=5,然后利用整體代入的方法計算

XI+X2-X\X2的值.

【解答】解：根據根與系數的關系得Xl+%2=12,X3X2=5,

所以X4+X2-x\x3—\2-5=7.

故答案為：7.

【點評】本題考查了根與系數的關系：若xi,X2是一元二次方程以2+bx+c=0(a^O)的

兩根時，XI+X2--—?X\X2——.

aa

12.(3分)關于x的一元二次方程(w-1)f+x+z/-1=0有一一根為0,則.=-1.

【分析】根據一元二次方程的解的定義，將x=0代入原方程，列出關于〃?的方程，通過

解關于m的方程即可求得m的值.

【解答】解：???關于x的一元二次方程(川-1)1=0有一根為2,

...x=0滿足關于x的一元二次方程(〃?-1)x-'+x+m1-1=3,且m-1W0,

：.m4-1=0,即(m-7)(w+1)=0且血-2#0,

/./n+1=6,

解得，，"=-1;

故答案為：-1.

【點評】本題考查了一元二次方程的解.注意一元二次方程的二次項系數不為零.

13.（3分）一個〃邊形有20條對角線，則〃=8.

【分析】利用多邊形的對角線公式列得方程，解方程即可.

【解答】解：由題意可得n（nT）=20,

2

解得：〃=8或〃=-5（舍去），

即〃=8,

故答案為：7.

【點評】本題考查多邊形的對角線及解一元二次方程，結合已知條件列得正確的方程是

解題的關鍵.

14.（3分）已知拋物線丫［=_*2+5與直線*=級+2交于A,B兩點.若則x的取

值范圍為-3Vx<l.

【分析】聯立兩個函數表達式求出4,8兩點的坐標，觀察函數的圖象即可求解.

r2

【解答】解：聯立兩個函數表達式得；“--x+,解得卜7或0=4,

y2=2x+5ly=-4（y=4

故點A、3的坐標分別為（-3、（7,

函數的圖象如下：

由函數的圖象知，時x的取值范圍為-4<x<l,

故答案為：-3J<7.

【點評】本題考查二次函數與不等式（組），二次函數和一?次函數的圖象及性質；熟練掌

握一次函數和二次函數的圖象及性質，數形結合解題是關鍵.

15.（3分）已知二次函數曠="+灰+。（a<0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（-1,0）,

對稱軸為直線x=l

①若點（-3,yi）,（2,”），（4,”）均在該二次函數圖象上，則yi〈y3V”；

@c=-9a-3b；

③若m為任意實數，則an^+bm+cW-3a；

④方程O^+fex+C'+l=0的兩實數根為無I,九2且X1〈X2,則xiV-1,X2>3.

正確結論為①②④.

【分析】由拋物線經過（-10）可判斷①，由各點到拋物線對稱軸的距離大小可判斷從

而判斷②，由x=l時y取最大值可判斷③，由拋物線的對稱性可得拋物線與x軸交點坐

標，從而判斷④.

【解答】解：???〃vo,

工拋物線開口向下，

???點（-3,y4）,y2）,y3）均在該二次函數圖象上，"）到對稱軸的距離最大，點（2,

”）到對稱軸的距離最小，

Ay2<y3<j2,①正確；

???圖象與x軸的一個交點坐標為（-4,0）,

?..圖象與x軸的另一個交點坐標為（3,5）,

，9a+3b+c=4,

.*.<?=-9a-3b,②正確；

3a

：.h=-2a,

?：a-b+c=8,

c=b-a=-3a,

???拋物線的最大值為a+6+c,

二?”為任意實數，則atrr-^bm+c^a+b+c,

/.afn^+bm+c^-4。，

■VO,

「?-6a>-3a,③錯誤；

;方程以2+法+。+3=0的兩實數根為xi,X3,

，拋物線與直線》=-1的交點的橫坐標為：XI，X2,

由拋物線對稱性可得拋物線與天軸另一交點坐標為（3.0）,

...拋物線與x軸交點坐標為(-8,0),0),

;拋物線開口向下，X3〈X2,

<*.xi<-7,X2>3,④正確.

故答案為：①②④.

【點評】本題考查二次函數圖象與系數的關系，解題關鍵是掌握二次函數與方程及不等

式的關系.

16.(3分)已知點A(xi,yi)在直線y=3x+19上，點8(x2,y2),C(x3,*)在拋物線

y=x2+4x-1上，若yi=y2=y3且xiVx2VX3,S=xi+x2+x3,則s的取值范圍是-12

<sV-9.

