專題15解直角三角形中的母抱子模型

【模型展示】

【題型演練】

一、單選題

1.如圖，胡同左右兩側(cè)是豎直的墻，一架34米長(zhǎng)的梯子BC斜靠在右側(cè)墻壁上，測(cè)得梯

子與地面的夾角為45。，此時(shí)梯子頂端8恰巧與墻壁頂端重合.因梯子阻礙交通，故將梯子

底端向右移動(dòng)一段距離到達(dá)。處，此時(shí)測(cè)得梯子4。與地面的夾角為60%則胡同左側(cè)的通

道拓寬了（）

A.6米B.3米C.（3-夜）米D.（3-6）米

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出EC、仍，根據(jù)正切的定義求出OE,結(jié)合圖

形計(jì)算得到答案.

【詳解】解：在RtEgC中，ZBCE=45。,

EC=EB=顯BC=顯X3>/2=3（米）,

22

BE

在RtABDE中,tanZBDE=——,

DE

DE=1名τκ=??=G（米），

tanZBDE√3

CD=EC-DE=G-亞米,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念、熟記銳角三

角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在點(diǎn)F處，看建筑物頂端。的仰角為32。，向前走了15米到達(dá)點(diǎn)E即EF=I5米，

在點(diǎn)E處看點(diǎn)。的仰角為64。，則8的長(zhǎng)用三角函數(shù)表示為（）

A.15sin32oB.15tan64oC.15sin64oD.15tan32o

【答案】C

【分析】首先根據(jù)題目條件，利用外角的性質(zhì)，得出△DEb是等腰三角形，在M△/）EC中，

利用N。EC的LE弦即可表示出CD的長(zhǎng)度.

0o

【詳解】VZF=32,ZDEC=Mf

：.ZDEF=?DEC?F32?,

：,DE=EF=15,

由題可知，△3CE為直角三角形，

CD

在RmDEC中,sin?DEC短

CD

即：sin64?—,

15

.*.CD=15g>in64?,

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是利

用三角形的外角得出等腰三角形.

3.一天，小戰(zhàn)和同學(xué)們一起到操場(chǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿高度，他們首先在斜坡底部C地測(cè)得旗桿

頂部A的仰角為45。，然后上到斜坡頂部。點(diǎn)處再測(cè)得旗桿頂部A點(diǎn)仰角為37。（身高忽略

不計(jì)）.已知斜坡CD坡度i=l：2.4,坡長(zhǎng)為2.6米，旗桿AB所在旗臺(tái)高度E尸為1.4米，旗

臺(tái)底部、臺(tái)階底部、操場(chǎng)在同一水平面上.則請(qǐng)問(wèn)旗桿自身高度AB為（）米.

（參考數(shù)據(jù)：sin37o≈0.6,cos37o≈0.8,tan37o≈0.75）

A.10.2B.9.8C.11.2D.10.8

【答案】B

【分析】如圖，作。，_LFC交FC的延長(zhǎng)線于H,延長(zhǎng)AB交C尸的延長(zhǎng)線TT,作川J?AT

ΔJ

丁/設(shè)AT=Tr=%,在RtΔADJ中，根據(jù)tanZAW=方，構(gòu)造方程解決問(wèn)題即可.

【詳解】解：如圖，作DHLFC交FC的延長(zhǎng)線于H,延長(zhǎng)AB交CF的延長(zhǎng)線于T,作DJLAT

于J-

由題意四邊形E尸78、四邊形。〃"是矩形，

BT=E尸=1.4米，JT=DH,

DH1

在RtZSCCH中，；C￡>=2.6米，——=—,

CH2.4

.".DH=?(米)，CH=24(米)，

VZACT=45o,ZT=90o,

：.AT^TC,

設(shè)AT=TC=X.則Zλ∕=7W=(x+2.4)米，AJ=(X-I)米，

AJ

在RtAAZλ/中，：tanNAOJ=茄=0.75,

X—1

--------=0.75,

X+2.4

解得Λ=2,

：.AB=AT-BT=AT-EF=W.2-1.4=9.8（米）,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查解宜角三角形的應(yīng)用-測(cè)量高度問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,

構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，要熟練掌握仰角，坡度等概念，為中考常見(jiàn)題型.

