第1頁（共1頁）2023年湖南省長沙市中考數學試卷一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）（2022?長沙）﹣6的相反數是（）A．﹣ B．﹣6 C． D．62．（3分）（2022?長沙）如圖是由5個大小相同的正方體組成的幾何體，該幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．3．（3分）（2022?長沙）下列說法中，正確的是（）A．調查某班45名學生的身高情況宜采用全面調查 B．“太陽東升西落”是不可能事件 C．為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統計圖是條形統計圖 D．任意投擲一枚質地均勻的硬幣26次，出現正面朝上的次數一定是13次4．（3分）（2022?長沙）下列計算正確的是（）A．a7÷a5＝a2 B．5a﹣4a＝1 C．3a2?2a3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b25．（3分）（2022?長沙）在平面直角坐標系中，點（5，1）關于原點對稱的點的坐標是（）A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（1，5） D．（﹣5，﹣1）6．（3分）（2022?長沙）《義務教育課程標準（2023年版）》首次把學生學會炒菜納入勞動教育課程，并做出明確規定．某班有7名學生已經學會炒的菜品的種數依次為：3，5，4，6，3，3，4．則這組數據的眾數和中位數分別是（）A．3，4 B．4，3 C．3，3 D．4，47．（3分）（2022?長沙）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．現需購買甲，乙兩種讀本共100本供學生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（）A．8x元 B．10（100﹣x）元 C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元8．（3分）（2022?長沙）如圖，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，則∠DCF的度數為（）A．65° B．70° C．75° D．105°9．（3分）（2022?長沙）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點，若∠AOB＝128°，則∠P的度數為（）A．32° B．52° C．64° D．72°10．（3分）（2022?長沙）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別過點A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點；②作直線PQ交AB于點D；③以點D為圓心，AD長為半徑畫弧交PQ于點M，連接AM、BM．若AB＝2，則AM的長為（）A．4 B．2 C． D．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（2022?長沙）若式子在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是．12．（3分）（2022?長沙）分式方程的解為．13．（3分）（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點，OC⊥AB，垂足為點D，且D為OC的中點，若OA＝7，則BC的長為．14．（3分）（2022?長沙）關于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有兩個不相等的實數根，則實數t的值為．15．（3分）（2022?長沙）為了解某校學生對湖南省“強省會戰略”的知曉情況，從該校全體1000名學生中，隨機抽取了100名學生進行調查．結果顯示有95名學生知曉．由此，估計該校全體學生中知曉湖南省“強省會戰略”的學生有名．16．（3分）（2022?長沙）當今大數據時代，“二維碼”具有存儲量大、保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區區“二維碼”已經展現出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中大約80%的小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數據碼．根據相關數學知識，這200個方格可以生成2200個不同的數據二維碼，現有四名網友對2200的理解如下：YYDS（永遠的神）：2200就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（覺醒年代）：2200的個位數字是6；QGYW（強國有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估計2200比1060大．其中對2200的理解錯誤的網友是（填寫網名字母代號）．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）（2022?長沙）計算：|﹣4|+（）﹣1﹣（）2+20350．18．（6分）（2022?長沙）解不等式組：．19．（6分）（2022?長沙）為了進一步改善人居環境，提高居民生活的幸福指數．某小區物業公司決定對小區環境進行優化改造．如圖，AB表示該小區一段長為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．（1）求該斜坡的高度BD；（2）求斜坡新起點C與原起點A之間的距離．