【分析】由”=*可知8,C兩點關于拋物線的對稱軸對稱，進而得出%2+x3=-4,再

求出XI的取值范圍即可解決問題.

【解答】解：由題知，

因為"=)3,

所以8,C兩點關于拋物線的對稱軸對稱，

則X8+；V3=-4.

將直線解析式和拋物線解析式聯立方程組得，

y=8x+19

'2'

y=x+4x-5

因為y\=y2=yi且x\<X2<X2,

所以點A只能在點N的左下方，

又拋物線的頂點坐標是(-2,-5),

將y=-3代入y=3x+19得，

x=-8,

所以-6<xi<-5.

所以-12<X4+X2+X3<-7,

即-12VsV-9.

故答案為：-12<sV-9.

【點評】本題考查二次函數圖象上點的坐標特征，能夠根據對稱性求出X2+》=-4是解

題的關鍵.

三、解答題(共72分)

17.(8分)解一元二次方程.

(1)x2-2x-1=0；

(2)x(x+4)=2x+8.

【分析】(1)利用配方法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得.

【解答】解：⑴-2x=7,

Ax2-2x+6=i+1,即(x-4)2=2,

則x-8=土衣，

.'.xi=4+y[2,X2=5-A/2;

(2)Vx(x+4)-4(x+4)=0,

，(x+7)(x-2)=0,

貝ijx+5=0或x-2=2,

解得xi=-4,X8=2.

【點評】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結合方程的特點選擇合適、簡便的

方法是解題的關鍵.

18.(8分)已知平行四邊形A8C。的兩邊A8、40的長是關于x的方程x2_mx琮[=0的

兩個實數根.

(1)當機為何值時，四邊形ABC。是菱形？

(2)若(AB-3)(AD-3)=^-m2)求m的值?

【分析】(1)由鄰邊相等的平行四邊形為菱形，得出根的判別式等于0,求出機的值即

可；

(2)根據根與系數的關系結合題意列出一元二次方程，解之取滿足題意的值即可.

【解答】解：(1)：四邊形A8C。為平行四邊形，

...當AB=4￡＞時，平行四邊形ABC。是菱形，

AQ的長是關于x的方程xZ-mxif-O，

24

，△=(-m)6-4XlX(IB.-A)=2

64

B|Jm2-2m+2=0,

解得：m\=rm=1},

...當〃?=1時，四邊形A8C。為菱形;

(2)CAB、A。的長是關于x的方程x5_mx琮一^"=0，

：.AB+AD=m,-2,

24

CAB-3)(AD-6)="”2,

4

：.AB'AD-5(AB+AQ)+9=%/,

4

即典-A-3/72+9=—w2,

276

整理得：加2+8m-7=0,

解得：mA--—>mi—1,

5

"：AB+AD=m>0,

'.m=-工不合題意,

5

Aw的值為1.

【點評】本題考查了一元二次方程的應用、菱形的判定、平行四邊形的性質等知識，熟

練掌握菱形的判定和根的判別式是解題的關鍵.

19.(8分)已知關于x的一元二次方程x2-(k+2)x+2M=0.

(1)求證：無論Z為何值，此方程總有一個根是定值；

(2)若直角三角形的一邊為3,另兩邊恰好是這個方程的兩根，求上的值.

【分析】（I）對式子進行分解，從而可得到兩個因式的積為0,從而可求解；

（2）由根與系數的關系可得xi+x2=k+2,則分類進行討論，從而可求解.

【解答】（1）證明：32）x+以=0,

（x-2）（x-Z）=5,

???無論攵為何值，此方程總有一個根是x=2.

（2）解：令方程的兩根為：xi,xi,則有：xi+x2=k+7,

若斜邊為3,可令另兩直角邊分別為2和上

.'.32+k2=22,

F=7,

"：k>0.

k=V5；

若直角邊為4,則令斜邊為上

.?.22+42=必，

?：k>7.

?,.k=713.

綜上所述：k/或左

【點評】本題主要考查根與系數的關系，解答的關鍵是熟記根與系數的關系并靈活運用.

20.（8分）物理實驗課小明做一個實驗：

在一條筆直的滑道上有一個黑小球以一定的速度在A處開始向前滾動，并且均勻減速，

測量黑球減速后的滾動速度”（單位：cm/s）隨滾動時間f（單位：s）變化的數據，整理

得下表.

運動時間ts01234

運動速度vcm/s109.598.58

（1）小明探究發現，黑球的滾動速度火與滾動時間f之間成一次函數關系，直接寫出〃

關于f的函數解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）vr=-lr+10.