4.如圖,在A處測(cè)得點(diǎn)尸在北偏東60。方向上,在B處測(cè)得點(diǎn)尸在北偏東30"方向上,若ΛB=2

A.3米B.G米C.2米D.1米

【答案】B

【分析】設(shè)點(diǎn)尸到直線AB距離PC為X米，根據(jù)正切的定義用X表示出AC、BC,根據(jù)題

意列出方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)尸到直線AB距離PC為X米，

PCr-

在Rt?APC中，AC=-------------=√3x

tanNPAC

在RtaBPC中，BC=———=—x,

tanZPBC3

由題意得，6χ-Bχ=2,

3

解得，Λ=√3（米）,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確標(biāo)注方向角是

解題的關(guān)鍵.

二、填空題

5.如圖所示，為了測(cè)量出某學(xué)校教學(xué)大樓AB的高度，數(shù)學(xué)課外小組同學(xué)在C處，測(cè)得教

學(xué)大樓頂端A處的仰角為45。；隨后沿直線BC向前走了15米后到達(dá)。處，F(xiàn)在。處測(cè)得A

處的仰角為30。，已知測(cè)量器高1米，則建筑物AB的高度約為米.（參考數(shù)據(jù)：

√2≈1.414,6=1.732,結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）

【答案】21

【分析】設(shè)AG=X米，由NAEG=45。得EG=AG=X,FG=EG+E尸=x+15,根據(jù)利用特殊角三角

函數(shù)值可得關(guān)于X的方程，解之可得答案.

【詳解】解：由題意可得四邊形FDC￡,四邊形EC8G,四邊形H）BG均為矩形

設(shè)AG=X米，由N4EG=45°得EG=AG=x,FG=EG+EF=x+l5,

在對(duì)AAFG中，tan30°=-=^^-=—

FGx+153

解得：χJ5√∣+15

?.n“"15√3+15.15√3+17

??AB=AG+BG=-------+1=-------------≈21

22

故答案為：21

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想

找出各邊之間的關(guān)系，然后找出所求問(wèn)題需要的條件.

6.永定塔是北京園博園的標(biāo)志性建筑，其外觀為遼金風(fēng)格的八角九層木塔，游客可登至塔

頂，俯瞰園博園全貌.如圖，在A處測(cè)得NCAD=30。，在B處測(cè)得/CBD=45。，并測(cè)得

AB=52米，那么永定塔的高CD約是X.（√2≈1.4,√3≈1.7,結(jié)果保留整數(shù)）

BD

【答案】74

【分析】首先證明BD=CD,設(shè)BD=CD=X,在Rt?AC。中，由乙4=30。，推出AD=ECD,

由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

【詳解】如圖，'：CD±AD,NCBD=45。,

：.ZCDB=90o,ZCfiD=ZDCB=45°,

：.BD=CD,設(shè)8D=Cf>=x,

在RIZiACD中，VZΛ=30o,

ΛAD=√3CD,

.?.52+x=√3-v>

52

.,.X=?≈74(w),

故答案為74,

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

7.如圖，在一筆直的海岸線/上有相距46〃的AB兩個(gè)觀測(cè)站，B站在A站的正東方向上,

從A站測(cè)得船C在北偏東60。的方向上，從B站測(cè)得船C在北偏東30。的方向上，則船C到

海岸線/的距離是km.

【答案】2√3

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD,AB于點(diǎn)D,然后根據(jù)等腰三角形和判定和性質(zhì)以及解直角三角形

的應(yīng)用即可.求出答案.

ZCBD=90o-30o=60o,

六NACB=NCBD-NCAD=30。，

ΛZCAB=ZACB,

.*.BC=AB=4km,

在Rt?CBD中,

：.CD=BC?sin60o=4×—=2√3(Azn)

2

???船C到海岸線/的距離是26km.

故答案為：2√L

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形的應(yīng)用一方向角問(wèn)題，解題

的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義.

8.如圖，為了測(cè)量某條河的寬度，先在河的一岸邊任選一點(diǎn)A,又在河的另一岸邊取兩個(gè)

點(diǎn)B、C,測(cè)得Na=30。，Zβ=450,量得BC的長(zhǎng)為200米，則河的寬度為.（結(jié)

果保留根號(hào)）

【答案】（√5+l）m

【分析】直接過(guò)點(diǎn)A作ADLBC于點(diǎn)D,利用tan30。=Yl=立，進(jìn)而得出答案.

x+1003

【詳解】過(guò)點(diǎn)A作ADLBC于點(diǎn)D,

VZβ=450,NADC=90。，

AD=DC,

設(shè)AD=DC=xm,

則tan30°=——-——=—,

X+2003

解得：X=Ioo（6+1），

答：河的寬度為100（√3+l）m.