（假設圖中C，A，D三點共線）20．（8分）（2022?長沙）2023年3月22日至28日是第三十五屆“中國水周”，在此期間，某校舉行了主題為“推進地下水超采綜合治理，復蘇河湖生態環境”的水資源保護知識競賽．為了了解本次知識競賽成績的分布情況，從參賽學生中隨機抽取了150名學生的初賽成績進行統計，得到如下兩幅不完整的統計圖表．成績x/分頻數頻率60≤x＜70150.170≤x＜80a0.280≤x＜9045b90≤x＜10060c（1）表中a＝，b＝，c＝；（2）請補全頻數分布直方圖；（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初賽成績均為99分，從這4名學生中隨機選取2名學生參加復賽，請用列表法或畫樹狀圖法求選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的概率．21．（8分）（2022?長沙）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B，D．（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四邊形ABCD的面積．22．（9分）（2022?長沙）電影《劉三姐》中，有這樣一個場景，羅秀才搖頭晃腦地吟唱道：“三百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數要單數，看你怎樣分得勻？”該歌詞表達的是一道數學題．其大意是：把300條狗分成4群，每個群里，狗的數量都是奇數，其中一個群，狗的數量少：另外三個群，狗的數量多且數量相同．問：應該如何分？請你根據題意解答下列問題：（1）劉三姐的姐妹們以對歌的形式給出答案：“九十九條打獵去，九十九條看羊來，九十九條守門口，剩下三條給財主．”請你根據以上信息，判斷以下三種說法是否正確，在題后相應的括號內，正確的打“√”，錯誤的打“×”．①劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案．②劉三姐的姐妹們給出的答案是唯一正確的答案．③該歌詞表達的數學題的正確答案有無數多種．（2）若羅秀才再增加一個條件：“數量多且數量相同的三個群里，每個群里狗的數量比數量較少的那個群里狗的數量多40條”，求每個群里狗的數量．23．（9分）（2022?長沙）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝AD．（1）求證：AC⊥BD；（2）若點E，F分別為AD，AO的中點，連接EF，EF＝，AO＝2，求BD的長及四邊形ABCD的周長．24．（10分）（2022?長沙）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC，BD相交于點E，點F在邊AD上，連接EF．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）當＝，∠DFE＝2∠CDB時，則﹣＝；+＝；+﹣＝．（直接將結果填寫在相應的橫線上）（3）①記四邊形ABCD，△ABE，△CDE的面積依次為S，S1，S2，若滿足＝+，試判斷△ABE，△CDE的形狀，并說明理由．②當＝，AB＝m，AD＝n，CD＝p時，試用含m，n，p的式子表示AE?CE．25．（10分）（2022?長沙）若關于x的函數y，當t﹣≤x≤t+時，函數y的最大值為M，最小值為N，令函數h＝，我們不妨把函數h稱之為函數y的“共同體函數”．（1）①若函數y＝4044x，當t＝1時，求函數y的“共同體函數”h的值；②若函數y＝kx+b（k≠0，k，b為常數），求函數y的“共同體函數”h的解析式；（2）若函數y＝（x≥1），求函數y的“共同體函數”h的最大值；（3）若函數y＝﹣x2+4x+k，是否存在實數k，使得函數y的最大值等于函數y的“共同體函數“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

2023年湖南省長沙市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一項是符合題意的．請在答題卡中填涂符合題意的選項．本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）（2022?長沙）﹣6的相反數是（）A．﹣ B．﹣6 C． D．6【分析】根據相反數的意義，即可解答．【解答】解：﹣6的相反數是6，故選：D．【點評】本題考查了相反數，熟練掌握相反數的意義是解題的關鍵．2．（3分）（2022?長沙）如圖是由5個大小相同的正方體組成的幾何體，該幾何體的主視圖是（）A． B． C． D．【分析】主視圖是從前往后得到的正投影．【解答】解：根據主視圖的概念，可知選B，故選：B．【點評】本題考查三視圖的概念，掌握概念是解題的關鍵．3．（3分）（2022?長沙）下列說法中，正確的是（）A．調查某班45名學生的身高情況宜采用全面調查 B．“太陽東升西落”是不可能事件 C．為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統計圖是條形統計圖 D．任意投擲一枚質地均勻的硬幣26次，出現正面朝上的次數一定是13次【分析】根據概率的意義，全面調查與抽樣調查，條形統計圖，隨機事件，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、調查某班45名學生的身高情況宜采用全面調查，故A符合題意；B、“太陽東升西落”是必然事件，故B不符合題意；C、為了直觀地介紹空氣各成分的百分比，最適合使用的統計圖是扇形統計圖，故C不符合題意；D、任意投擲一枚質地均勻的硬幣26次，出現正面朝上的次數可能是13次，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了概率的意義，全面調查與抽樣調查，條形統計圖，隨機事件，熟練掌握這些數學概念是解題的關鍵．