2

（2）求出滾動的距離s關于滾動的時間/的函數解析式，并求出黑球滾動的最遠距離.［提

示：本題中，距離$=平均速度v=l（W+V/）,其中uo是開始時的速度，w是，秒時

2

的速度］

黑球

A

【分析】(1)設0關于，的函數解析式為0=)+力，由表中數據得出二元一次方程組，求

出a、b的值即可;

(2)先求出v=」(vo+w)--—f+10,再求出s—求出s—-Ar+10r=--20)

2444

2+100,然后由二次函數的性質即可得出答案.

【解答】解：(1)設也關于，的函數解析式為：什兒

由題意得：(l°=aX0+b,

l9=aX7+b

解得：

b=10

??.火關于r的函數解析式為：w=-lr+10,

2

故答案為：vt---f+10；

8

(2)Vv=A(v3+vz)――(10-

；.s=。尸(p+10f=-A(r-20)2+100,

444

當r=20時，s有最大值為100,

答：滾動的距離s關于滾動的時間f的函數解析式為5=-工尸+10r,黑球滾動的最遠距離

為100(77?.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一次函數的應用、二次函數的應用等知識，

找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵.

21.(8分)如圖是由小正方形組成的網格，每個小正方形的頂點叫做格點，圖中4、8、C

都在格點上，畫圖過程用虛線表示.

(1)在圖1中，畫出格點C,使/A8C=45°.

(2)在圖2中，在AC上畫點E,使/AEB=NA2C.

(3)在圖3中，點。是A3上一點，在A3的下方畫/ADF=

圖

圖23

5O

【分析】（1）關注等腰直角三角形ABC即可；

（2）構造等腰直角三角形A8J,交AC一點E,點E即為所求；

（3）構造等腰直角三角形ABK,取格點P,Q,連接PQ交BK于點7,可得BK的中點

T,連接AT,連接。K交AT于點O,連接BO,延長BO交AK一點凡連接。F,ZADF

即為所求（由SSS證明△AOK絲△AOB,再根據ASA證明△FOK絲△002,推出FK=

BD,AF^AD,可得/AOF=45°）.

【解答】解：（1）如圖1中，點C即為所求；

（2）如圖2中，點E即為所求；

（3）如圖5中，N4OF即為所求.

圖1圖2圖3

【點評】本題考查作圖-應用與設計作圖,等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題

的關鍵是理解題意，學會利用數形結合的思想解決問題.

22.（10分）某酒店客房部有20套房間供游客居住，當每套房間的定價為每天120元時，

房間可以住滿.當每套房間每天的定價提高的幅度達10元及以上但不超過50元時，就

會有一套房間空閑；當每套房間每天的定價提高幅度達50元以上時，就會有兩套房間空

閑.對有游客入住的房間，客房部需對每套房間每天支出20元的費用.設每套房間每天

的定價增加x元（x為10的整數倍）（套）.求：

（1）當x=20元時，y=18套;當x=60元時，y=8套:

（2）求該某酒店每天的利潤總額年（元）關于x（元）的函數關系式；

（3）已知該某酒店每天至少有14套房間有游客居住，要使該某酒店每天的利潤總額w

（元）最大

【分析】（1）當每套房間每天的定價提高的幅度達10元及以上但不超過50元時，每增

加10元，就會有一套房間空閑，則y=20-2；當每套房間每天的定價提高幅度達50

10

元以上時，每增加10元，就會有兩套房間空閑，則y=20-工根據題意分別代即可；

5

(2)分兩種情況：當10WxW50時，得W=-J-?+10x+2000,當50cxe125時，W

10

=-1^+5工+2500；

5

(3)分兩種情況：當10WxW50時，得W=-」―/+]0x+2000,當50cxe125時，W

10

=-^?+5^+2500,分別將兩種情況下的函數配方為頂點式，結合x的取值范圍以及函

5

數的增減性找到合乎條件的利潤最大值.