故答案是：100（√3+l）m.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角二角形的應(yīng)用、特殊角的的三角函數(shù)值，正確得出AD=CD

是解題關(guān)鍵.

9.如圖，校園內(nèi)有一棵與地面垂直的樹(shù)，數(shù)學(xué)興趣小組兩次測(cè)量它在地面上的影子，第一

次是陽(yáng)光與地面成60。角時(shí)，第二次是陽(yáng)光與地面成30角時(shí)，已知兩次測(cè)量的影長(zhǎng)相差8

米，則樹(shù)高AB為多少？一.（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】4石米

【分析】設(shè)A8=x,利用正切的定義以及特殊角的正切值，衣示出BC和8,然后求解即

可.

【詳解】解：設(shè)AB=X米

在RfABO中，tanZADB=tan60o==?/?,則Bo=3?x

BD3

在RtABC中，tanZACB=tan30°=—=—,則BC=√ir

BC3

CD=BC-BD,即瓜-且χ=8,解得x=4√5

3

即AB=4石米

故答案為46米

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及正切的定義，解題的關(guān)鍵是掌握正切三

角函數(shù)的定義以及特殊角的正切值.

三、解答題

10.某數(shù)學(xué)興趣小組學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)后，計(jì)劃測(cè)量中原福塔的總高度.如圖所示，在8

處測(cè)得福塔主體建筑頂點(diǎn)A的仰角為45。，福塔頂部桅桿天線Az)高120m,再沿CB方向前

進(jìn)20m到達(dá)E處，測(cè)得桅桿天線頂部。的仰角為53.4。.求中原福塔CO的總度.(結(jié)果精

確到1m.參考數(shù)據(jù)：sin53.4°≈0.參3,cos53.4o≈0.596.tan53.4o≈1.346)

【答案】中原福塔C。的總高度約為389m.

【分析】設(shè)AC為刀m,則CT)=(X+120)m,在Rt?ACB中，可得BC=AC=X1從而得到CE=X+20,

CD

然后在RsDCE中，利用銳角三角函數(shù)，可得到tan∕DEC=前即可求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)AC為Xm,則Cz）=（x+120）m

在Rt?ACB中，Z48C=45。，

BC=AC=x,

.?.CE=x+20,

CD

在RtAOCE中，IanZDEC=—,NQEC=53.4°,

解得：x≈269.0,

：.CD=x+\20=389.0≈389米，

答：中原福塔CQ的總高度約為389m?

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形及其應(yīng)用，明確題意，熟練掌握銳角三角函數(shù)關(guān)系是

解題的關(guān)鍵.

11.如圖，在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組想要測(cè)量某條河的寬度A8,小組成員在專業(yè)人

員的協(xié)助下利用無(wú)人機(jī)進(jìn)行測(cè)量，在P處測(cè)得A,B兩點(diǎn)的俯角分別為45。和30。（即

ZCPA=45°,NCpB=30。）.若無(wú)人機(jī)離地面的高度PQ為120米，且點(diǎn)Q,A,8在同一

水平直線上，求這條河的寬度A3.（結(jié)果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：√2≈1.414,√3≈1.732）

c_________________P

-B'"'^AQ

【答案】88米

【分析】在心4APQ和砂ASP。中，利用銳角三角函數(shù)，用Po表示出A。、8。的長(zhǎng)，然

后計(jì)算出AB的長(zhǎng).

【詳解】解：CPHQB,

ZCPA=ZPAQ=45o,NCPB=NPBQ=30°,

在心ZiAPQ中，ΛPAQ=45Q,

o

.?.ZPAQ=ZAPQ=45f

.-.AQ=PQ=no（米），

在RtXBPQ,tanNPBQ=鏤,

.?.QB=吆一犁=12。G…

lanΛPBQ√3（米），

T

AB=QB-QA=12θ6-120=120x（1.732-1）a88（米），

答:這條河的寬度A8約為88米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角、俯角問(wèn)題.解決本題的關(guān)鍵是用含PQ的

式子表示出AQ和BQ.