4．（3分）（2022?長沙）下列計算正確的是（）A．a7÷a5＝a2 B．5a﹣4a＝1 C．3a2?2a3＝6a6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【分析】利用同底數冪的除法法則，合并同類項的法則，單項式乘以單項式的法則和完全平方公式對每個選項的結論作出判斷即可得出結論．【解答】解：∵a7÷a5＝a7﹣5＝a2，∴A的計算正確；∵5a﹣4a＝a，∴B的計算不正確；∵3a2?2a3＝6a5，∴C選項的計算不正確；∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，∴D選項的計算不正確，綜上，計算正確的是A，故選：A．【點評】本題主要考查了同底數冪的除法法則，合并同類項的法則，單項式乘以單項式的法則和完全平方公式，正確使用上述法則與公式進行運算是解題的關鍵．5．（3分）（2022?長沙）在平面直角坐標系中，點（5，1）關于原點對稱的點的坐標是（）A．（﹣5，1） B．（5，﹣1） C．（1，5） D．（﹣5，﹣1）【分析】根據平面直角坐標系中任意一點（x，y），關于原點的對稱點是（﹣x，﹣y），然后直接作答即可．【解答】解：根據中心對稱的性質，可知：點（5，1）關于原點O中心對稱的點的坐標為（﹣5，﹣1）．故選：D．【點評】本題考查關于原點對稱的點坐標的關系，是需要熟記的基本問題，記憶方法可以結合平面直角坐標系的圖形．6．（3分）（2022?長沙）《義務教育課程標準（2023年版）》首次把學生學會炒菜納入勞動教育課程，并做出明確規定．某班有7名學生已經學會炒的菜品的種數依次為：3，5，4，6，3，3，4．則這組數據的眾數和中位數分別是（）A．3，4 B．4，3 C．3，3 D．4，4【分析】這7個數據中出現次數最多的數據為眾數是3，中位數是把這組數據按從小到大的順序排，位于中間的數據是4．【解答】解：∵這7個數據中出現次數最多的數據是3，∴這組數據的眾數是3．把這組數據按從小到大順序排為：3，3，3，4，4，5，6，位于中間的數據為4，∴這組數據的中位數為4，故選：A．【點評】本題主要考查眾數的定義：一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數，中位數是指將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則稱中間位置的數為這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則稱中間兩個數據的平均數這這組數據的中位數．7．（3分）（2022?長沙）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動．現需購買甲，乙兩種讀本共100本供學生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（）A．8x元 B．10（100﹣x）元 C．8（100﹣x）元 D．（100﹣8x）元【分析】直接利用乙的單價×乙的本書＝乙的費用，進而得出答案．【解答】解：設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為：8（100﹣x）元．故選：C．【點評】此題主要考查了列代數式，正確表示出乙的本書是解題關鍵．8．（3分）（2022?長沙）如圖，AB∥CD，AE∥CF，∠BAE＝75°，則∠DCF的度數為（）A．65° B．70° C．75° D．105°【分析】根據平行線性質，可得∠DGE＝∠BAE＝∠DGE＝75°．【解答】解：如圖：∵AB∥CD，∴∠DGE＝∠BAE＝75°，∵AE∥CF，∴∠DCF＝∠DGE＝75°，故選：C．【點評】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是掌握兩直線平行，同位角相等．9．（3分）（2022?長沙）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點，若∠AOB＝128°，則∠P的度數為（）A．32° B．52° C．64° D．72°【分析】利用切線的性質可得∠OAP＝∠OBP＝90°，然后利用四邊形內角和是360°，進行計算即可解答．【解答】解：∵PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵∠AOB＝128°，∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝52°，故選：B．【點評】本題考查了切線的性質，熟練掌握切線的性質是解題的關鍵．10．（3分）（2022?長沙）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別過點A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點；②作直線PQ交AB于點D；③以點D為圓心，AD長為半徑畫弧交PQ于點M，連接AM、BM．若AB＝2，則AM的長為（）A．4 B．2 C． D．【分析】證明△AMB是等腰直角三角形，即可得到答案．【解答】解：由作圖可知，PQ是AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∵以點D為圓心，AD長為半徑畫弧交PQ于點M，∴DA＝DM＝DB，∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，∴△AMB是等腰直角三角形，∴AM＝AB＝×2＝2，故選：B．【點評】本題考查尺規作圖中的相關計算問題，解題的關鍵是根據作圖證明△AMB是等腰直角三角形．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）（2022?