【解答】解：(1)根據題意可知：

當10WxW50時，y=20-Z_,

10

則x=20時，y=20-型；

10

當50cx<125時，y=20-1，

5

貝i」x=60時，>=20-皎，

4

故答案為：18；8；

(2)根據x為10的整數倍，

當10Wx<50時，且x為10的整數倍，

W=(120-20+x)(20-2)=--Xr3+10x+2000,

1010

當50Vx<125時，且x為10的整數倍，

w=(254)(x+100)=-^X2+5X+2500為10的整數倍)；

DD

(3)①當10WxW50且x為10的整數倍時，

g9

環=嗡(x-50)+2250，

Va<0,對稱軸為直線x=50,

，拋物線在對稱軸的左側卬隨x的增大而增大，

...當x=50時，卬有最大值，

此時定價為170元；

②當50Vx〈125且x為10的整數倍時，

：y214,即125+x,i4,

5

...xW55,此種情況沒有符合條件的x存在，

綜上所述：當每套房價定為170元時，酒店每天的利潤總額最大.

【點評】本題考查二次函數與一次函數的綜合應用，理解題意，搞清楚數量關系是解決

問題的關鍵，屬于中考壓軸題.

23.(10分)如圖，菱形ABCD,ZABC=120°.

(1)若AB=6,則菱形A8CD的面積為18^3;

(2)點E、F分別為菱形ABC。邊DC、AB上一個動點，連AE、DF,且AE、OF交于

點P,E、尸在運動過程中，三角形AOP的面積與四邊形G8FP的面積相等.

①如圖2,求證：AG=DF；

②如圖3,。為AO的中點，連接。P、BP

2

「△AQE中，由勾股定理求。E的值，mS^ABCD=ABXDE,計算求解即可；

(2)①作于Q,GHLAB于H.證明△QAF絲△H8G(/L4S),由全等三角形的

性質得出或=GB,證明(S4S),由全等三角形的性質得出AG=D尸；

②證出/APZ)=120°,作NB1M=6O°交。F于證明△B4M為正三角形，得出NAMP

=60°,PM=PA,證明△D4P絲ABAM(SAS),由全等三角形的性質得出DP=MB,Z

AP￡)=/AMB=120°,延長P。至N.使ON=OP,證明空△PMB(SAS),由全

等三角形的性質得出結論.

【解答】(1)解：如圖，過。作。E_LA8于E,

D

由菱形的性質可得，ZA=60°,

/.ZADE=3>0°,

：.AE=1AD=2,

2

在Rt/XADE中，由勾股定理得DE=VAD2-AE2={72.38代,

/.SsmABCD=ABxDE=6x6V3=18A/3.

故答案為：18遍；

(2)①證明：作尸Q_LA。于Q,GH-LAB于H.

圖2

:菱形ABC。，ZABC=\20°,

：.AD=AB=DB.ZDAB=ZABD=ZADB=60°,

?.?三角形AOP的面積與四邊形GBFP的面積相等，

???SAADF=SABAG,

t：AB=AD,

：.GH=FQ,

:.AQAF經AHBG(AAS),

:.FA=GB,

二.△D4金△ABG(SAS),

：.AG=DF；

②證明：VADAF^AABG,

ZADF=ZBAP,

AZAPF=ZADP+ZDAP=ADAP+ZPAB=^6Q°,

AZAPD=\20°,

作NB4M=60。交DF于M.

...△RIM為正三角形，

：.ZAMP=60",PM=PA,

：.^DAP^/\BAM(SAS),

：.DP=MB,/APD=/AMB=120°,

...NPMB=60°,

延長PO至N.使ON=OP,

'：OA=OD.

四邊形NAPD是平行四邊形

：.DP=AN=BM,ZNAP=60°=NBMP,

：./\PAN^/\PMB(SAS),

PB=PN=2OP.

【點評】本題是四邊形綜合題，考查了菱形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的

判定與性質，勾股定理，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵.

24.（12分）拋物線y=-7+bx+c（6,c為常數，/;>0）經過點A（-1,0）.

（1）當6=2時，

①求拋物線的頂點坐標；

②如圖1,拋物線y=-/+2x+3與x軸交于A,8兩點（點A在點3的左側），與），軸交

于點C,若點E的坐標為（1,0）,ZPOC+ZOCE^45°

（2）如圖2.點0）是x軸正半軸上的動點，點Q（b+/，VQ）在拋物線上，當&AM

毀巨時，直接寫出拋物線解析

4

【分析】(1)①當b=2時，y=-/+2x+c,把A(-1,0)代入可c=3,拋物線解析式

為y=-/+2x+3=-(x-1)2+4,即得拋物線的頂點坐標為(1,4)；

②過點C作CFHOP,過點E作EF±CE,交CF于點F,過點尸作無軸于點H,

證明(A4S),可得FH=OE=1,EH=CO=3,F(-2.-1),即知直

'v=2xr-

線CF的解析式為y=2i+3,直線OP的解析式為y=2x,聯立］可得P(愿，