12.如圖，某大樓的頂部豎有一塊宣傳牌AB,小明在斜坡的坡腳。處測(cè)得宣傳牌底部8的

仰角為45。，沿斜坡Z）E向上走到E處測(cè)得宣傳牌頂部A的仰角為31。，已知斜坡OE的坡度

3:4,OE=IO米，f>C=22米，求宣傳牌AB的高度.（測(cè)角器的高度忽略不計(jì)，參考數(shù)據(jù)：

sin31o≈0.52,cos3—.86,tan31o≈0.6）

【答案】宣傳牌AB的高度為2米.

【分析】過(guò)E分別作CD、AC的垂線，設(shè)垂足為F、C,則CF=EG,CG=EF,然后在RtAEFD、

RlABCD、中解直角三角形即可.

【詳解】解：過(guò)E分別作C。、AC的垂線，設(shè)垂足為尸、G,

則CF=EG,CG=EF,

在RtAEFD中，

斜坡QE的坡度3:4,Z）E=Io米，

.?.設(shè)EF=3x米，DF=4x米，

DE=?∣EF2+DF2=5x=10>

..X=2,

.?.EF=6米，OF=8米，

在RtABCD中，ZBDC=45°,

.?.BC=C。=22米，

:.BG=BC-CG=22-6=16（米）,

在RtΔAEG中，AG=EGtan310=30x0.6=18（米）,

.?.AB=AG-8G=18-16=2（米）.

答:宣傳牌AB的高度為2米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角、俯角問(wèn)題，正確作出輔助線、構(gòu)建直

角三角形，將實(shí)際問(wèn)題化歸為解直角三角形的問(wèn)題是解答此類題的關(guān)鍵.

13.如圖，山頂上有一個(gè)信號(hào)塔AC,已知信號(hào)塔高AC=16米，在山腳下點(diǎn)B處測(cè)得塔底

C的仰角是30。，塔頂A的仰角是45。，求山高CD（點(diǎn)A,C,D在同一條豎直線上）.（結(jié)

果保留根號(hào)）

【答案】8√3+8

【分析】分別解RtAABQ和RtBCD,得到45=8/）、CD=^-BD,根據(jù)

AD-CD=BD--BD=Xfjm即可求解.

3

AΓ）

【詳解】解：在RtzMBQ中，VdnZABD=——=1,

BD

???AD=BD^

在RtBCDΦ,tanZC5D=-=—,

BD3

/.CD=-BD,

3

?/ΛC=16m,

/.AD-CD=BD--BD=?6m,

解得BD=（8√5+241n,

.,?CD=^-BD=(8√3+8)m.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握正切的定義是解題的關(guān)鍵.

14.二七紀(jì)念塔位于鄭州市二七廣場(chǎng)，是獨(dú)特的仿古，它是為紀(jì)念京漢鐵路工人大罷工而修

建的紀(jì)念性建筑物.學(xué)完三角函數(shù)知識(shí)后，某校''數(shù)學(xué)社團(tuán)”的劉明和王華決定用自己學(xué)到的

知識(shí)測(cè)量二七紀(jì)念塔的高度.如圖，CD是高為1米的測(cè)角儀，在D處測(cè)得塔頂端A的仰

角為40。，向塔方向前進(jìn)38米在E處測(cè)得塔頂端A的仰角為60。，求二七紀(jì)念塔AB的高度

(精確到1米，參考數(shù)據(jù)si〃40。≈1.73).

【答案】二七紀(jì)念塔AB的高度約為62米

【分析】由題意根據(jù)止切的定義分別用AG表示出EGDG,進(jìn)而根據(jù)DG-EG=38列出算

式求出AG的長(zhǎng)，計(jì)算即可.

A(Z

【詳解】解：在Rt/MEG中，tanZAEG=-^；

EG

.?.EG=———=-AG≈0.58AG,

tanZ.AEG3

AG

在RtADG中，UinAADG=—

???DG=———≈"=i.2AG,

tanZADG0.84

.DG-EG=38,

.?.1.2ΛG-0.58AG=38,

AG≈61.3,

.?.AB=61.3+1≈62.

答：二七紀(jì)念塔AB的高度約為62米.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握仰角俯角的概念以及熟記

銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，某輪船在海上向正東方向航行，在點(diǎn)A處測(cè)得小島。在北偏東60。方向，之后輪

船繼續(xù)向正東方向行駛L5∕ι到達(dá)B處，這時(shí)小島。在船的北偏東30。方向36海里處.

（1）求輪船從A處到8處的航速.