長沙）若式子在實數范圍內有意義，則實數x的取值范圍是x≥19．【分析】根據二次根式（a≥0），可得x﹣19≥0，然后進行計算即可解答．【解答】解：由題意得：x﹣19≥0，解得：x≥19，故答案為：x≥19．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式（a≥0）是解題的關鍵．12．（3分）（2022?長沙）分式方程的解為x＝2．【分析】觀察可得最簡公分母是x（x+3），方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉化為整式方程求解．【解答】解：方程的兩邊同乘x（x+3），得2（x+3）＝5x，解得x＝2．檢驗：把x＝2代入x（x+3）＝10≠0，即x＝2是原分式方程的解．故原方程的解為：x＝2．故答案為：x＝2．【點評】此題考查了分式方程的求解方法．注意：①解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解，②解分式方程一定注意要驗根．13．（3分）（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點，OC⊥AB，垂足為點D，且D為OC的中點，若OA＝7，則BC的長為7．【分析】根據已知條件證得△AOD≌△BCD（SAS），則BC＝OA＝7．【解答】解：∵OA＝OC＝7，且D為OC的中點，∴OD＝CD，∵OC⊥AB，∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，在△AOD和△BCD中，∴△AOD≌△BCD（SAS），∴BC＝OA＝7．故答案為：7．【點評】本題主要考查垂徑定理和全等三角形的判定與性質，解題關鍵是熟知垂徑定理內容．14．（3分）（2022?長沙）關于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有兩個不相等的實數根，則實數t的值為t＜1．【分析】根據一元二次方程根的判別式可得Δ＝22﹣4×1×t＞0，然后解不等式求出m的取值即可．【解答】解：∵關于x的一元二次方程x2+2x+t＝0有兩個不相等的實數根，∴Δ＞0，即22﹣4×1×t＞0，解得t＜1，故答案為：t＜1．【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關系：當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數根；當Δ＜0時，方程無實數根．15．（3分）（2022?長沙）為了解某校學生對湖南省“強省會戰略”的知曉情況，從該校全體1000名學生中，隨機抽取了100名學生進行調查．結果顯示有95名學生知曉．由此，估計該校全體學生中知曉湖南省“強省會戰略”的學生有950名．【分析】用總人數乘以樣本中知曉“強省會戰略”的人數所占比例即可得．【解答】解：估計該校全體學生中知曉湖南省“強省會戰略”的學生有：1000×＝950（名）．故答案為：950．【點評】本題主要考查樣本估計總體，熟練掌握樣本估計總體的思想及計算方法是解題的關鍵．16．（3分）（2022?長沙）當今大數據時代，“二維碼”具有存儲量大、保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區區“二維碼”已經展現出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中大約80%的小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當于1000個方格只有200個方格作為數據碼．根據相關數學知識，這200個方格可以生成2200個不同的數據二維碼，現有四名網友對2200的理解如下：YYDS（永遠的神）：2200就是200個2相乘，它是一個非常非常大的數；DDDD（懂的都懂）：2200等于2002；JXND（覺醒年代）：2200的個位數字是6；QGYW（強國有我）：我知道210＝1024，103＝1000，所以我估計2200比1060大．其中對2200的理解錯誤的網友是DDDD，（填寫網名字母代號）．【分析】由乘方的定義可知，2200就是200個2相乘，2002是2個200相乘；通過計算可得2n的尾數2，4，8，6循環，由循環規律可確定2200的個位數字是6；由積的乘方運算可得2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，由此可得2200＞1060，從而可求解．【解答】解：（1）∵2200就是200個2相乘，∴YYDS（永遠的神）的說法正確；∵2200就是200個2相乘，2002是2個200相乘，∴2200不等于2002，∴DDDD（懂的都懂）說法不正確；∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴2n的尾數2，4，8，6循環，∵200÷4＝50，∴2200的個位數字是6，∴JXND（覺醒年代）說法正確；∵210＝1024，103＝1000，∴2200＝（210）20＝（1024）20，1060＝（103）20＝100020，∵1024＞1000，∴2200＞1060，∴QGYW（強國有我）說法正確；故答案為：DDDD．【點評】本題考查實數的運算，熟練掌握乘方的性質，積的乘方運算法則，尾數的循環規律是解題的關鍵．三、解答題（本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題6分，第24、25題每小題6分，共72分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（6分）（2022?長沙）計算：|﹣4|+（）﹣1﹣（）2+20350．