（2）如果輪船按原速繼續(xù)向正東方向航行，再經(jīng)過(guò)多少時(shí)間輪船才恰好位于小島。的東南

方向？

【答案】（1）24海里/小時(shí).（2）3+3、小時(shí)

4

【分析】（1）過(guò)。作OCLAB,利用特殊三角函數(shù)解直角三角形，分別求得OC、BC、AC

的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)速度=路程÷時(shí)間解答即可；

（2）如圖，根據(jù)題意可判斷AOCD為等腰直角三角形，則CD=OC,進(jìn)而可得BD的長(zhǎng)，

再由時(shí)間=路程除速度求解即可.

【詳解】（1）過(guò)。作Oe?LAB,

由題意得08=36海里，NoBC=60。，ZOAC=30°,

..OC=CB?sin60°=18有（海里），

BC=OB?cos60o=18（海里），

OC186

AC=--------=—f=-=54

tan30o√3（海里），

T

.?.AB=AC-SC=54-18=36（海里），

,速度：‰=τl=24（海里〃卜時(shí)）.

由題意，NCoD=45。，。點(diǎn)在O的東南方向,

ΛΔOCD為等腰直角三角形，

??.OD=OC?tan45o=18√3（海里），

.?.BD=BC+CD=18+18^（海里）,

18+18√33+3√3,,?

:.t=--------=----—（z小π時(shí)），

244

...經(jīng)過(guò)咨叵小時(shí)后到達(dá).

4

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，特殊角的三角函數(shù)值，理解方位角的概念，熟練運(yùn)

用三角函數(shù)解直角三角形是解答的關(guān)鍵.

16.如圖，在一次空中表演中，水平飛行的殲——IO飛機(jī)在點(diǎn)A發(fā)現(xiàn)航展觀禮臺(tái)。在俯角

為21。方向上.飛機(jī)繼續(xù)向前飛行了800米到達(dá)B點(diǎn).此時(shí)測(cè)得點(diǎn)。在點(diǎn)B俯角為45。的方向上.

請(qǐng)你計(jì)算當(dāng)飛機(jī)飛到。點(diǎn)的正上方點(diǎn)C時(shí)（點(diǎn)A、B、C在同一直線上），豎直高度8約

為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)值：sin21o≈0.36,cos21o≈0.93,tan21o≈0.38）

【答案】豎直高度8約為490米.

【分析】根據(jù)題意直接利用解直角三角形的方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖：NCBD=45°NBCD=90。：,CD=CB

CDCDCD

ZA=21°tan210=-=

ACAB+BCAB+CD

CD

AB=800≈0.38

800+CD

CD=490.32≈490.

答：豎直高度CO約為490米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形，關(guān)鍵是根據(jù)題意利用三角函數(shù)進(jìn)行求解即可.

17.科技改變生活，5G時(shí)代將對(duì)我們的生活產(chǎn)生意想不到的改變.某數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量5G

信號(hào)塔的高度，如圖，在起點(diǎn)M處用高1米（DM=I米）的測(cè)量?jī)x測(cè)得信號(hào)塔AB的頂端B的

仰角為30。，在同一剖面沿水平地面向前走20米到達(dá)尸處，測(cè)得頂端8的仰角為63.4。，求

信號(hào)塔AB的高度約為多少米?（精確到1米.參考數(shù)據(jù)：

si”63.4°≈0.89,COS63.4°≈0.45√αn63.4o≈2.00,√3≈1.73）

B

【答案】該信號(hào)塔A3的高度約為17米

【分析】本題首先假設(shè)AB的長(zhǎng)度為X,繼而表示BE的長(zhǎng)度，利用正切三角函數(shù)表示DE,

進(jìn)一步表示CE,最后再次利用正切三角函數(shù)列式求解.

【詳解】由已知得：CD=20,DM=AE=I,

設(shè)AB為X米，則BE=(X—1)米，

BE

在RfΔDEB中，tan30°=——，

DE

.?.DE=y∕3(x-l),

.?.CE=￡>￡-CD=√3(x-1)-20,

BE

在RfACEB中，tan634=衣.

.c?-?

,√3(x-l)-20'

求解得：x≈17(米).

故該信號(hào)塔AB的高度約為17米.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于對(duì)各種三角函數(shù)概念的理解，并

結(jié)合具體圖形情況，適時(shí)選取合適的三角函數(shù)以提升解題效率.

18.小明和小華進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)時(shí)，想利用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量某旗桿AB的高度.小明站在

點(diǎn)D處利用測(cè)傾器測(cè)得旗桿頂端A的仰角為45。，小華在BD之間放置一個(gè)鏡子，并調(diào)整鏡

子的位置，當(dāng)鏡子恰好放在點(diǎn)E處時(shí)，位于點(diǎn)。處的小明正好在鏡子中看到旗桿頂端A,

此時(shí)。E的距離為1.4米，已知測(cè)傾器的高為1.乃米.請(qǐng)你根據(jù)以上信息，計(jì)算旗桿AB的

高度.

''45≡Xc

J_____ΣzL

BED

【答案】旗桿48的高度為15.75米

【分析】過(guò)點(diǎn)C作C尸于點(diǎn)F,可得四邊形F8Z）C是矩形,根據(jù)入射角等于反射角可得,

ZCED=NAEB,所以tan∕CEO=tanNAEB,進(jìn)而可求A尸的長(zhǎng)，最后求出AB的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，

A

F1.......................C

BED

過(guò)點(diǎn)C作C凡L48于點(diǎn)F,

可得四邊形FBQC是矩形，

，EB=CD=1.75,

FC=BD=BE+?A,

根據(jù)題意，得

NACF=45°,

.?.AF=CF,

根據(jù)入射角等于反射角可知：

ZCED=ZAEB,

tanZCED=tanZAEB,

.CDAB

"^DE~~BE,

.1.75AF+1.75

"^↑A-FC-1.4'

"：AF=FC,

二解得AF=I4,

/.AB=AF+FB=14+1.75=15.75（米）.

答：旗桿AB的高度為15.75米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，涉及到入射角和反射角的問(wèn)題，能夠正確理

解正切的含義是解題的關(guān)鍵.

19.周日，媽媽帶小嵐到商場(chǎng)的攀巖墻處玩耍如圖，Ar）是一攀巖墻，小嵐從攀巖墻底部。

處向上攀爬，媽媽站在距離攀巖墻3帆的8處，當(dāng)他到達(dá)C處時(shí)，媽媽看向他的仰角為30°,

當(dāng)他到達(dá)墻頂A處時(shí)，媽媽看向他的仰角為75°（小嵐媽媽的身高均忽略不計(jì)），此時(shí)攀巖教

練開(kāi)始釋放手中的繩子，使小嵐以1.5m/s的速度下落到C處，再減速下落到地面，則他從

A處下落到C處需要多長(zhǎng)時(shí)間？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù):

r

Siif15°a0.97,CoSlSX0.26,tan^l≤≈3.73,√^≈1.73)30°?

【答案】小嵐從A處下落到C處需要6s

【分析】在心ΔBCD中，利用三角函數(shù)解直角三角形可得CD；在Z?ΔAB。中，利用三角函

數(shù)解直角三角形可得AD,進(jìn)而得到AC的長(zhǎng)度，即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意可知，ZCBD=30°,ZABD=75"

CD

在RΔBC。中，tanZCBD=—

BD

即tan30'=寧

ΛCD=3tan30o≈1.73(m)

ΔΓ)

在RtΛABD中,tan/ABD=-BD

即tan75°=~~

.?.AD=3tan75°≈11.19(m)

.?.AC=AD-CD=9.46(∕τ?)

9.46÷1.5≈6(Λ)

答：小嵐從A處下落到C處需要6s.

【點(diǎn)睛】此題主要考查利用二角形函數(shù)解直角三角形，熟練掌握銳角的三角函數(shù)概念是解題

關(guān)鍵.

20.炎黃二帝巨型塑像位于河南省鄭州市西北部三十公里之處的黃河風(fēng)景名勝區(qū)向陽(yáng)山(始

祖山)上，炎黃二帝巨塑背依邙山，面向黃河.數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的同學(xué)為測(cè)量像體的整體高度，

在地面上選取兩點(diǎn)A和8,且點(diǎn)A,8及其中像體MN在同一平面內(nèi)，像體底部N與點(diǎn)A,

B在同一條直線上，同學(xué)們利用高Im的測(cè)傾儀在A處測(cè)得像頂M的仰角為35。，在B處測(cè)

得像頂M的仰角為45。，且AS=45m.根據(jù)測(cè)量小組提供的數(shù)據(jù)，求該塑像的高度.(結(jié)果

精確至IJlm,參考數(shù)據(jù)：sin35o≈0.57,cos35o≈0.82,tan35o≈0.70.)