【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．【解答】解：|﹣4|+（）﹣1﹣（）2+20350＝4+3﹣2+1＝6．【點評】本題考查了零指數冪，負整數指數冪，絕對值，實數的運算，準確熟練地化簡各式是解題的關鍵．18．（6分）（2022?長沙）解不等式組：．【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進行計算即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣2，解不等式②得：x≤4，∴原不等式組的解集為：﹣2＜x≤4．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組是解題的關鍵．19．（6分）（2022?長沙）為了進一步改善人居環境，提高居民生活的幸福指數．某小區物業公司決定對小區環境進行優化改造．如圖，AB表示該小區一段長為20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于點D．為方便通行，在不改變斜坡高度的情況下，把坡角降為15°．（1）求該斜坡的高度BD；（2）求斜坡新起點C與原起點A之間的距離．（假設圖中C，A，D三點共線）【分析】（1）根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求解；（2）在△ACD中，根據∠CBD＝30°，∠CAB＝15°，求出AC＝AB，從而得出AC的長．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，∴BD＝BA＝10（m），答：該斜坡的高度BD為10m；（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，∴∠CBA＝15°，∴AB＝AC＝20（m），答：斜坡新起點C與原起點A之間的距離為20m．【點評】本題主要考查坡度坡角的定義及解直角三角形，得到AB＝AC是解題的關鍵．20．（8分）（2022?長沙）2023年3月22日至28日是第三十五屆“中國水周”，在此期間，某校舉行了主題為“推進地下水超采綜合治理，復蘇河湖生態環境”的水資源保護知識競賽．為了了解本次知識競賽成績的分布情況，從參賽學生中隨機抽取了150名學生的初賽成績進行統計，得到如下兩幅不完整的統計圖表．成績x/分頻數頻率60≤x＜70150.170≤x＜80a0.280≤x＜9045b90≤x＜10060c（1）表中a＝30，b＝0.3，c＝0.4；（2）請補全頻數分布直方圖；（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初賽成績均為99分，從這4名學生中隨機選取2名學生參加復賽，請用列表法或畫樹狀圖法求選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的概率．【分析】（1）由抽取的人數減去其它三個組的頻數得出a的值，再由頻率的定義求出b、c即可；（2）由（1）中a的值，補全頻數分布直方圖即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的結果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）由題意得：a＝150﹣15﹣45﹣60＝30，b＝45÷150＝0.3，c＝60÷150＝0.4，故答案為：30，0.3，0.4；（2）補全頻數分布直方圖如下：（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的結果有6種，∴選出的2名學生恰好為一名男生、一名女生的概率為＝．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率以及頻數分布表和頻數分布直方圖等知識．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．21．（8分）（2022?長沙）如圖，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分別為B，D．（1）求證：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根據CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC＝AB?BC＝6，即可得四邊形ABCD的面積是12．【解答】（1）證明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB?BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四邊形ABCD的面積是12．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定定理．22．（9分）（2022?長沙）電影《劉三姐》中，有這樣一個場景，羅秀才搖頭晃腦地吟唱道：“三百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數要單數，看你怎樣分得勻？”該歌詞表達的是一道數學題．其大意是：把300條狗分成4群，每個群里，狗的數量都是奇數，其中一個群，狗的數量少：另外三個群，狗的數量多且數量相同．問：應該如何分？請你根據題意解答下列問題：（1）劉三姐的姐妹們以對歌的形式給出答案：“九十九條打獵去，九十九條看羊來，九十九條守門口，剩下三條給財主．”請你根據以上信息，判斷以下三種說法是否正確，在題后相應的括號內，正確的打“√”，錯誤的打“×”．①劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案．√②劉三姐的姐妹們給出的答案是唯一正確的答案．