【答案】該塑像的高度約為106m.

【分析】延長(zhǎng)CD交MN于E,則CE_LMN,NE=BD=AC=Im,NMDE=45。，ZMCE=35o,

CD=AB=45m,在RSDEM中，求出ME=DE,在RtACEM中，利用勾股定理求出ME的

長(zhǎng)，即可得出答案.

【詳解】延長(zhǎng)CO交MN于E,如圖所示：

由題意得：CElMN,NE=BD=AC=1m,

ZMDE=45°,Cf)=AB=45m,

ME

在RtDEMψ,tanZMDE=——=1,

DE

??.ME=DE,

在RtZXCfM中，tanNMCE=—ME=EMF--=-EMF-,

CECD+DECD+ME

ME=(CD+ME)×tanZMCE=(45+ME)×tan35o≈(45+ME)×0.7,

解得：ME≈105(m),

.?.MV=ME+TVE=105+1≈106(m)；

答：該塑像的高度約為106m.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角問(wèn)題；通過(guò)作輔助線得出直角三角形，正確

求解是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，某樓房A3頂部有一根天線8E,為了測(cè)量天線的高度，在地面上取同一條直線

上的三點(diǎn)C,D,A,在點(diǎn)C處測(cè)得天線頂端E的仰角為60°,從點(diǎn)C走到點(diǎn)力，測(cè)得CL>=5

米，從點(diǎn)。測(cè)得天線底端8的仰角為45',已知A,B,E在同一條垂直于地面的直線上，

AB=25米.

（1）求A與C之間的距離；

（2）求天線BE的高度.（參考數(shù)據(jù)：√3≈1.73,結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】（1）AC之間的距離為30米；（2）天線SE的高度約為27米.

【分析】（1）根據(jù)題意，NBAD=90。，/BDA=45。，故AD=AB,已知CD=5,不難算出A

與C之間的距離.

（2）根據(jù)題意，在RtAACE中，NAeE=60。，利用三角函數(shù)可算出AE的長(zhǎng)，又已知AB,

故EB即可求解.

【詳解】（1）依題意可得，在R/AB。中，NADB=45。，

.?.AZ）=AB=25米，

,8=5米，.?.AC=AD+CD=25+5=30^.

即AC之間的距離為30米.

（2）在RIACE中，ZAeE=60。，AC=30米，

.?.AE=30tan60o=30√3（米），

AB=25米，/.BE=AE-AB=（30√3-25）.

由6≡≈1?73.并精確到整數(shù)可得27米.

即天線BE的高度約為27米.

【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題

的關(guān)鍵.

（2）本題主要考查三角函數(shù)的靈活運(yùn)用，正確運(yùn)用三角函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.

22.為了維護(hù)我國(guó)海洋權(quán)力，海監(jiān)部門(mén)對(duì)我國(guó)領(lǐng)海實(shí)行了常態(tài)化巡航管理.如圖，正在執(zhí)行

巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時(shí)60海里的速度向正東方向航行,在A處測(cè)得燈塔P在北偏東60。

方向上，海監(jiān)船繼續(xù)向東航行1小時(shí)到達(dá)8處，此時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30。方向上.

（1）求B處到燈塔P的距離；

（2）已知燈塔P的周?chē)?0海里內(nèi)有暗礁，若海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？

*“.反

【答案】（1）B處到燈塔P的距離為60海里；（2）海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的

【分析】（1）作PD,AB丁D.求出NPAB、ZPBA.NP的度數(shù)，證得^ABP為等腰三角

形，即可解決問(wèn)題；

（2）在Rt?PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定.

【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)P作PDLAB于點(diǎn)D,

.?.PB=AB=60（海里），

答：B處到燈塔P的距離為60海里；

（2）由（1）可知NAPB=∕PAB=30°,

.?.PB=AB=60（海里）

在Rt?PBD中,

PD=BPsin60o=60×^=30√3（海里），

2

,/30√3>50.