×③該歌詞表達的數學題的正確答案有無數多種．×（2）若羅秀才再增加一個條件：“數量多且數量相同的三個群里，每個群里狗的數量比數量較少的那個群里狗的數量多40條”，求每個群里狗的數量．【分析】（1）設“三多“的每群狗有x條，則“一少“的狗有（300﹣3x）條，可得75＜x＜100，又x為奇數，即知x可取77，79，8199，共12個，從而可判斷①正確，②③錯誤；（2）設“三多“的每群狗有m條，“一少“的狗有n條，可得：，即可解得“三多“的每群狗有85條，“一少“的狗有45條．【解答】解：（1）設“三多“的每群狗有x條，則“一少“的狗有（300﹣3x）條，根據題意得：，解得75＜x＜100，∵x為奇數，∴x可取77，79，8199，共12個，∴①正確，②③錯誤，故答案為：√，×，×；（2）設“三多“的每群狗有m條，“一少“的狗有n條，根據題意得：，解得，答：“三多“的每群狗有85條，“一少“的狗有45條．【點評】本題考查不等式組及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出不等式組和方程組．23．（9分）（2022?長沙）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB＝AD．（1）求證：AC⊥BD；（2）若點E，F分別為AD，AO的中點，連接EF，EF＝，AO＝2，求BD的長及四邊形ABCD的周長．【分析】（1）由菱形的判定得?ABCD是菱形，再由菱形的性質即可得出結論；（2）由三角形中位線定理得OD＝2EF＝3，再由菱形的性質得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，然后由勾股定理得AD＝，即可求出菱形ABCD的周長．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝AD，∴?ABCD是菱形，∴AC⊥BD；（2）解：∵點E，F分別為AD，AO的中點，∴EF是△AOD的中位線，∴OD＝2EF＝3，由（1）可知，四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝＝，∴菱形ABCD的周長＝4AD＝4．【點評】本題考查了平行四邊形的性質、菱形的判定與性質、三角形中位線定理以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．24．（10分）（2022?長沙）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，對角線AC，BD相交于點E，點F在邊AD上，連接EF．（1）求證：△ABE∽△DCE；（2）當＝，∠DFE＝2∠CDB時，則﹣＝0；+＝1；+﹣＝0．（直接將結果填寫在相應的橫線上）（3）①記四邊形ABCD，△ABE，△CDE的面積依次為S，S1，S2，若滿足＝+，試判斷△ABE，△CDE的形狀，并說明理由．②當＝，AB＝m，AD＝n，CD＝p時，試用含m，n，p的式子表示AE?CE．【分析】（1）根據同弧所對的圓周角相等，對頂角相等，即可得證；（2）由（1）的結論，根據相似三角形的性質可得AE?CE＝BE?DE，即可得出﹣＝0，根據已知條件可得EF∥AB，FA＝FE，即可得出△DFE∽△DAB，根據相似三角形的性質可得＝，根據恒等式變形，進而即可求解；（3）①記△ADE、△EBC的面積為S3，S4，則S＝S1+S2+S3+S4，S1S2＝S3S4，根據已知條件可得S3＝S4，進而可得S△ABD＝S△ADC，得出CD∥AB，結合同弧所對的圓周角相等即可證明△ABE、△DCE是等腰三角形；②證明△DAC∽△EAB，△DCE∽△ACD，根據相似三角形的性質，得出EA?AC+CE?AC＝AC2＝mn+p2則AC＝，．EC＝＝，AE＝AC﹣CE＝，計算AE?CE即可求解．【解答】（1）證明：∵，∴∠ACD＝∠ABD，即∠ABE＝∠DCE，又∵∠DEC＝∠AEB，∴△ABE∽△DCE；（2）解：∵△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴AE?CE＝BE?DE，∴﹣＝＝0，∵∠CDB+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝∠DAB＝2∠CDB，又∵∠DFE＝2∠CDB，∴∠DFE＝∠DAB，∴EF∥AB，∴∠FEA＝∠EAB，∵＝，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠FAE＝∠FEA，∴FA＝FE，∵EF∥AB，∴△DFE∽△DAB，∴＝，∴＝＝＝＝1，∵+＝＝1，∴+＝1，∴＝0，故答案為：0，1，0；（3）解：①△ABE，△DCE都為等腰三角形，理由：記△ADE、△EBC的面積為S3、S4，則S＝S1+S?+S3+S4，∵＝＝，∴S1S2＝S3S4①，∵，即S＝S1+S2+2，∴S3+S4＝2②，由①②可得，即（﹣）2＝0，∴S3＝S4，∴S△ABE+S△ADE＝S△ABE+S△EBC，即S△ABD＝S△ADC，∴CD∥AB，∴∠ACD＝∠BAC，∠CDB＝∠DBA，∵∠ACD＝∠ABD，∠CDB＝∠CAB，∴∠EDC＝∠ECD＝∠EBA＝∠EAB，∴△ABE，△DCE都為等腰三角形；②∵＝，∴∠DAC＝∠EAB，∵∠DCA＝∠EBA，∴△DAC∽△EAB，∴＝，∵AB＝m，AD＝n，CD＝p，∴EA?AC＝DA×AB＝mn，∵∠BDC＝∠BAC＝∠DAC，∴∠CDE＝∠CAD，又∠ECD＝∠DCA，∴△DCE∽△ACD，∴＝，∴EA?AC+CE?AC＝AC2＝mn+p2，則AC＝，．EC＝＝，∴AE＝AC﹣CE＝，∴AE?CE＝．【點評】本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質與判定，對于相似恒等式的推導是解題的關鍵．25．（10分）