???海監(jiān)船繼續(xù)向正東方向航行是安全的.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，正確根據(jù)題意畫(huà)出圖形、準(zhǔn)確標(biāo)注

方向角、熟練掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在港口A處的正東方向有兩個(gè)相距6h〃的觀測(cè)點(diǎn)B、C,一艘輪船從A處出發(fā),

北偏東26。方向航行至D處，在B、C處分別測(cè)得NABO=45。，NC=37。求輪船航行的距

離AD(參考數(shù)據(jù)：sin26o≈0.44,cos26o≈0.90,tan26o≈0.49,sin37o≈0.60,cos37o≈0.80,

tan37o≈0.75)

北

D

ABC

【答案】20km

【分析】過(guò)點(diǎn)。作O"LAC,垂足為H,通過(guò)解∕?ΔDCH和∕?ΔDBH得C”=—也一和

tan37°

DH

BH=——,根據(jù)BC=C求得DH,再解∕?ΔD4”求得AD即可.

tan45°

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作。垂足為H

北

DH

tan37°

~CH

DH

??.CH=

tan37°

在Rfx)BH中,ZDBH=45°

DH

tan45°

~BH

.?.BH=

BC=CH-BH

DHDH/

tan37otan45o

.?.JD∕7≈18

在用ΔDV∕中，ZADH=26°

cos26°=—

AD

.?.AD=——≈20(km)

cos26°

因此，輪船航行的距離AD約為20km

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，銳角三角函數(shù)，勾股定理.作出輔

助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

24.位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái)，是中國(guó)現(xiàn)存最早的天文臺(tái)，也是世界文化遺產(chǎn)之

某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測(cè)角儀測(cè)量觀星臺(tái)的高度.如圖所示，他們?cè)诘孛?/p>

一條水平步道MP上架設(shè)測(cè)角儀，先在點(diǎn)M處測(cè)得觀星臺(tái)最高點(diǎn)A的仰角為22。，然后沿

MP方向前進(jìn)16加到達(dá)點(diǎn)N處，測(cè)得點(diǎn)A的仰角為45。.測(cè)角儀的高度為1.6m,

（1）求觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1加.參考數(shù)據(jù)：

sinXΓ≈0.37,COS22°≈0.93√an22°≈0.40,√2≈1.41）；

（2）“景點(diǎn)簡(jiǎn)介”顯示，觀星臺(tái)的高度為12.6%,請(qǐng)計(jì)算本次測(cè)量結(jié)果的誤差，并提出一條減

小誤差的合理化建議.

【答案】（1）12.3m；（2）0.3m,多次測(cè)量，求平均值

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AEMN交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,根據(jù)條

件證出四邊形BMNC為矩形、四邊形CNED為矩形、三角形ACD與三角形ABD均為宜角

三角形，設(shè)AD的長(zhǎng)為xm,則CD=AD=xm,BD=BC+CD=（16+x）m,在RtZ^ABD中，

解直角三角形求得AD的長(zhǎng)度，再加上DE的長(zhǎng)度即可：

（2）根據(jù)（1）中算的數(shù)據(jù)和實(shí)際高度計(jì)算誤差，建議是多次測(cè)量求平均值.

【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AELMN交MN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

D,

設(shè)AD的長(zhǎng)為xm,

VAE±ME,BC〃MN,

ΛAD±BD,ZADC=90o,

,.?ZACD=450,

ΛCD=AD=xm,BD=BC+CD=(16+x)m,

由題易得，四邊形BMNC為矩形，

VAElME,

.?.四邊形CNED為矩形，

，DE=CN=BM=ISm,

?∣yr

在RIAABD中，tanZABD=——=-------=0.40,

BD16+x

解得：X≈10.7,

即AD=10.7m,AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m,

答：觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度為12.3m.

(2)本次測(cè)量結(jié)果的誤差為：12.6-12.3=0.3m,

減小誤差的合理化建議：多次測(cè)量，求平均值.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解

答此題的關(guān)鍵.

25.學(xué)完三角函數(shù)知識(shí)后，某校“數(shù)學(xué)社團(tuán)”的小明和小華決定用自己學(xué)到的知識(shí)測(cè)量紀(jì)念塔

的高度.如圖，是高為Im的測(cè)角儀，在。處測(cè)得塔頂端A的仰角為40。，向塔方向前進(jìn)

40m在E處測(cè)得塔頂端A的仰角為63.4°,求紀(jì)念塔AB的高度(結(jié)果取整數(shù)).

參考數(shù)據(jù):sin40≈0.64,cos40≈0.77,tan40≈0.84,tan63.4≈2.00.

A

【答案】紀(jì)念塔A8的高度約為59m.

【分析】根據(jù)正切的定義分別用AG表示出EG、DG,再在在RtZXAEG中列出算式求出AG

的長(zhǎng)，計(jì)算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，ZADG=40°,